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=数学
第9练　函数模型的应用（原卷版）
一、单项选择题
1．有一货船从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘．假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该货船从石塘出发后所用的时间为x(单位：小时)，货船距石塘的距离为y(单位：千米)，则下列各图中，能反映y与x之间函数关系的大致图象是(　　)
2．双碳，即碳达峰与碳中和的简称.2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：A·h)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝In·t，其中n＝log2为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝10 A时，放电时间t＝57 h，则当放电电流I＝15 A时，放电时间为(　　)
A．28 h B．28.5 h
C．29 h D．29.5 h
3．(2025·甘肃张掖模拟)在我国，每年因酒后驾车引发的交通事故达数万起，酒后驾车已经成为交通事故的第一大“杀手”．《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于20 mg/100 mL.某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量V(t)(单位：mg/100 mL)与饮酒后经过的时间t(单位：h)近似满足关系式V(t)＝其中W为饮酒者的体重(单位：kg)，m为酒精摄入量(单位：mL)．根据上述关系式，已知某驾驶员体重75 kg，他快速饮用了含150 mL酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 5≈1.61)(　　)
A．12小时后 B．24小时后
C．26小时后 D．28小时后
4．化学平衡是指在一定条件下，可逆反应的正反应速率和逆反应速率相等时，体系所处的状态．根据计算系统的吉布斯自由能变化(ΔG)的热力学公式Gibbs－Helmholtz方程和Van't Hoff方程，可以得到温度(T)与可逆反应的平衡常数(K)的关系式：ΔH－TΔS＝ΔG＝－RTln K，式中ΔH为焓变(在一定温度变化范围内视为定值)，ΔS为熵变，R为气体常数．利用上述公式，我们可以处理不同温度下，有关多重可逆反应的平衡常数之间关系的计算．已知当温度为T1时，可逆反应的平衡常数为K1；当温度为T2时，可逆反应的平衡常数为K2，则ln ＝(　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题
5．小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(单位：天)之间的函数关系f(x)＝下列说法正确的是(　　)
A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低
B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C．9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%
D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
6．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是Pn＝P0(1＋k)n(k>－1)，其中Pn为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，则(　　)
A．若k∈(－1，0)，则这期间人口数呈下降趋势
B．若k∈(－1，0)，则这期间人口数呈摆动变化
C．当k＝，Pn≥2P0时，n的最小值为3
D．当k＝－，Pn≤P0时，n的最小值为3
三、填空题
7．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数)，广告效应为D＝a－A.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________(用常数a表示)．
8．“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为________．
(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105)
四、解答题
9．某企业为了激励销售人员的积极性，实现企业高质量发展，根据员工的销售额发放奖金(奖金和销售额单位都为十万元)，奖金发放方案同时具备两个条件：①奖金f(x)随销售额x(2≤x≤8)的增加而增加；②奖金不低于销售额的5%(即奖金f(x)≥5%·x)．经测算该企业决定采用函数模型f(x)＝－＋b(a>0，b>0)作为奖金发放方案．
(1)若a＝b＝，此奖金发放方案是否满足条件？并说明理由；
(2)若b＝，要使奖金发放方案满足条件，求实数a的取值范围．
10．某新型企业为获得更大利润，需不断加大投资，若预计年利润率(利润/成本)低于10%，则该企业就考虑转型．下表显示的是某企业几年来利润y(单位：百万元)与年投资成本x(单位：百万元)变化的一组数据：
年份 2021 2022 2023 2024 …
投资成本x 3 5 9 17 …
年利润y 1 2 3 4 …
给出以下三个函数模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b>0，且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)．
(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系；
(2)试判断该企业年利润为6百万元时，该企业是否要考虑转型．
第9练　函数模型的应用（原卷版）
一、单项选择题
1．有一货船从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘．假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该货船从石塘出发后所用的时间为x(单位：小时)，货船距石塘的距离为y(单位：千米)，则下列各图中，能反映y与x之间函数关系的大致图象是(　　)
答案：A
解析：由题意，得货船从石塘开始航行到停留一段时间前，y随x增大而增大；停留一段时间内，y随x增大而不变；随后y随x增大继续增大；当返回时，y随x增大而减小，直至为0，又顺流速度大于逆流速度，故选A.
2．双碳，即碳达峰与碳中和的简称.2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：A·h)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝In·t，其中n＝log2为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝10 A时，放电时间t＝57 h，则当放电电流I＝15 A时，放电时间为(　　)
A．28 h B．28.5 h
C．29 h D．29.5 h
答案：B
解析：根据题意可得C＝57·10n，则当I＝15 A时，57·10n＝15n·t，所以t＝57·＝57×log2＝57×log＝57×＝28.5 h，即当放电电流I＝15 A时，放电时间为28.5 h．故选B.
3．(2025·甘肃张掖模拟)在我国，每年因酒后驾车引发的交通事故达数万起，酒后驾车已经成为交通事故的第一大“杀手”．《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于20 mg/100 mL.某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量V(t)(单位：mg/100 mL)与饮酒后经过的时间t(单位：h)近似满足关系式V(t)＝其中W为饮酒者的体重(单位：kg)，m为酒精摄入量(单位：mL)．根据上述关系式，已知某驾驶员体重75 kg，他快速饮用了含150 mL酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 5≈1.61)(　　)
A．12小时后 B．24小时后
C．26小时后 D．28小时后
答案：B
解析：当0≤t<1时，V(t)＝×(－t2＋2t＋1)＝－[(t－1)2－2]，所以V(t)20，当t≥1时，令V(t)＝×＝200×<20，即<，所以t－1>≈23，所以t>24.故选B.
4．化学平衡是指在一定条件下，可逆反应的正反应速率和逆反应速率相等时，体系所处的状态．根据计算系统的吉布斯自由能变化(ΔG)的热力学公式Gibbs－Helmholtz方程和Van't Hoff方程，可以得到温度(T)与可逆反应的平衡常数(K)的关系式：ΔH－TΔS＝ΔG＝－RTln K，式中ΔH为焓变(在一定温度变化范围内视为定值)，ΔS为熵变，R为气体常数．利用上述公式，我们可以处理不同温度下，有关多重可逆反应的平衡常数之间关系的计算．已知当温度为T1时，可逆反应的平衡常数为K1；当温度为T2时，可逆反应的平衡常数为K2，则ln ＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：由题意，即则有ln ＝ln K1－ln K2＝－＝.故选A.
二、多项选择题
5．小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(单位：天)之间的函数关系f(x)＝下列说法正确的是(　　)
A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低
B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C．9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%
D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
答案：ABC
解析：由函数解析式可知f(x)随着x的增加而减少，故A正确；由图象可得B正确；当1，故D错误．故选ABC.
6．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是Pn＝P0(1＋k)n(k>－1)，其中Pn为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，则(　　)
A．若k∈(－1，0)，则这期间人口数呈下降趋势
B．若k∈(－1，0)，则这期间人口数呈摆动变化
C．当k＝，Pn≥2P0时，n的最小值为3
D．当k＝－，Pn≤P0时，n的最小值为3
答案：AC
解析：当k∈(－1，0)时，P0>0，0<1＋k<1，由指数函数的性质可知，Pn＝P0(1＋k)n是关于n的减函数，即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确；当k＝，Pn＝P0≥2P0，所以≥2，所以n≥log2(n∈N)，log2∈(2，3)，所以n的最小值为3，故C正确；当k＝－，Pn＝P0≤P0，所以≤，所以n≥log(n∈N)，log＝log2∈(1，2)，所以n的最小值为2，故D不正确．故选AC.
三、填空题
7．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数)，广告效应为D＝a－A.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________(用常数a表示)．
答案：a2
解析：令t＝(t≥0)，则A＝t2，∴D＝at－t2＝－＋a2，∴当t＝a，即A＝a2时，D取得最大值．
8．“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为________．
(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105)
答案：6
解析：设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，则vn＝100×0.9n－1.由100×0.9n－1<60，得0.9n－1<0.6，则(n－1)ln 0.9≈≈4.87，则n>5.87，故至少需要“打水漂”的次数为6.
四、解答题
9．某企业为了激励销售人员的积极性，实现企业高质量发展，根据员工的销售额发放奖金(奖金和销售额单位都为十万元)，奖金发放方案同时具备两个条件：①奖金f(x)随销售额x(2≤x≤8)的增加而增加；②奖金不低于销售额的5%(即奖金f(x)≥5%·x)．经测算该企业决定采用函数模型f(x)＝－＋b(a>0，b>0)作为奖金发放方案．
(1)若a＝b＝，此奖金发放方案是否满足条件？并说明理由；
(2)若b＝，要使奖金发放方案满足条件，求实数a的取值范围．
解：(1)f(x)＝－＋，
因为y＝＋在[2，8]上单调递增，y＝－在[2，8]上单调递增，
所以f(x)＝－＋在[2，8]上单调递增，满足条件①.
对于②，f(x)＝－＋≥5%·x，
即－＋≥，
整理可得x2－2x＋2≤0，
而x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，则不满足条件②.
故a＝b＝，此奖金发放方案不满足条件．
(2)当b＝时，函数f(x)＝－＋，因为a>0，
由(1)知f(x)在[2，8]上单调递增，奖金发放方案满足条件①.
由条件②可知f(x)≥，即＋≤在x∈[2，8]时恒成立，
所以a≤－x2＋x＝在x∈[2，8]时恒成立．
因为y＝在[2，8]上单调递增．
所以当x＝2时，y取得最小值，所以a≤，
所以要使奖金发放方案满足条件，实数a的取值范围为.
10．某新型企业为获得更大利润，需不断加大投资，若预计年利润率(利润/成本)低于10%，则该企业就考虑转型．下表显示的是某企业几年来利润y(单位：百万元)与年投资成本x(单位：百万元)变化的一组数据：
年份 2021 2022 2023 2024 …
投资成本x 3 5 9 17 …
年利润y 1 2 3 4 …
给出以下三个函数模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b>0，且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)．
(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系；
(2)试判断该企业年利润为6百万元时，该企业是否要考虑转型．
解：(1)将(3，1)，(5，2)代入y＝kx＋b(k≠0)，
得解得
∴y＝x－.
当x＝9时，y＝4，不符合题意；
将(3，1)，(5，2)代入y＝abx(a≠0，b>0，且b≠1)，
得解得
∴y＝·()x＝2.
当x＝9时，y＝2＝8，不符合题意；
将(3，1)，(5，2)代入y＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)，
得解得
∴y＝log2(x－1)．
当x＝9时，y＝log28＝3；
当x＝17时，y＝log216＝4.
故可用③来描述x，y之间的关系．
(2)令log2(x－1)＝6，则x＝65.
∵年利润率为<10%，
∴该企业要考虑转型．
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