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2025 年 内 蒙 古 自 治 区 初 中 学 业 水 平 考 试
数　学　模　拟　试　题　及解 析(一)
注意事项：
1．本试卷共8页，满分100分。
2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1.的相反数是( )
A．9 B．－ C. D．－9
2．下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
3．为了大力宣传节约用电，某小区随机抽查了10户家庭的月用电量情况，统计如表．关于这10户家庭的月用电量说法正确的是( )
月用电量(度) 25 30 40 50 60
户数 1 4 2 2 1
A.极差是3 B．众数是4 C．中位数是40 D．平均数是38.5
4．如图是由5个相同的小立方体组成的几何体，这个几何体的左视图为( )
5．下列计算正确的是( )
A.·＝9 B．(a－1)2＝a2－1
C.＋＝ D．a2·a－3＝
6．不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的
是( )
7．将含60°角的直角三角板按如图方式摆放，已知m∥n，∠1＝25°，则∠2＝( )
A．40° B．35° C．30° D．25°
8．如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为(－5，0)，对角线AC和OB相交于点D，且AC·OB＝40.若反比例函数y＝(x<0)的图象经过点D，并与BC的延长线交于点E，则S△BDE的值是( )
A．1 B．2 C．4 D．6
二、填空题(共4小题，每小题3分，共12分)
9．分解因式：18a2b－8b3＝ ．
10．若用一个圆心角为θ的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为8π的圆锥，则该圆锥的底面周长为 ；扇形的圆心角θ为 °.
11．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为65 m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°.沿水平方向由点O飞行36 m到达点F，此时测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内，则楼AB与CD之间的距离AC的长约为 .(结果精确到1 m．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.73)
12．已知关于x的函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－2)](k是常数)．设k分别取0，1，2时，所对应的函数为y0，y1，y2，某学习小组通过画图、探索，得到以下结论：
①函数y0，y1，y2都是二次函数
②满足y1>y2的x取值范围是0③不论k取何实数，y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－2)]的图象都经过点(1，0)和点 (－1，2)
④当x<－1时满足y2>y1>y0.
其中正确的有 ．(填序号)
三、解答题(共6小题，共64分)
13．(10分)(1)计算：＋|－|－(2 025－π)0－2sin45°＋；
(2)先化简，再求值：÷(1－)，其中x＝－3.
14．(10分)某兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，将调查结果进行统计分析，绘制成下列不完整的统计图表．
类别 调查结果 人数
A 正常 72
B 轻度近视 114
C 中度近视 90
D 重度近视 m
请根据图表信息解答下列问题：
(1)填空：m＝ ，n＝ ；
(2)该校共有学生1 600人，请估算该校学生中“重度近视”的人数；
(3)某班有四名重度近视的学生甲、乙、丙、丁，从中随机选择两名学生参加学校组织的“爱眼护眼”座谈会，请用列表或画树状图的方法求同时选中甲和丙的概率．
15．(8分)根据以下素材，探索完成任务．
如何选择合适的种植方案？
素材1 为了加强劳动教育，落实五育并举，赛罕区某中学在校园内建成了一处劳动实践基地，2025年计划将其中150 m2的土地全部种植甲、乙两种蔬菜.
素材2 甲种蔬菜种植成本y(单位：元/m2)与其种植面积x(单位：m2)的函数关系如图所示，其中30≤x≤150；乙种蔬菜的种植成本为75元/m2.
问题解决
任务1 确定函数关系 求甲种蔬菜种植成本y与其种植面积x的函数关系式.
任务2 设计种植方案 设2025年甲、乙两种蔬菜总种植成本为w元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使w最小？并求出w的最小值.
16．(11分)如图，AB是⊙O的直径，BC，BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一点(OE>BE)，连接OC，CE，且∠BOC＝2∠BCE.
(1)如图1，若BE＝2，CB＝，求⊙O的半径；
(2)如图2，若BD＝2OE，求证：∠OCB＋∠DBC＝180°.(用两种方法)
17．(12分)如图，在 ABCD中，AC是一条对角线，且AB＝AC＝6，BC＝8，E，F是AD边上两点，点F在点E的右侧，AE＝DF，连接CE并延长，CE的延长线与BA的延长线交于点G.
(1)如图1，M是BC边上一点，连接AM，MF，MF与CE交于点N，AE＝2.
①若M为BC中点，求证：NF＝NM；
②求AG的长；
(2)如图2，连接GF，H是GF上一点，连接EH.若∠HED＝∠CED，且HF＝2GH，求EF的长．
18．(13分)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋2ax＋c与x轴交于点A，C，且C(2，0)，与y轴交于点B(0，4)，直线y＝x＋5与x轴交于点D，与y轴交于点E.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是第二象限抛物线上的一个动点，连接PE，将线段PE绕点E逆时针旋转90°得到线段EF，过点F作FM⊥x轴于点M，设P点横坐标为t，FM的长为d，求d与t之间的函数解析式(不要求写自变量t的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，当t＝－ 时，过E点作EH⊥DE交MF的延长线于点H，Q是AC的中点，连接PQ，DH交于点G，求G点坐标．
2025 年 内 蒙 古 自 治 区 初 中 学 业 水 平 考 试
数　学　模　拟　试　题　解 析(一)
一、选择题(共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 B A D B D D B D
二、填空题(共4小题，每小题3分，共12分)
9、2b(3a＋2b)(3a－2b)．
10、4π； 180°
11、78 m.
12、③④
三、解答题(共6小题，共64分)
13．(10分)(1)解：原式＝÷
＝·
＝－，……………8分
当x＝－3时，原式＝－＝2－1.……10分
(2)解：原式＝(－2)2＋－1－2×＋(－2)………………………3分
＝4＋－1－－2
＝1；………………………5分
14．(10分)解：(1)由题意，得72÷24%＝300，
∴m＝300－72－114－90＝24，
n°＝×360°＝108°，
故答案为：24，108；…………………………………………4分
(2)由题意，得1 600×＝128(人)，
∴该校学生中“重度近视”的人数为128人；………………7分
(3)从四名重度近视的学生甲、乙、丙、丁中，随机选择两名学生如表：
第一名学生 第二名学生
甲 乙 丙 丁
甲 — (甲，乙) (甲，丙) (甲，丁)
乙 (乙，甲) — (乙，丙) (乙，丁)
丙 (丙，甲) (丙，乙) — (丙，丁)
丁 (丁，甲) (丁，乙) (丁，丙) —
总共有12种等可能结果，其中同时选中甲和丙的有2种，
∴P(同时选中甲和丙)＝＝.………………………………10分
15．(8分)解：任务1：由题意，得当30≤x≤150时，设甲种蔬菜种植成本y(单位：元/m2)与其种植面积x(单位：m2)的函数关系式为y＝kx＋b，
把(30，30)，(90，60)代入，得
解得
∴甲种蔬菜种植成本y与其种植面积x的函数关系式为y＝x＋15(30≤x≤150)；……………………………………………4分
任务2：当30≤x≤150时，由题意，得w＝x(x＋15)＋75(150－x)＝(x－60)2＋9 450.…………………………………7分
∵＞0，
∴当x＝60时，w有最小值，最小值为9 450元，
此时，150－x＝150－60＝90，
∴当甲种蔬菜的种植面积为60 m2，乙种蔬菜的种植面积为90 m2时，w最小值为9 450元.…………………………………………………8分
16．(11分)解：(1)∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB＝(180°－∠BOC).……………………………2分
∵∠BOC＝2∠BCE，
∴∠OBC＝(180°－2∠BCE)＝90°－∠BCE，
即∠OBC＋∠BCE＝90°，
∴∠OEC＝90°.……………………………………4分
在Rt△CEB中，
CE＝＝，
∴OC2＝OE2＋CE2，
∴OC2＝(OC－2)2＋()2，
解得OC＝2.5，
即⊙O的半径为2.5；……………………………………5分
(2)证明：方法一：如图1，过O作OF⊥BD于F，
图1
∴BF＝BD＝OE.
又∵OC＝OB，∠OEC＝90°，
∴Rt△OFB≌Rt△CEO(HL)，…………………………………7分
∴∠COE＝∠OBF，
∴BD∥OC，
∴∠OCB＋∠DBC＝180°；……………………………8分
方法二：如图2，连接AD，
图2
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝＝＝2＝2CE，
∴＝＝＝，
∴△CEO∽△ADB，…………………………………10分
∴∠COE＝∠ABD，
∴BD∥OC，
∴∠OCB＋∠DBC＝180°.…………………………………………11分
17．(12分)解：(1)∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB＝(180°－∠BOC).………………………………2分
∵∠BOC＝2∠BCE，
∴∠OBC＝(180°－2∠BCE)＝90°－∠BCE，
即∠OBC＋∠BCE＝90°，
∴∠OEC＝90°.…………………………………………4分
在Rt△CEB中，
CE＝＝，
∴OC2＝OE2＋CE2，
∴OC2＝(OC－2)2＋()2，
解得OC＝2.5，
即⊙O的半径为2.5；……………………………………………5分
(2)证明：方法一：如图1，过O作OF⊥BD于F，
图1
∴BF＝BD＝OE.
又∵OC＝OB，∠OEC＝90°，
∴Rt△OFB≌Rt△CEO(HL)，…………………………7分
∴∠COE＝∠OBF，
∴BD∥OC，
∴∠OCB＋∠DBC＝180°；……………………………8分
方法二：如图2，连接AD，
图2
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝＝＝2＝2CE，
∴＝＝＝，
∴△CEO∽△ADB，……………………………………10分
∴∠COE＝∠ABD，
∴BD∥OC，
∴∠OCB＋∠DBC＝180°.………………………………11分
17．(12分)解：(1)①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝8，
∴∠NFE＝∠NMC，EF＝AD－AE－FD＝8－2－2＝4.
∵M为BC中点，BC＝8，
∴MC＝EF＝4.………………………………………1分
∵∠ENF＝∠CNM，
∴△ENF≌△CNM(AAS)，
∴NF＝NM；……………………………………3分
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△GAE∽△GBC，
∴＝，即＝，
∴AG＝2；………………………………6分
(2)如图，连接CF.
∵AB＝AC，AB＝DC，
∴AC＝DC，
∴∠CAD＝∠CDA.
∵AE＝DF，
∴△AEC≌△DFC(SAS)，
∴CE＝CF，
∴∠CFE＝∠CEF.………………………………8分
∵∠HED＝∠CED，
∴∠HED＝∠CFE，
∴EH∥CF，
∴＝.
∵HF＝2GH，
∴＝.……………………………………………9分
∵AB∥CD，
∴△AGE∽△DCE，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝2AE.……………………………………10分
设AE＝x，则DE＝2x，
∵AD＝8，
∴x＋2x＝8，
∴x＝，
即AE＝，
∴DF＝，
∴EF＝AD－AE－DF＝.……………………………2分
18．(13分)解：(1)把B(0，4)，C(2，0)代入y＝ax2＋2ax＋c得
解得
∴抛物线解析式为y＝－x2－x＋4；………………………4分
(2)如图1，分别过点P，F向y轴作垂线，垂足分别为P′，F′，
图1
∴∠EP′P＝∠EF′F＝90°.
由旋转，得PE＝EF，∠PEF＝90°，
∵∠PEO＋∠OEF＝90°，∠PEO＋∠EPP′＝90°，
∴∠EPP′＝∠OEF，
∴△PEP′≌△EFF′(AAS)，………………………………………6分
∴PP′＝EF′＝－t.
∵直线DE的解析式为y＝x＋5，
∴E(0，5)，
∴OE＝5，
则d＝FM＝OF′＝OE－EF′＝5－(－t)＝5＋t；…………9分
(3)如图2，∵直线DE的解析式为y＝x＋5，EH⊥ED，
图2
∴直线EH的解析式为y＝－x＋5.
∵t＝－，
∴P(－，＋1)，………………………………………………………10分
∴EP′＝5－(＋1)＝4－，
∴FF′＝OM＝EP′＝4－，
∴H(4－， ＋1),
∴P与H的纵坐标相等.……………………………………………11分
连接PH，则PH∥x轴，PH＝4，
∴∠PHG＝∠GDQ，∠GPH＝∠GQD.
令y＝－x2－x＋4＝0，
∴x＝－4或2，
∴A(－4，0)，C(2，0)，…………………………………12分
∴Q(－1，0)，
∴DQ＝4，
∴DQ＝PH＝4，
∴△PGH≌△QGD(ASA)，
∴PG＝GQ，即点G是PQ的中点，
∴G(，).……………………13分

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