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2024－2025学年九年级第三次质量检测试卷
数学
（满分120分，考试时间100分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其 中只有一个是正确的）
1. 的倒数是（ ）
A.－2025 B. C. D.2025
2.据统计，2024年河南全省实现地区生产总值（GDP）超过6.3万亿元．数据“6.3万亿”用科学记数法表示为 （ ）
A.6.3×108 B.0.63×10 C．63×1011 D.6.3×1012
3.线锤在生活中的使用场景非常广泛，主要用于测量和定位，如图是一个线锤，它的主视图为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是（ ）
A.3mn－mm＝2 B.（m＋2n） ＝m ＋2mn＋2n
C.（m－n） ＝m －n D.（－m） m＝－m
5.如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，∠1＝∠2＝40°，则∠3的度数为 （ ）
A.80° B.90° C.100° D.120°
6.如图，已知∠1＝∠2，添加下列各选项中的条件后，不能判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A. ∠B＝∠ADE B． ∠C＝∠E C. D.
7 ．（3分）若关于x的一元二次方程x －2x－c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．－1 B.1 C.－4 D.4
8. 如图，点A，B，C在⊙0上，0A⊥BC，若∠ABC＝35°， 则∠BCO的度数为（ ）
A.10° B.15° C.20° D.25°
9. 关于二次函数y＝x ＋x＋3， 下列结论中正确的是（ ）
A. 其图象的对称轴是直线
B.当x＞2 时，y随x的增大而减小
C. 若点A（m，n）是抛物线上的点，则点B（－m－1，n）也是抛物 线上的点
D.把该函数的图象先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，图象经过点（1，24）
10．如图（1），在△ABC中，点D是AB边上一点，点P从点A出 发，沿A—C—D—B运动到点B， 设点P运动的路程为x，点P到点B的距离为y，在点P运动过程中，y随x变化的关系图象如图（2）所示，其中点E为第一段函数图象的最低点，则△ABC的周长为（ ）
图（1） 图（2）
A.12 B.18 C.3＋12 D.12
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12.不等式组的整数解之和是 ．
13. 如图是两张背面完全相同的卡片．小明把这2张卡片从中间剪开，再把得到的4张形状、大小完全相同的小卡片洗匀后背面朝上放在桌面上，从中随机抽取2张，则他抽取的2张小卡片可拼成原卡片的概率是 ．
14.如图是某高速公路在转向处设计的一段圆曲线（即圆弧），机动车转弯时从曲线起点A行驶至终点B， 过点A，B的两条切线相交于点C，机动车在从点A 到点B行驶过程中转角为．若这段圆弧的半径OA＝2m，＝60°，则图中危险区（阴影部分）的面积为 ．
15.如图，AB＝，点C是平面内一动点，且BC＝2，连接AC．将AC绕点A逆时针旋转90°，得到 AD，连接 BD，则BD的最小值为 ，最大值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （10分）（1）计算：＋（－5）°
（2） 化简：
17. （9分）为提高学生综合与实践能力，某校与周边农场合作，组 织七年级学生分组种植花卉（每组播种数量相同），体验从播种 到收获的完整过程．在种植过程中，张老师将每组的种子发芽数量x（单位：株）分成4个等级（A级，10＜x≤15；B级，15＜x≤20；C级，20＜x≤25；D级，25＜x≤30），并随机抽取150个小组的种子发芽数量进行统计，绘制了如下频数分布表．
等级 种子发芽数量x/株 小组个数
A级 10＜x≤15 18
B级 15＜x≤20 a
C级 20＜x≤25 57
D级 25＜x≤30 27
同时还统计出C级的全部数据，如下表．
种子发芽数量x/株 21 22 23 24 25
小组个数 10 12 b 14 13
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）抽取的这150个小组种子发芽数量的中位数是_ 株；
（3）已知参与本次种植活动的小组共有600个，种子发芽数量 超过24株的小组可以获得“种植小能手”徽章，试估计学 校要为本次活动准备多少个“种植小能手”徽章．
18. （9分）如图，在△ABC中 ，BA＝BC，AD平分∠BAC交 BC于点D
（1）请用无刻度的直尺和圆规作∠ADE， 使得∠ADE＝∠BAD，且射线DE在线段AD左侧，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下判断AE与CD的数量关系，并证明．
19.（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－与反比例 函数的图象交于点A（－2，m），与x轴交于点B．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）在y 轴正半轴上有一动点E（0，n），过点E作平行于x轴的直线，交反比例函数的图象于点C，交直线y＝－于点D．
①当n＝3时，求线段CD的长；
②当点E在点（0，4）下方时，若CD≥0B，结合函数图象，
备用图
20. （9分） 2025年1月，教育部研制印发了《教育部关于加强新时代中小学体育教师队伍建设若干举措的通知》（以下简称《通知》）．某校积极贯彻落实该《通知》，计划更新一批训练设备，为高质量体育教师队伍建设提供良好支持．该校准备在某体育用品店购买一批甲、乙两种体育器材，已知购买1件甲种器材和1件乙种器材共需210元，甲种器材的单价比乙种器材单价的2倍少60元．该店对同时购买这两种器材推出两种优惠方案．
方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折．
方案二：甲、乙两种器材每件均打八折．
（1）求甲、乙两种器材的单价分别是多少元．
（2）经核算，学校准备购买甲、乙两种器材共50件，且甲种器材不超过35件．设按方案一、方案二购买的费用分别为 y1元 、y2元，请通过计算说明选择哪种方案花费较少．
21. （9分）如图（1），塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置．当点B 高于人的水平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角 最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE相切时（如图（2）），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最大视角．
（1）请仅就图（2）的情形证明∠APB＞∠ADB
（2）经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A 的仰角∠APE为60°，点P到塑像的水平距离PH 为6m． 求塑像AB的高（结果精确到0.1m． 参考数据：3≈1.73）．
(
E
)
图（1） 图（2）
22.（10分）已知抛物线y＝ax ＋bx＋c的顶点是A（2，－1），且抛物线过点B（0，3）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）将抛物线y＝ax ＋bx＋c向右平移m个单位长度，得到一个新抛物线，使得新抛物线上，当－1＜x＜3时，y随x的增大而减小；当4＜x＜5时 ，y随x的增大而增大．求m的取值范围．
（3）点P是抛物线上任意一点，其横坐标为n， 设抛物线上点P左侧的部分为图象G（含点P）．若图象G的最低点的纵坐标为3－n，直接写出n的值．
23. （10分）综合与实践
三角板是初中数学学习中非常重要的工具之一，我们也常常 利用一副三角板通过不同的摆放方式进行各种数学探究，博学班各个数学兴趣小组在数学实践课上，利用一副三角板（以下三角板ABC和三角板DEF中，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠ABC＝45°，∠DEF＝60°）进行多角度探究操作，部分小组的探究如下．
小组①的探究：如图（1），将三角板 DEF 的直角顶点D置于BC的中点处，使DE经过点A， 再将三角板DEF绕点D逆针旋转（0°＜＜90°），如图（2）所示，其中DF交AC于点G，DE交AB于点H．成员小丽说：“在旋转过程中，四边形AHDG的面积不变． ”
小组②的探究：如图（3），将三角板ABC的斜边放在三角板DEF的直角边DF上 ，BC与DF 恰好完全重合，点P，Q分别是BC，CE上的动点．设AB＝a．
小组③的探究：本小组在小组②探究的基础上，将三角板ABC沿DF所在的直线来回平移，如图（4），取EF的中点M， 连接AM，BM．
根据以上各小组的探究，完成下列问题
（1）小组①的探究中，小丽的说法正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由．
（2）小组②的探究中，当以点A，P，E，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求该平行四边形的面积（用含a 的代数式表示）
（3）小组③的探究中，当△ABM是直角三角形时，直接写出BF的长．（用含a的代数式表示）
图（1） 图（2） 图（3）
图（4） 备用图
2024－2025学年九年级第三次质量检测试卷数学答案
一、选择题
1.倒数的定义是若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．的倒数是 2025，答案选A．
2.1万＝10000＝，1亿＝100000000＝，所以6.3万亿＝，答案选D．
3.主视图是从物体的正面看得到的视图，线锤的主视图是等腰三角形，答案选A．
4.，A选项错误．
，B选项错误．
，C选项错误．
，D选项正确．答案选D．
5.因为两个平面镜平行，所以∠2与∠3的邻补角相等，∠3的邻补角为40°，则∠3＝180°－80°＝100°，答案选C．
6.判定两个三角形相似的方法有：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
选项A，∠B＝∠ADE，∠1＝∠2，则△ABC∽△ADE．
选项B，∠C＝∠E，∠1＝∠2，则△ABC∽△ADE．
选项C，，∠1＝∠2，则△ABC∽△ADE．
选项D，，∠1＝∠2，两边对应成比例，但不是夹角相等，不能判定△ABC∽△ADE．答案选D．
7.对于一元二次方程，判别式△＝，当△＝0时，方程有两个相等的实数根．在方程中，a＝1，b＝ 2，c＝ c，△＝，解得c＝ 1，答案选A．
8.因为OA⊥BC，根据垂径定理可知，所以∠AOB＝2∠ABC＝70°，又因为OB＝OC，所以∠BCO＝∠OBC，在△BOC中，∠BCO＝，答案选C．
9.二次函数，对称轴为，A选项错误．
因为a＝1＞0，对称轴为，所以当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而增大，B选项错误．
点A（m，n）是抛物线上的点，则，对于点B（ m 1，n），把代入得，所以点B（ m 1，n）也是抛物线上的点，C选项正确．
，先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，解析式为，当时，，D选项错误．答案选C．
10.由图象可知，当点P运动到点C时，y有最小值，即BC＝6，当点P运动到点D时，y的值不变，说明CD的长度不变，即CD⊥AB，且AD＝BD，设AD＝BD＝x，在Rt△BCD中，CD＝，在Rt△ACD中，AC＝，所以△ABC的周长为6＋6＋6＝18，答案选B．
二、填空题
11.二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，所以，即．
12.解不等式，得；解不等式，得，，所以不等式组的解集为，整数解为2，3，整数解之和为．
13.设两张卡片分别为、，剪开后得到，，，，从中随机抽取2张的所有可能情况有，，，，，共6种，其中可拼成原卡片的情况有，共2种，所以概率为．
14.连接，，因为，是圆的切线，所以，，，，．
15.以为直角边作等腰直角三角形，连接，可证，则，在中，，根据三角形三边关系，的最小值为，最大值为．
三、解答题
16.（1）．
（2）
17.（1）因为18＋a＋57＋27＝150，所以a＝150－（18＋57＋27）＝48；又因为10＋12＋b＋14＋13＝57，所以b＝57－（10＋12＋14＋13）＝8.
（2）一共150个数据，中位数是第75、76个数据的平均数，前A级和B级的小组个数为18＋48＝66，前A、B、C级的小组个数为18＋48＋57＝123，所以中位数在C级，C级从小到大排列，第75－66＝9个和第10个数据都在22这一组，所以中位数是22株．
（3）C级中超过24株的小组个数为13，D级小组个数为27，所以超过24株的小组所占比例为，参与本次种植活动的小组共有600个，所以估计学校要准备的“种植小能手”徽章个数为600×＝160个．
18.（1）略（根据角平分线的性质和作一个角等于已知角的方法作图）．
（2）AE＝CD．证明：因为BA＝BC，AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C，又因为∠ADE＝∠BAD，所以∠ADE＝∠CAD，所以DE∥AC，所以∠BED＝∠BAC，△BDE∽△BCA，所以，因为BA＝BC，所以BE＝BD，所以AE＝CD．
19.（1）把A（－2，m）代入得，所以A（－2，5），把A（－2，5）代入得k＝－2×5＝－10，所以反比例函数表达式为．
（2）①当n＝3时，把y＝3代入得（舍去），把y＝3代入得，x＝2，所以D（2，3），把y＝3代入得，所以，则．
②在中，令y＝0，则，x＝8，所以B（8，0），OB＝8.联立，，，（x－10）（x＋2）＝0，x＝10或x＝－2（舍去），所以交点坐标为（10，－1）．当CD≥OB＝8时，结合函数图象可得．
20.（1）设乙种器材的单价为元，则甲种器材的单价为元，由题意得，，，则，所以甲种器材的单价为120元，乙种器材的单价为90元．
（2）设购买甲种器材件，则购买乙种器材件，，．．当，即，时，两种方案花费一样；当，即，时，方案一花费少；当，即，时，方案二花费少，又因为，所以当时，方案二花费少；当时，两种方案花费一样；当时，方案一花费少．
21.（1）证明：在上取一点（不与重合），连接，，设圆与相切于点，根据圆周角定理，是弧所对的圆周角，是圆外角，所以，即．
（2）在中，，，，所以，在中，，，所以，则．
22.（1）设抛物线的表达式为，把代入得，，，所以抛物线的表达式为．
（2）抛物线向右平移个单位长度后，解析式为，对称轴为，因为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，所以，解得．
（3）当时，图象的最低点为顶点，纵坐标为，则，（舍去）；当时，把代入得，则，，，解得（舍去）或，所以．
23.（1）小丽的说法正确．证明：连接，因为是等腰直角三角形，是中点，所以，，，，因为，所以，即，所以，所以，所以，在旋转过程中，四边形的面积不变．
（2）因为△ABC是等腰直角三角形，AB＝a，所以BC＝，AC＝a，因为△DEF中，∠DEF＝60°，∠EDF＝90°，BC＝DF＝，所以DE＝．当以点A，P，E，Q为顶点的四边形是平行四边形时，，，，＝，的值需要根据P点位置确定，假设P在BC上，当时，可求出＝．
（3）当△ABM是直角三角形时，分三种情况讨论：
当∠ABM＝90°时，BF＝．
当∠BAM＝90°时，BF＝．
当∠AMB＝90°时，BF＝．

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