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南江中学2024-2025学年高一下学期半期考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.的值是( )
A. 0 D. 1
2. 复数z=3-6i(i为虚数单位) 的虚部为 ( )
A. - 6 B. 6i C. 3 D. - 6i
3.若向量 与 垂直，则x的值为 ( )
A. - 4 B. 4 C. - 9 D. 9
4. 已知 则 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.如图，矩形 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中则原图形OABC的面积为 ( )
6.一个正方体的顶点都在同一个球的球面上，该正方体的棱长为a，则球的表面积是 ( )
7. 在 中, 内角A, B, C的对边分别为a, b, c.若 则b等于( )
8.用一根长为36cm的铁丝围成正三角形框架，其顶点为A，B，C，将半径为4cm的球放置在这个框架上(如图).若M是球上任意一点，则四面体MABC体积的最大值为 ( )
二、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分
9.下列向量中与 共线的是( )
10.下列说法中正确的是( )
A. 若 则
B. 若 则存在唯一实数λ使得
C.两个非零向量 若 则 与 共线且反向
是 是锐角的必要不充分条件
11.“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.一个长方体沿对角面斜解 (图1)，得到一模一样的两个堑堵 (图2)，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解 (图2)，得一个四棱锥称为阳马 (图3)，一个三棱锥称为 鳖臑(图4).若长方体的体积为V， 由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为 则下列选项正确的是( )
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 已知 则 的值为 .
13.已知底面半径为r，高为4r的圆柱的侧面积等于半径为R的球的表面积，则
14. 在 中, 角A、B,C所对的边分别为a、b、c、若 且 的外接圆的半径为 则 面积的最大值为 .
四．解答题
15. (13分）设，，.
(1)若，求.
(2)若与共线，求m的值
16. （15分）设，，.求：
(1)求的最小正周期和单调递减区间；
(2)求在区间上最小值，并求出此时对应的的值.
17.（15分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2b sin A＝0且a＝5，c＝4.
(1)求角B及边b的大小；
(2)求sin (2C＋B)的值．
18. （17分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
19.（17分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
数学半期试题参考答案
一：单选题
BABDADCA
二：多选题
9：CD 10:CD 11:ACD
三：填空题
12：
13：
14：
四：解答题
15【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
当时，，...........3分
.........................6分.
【小问2详解】
...............8分
又与共线，
....................11分
解得：................................13分
16【答案】（1）的最小正周期为，单调递减区间为;
（2），
【小问1详解】
....3分
由，则的周期为............................4分
令，解得...........6分
解得的单调减区间为，...........7分
【小问2详解】
由（1）可知，当时，的单调减区间为...............9分
则上，在上单调递减，在上单调递增....11分
所以.....................13分
即在处取得最小值.................15分
17解：(1)依题意，a－2b sin A＝0，
由正弦定理得sin A－2sin B sin A＝0.............2分
由于锐角三角形中00，所以－2sin B＝0，sin B＝，而B是锐角
所以B＝................4分
由余弦定理得b＝＝........7分
(2)由余弦定理得cos C＝.............9分
而C是锐角，所以sin C＝...............11分
所以sin(2C＋B)＝sin ＝(sin 2C＋cos 2C)
＝(2sin C cos C＋2－1)
＝sinC cos C＋－...................13分
......................15分
18.【详解】（1）由于， ，则..................................3分
因为，
由正弦定理知........................................6分
则.................................................8分
（2）因为，由余弦定理，得..............................12分
即，解得..........................................14分
而，，
所以的面积.......................................17分
19．(1)；
(2)．
【详解】（1）因为...............................4分
即..........................6分
而，所以..............................7分
（2）由（1）知，，所以，
而............................9分
所以，即有................................11分
所以
所以........................................13分
．........................16分
当且仅当时取等号，所以的最小值为...........................17分

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