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第8练　函数零点与方程（原卷版）
一、单项选择题
1．设函数f(x)＝2x＋的零点为x0，则x0∈(　　)
A．(－4，－2) B．(－2，－1)
C．(1，2) D．(2，4)
2．函数f(x)＝的零点是(　　)
A．(－1，0)，(9，0) B．－1，9
C．(9，0) D．9
3．已知实数x0是函数f(x)＝－的一个零点．若0＜x1＜x0＜x2，则(　　)
A．f(x1)＜0，f(x2)＜0
B．f(x1)＜0，f(x2)＞0
C．f(x1)＞0，f(x2)＜0
D．f(x1)＞0，f(x2)＞0
4．(2025·湖南岳阳模拟)设函数f(x)＝x＋log2x－m，则“函数f(x)在上存在零点”是“m∈(1，6)”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
6．关于函数f(x)＝其中a，b∈R，给出下列四个结论：
甲：5是该函数的零点；
乙：4是该函数的零点；
丙：该函数的所有零点之积为0；
丁：方程f(x)＝1有两个不等的实根．
若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是(　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
7．(2025·江苏徐州模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝若函数y＝f(x)－m仅有4个零点，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
8．(2025·福建漳州高三开学检测)x1，x2为函数f(x)＝|logax|－3的两个零点，其中x1A．x1x2＝1
B．x1＋x2>2
C．x1＋4x2的最小值为4
D．4x1＋x2的最小值为4
二、多项选择题
9．某同学求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
f(2)≈－1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈－0.084
f(2.75)≈0.512 f(2.625)≈0.215 f(2.5625)≈0.066
则方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度为0.1)可取为(　　)
A．2.52 B．2.56
C．2.66 D．2.75
10．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是(　　)
A．f(x)＝2x＋x
B．f(x)＝x2－x－3
C．f(x)＝
D．f(x)＝－x
11．已知函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2－(2a＋1)f(x)＋a2＋a＝0有6个不同的实根，则实数a的可能取值是(　　)
A．－ B.
C. D．2
三、填空题
12．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数为f(x)＝________．
13．设函数f(x)＝其中a>0.
(1)若a＝3，则f(f(9))＝________；
(2)若函数y＝f(x)－2有两个零点，则a的取值范围是________．
14．(2025·河北秦皇岛模拟)已知奇函数f(x)的定义域为R，f(x＋3)＝－f(－x)，且f(2)＝0，则f(x)在[0，6]上的零点个数的最小值为________．
四、解答题
15．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的两个零点为2，3.
(1)求b，c的值；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋mx的两个零点分别在区间(1，2)，(2，4)内，求实数m的取值范围．
16．设函数f(x)＝
(1)若a＝1，求f(x)的最小值；
(2)若f(x)恰有2个零点，求实数a的取值范围．
第8练　函数零点与方程（解析版）
一、单项选择题
1．设函数f(x)＝2x＋的零点为x0，则x0∈(　　)
A．(－4，－2) B．(－2，－1)
C．(1，2) D．(2，4)
答案：B
解析：因为y＝2x与y＝在R上均为增函数，所以f(x)＝2x＋在R上为增函数，又因为f(0)＝1＞0，f(－1)＝－＝>0，f(－2)＝－＝－<0，因为f(－2)f(－1)<0，所以f(x)＝2x＋的零点在区间(－2，－1)内．故选B.
2．函数f(x)＝的零点是(　　)
A．(－1，0)，(9，0) B．－1，9
C．(9，0) D．9
答案：B
解析：当x≤0时，f(x)＝－1＝0，解得x＝－1；当x>0时，f(x)＝log3x－2＝0，解得x＝9，所以函数f(x)的零点为－1，9.故选B.
3．已知实数x0是函数f(x)＝－的一个零点．若0＜x1＜x0＜x2，则(　　)
A．f(x1)＜0，f(x2)＜0
B．f(x1)＜0，f(x2)＞0
C．f(x1)＞0，f(x2)＜0
D．f(x1)＞0，f(x2)＞0
答案：B
解析：函数f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，且f(x0)＝0，所以当0＜x1＜x0＜x2时，有f(x1)＜0，f(x2)＞0.
4．(2025·湖南岳阳模拟)设函数f(x)＝x＋log2x－m，则“函数f(x)在上存在零点”是“m∈(1，6)”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：函数f(x)＝x＋log2x－m在(0，＋∞)上单调递增，由函数f(x)在上存在零点，得f＝－－m＜0，f(4)＝6－m＞0，解得－＜m＜6，故“函数f(x)在上存在零点”是“m∈(1，6)”的必要不充分条件．故选B.
5．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：C
解析：由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x>0)，y2＝ln x(x>0)的图象，如图所示．由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
6．关于函数f(x)＝其中a，b∈R，给出下列四个结论：
甲：5是该函数的零点；
乙：4是该函数的零点；
丙：该函数的所有零点之积为0；
丁：方程f(x)＝1有两个不等的实根．
若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是(　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
答案：B
解析：当x∈[3.5，＋∞)时，f(x)＝b－x为减函数，故5和4只有一个是函数的零点，即甲、乙中有一个结论错误，一个结论正确，故丙、丁均正确．由所有零点之积为0，结合分段函数的性质知，必有一个零点为0，则f(0)＝log22－a＝0，可得a＝1.①若甲正确，则f(5)＝b－5＝0，则b＝5，可得f(x)＝由f(x)＝1，可得或解得x＝2或x＝4，方程f(x)＝1有两个不等的实根，故丁正确；②若乙正确，则f(4)＝0，即b－4＝0，则b＝4，可得f(x)＝
由f(x)＝1，可得或解得x＝2，方程f(x)＝1只有一个实根，故丁错误，不满足题意．综上，甲正确，乙错误．故选B.
7．(2025·江苏徐州模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝若函数y＝f(x)－m仅有4个零点，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：当0≤x≤2时，f(x)＝x2，此时f(x)单调递增，当x>2时，f(x)＝＋1，此时f(x)单调递减，又函数f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于y轴对称，作出函数f(x)的图象，因为函数y＝f(x)－m仅有4个零点，所以函数y＝f(x)的图象与直线y＝m有4个交点，根据图象可知，18．(2025·福建漳州高三开学检测)x1，x2为函数f(x)＝|logax|－3的两个零点，其中x1A．x1x2＝1
B．x1＋x2>2
C．x1＋4x2的最小值为4
D．4x1＋x2的最小值为4
答案：C
解析：函数f(x)＝|logax|－3的定义域为(0，＋∞)，a>0，且a≠1，由f(x)＝0，得|logax|＝3，因此直线y＝3与函数y＝|logax|的图象有两个公共点，其横坐标为x1，x2，a比1大还是小，对y＝|logax|的图象没有影响，可令a>1，而当01时，y＝logax单调递增，于是02，B正确；对于C，x1＋4x2＝＋4x2，函数y＝4x＋在(1，＋∞)上单调递增，因此x1＋4x2＝＋4x2>5，C错误；对于D，4x1＋x2＝＋x2≥4，当且仅当x2＝2时取等号，D正确．故选C.
二、多项选择题
9．某同学求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
f(2)≈－1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈－0.084
f(2.75)≈0.512 f(2.625)≈0.215 f(2.5625)≈0.066
则方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度为0.1)可取为(　　)
A．2.52 B．2.56
C．2.66 D．2.75
答案：AB
解析：由表格可知方程ln x＋2x－6＝0的解在(2.5，2.5625)内，又|2.5625－2.5|＝0.0625<0.1，因此选项A中2.52符合，选项B中2.56也符合．故选AB.
10．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是(　　)
A．f(x)＝2x＋x
B．f(x)＝x2－x－3
C．f(x)＝
D．f(x)＝－x
答案：BCD
解析：根据定义可知，若f(x)为“不动点”函数，则f(x)＝x有解．对于A，令2x＋x＝x，得2x＝0，此时无解，故f(x)不是“不动点”函数；对于B，令x2－x－3＝x，得x＝3或x＝－1，所以f(x)是“不动点”函数；对于C，当x≤1时，令2x2－1＝x，得x＝－或x＝1，所以f(x)是“不动点”函数；对于D，令－x＝x，得x＝±，所以f(x)是“不动点”函数．故选BCD.
11．已知函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2－(2a＋1)f(x)＋a2＋a＝0有6个不同的实根，则实数a的可能取值是(　　)
A．－ B.
C. D．2
答案：BC
解析：当x<0时，f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(－1，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，作出f(x)的图象，如图所示．[f(x)]2－(2a＋1)f(x)＋a2＋a＝[f(x)－a]·[f(x)－a－1]＝0，即f(x)＝a与f(x)＝a＋1共有6个不等实根，由图可知，若使f(x)＝a与f(x)＝a＋1共有6个不等实根，只需满足即0三、填空题
12．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数为f(x)＝________．
答案：x3－x(答案不唯一)
解析：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c为奇函数，所以a＝c＝0，f(x)＝x3＋bx＝x(x2＋b)有三个不同的零点，所以b<0，所以f(x)＝x3－x满足题意．
13．设函数f(x)＝其中a>0.
(1)若a＝3，则f(f(9))＝________；
(2)若函数y＝f(x)－2有两个零点，则a的取值范围是________．
答案：(1)　(2)[4，9)
解析：(1)当a＝3时，f(x)＝则f(9)＝log39＝2，∴f(f(9))＝f(2)＝.
(2)分别画出y＝f(x)与y＝2的图象，如图所示，函数y＝f(x)－2有两个零点，结合图象可得4≤a＜9，故a的取值范围是[4，9)．
14．(2025·河北秦皇岛模拟)已知奇函数f(x)的定义域为R，f(x＋3)＝－f(－x)，且f(2)＝0，则f(x)在[0，6]上的零点个数的最小值为________．
答案：9
解析：由f(x＋3)＝－f(－x)，可得f(x)的图象关于点对称，又f(x)是奇函数，所以f(x＋3)＝－f(－x)＝f(x)，则f(x)的周期为3，所以f(0)＝f(3)＝f(6)＝0，f(5)＝f(2)＝0，f(4)＝f(1)＝f(－2)＝－f(2)＝0，而f(1.5)＝－f(1.5)，则f(1.5)＝f(4.5)＝0.故f(x)在[0，6]上的零点个数的最小值为9.
四、解答题
15．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的两个零点为2，3.
(1)求b，c的值；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋mx的两个零点分别在区间(1，2)，(2，4)内，求实数m的取值范围．
解：(1)由题意得2，3为方程x2＋bx＋c＝0的两根，
所以得
(2)由(1)知f(x)＝x2－5x＋6，
所以g(x)＝x2＋(m－5)x＋6，
依题意得
解得－故实数m的取值范围是.
16．设函数f(x)＝
(1)若a＝1，求f(x)的最小值；
(2)若f(x)恰有2个零点，求实数a的取值范围．
解：(1)若a＝1，
则f(x)＝
作出函数f(x)的图象，如图所示，由图可得f(x)的最小值为－1.
(2)当x<1时，f(x)∈(－a，2－a)，
所以当a≥1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足2－a≤0，即a≥2；
当a<1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足解得≤a<1.
综上所述，实数a的取值范围为∪[2，＋∞)．
14

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