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2024~2025学年第二学期中段台山一中、开侨中学两校联考
高一数学试卷
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
2. 平面直角坐标系中，已知点，，则与同方向的单位向量是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量，的夹角为45°，且，，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
5. 如图，平行四边形ABCD中，，若，则（ ）
A B. C. D.
6. 将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若向量，，且，的外接圆的半径为，则的面积的最大值为（ ）
A. B. C. D. 12
8. 函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A. 若复数，则为纯虚数的充要条件是
B. 若复数（为虚数单位），则
C 若复数满足，则
D. 若复数满足，则复数对应点的集合是以原点为圆心，以10为半径的圆
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 在中，若，则
B. 在中，若，，且该三角形有两解，则的取值范围为
C. 若向量，，则在上的投影向量的坐标为
D. 在中，若，则是等腰三角形
11. 函数，下列结论正确的是（ ）
A. 图象关于直线对称
B. 的一个周期为
C. 函数的图象与直线（为常数）在区间上不可能存在3个交点
D. 在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为_____.
13. 两座灯塔和与海洋观察站的距离分别为，，灯塔在观察站的北偏东方向上，灯塔在观察站的南偏东方向上，则灯塔与的距离为_____km.
14. 函数的部分图象如图所示，若，则_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知，且在第三象限.
（1）求和的值；
（2）求的值.
16. 已知向量，，，且，.
（1）求与；
（2）若，，求向量，的夹角的大小.
17. 在中，角，，的对边分别为，，，，．
（1）求角；
（2）若是线段的中点，且，求；
（3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围．
18. 天津海河永乐桥上的摩天轮被誉为“天津之眼”，是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮.如图所示，该摩天轮直径为米，最高点距离地面米，相当于层楼高，摩天轮的圆周上均匀的安装了个透明座舱，每个座舱最多可坐人，整个摩天轮可同时供余人观光，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要分钟.
（1）某游客自最低点处登上摩天轮，请问分钟后他距离地面的高度是多少？
（2）若甲乙两游客分别坐在，两个座舱里，且他们之间间隔个座舱，求，两个座舱直线距离；
（3）若游客在距离地面至少米的高度能够获得俯瞰天津市美景的最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间会有这种最佳视觉效果.
19. 定义域为函数满足：对任意，都有，则称具有性质.
（1）分别判断以下两个函数是否具有性质：和；
（2）函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值.
2024~2025学年第二学期中段台山一中、开侨中学两校联考
高一数学试卷
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】BD
【10题答案】
【答案】ABC
【11题答案】
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】7
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1），
（2）
【16题答案】
【答案】（1），.
（2）.
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【18题答案】
【答案】（1）37.5米；（2）；（3）分钟.
【19题答案】
【答案】（1）函数不具有性质；函数具有性质
（2）存在，，
（3）

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