资源简介

数学
第6练　对数与对数函数（原卷版）
一、单项选择题
1．已知x，y为正实数，则(　　)
A．lg (x2y)＝(lg x)2＋lg y
B．lg (x)＝lg x＋lg y
C．eln x＋ln y＝x＋y
D．eln x－ln y＝xy
2．已知f(x5)＝lg x，则f(2)＝(　　)
A．lg 2 B．lg 32
C．lg D.lg 2
3．(2025·山东泰安模拟)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)
4．若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C.∪(1，＋∞) D.∪(1，＋∞)
5．苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier，1550～1617)发明的对数及对数表(如下表)，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间．即若是任何一个正实数N可以表示成N＝a×10n(1≤a<10，n∈Z)，则lg N＝n＋lg a(0≤lg a<1)，这样我们可以知道N的位数．已知正整数M31是35位数，则M的值为(　　)
N 2 3 4 5 11 12 13 14 15
lg N 0.30 0.48 0.60 0.70 1.04 1.08 1.11 1.15 1.18
A.3 B．12
C．13 D．14
6．若函数f(x)＝的值域为[－3，＋∞)，则a的取值范围是(　　)
A．[－e3，0) B.
C. D.
7．已知a＝log75，b＝log97，c＝log119，则(　　)
A．aC．b8．(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝(x＋a)·ln (x＋b)，若f(x)≥0，则a2＋b2的最小值为(　　)
A. B.
C. D．1
二、多项选择题
9.函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)
A．a＞1 B．0＜c＜1
C．0＜a＜1 D．c＞1
10．(2024·重庆模拟)已知3a＝5b＝15，则下列结论正确的是(　　)
A．lg a>lg b B．a＋b＝ab
C.> D．a＋b>4
11．已知函数f(x)＝log2(1＋4x)－x，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)是偶函数
B．函数f(x)是奇函数
C．函数f(x)在(－∞，0]上为增函数
D．函数f(x)的值域为[1，＋∞)
三、填空题
12．若f(x)＝ln ＋b是奇函数，则a＝________，b＝________．
13．已知函数f(x)＝log2(x2－2ax＋3)．若函数f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是________；若函数f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是________．
14．如图，已知过原点O的直线与函数y＝log8x的图象交于A，B两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C，D两点，若BC∥x轴，则梯形ABDC的面积为________．
四、解答题
15．已知函数f(x)＝9x－28×3x＋1＋243，g(x)＝log2·log2.
(1)设集合A＝{x∈R|f(x)≤0}，求集合A；
(2)当x∈A时，求g(x)的最大值和最小值．
16．函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[m，n] D使f(x)在[m，n]上的值域为，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”．若函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，求t的取值范围．
第6练　对数与对数函数（解析版）
一、单项选择题
1．已知x，y为正实数，则(　　)
A．lg (x2y)＝(lg x)2＋lg y
B．lg (x)＝lg x＋lg y
C．eln x＋ln y＝x＋y
D．eln x－ln y＝xy
答案：B
解析：x，y为正实数，lg (x2y)＝lg x2＋lg y＝2lg x＋lg y，故A错误；lg (x)＝lg x＋lg ＝lg x＋lg y，故B正确；eln x＋ln y＝eln x·eln y＝xy，故C，D错误．故选B.
2．已知f(x5)＝lg x，则f(2)＝(　　)
A．lg 2 B．lg 32
C．lg D.lg 2
答案：D
解析：令x5＝t，则x＝t(t>0)，∴f(t)＝lg t＝lg t，∴f(2)＝lg 2.故选D.
3．(2025·山东泰安模拟)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)
答案：B
解析：函数y＝，y＝loga的图象过的定点分别是(0，1)，，当a>1时，由复合函数单调性可知y＝，y＝loga分别单调递减、单调递增；当04．若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C.∪(1，＋∞) D.∪(1，＋∞)
答案：D
解析：因为loga<1，所以loga1，则上式显然成立；若05．苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier，1550～1617)发明的对数及对数表(如下表)，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间．即若是任何一个正实数N可以表示成N＝a×10n(1≤a<10，n∈Z)，则lg N＝n＋lg a(0≤lg a<1)，这样我们可以知道N的位数．已知正整数M31是35位数，则M的值为(　　)
N 2 3 4 5 11 12 13 14 15
lg N 0.30 0.48 0.60 0.70 1.04 1.08 1.11 1.15 1.18
A.3 B．12
C．13 D．14
答案：C
解析：因为N＝a×10n(1≤a<10，n∈Z)，则lg N＝n＋lg a(0≤lg a<1)，所以1034≤M31<1035，两边取常用对数得34≤31lg M<35，于是≤lg M<，即1.106．若函数f(x)＝的值域为[－3，＋∞)，则a的取值范围是(　　)
A．[－e3，0) B.
C. D.
答案：C
解析：当0≤x≤3时，f(x)＝－x2＋2x∈[－3，1]，当a≤x＜0时，f(x)＝－ln (－x)≥－ln (－a)，因为f(x)＝的值域为[－3，＋∞)，所以－3≤－ln (－a)≤1，故－1≤ln (－a)≤3，解得－e3≤a≤－.故选C.
7．已知a＝log75，b＝log97，c＝log119，则(　　)
A．aC．b答案：A
解析：因为log75－log97＝－＝，又因为lg 5×lg 9≤＝<＝(lg 7)2，所以log75－log97<0，即a8．(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝(x＋a)·ln (x＋b)，若f(x)≥0，则a2＋b2的最小值为(　　)
A. B.
C. D．1
答案：C
解析：解法一：由题意可知，f(x)的定义域为(－b，＋∞)，令x＋a＝0，得x＝－a；令ln (x＋b)＝0，得x＝1－b.若－a≤－b，当x∈(－b，1－b)时，可知x＋a>0，ln (x＋b)<0，此时f(x)<0，不符合题意；若－b<－a<1－b，当x∈(－a，1－b)时，可知x＋a>0，ln (x＋b)<0，此时f(x)<0，不符合题意；若－a＝1－b，当x∈(－b，1－b)时，可知x＋a<0，ln (x＋b)<0，此时f(x)>0，当x∈[1－b，＋∞)时，可知x＋a≥0，ln (x＋b)≥0，此时f(x)≥0，可知－a＝1－b符合题意；若－a>1－b，当x∈(1－b，－a)时，可知x＋a<0，ln (x＋b)>0，此时f(x)<0，不符合题意．综上所述，－a＝1－b，即b＝a＋1，则a2＋b2＝a2＋(a＋1)2＝2＋≥，当且仅当a＝－，b＝时，等号成立，所以a2＋b2的最小值为.故选C.
解法二：由题意可知，f(x)的定义域为(－b，＋∞)，令x＋a＝0，得x＝－a；令ln (x＋b)＝0，得x＝1－b，则当x∈(－b，1－b)时，ln (x＋b)<0，故x＋a≤0，所以1－b＋a≤0；当x∈(1－b，＋∞)时，ln (x＋b)>0，故x＋a≥0，所以1－b＋a≥0，故1－b＋a＝0，则a2＋b2＝a2＋(a＋1)2＝2＋≥，当且仅当a＝－，b＝时，等号成立，所以a2＋b2的最小值为.故选C.
二、多项选择题
9.函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)
A．a＞1 B．0＜c＜1
C．0＜a＜1 D．c＞1
答案：BC
解析：由图象可知0＜a＜1，令y＝0，得loga(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c，由图象知0＜1－c＜1，故0＜c＜1.故选BC.
10．(2024·重庆模拟)已知3a＝5b＝15，则下列结论正确的是(　　)
A．lg a>lg b B．a＋b＝ab
C.> D．a＋b>4
答案：ABD
解析：由题意，得a＝log315>log31>0，b＝log515>log51＝0，＝log153>0，＝log155>0，则0<<，则a>b>0.对于A，根据对数函数y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，则lg a>lg b，故A正确；对于B，因为＋＝log153＋log155＝1，即＝1，则a＋b＝ab，故B正确；对于C，因为a>b>0，根据指数函数y＝在R上单调递减，则<，故C错误；对于D，因为a>b>0，＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立，而显然a≠b，则a＋b>4，故D正确．故选ABD.
11．已知函数f(x)＝log2(1＋4x)－x，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)是偶函数
B．函数f(x)是奇函数
C．函数f(x)在(－∞，0]上为增函数
D．函数f(x)的值域为[1，＋∞)
答案：AD
解析：根据题意，函数f(x)＝log2(1＋4x)－x，定义域为R，有f(－x)＝log2＋x＝log2(1＋4x)－x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，A正确，B错误；对于C，f(－1)＝log2>1＝f(0)，f(x)在(－∞，0]上不是增函数，C错误；对于D，f(x)＝log2(1＋4x)－x＝log2，设t＝＋2x≥2，当且仅当x＝0时等号成立，则t的最小值为2，故f(x)≥log22＝1，即函数f(x)的值域为[1，＋∞)，D正确．故选AD.
三、填空题
12．若f(x)＝ln ＋b是奇函数，则a＝________，b＝________．
答案：－　ln 2
解析：因为函数f(x)＝ln ＋b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由a＋≠0可得，(1－x)(a＋1－ax)≠0，所以＝－1，解得a＝－，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，再由f(0)＝0可得，b＝ln 2.即f(x)＝ln ＋ln 2＝ln ，在定义域内满足f(－x)＝－f(x)，符合题意．
13．已知函数f(x)＝log2(x2－2ax＋3)．若函数f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是________；若函数f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是________．
答案：(－，)　(－∞，－]∪[，＋∞)
解析：由函数f(x)的定义域为R，得x2－2ax＋3>0恒成立，所以Δ＝4a2－12<0，解得－14．如图，已知过原点O的直线与函数y＝log8x的图象交于A，B两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C，D两点，若BC∥x轴，则梯形ABDC的面积为________．
答案：log23
解析：设点A，B的横坐标分别为x1，x2，由题设，知x1＞1，x2＞1，则点A，B的纵坐标分别为log8x1，log8x2.∵A，B在过点O的直线上，∴＝，点C，D的坐标分别为(x1，log2x1)，(x2，log2x2)．由BC平行于x轴，知log2x1＝log8x2，即log2x1＝log2x2，∴x2＝x，代入x2log8x1＝x1log8x2，得xlog8x1＝3x1log8x1.由x1＞1知log8x1≠0，∴x＝3x1，又x1＞1，解得x1＝.于是点A的坐标为(，log8)，即A，∴B，C，D，∴梯形ABDC的面积为S＝(AC＋BD)·BC＝××2＝log23.
四、解答题
15．已知函数f(x)＝9x－28×3x＋1＋243，g(x)＝log2·log2.
(1)设集合A＝{x∈R|f(x)≤0}，求集合A；
(2)当x∈A时，求g(x)的最大值和最小值．
解：(1)由f(x)＝9x－28×3x＋1＋243≤0，
得(3x)2－84×3x＋243≤0，
即(3x－3)(3x－81)≤0，则3≤3x≤81，
解得1≤x≤4，∴A＝{x|1≤x≤4}．
(2)g(x)＝log2·log2
＝(2log2x－3)
＝(log2x)2－log2x＋3
＝－.
∵x∈[1，4]，∴log2x∈[0，2]，∴当log2x＝0时，g(x)max＝3；
当log2x＝时，g(x)min＝－.
故g(x)的最大值为3，最小值为－.
16．函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[m，n] D使f(x)在[m，n]上的值域为，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”．若函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，求t的取值范围．
解：∵函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，且定义域为R，
当a>1时，z＝ax＋t2在R上单调递增，y＝logaz在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)为R上的增函数；当0＜a＜1时，f(x)仍为R上的增函数，∴f(x)在定义域R上为增函数，
∴方程loga(ax＋t2)＝x有两个不同的根，∴ax＋t2＝ax，即ax－ax＋t2＝0，
令u＝ax，u>0，即关于u的方程u2－u＋t2＝0有两个不同的正数根，可得1－4t2>0，且t2>0，
解得t∈∪，
∴t的取值范围为∪.
1

展开更多......

收起↑