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2024-2025年九年级第二次学业质量测试
数学
注意事项：
1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1．下列四个数中，绝对值最大的是（　　）
A．-2025 B． C． D.0
2.2024年政府工作报告显示：我国文旅市场持续火热，接待旅客突破10亿人次.10亿用科学记数法可表示为（　　）
A. B. C. D.
3．禹州神垕素有“钧都”之称，禹州的钧瓷是我国五大名瓷之一，以其“入窑一色，出窑万彩”的神奇变幻而著称，素有“窑变无双，钧瓷无对”之称．下面是刘志钧的作品《天球瓶》．下列关于它的说法正确的是（　　）
A．主视图和俯视图相同 B．左视图和俯视图相同
C．主视图和左视图相同 D．三种视图均相同
4．如图，．若，则的度数是（　　）
A.70° B.110° C.75° D.105°
5．中考体育测试，小明选择的考试项目是1分钟跳绳，下面记录的是他10次一分钟跳绳成绩：
成绩/次 160 175 179 180
次数 2 4 2 2
则小明这10次一分钟跳绳的平均成绩是（　　）
A.175次 B.176次 C.177次 D.173.8次
6．一次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．根的情况无法确定
7．如图，量角器线和含角的直角三角板的斜边重合，点是量角器外边缘上一点，则图中的度数是（　　）
A.60° B.50° C. D.30°
8．清明节假日，小红和小明准备乘坐高铁去北京旅游，高铁座位安排如下图所示：
这两位同学从这五个座位中各任意选取1个座位，他们选取到相邻座位（C与D之间含过道不相邻）的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．下列四幅图分别表示变量之间的关系，与图象的顺序相对应的情景分别是（　　）
①固定月租手机卡（按通话时间计费），手机话费余额与通话时间的关系；
②甲、乙两地距离一定，汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车行驶的时间与行驶速度之间的关系；
③一名学生推出实心球，实心球的行进高度与水平距离之间的关系；
④一名同学从家去学校途中，发现重要东西忘家里了，就原路匀速返回，取完东西发现快要迟到了，于是加速返回学校．在此过程中离学校的距离与所用时间之间的关系．
A．②③①④ B．①④③② C．②③④① D．②①③④
10．如图，菱形的对角线交于坐标原点，已知点，将菱形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则旋转2025秒时点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．写一个可以与合并的单项式___________．
12．不等式组的解集是___________．
13．如图，等边三角形中，，分别以点，为圆心，为半径作弧和弧，两弧交于点，点，，在同一条直线上，则阴影部分的面积是___________．
14．如图，在平行四边形中，分别为的中点，连接并延长至．满足，连接．点是的中点，连接交于点．若，则的长为___________．
15．如图，点，，为平面内一点，满足，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到，连接，线段的最小值为___________，此时点的坐标为___________．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（1）计算：；
（2）化简：．
17．某校开学初组织学生开展“安全第一课”活动，活动分“宜讲宣传一知识学习一知识竞赛一实践防护”等阶段，全校学生全员参加安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析．
【收集整理】
成绩得分用表示，其中，其中90分以上（不含90分）为优秀．
七年级20名学生在B组的分数为91，92，93，94，92，93．
八年级20名学生在B组的分数是93，93，92，93，93，93，93，93，
【数据分析】
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七年级 92 95
八年级 92 93 70%
（1）填空：___________，___________，___________，并把条形统计图补充完整；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“安全第一课”的知识竞赛中，哪个年级的学生成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）若该校七年级有学生720人，八年级有学生640人，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有多少人？
18．如图，为角内部一条线段．
（1）如图2，小鑫同学已过点作．
小鑫的作法利用尺规作图完成，请你根据题意提供的两种作法，并补充完整理论依据．作法一：利用尺规作图，作，理论依据：___________；
作法二：利用尺规作图，过点作___________，理论依据：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
（2）在小鑫的作法基础上，利用尺规作图，在上找一点，使得四边形为矩形，（保留作图痕迹，不写做法）提供两种作法．
19．如图，直线过原点，交双曲线于，两点，轴，垂足为点，且的面积为4．
（1）求的值；
（2）若，将直线向上平移2个单位长度得到直线．
①求的值，并直接写出当时，对应的自变量的取值范围；②若点，过作轴的平行线交直线于点，交双曲线于点，当三点中，其中一点是以另外两点为端点的线段的中点时，请直接写出的值．
20．如图，经了解，某岛屿附近存在一个浅滩（弧内部，圆心为，其中为岛屿上两个警示灯塔，其中为警示角，为了保证深水船不进入浅滩，测量的大小，与警示角比较．某一时刻，深水船行驶到某一位置，此时直线和直线恰好与弧相切．
（1）判断和的大小关系，并说明理由；
（2）若，测得海里，则深水船沿方向行驶，保证不搁浅的情况下，最多能行驶多少海里？（参考数据：）
21．体育已经作为中考重点考查项目，分过程性评价和终结性评价，其中足球、篮球也是主要考查对象．为了增强学生体育素养，某校准备花费15000元购买这两种球，第一种方案恰好可以购买篮球100个，足球100个；第二种方案恰好可以购买篮球120个，足球60个．
（1）求足球、篮球的单价；
（2）因学生参与积极性高，参加人数多，现决定再以同样的单价购买足球和篮球共100个，其中足球数量不超过篮球数量的，如何设计购买方案，才能使花费最少？
22．小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面后到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2所示，分别建立平面直角坐标系．小明通过测量得到球距离台面的高度与球距离发球器出口的水平距离（单位：）的相关数据，发现在“直发式”模式下球的运动轨迹的函数表达式为；在“间发式”模式下，球第一次接触台面的运动轨迹的函数表达式为，第一次接触台面后到第二次接触台面的运动轨迹的函数表达式为．
（1）求“间发式”模式下，发球器出口距离台面的高度．
（2）设“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，要使，则“直发式”模式下，发球器出口的高度应上下调整多少？
23．【问题提出】在中，，点是直线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若为的中点，作射线交于点，判断与的位置关系与数量关系．
【问题探究】
（1）先将问题特殊化，当点与点重合时，直接写出和的关系___________，___________；（2）再探究一般情况，如图所示，判断与的关系，并说明理由；
【问题应用】
（3）当，且时，请直接写出的长．
参考答案
2024-2025年九年级第二次学业质量测试
数学
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．A2．B3．C4．B5．D6．C7．D8．D9．A10．C
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（答案不唯一）
12.
13.
14.
15.6 （第1空2分，两空都对得3分）
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．解：（1）原式
.
（2）原式
.
17．（1）93 93 70
补全条形统计图如图所示：
（2）我认为七年级学生成绩较好，因为七、八年级学生成绩的平均数、中位数及优秀率均一样，但七年级学生成绩的众数是95，高于八年级学生成绩的众数，所以我认为七年级学生成绩较好．（合理即可）（3）（人）．
所以估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有952人.
18．（1）内错角相等，两直线平行，垂足为点
（2）
19．解：（1）由题意知，直线通过原点，又双曲线关于原点对称，
为的中点，
的面积是面积的一半．
，
.
（2）①，且，
，即点，
.
当时，对应的自变量的取值范围是或.
②或-2或4.
20．解：（1），理由如下：
设交弧于点，连接．
可得.
在中，，
，
同理可证，
，
即．
又，
.
（2）由题意可知，和为的切线，
．
又，
，
．
又，
.
在Rt中，海里，
，
.
（海里）．
深水船沿方向行驶，保证不搁浅的情况下，最多能行驶11.25海里.
21．解：（1）设篮球的单价为元，足球的单价为元，
由题意可得
解得
足球的单价均为50元，篮球的单价为100元.
（2）设购买足球的数量为个，则购买篮球（100-x）个，花费为元．
则有，
.
随的增大而减小．
又，
当时，有最小值，最小值为9000，
当购买足球20个，篮球80个时花费最少.
22．解：（1）令，
解得．
把（8，0）代入，
得，
解得．
，
令，得．
"间发式"模式下，发球器出口距离台面的高度为.
（2）由（1）可知，“间发式”模式下球第二次接触台面时距出球点的水平距离为．
设调整后“直发式”下球第一次接触台面后到第二次按触台面的运动轨迹的函数表达式为．
把（24，0）代入，
得，
解得．
要使，“直发式”发球器出口高度应向上调整.
23．（1）
（2），
理由如下：
如图，延长至，使，连接和分别交于点．
为的中点，
，
，且.
由题意可知，．
又，
又，
即．
，
．
又，
，
．
又，
.
又，
.
（3）或.

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