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第3讲　力的合成与分解
如图甲所示,两个人分别用力F1、F2提着一桶水,水桶静止;如图乙所示,一个人单独用力F提着同一桶水,水桶静止。 (1)F1和F2的共同作用力与F的作用效果是什么关系 (2)两个力的合力一定比任一分力大吗 (3)水桶的重力与F1、F2两个力的合力是什么关系
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【答案】 共同　合力　分力　等效替代　平行四边形　分力　正交　平行四边形　算术]
(2024·吉林长春模拟)我国古代人民掌握了卓越的航海技术,曾有“郑和七下西洋”的壮举。帆船要逆风行驶时要调整帆面的朝向,使船沿“之”字形航线逆风而行。风吹到帆面,产生的风力垂直于帆面,由于船沿垂直于船身的阻力非常大,风力垂直于船身的分量不会引起船侧向的运动,在风力的作用下,船便会沿平行于船身方向运动。在下列各图中,风向如图所示,船沿虚线的路线逆风而行,则各图中帆面的方位正确的是(　　)
[A]　　　 [B]
[C] [D]
【答案】 B
考点一　共点力的合成
(1)如图甲所示,若两个力F1、F2等大,夹角为θ,试推导合力的大小的表达式。若增大夹角θ,当夹角θ=120°时,合力F的大小和分力大小间有什么关系
提示:以F1、F2为邻边,画出平行四边形,如图所示,由几何关系可知合力的大小F=2F1cos。当夹角θ=120°时,合力与分力等大。
(2)如图乙所示,若两个力F1、F2的夹角为θ,试推导合力的大小及与F1夹角的正切值的表达式。
乙
提示:合力的大小可由余弦定理得到
F=,
tan α=。
1.共点力合成的方法
(1)作图法:从力的作用点起,按同一标度作出两个分力F1和F2的图示,再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形,画出过作用点的对角线,量出对角线的长度,计算出合力的大小,量出对角线与某一力的夹角确定合力的方向(如图所示)。
(2)计算法:根据平行四边形定则作出力的示意图,然后利用勾股定理、三角函数、正弦定理等求出合力。
2.合力范围的确定
(1)两个共点力的合力范围:|F1-F2|≤F≤F1+F2。
①两个分力的大小不变时,其合力随夹角的增大而减小。
②当两个力反向时,合力最小,为|F1-F2|;当两个力同向时,合力最大,为F1+F2。
(2)三个共点力的合力范围。
①最大值:三个力同向时,其合力最大,为Fmax=F1+F2+F3。
②最小值:任取两个力,求出其合力的范围,如果第三个力在这个范围内,则三个力的合力的最小值为零,即Fmin=0;如果第三个力不在这个范围内,则三个力的合力的最小值等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和,即Fmin=F1-(F2+F3)(F1>F2+F3)。
3.几种特殊情况的共点力的合成
类型 作图 合力的计算
两力互 相垂直 F=, tan θ=
两力等大, 夹角为θ F=2F1cos ,F与F1夹角为
两力等大, 夹角为120° F′=F,F′与F夹角为60°
[例1] 【合力大小的范围】 如图为两个大小不变、夹角θ变化的力的合力的大小F与θ角之间的关系图像(0≤θ≤2π),下列说法正确的是(　　)
[A] 合力大小的变化范围是0≤F≤14 N
[B] 合力大小的变化范围是2 N≤F≤10 N
[C] 这两个分力的大小分别为6 N和8 N
[D] 这两个分力的大小分别为2 N和8 N
【答案】 C
【解析】 由题图可知,当两力夹角为π时,两力的合力为2 N,而当两力夹角为时,两力的合力为10 N,则这两个分力的大小分别为6 N和8 N,故C正确,D错误;当两个力方向相同时,合力最大,为14 N,当两个力方向相反时,合力最小,为2 N,由此可见,合力大小的变化范围是2 N≤F≤14 N,故A、B错误。
[例2] 【合力的求解】 如图所示,假设某斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°,每根钢索中的拉力都是3×104 N,那么它们对塔柱形成的合力有多大 方向如何
【答案】 5.2×104 N　方向竖直向下
【解析】 法一　作图法
如图甲所示,自O点引两根有向线段OA和OB,它们跟竖直方向的夹角都为30°,取单位长度为1×104 N,则OA和OB的长度都是3个单位长度,量得对角线OC长度约为5.2个单位长度,所以合力
的大小为F=5.2×1×104 N=5.2×104 N,方向竖直向下。
法二　计算法
如图乙所示,根据这个平行四边形是一个菱形的特点,连接AB,交OC于D,则AB与OC互相垂直平分,即AB垂直于OC,且AD=DB,OD=OC。
对于Rt△AOD,∠AOD=30°,
则有F=2F1cos 30°=2×3×104× N≈5.2×104 N,方向竖直向下。
考点二　力的分解的两种常用方法
(1)如图所示,已知合力F的大小和方向及另一个分力F2的方向,若合力F能够合理分解,试推导F1的最小值应该是多少
提示:合力与分力间的关系满足平行四边形定则,如图所示,根据平行四边形定则,当F1=Fsin θ时,分力F1和分力F2恰好组成平行四边形,故F1的最小值是Fsin θ。
(2)结合(1)中的分析,若合力F能够合理分解,F1应满足什么条件 试画出相应的分解图。
提示:当F11.力的分解的常用方法
项目 正交分解法 效果分解法
分解 方法 将一个力沿着两个互相垂直的方向进行分解 根据一个力产生的实际效果进行分解
实例 分析 x轴方向上的分力Fx=Fcos θ y轴方向上的分力Fy=Fsin θ F1= F2=Gtan θ
2.力的分解方法选取原则
(1)一般来说,当物体受到三个或三个以下的力时,常按实际效果进行分解。若这三个力中,有两个力互相垂直,则优先选用正交分解法。
(2)当物体受到三个以上的力时,常用正交分解法。
3.一个已知力分解时有无解的讨论
(1)已知合力F和两个分力F1、F2的方向,求两个分力的大小,有唯一解。
(2)已知合力F和一个分力(大小、方向)求另一个分力(大小、方向),有唯一解。
(3)已知合力F和两分力F1、F2(F1>F2)的大小,求两分力的方向。
①F>F1+F2,无解。
②F=F1+F2,有唯一解,F1和F2跟F同向。
③F=F1-F2,有唯一解,F1与F同向,F2与F反向。
④F1-F2(4)已知合力F和F1的方向、F2的大小(F1与合力F的夹角为θ),求F1的大小和F2的方向。
①F2②F2=Fsin θ,有唯一解。
③Fsin θ④F2≥F,有唯一解。
[例3] 【力的效果分解法】(2024·辽宁辽阳二模)一凿子两侧面与中心轴线平行,尖端夹角为θ,当凿子竖直向下插入木板中后,用锤子沿中心轴线竖直向下以力F敲打凿子上侧时,凿子仍静止,侧视图如图所示。若敲打凿子时凿子作用于木板1、2面的弹力大小分别记为F1、F2,忽略凿子受到的重力及摩擦力,下列判断正确的是(　　)
[A] F1=Fsin θ [B] F1=Fcos θ
[C] F2=Ftan θ [D] F2=
【答案】 D
【解析】 将力F在木板1、2面分解,如图所示。可得F1=,F2=。故选D。
[例4] 【力的正交分解法】 (2024·重庆九龙坡阶段检测)(1)如图甲所示,在同一平面内的三个共点力F1=10 N、F2=10 N、F3=20 N互成120°角,求它们的合力的大小和方向;
(2)如图乙所示,在同一平面内的四个共点力F1=20 N、F2=30 N、F3=22 N、F4=40 N,方向如图乙所示,求它们的合力大小和方向。(取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,要求写出求解过程,即画图加表达式或写出足够清楚的文字说明)
甲　　　　　　　　乙　　　　
【答案】 (1)10 N　方向沿F3方向　(2)见解析
【解析】 (1)以垂直于F3方向为x轴,沿F3方向为y轴,如图a所示。
a
由于F1、F2沿x轴的分力大小相等,方向相反,则F1、F2和F3的合力大小为
F=F3-F1cos 60°-F2cos 60°
=20 N-10× N-10× N
=10 N,
方向沿F3方向。
(2)建立如图b所示的坐标系。
b
由图b可知,沿x轴方向的合力为
Fx=F4-F2sin 37°=40 N-30×0.6 N=22 N,
沿y轴方向的合力为
Fy=F1+F2cos 37°-F3
=20 N+30×0.8 N-22 N
=22 N,
如图c所示,
c
可知合力大小为F合==22 N,
方向与x轴的夹角满足tan θ==1,
解得θ=45°。
力的正交分解的技巧
(1)力的正交分解是在物体受到三个或三个以上的共点力作用下求合力的一种方法,分解的目的是将矢量运算转化为代数运算。
(2)一般情况下,应用正交分解法建立坐标系时,应尽量使所求量(或未知量)“落”在坐标轴上,这样解方程较简单。
[例5] 【力的分解中的多解问题】 (多选)已知力F,且它的一个分力F1跟F成30°角,大小未知,另一个分力F2的大小为F,方向未知,则F1的大小可能是(　　)
[A] [B] [C] [D] F
【答案】 AC
【解析】 根据题意,作出矢量三角形,如图,通过几何关系得,F1=F或F1=F,故A、C正确,B、D错误。
考点三　“活结”和“死结”与“动杆”和“定杆”的问题
1.“活结”和“死结”模型
类型 “活结”模型 “死结”模型
图例
解读 “活结”把绳子分为两段,且可沿绳移动,“活结”一般由绳跨过光滑滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成,绳子因“活结”而弯曲,但实际为同一根绳。关键语句“光滑挂钩”“光滑滑轮” “死结”把绳子分为两段,且不可沿绳子移动,“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳,关键语句“节点”“系住”
特点 活结两侧绳子上的张力大小处处相等 死结两侧的绳子张力不一定相等
2.“动杆”和“定杆”模型
类型 “动杆”模型 “定杆”模型
图例
解读 轻杆用光滑的转轴或铰链连接,轻杆可围绕转轴或铰链自由转动。关键语句“光滑的转轴”“铰链连接” 轻杆被固定在接触面上,不发生转动,关键语句“固定”“插在墙里”
特点 当杆处于平衡状态时,杆的弹力方向一定沿着杆 杆的弹力方向不一定沿杆,可沿任意方向
[例6] 【“死结”模型】 (2022·辽宁卷,4)如图所示,蜘蛛用蛛丝将其自身悬挂在水管上,并处于静止状态。蛛丝OM、ON与竖直方向夹角分别为α、β(α>β)。用F1、F2分别表示OM、ON的拉力,则(　　)
[A] F1的竖直分力大于F2的竖直分力
[B] F1的竖直分力等于F2的竖直分力
[C] F1的水平分力大于F2的水平分力
[D] F1的水平分力等于F2的水平分力
【答案】 D
【解析】 对结点O受力分析可得,水平方向F1sin α=F2sin β,即F1的水平分力等于F2的水平分力,选项C错误,D正确;对结点O受力分析可得,竖直方向F1cos α+F2cos β=mg,解得F1=,F2=,则F1的竖直分量F1y=,F2的竖直分量F2y=,由sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)>0,可知F2y>F1y,选项A、B错误。
[例7] 【“活结”模型】 在如图所示的甲、乙、丙、丁四幅图中,滑轮光滑且所受的重力忽略不计,滑轮的轴O安装在一根轻木杆P上,一根轻绳ab绕过滑轮,a端固定在墙上,b端下面挂一质量为m的重物。当滑轮和重物都静止不动时,甲、丙、丁图中木杆P与竖直方向的夹角均为θ,图乙中木杆P竖直。假设甲、乙、丙、丁四幅图中滑轮受到木杆P的弹力的大小依次为FA、FB、FC、FD,则下列判断正确的是(　　)
[A] FA=FB=FC=FD
[B] FD>FA=FB>FC
[C] FA=FC=FD>FB
[D] FC>FA=FB>FD
【答案】 B
【解析】 轻绳上的拉力等于重物所受的重力mg,设滑轮两侧轻绳之间的夹角为φ,根据共点力平衡条件知,滑轮受到木杆P的弹力F与滑轮两侧轻绳拉力的合力平衡,即F=2mgcos,由夹角关系可得FD>FA=FB>FC。
[例8] 【“定杆—动杆”模型】(2024·山东济南期末)(多选)图甲中,轻杆AB一端与墙上的光滑的铰链连接,另一端用轻绳系住,绳、杆之间夹角为30°,在B点下方悬挂质量为m的重物。图乙中,轻杆CD一端插入墙内,另一端装有小滑轮,现用轻绳绕过滑轮挂住质量为m的重物,绳、杆之间夹角也为30°。甲、乙中杆都垂直于墙,两图中重物都静止,则下列说法正确的是(　　)
[A] 与轻杆AB连接的铰链受到杆的弹力大小为mg
[B] 轻杆CD上的小滑轮受到杆的弹力大小为mg
[C] 两根杆中弹力方向均沿杆方向
[D] 若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同,则重物加重时,甲中轻绳更容易断裂
【答案】 AD
【解析】 题图甲中B点受力如图a,杆在B点的作用力方向沿杆,由平行四边形定则可知FN1==mg,FT1==2mg,则与轻杆AB连接的铰链受到杆的弹力大小为mg,故A正确;题图乙中D点受力如图b,D点滑轮受到杆的作用力方向不沿杆,绳中两个拉力大小相同,可知小滑轮受到杆的弹力FN2=FT1′=FT2′=mg,故B、C错误;绳子拉力大小关系为FT1>FT1′,则重物加重时,题图甲中轻绳更容易断裂,故D正确。
(满分:60分)
对点1.共点力的合成
1.(4分)(2023·重庆卷,1)矫正牙齿时,可用牵引线对牙施加力的作用。若某颗牙齿受到牵引线的两个作用力大小均为F,夹角为α(如图),则该牙所受两牵引力的合力大小为(　　)
[A] 2Fsin [B] 2Fcos
[C] Fsin α [D] Fcos α
2.(6分)(2024·重庆模拟)(多选)图甲所示是古代某次测量弓力时的情境,图乙为其简化图,弓弦挂在固定点O上,弓下端挂一重物,已知弓弦可看成遵循胡克定律的弹性绳,重物质量增减时弓弦始终处于弹性限度内,不计弓弦的质量和O点处的摩擦,忽略弓身的形变,则(　　)
[A] 若减少重物的质量,OA与OB的夹角不变
[B] 若增加重物的质量,OA与OB的夹角减小
[C] 若减少重物的质量,弓弦的长度变短
[D] 若增加重物的质量,弓弦的长度变短
3.(4分)表演的安全网如图甲所示,网绳的结构为正方形格子,O、a、b、c、d等为网绳的结点,安全网水平张紧后,质量为m的运动员从高处落下,恰好落在O点上。该处下凹至最低点时,网绳dOe、bOg夹角均为120°,如图乙所示,此时O点受到向下的冲击力大小为4F,则这时O点周围每根网绳承受的张力大小为(　　)
[A] F [B] 2F
[C] 4F+mg [D]
4.(4分)(2024·湖南郴州模拟)某同学周末在家大扫除,移动衣橱时,无论怎么推也推不动,于是他组装了一个装置,如图所示,两块相同木板可绕A处的环转动,两木板的另一端点B、C分别用薄木板顶住衣橱和墙角,该同学站在该装置的A处。若调整装置A点距地面的高h=8 cm时,B、C两点的间距L=96 cm,B处衣橱恰好移动。已知该同学的质量为m=50 kg,重力加速度g取9.8 m/s2,忽略A处的摩擦,则此时衣橱受到该装置的水平推力大小为(　　)
[A] 1 680 N [B] 1 470 N
[C] 875 N [D] 840 N
5.(4分)(2024·河北卷,5)如图,弹簧测力计下端挂有一质量为0.20 kg的光滑均匀球体,球体静止于带有固定挡板的斜面上,斜面倾角为30°,挡板与斜面夹角为60°。若弹簧测力计位于竖直方向,读数为1.0 N,g取10 m/s2,挡板对球体支持力的大小为(　　)
[A] N [B] 1.0 N
[C] N [D] 2.0 N
6.(6分)(多选)如图所示,A、B两物体通过两个质量不计的光滑滑轮悬挂起来,处于静止状态。现将绳子一端从P点缓慢移到Q点,系统仍然平衡,下列说法正确的是(　　)
[A] 夹角θ将不变
[B] 夹角θ将变大
[C] 物体B位置将变高
[D] 绳子张力将增大
7.(6分)(多选)图甲中轻杆OA的A端固定在竖直墙壁上,另一端O光滑,一端固定在竖直墙壁B点的细线跨过O端系一质量为m的重物,OB水平;图乙中轻杆O′A′可绕A′点自由转动,另一端O′光滑;一端固定在竖直墙壁B′点的细线跨过O′端系一质量也为m的重物。已知图甲中∠BOA=30°,下列说法正确的是(　　)
[A] 图甲轻杆中弹力大小为 mg
[B] 图乙轻杆中弹力大小为 mg
[C] 图甲中轻杆弹力与细线OB拉力的合力方向一定沿竖直方向
[D] 图乙中细线对轻杆弹力可能不沿杆
8.(6分)(多选)如图所示,在竖直平面内有固定的半径为R的半圆轨道,其两端点M、N连线水平。将一轻质小环A套在轨道上,一细线穿过轻环,一端系在M点,另一端系一质量为m的小球,小球恰好静止在图示位置。不计一切摩擦,重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
[A] 细线对M点的拉力大小为 mg
[B] 轨道对轻环的支持力大小为 mg
[C] 细线对轻环的作用力大小为mg
[D] 图示位置时MA=R
9.(4分)一质量为m的小球通过短轻绳悬挂在光滑铰链上,光滑铰链(不计质量)与轻杆连接,轻杆通过光滑铰链分别与固定点O和O′连接,如图所示。已知两轻杆与水平地面和竖直墙壁的夹角都为30°,重力加速度为g,则下面轻杆和上面轻杆受到铰链的作用力大小分别为(　　)
[A]mg,mg [B] mg,mg
[C] mg,mg [D] mg,mg
10.(4分)(2024·湖北卷,6)如图所示,两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进,两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为f,方向与船的运动方向相反,则每艘拖船发动机提供的动力大小为(　　)
[A] f [B] f
[C] 2f [D] 3f
11.(12分)如图甲所示,一个质量为0.6 kg的小环挂在长为0.8 m的细线中间,细线两端分别固定在水平杆上A、B两点,AB间距为0.4 m,g取10 m/s2。
(1)求小环静止时细线上的拉力大小;
(2)对小环施加水平向左的拉力作用,使小环静止在A点正下方,如图乙所示,求此时细线上的拉力大小和水平拉力大小;
(3)恢复静止状态,现对小环施加一垂直于纸面向外的水平力,使AB与小环组成的平面与竖直方向成30°角静止,求此时细线上的拉力大小。
(答案及解析)
对点1.共点力的合成
1.(4分)(2023·重庆卷,1)矫正牙齿时,可用牵引线对牙施加力的作用。若某颗牙齿受到牵引线的两个作用力大小均为F,夹角为α(如图),则该牙所受两牵引力的合力大小为(　　)
[A] 2Fsin [B] 2Fcos
[C] Fsin α [D] Fcos α
【答案】 B
【解析】 根据平行四边形定则可知,该牙所受两牵引力的合力大小为F合=2Fcos。
故选B。
2.(6分)(2024·重庆模拟)(多选)图甲所示是古代某次测量弓力时的情境,图乙为其简化图,弓弦挂在固定点O上,弓下端挂一重物,已知弓弦可看成遵循胡克定律的弹性绳,重物质量增减时弓弦始终处于弹性限度内,不计弓弦的质量和O点处的摩擦,忽略弓身的形变,则(　　)
[A] 若减少重物的质量,OA与OB的夹角不变
[B] 若增加重物的质量,OA与OB的夹角减小
[C] 若减少重物的质量,弓弦的长度变短
[D] 若增加重物的质量,弓弦的长度变短
【答案】 BC
【解析】 设弓弦的张力为F,两侧弓弦与竖直方向夹角均为θ,根据平衡条件有2Fcos θ=mg,若增加重物质量,θ减小,OA与OB的夹角减小,忽略弓身的形变,则弓弦的长度变长。反之,若减小重物质量,OA与OB的夹角增大,弓弦的长度变短。
对点2.力的分解的两种常用方法
3.(4分)表演的安全网如图甲所示,网绳的结构为正方形格子,O、a、b、c、d等为网绳的结点,安全网水平张紧后,质量为m的运动员从高处落下,恰好落在O点上。该处下凹至最低点时,网绳dOe、bOg夹角均为120°,如图乙所示,此时O点受到向下的冲击力大小为4F,则这时O点周围每根网绳承受的张力大小为(　　)
[A] F [B] 2F
[C] 4F+mg [D]
【答案】 B
【解析】 由题意可知,此时每根网绳与水平方向的夹角为30°,设每根网绳张力为FT,则有4FTsin 30°=4F,这时O点周围每根网绳承受的张力为FT=2F,故B正确,A、C、D错误。
4.(4分)(2024·湖南郴州模拟)某同学周末在家大扫除,移动衣橱时,无论怎么推也推不动,于是他组装了一个装置,如图所示,两块相同木板可绕A处的环转动,两木板的另一端点B、C分别用薄木板顶住衣橱和墙角,该同学站在该装置的A处。若调整装置A点距地面的高h=8 cm时,B、C两点的间距L=96 cm,B处衣橱恰好移动。已知该同学的质量为m=50 kg,重力加速度g取9.8 m/s2,忽略A处的摩擦,则此时衣橱受到该装置的水平推力大小为(　　)
[A] 1 680 N [B] 1 470 N
[C] 875 N [D] 840 N
【答案】 B
【解析】 该同学站在A点时,重力产生两个作用效果,如图甲所示,
甲
设F1、F2与竖直方向夹角为θ,则有F1=F2=,在B点对F1分解,如图乙所示,
乙
则水平推力为F=F1sin θ=mgtan θ,由几何关系得tan θ=,联立并代入数据可得F==
1 470 N。故选B。
5.(4分)(2024·河北卷,5)如图,弹簧测力计下端挂有一质量为0.20 kg的光滑均匀球体,球体静止于带有固定挡板的斜面上,斜面倾角为30°,挡板与斜面夹角为60°。若弹簧测力计位于竖直方向,读数为1.0 N,g取10 m/s2,挡板对球体支持力的大小为(　　)
[A] N [B] 1.0 N
[C] N [D] 2.0 N
【答案】 A
【解析】 对小球受力分析如图所示,
由几何关系可得力F与力FN与竖直方向的夹角均为30°,因此由正交分解可得FNsin 30°=Fsin 30°,FNcos 30°+Fcos 30°+FT=mg,联立得F=FN= N,故A正确。
对点3.“活结”和“死结”与“动杆”和“定杆”的问题
6.(6分)(多选)如图所示,A、B两物体通过两个质量不计的光滑滑轮悬挂起来,处于静止状态。现将绳子一端从P点缓慢移到Q点,系统仍然平衡,下列说法正确的是(　　)
[A] 夹角θ将不变
[B] 夹角θ将变大
[C] 物体B位置将变高
[D] 绳子张力将增大
【答案】 AC
【解析】 因为绳子张力始终与物体B的重力平衡,所以绳子张力不变;因为物体A的重力不变,所以绳子与水平方向的夹角不变;因为绳子一端从P点缓慢移到Q点,所以物体A会下落,则物体B位置会升高。
7.(6分)(多选)图甲中轻杆OA的A端固定在竖直墙壁上,另一端O光滑,一端固定在竖直墙壁B点的细线跨过O端系一质量为m的重物,OB水平;图乙中轻杆O′A′可绕A′点自由转动,另一端O′光滑;一端固定在竖直墙壁B′点的细线跨过O′端系一质量也为m的重物。已知图甲中∠BOA=30°,下列说法正确的是(　　)
[A] 图甲轻杆中弹力大小为 mg
[B] 图乙轻杆中弹力大小为 mg
[C] 图甲中轻杆弹力与细线OB拉力的合力方向一定沿竖直方向
[D] 图乙中细线对轻杆弹力可能不沿杆
【答案】 AC
【解析】 由于题图甲中轻杆OA为“定杆”,其O端光滑,可以视为活结,两侧细线中拉力大小相等,都等于mg,由平衡条件可知,题图甲轻杆中弹力大小为F甲=2mgcos 45°=mg,故A正确;题图乙中轻杆O′A′可绕A′点自由转动,为“动杆”,另一端O′光滑,可以视为活结,O′两侧细线中拉力相等,“动杆”中弹力方向一定沿“动杆”方向,“动杆”O′A′中弹力大小等于O′两侧细线中拉力的合力大小,两细线夹角不确定,则轻杆中弹力大小无法确定,故B、D错误;根据共点力的平衡条件,题图甲中轻杆弹力与细线OB中拉力的合力方向一定与竖直细线的拉力方向相反,即竖直向上,故C正确。
8.(6分)(多选)如图所示,在竖直平面内有固定的半径为R的半圆轨道,其两端点M、N连线水平。将一轻质小环A套在轨道上,一细线穿过轻环,一端系在M点,另一端系一质量为m的小球,小球恰好静止在图示位置。不计一切摩擦,重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
[A] 细线对M点的拉力大小为 mg
[B] 轨道对轻环的支持力大小为 mg
[C] 细线对轻环的作用力大小为mg
[D] 图示位置时MA=R
【答案】 BD
【解析】 轻环两边细线的拉力大小相等,均为FT=mg,则细线对M点的拉力大小为mg,故A错误;如图所示,轻环两侧细线的拉力与轻环对半圆轨道的压力的夹角相等,设为θ,由OA=OM得∠OMA=∠MAO=θ,则3θ=90°,得θ=30°,轻环受力平衡,则轨道对轻环的支持力大小FN=2mgcos θ=mg,故B正确;细线对轻环的作用力是轻环两侧细线拉力的合力,大小为FN′=FN=mg,此时MA=2Rcos θ=R,故C错误,D正确。
9.(4分)一质量为m的小球通过短轻绳悬挂在光滑铰链上,光滑铰链(不计质量)与轻杆连接,轻杆通过光滑铰链分别与固定点O和O′连接,如图所示。已知两轻杆与水平地面和竖直墙壁的夹角都为30°,重力加速度为g,则下面轻杆和上面轻杆受到铰链的作用力大小分别为(　　)
[A]mg,mg [B] mg,mg
[C] mg,mg [D] mg,mg
【答案】 B
【解析】 由题可知,两轻杆为两个“动杆”,而“动杆”上弹力方向沿轻杆。对铰链进行受力分析,铰链所受轻绳拉力大小为mg,方向竖直向下,下面轻杆对铰链的弹力方向沿轻杆斜向下,设为F1,上面轻杆对铰链的弹力方向沿轻杆斜向上,设为F2,如图所示。在力的矢量三角形中,由正弦定理有==,解得F1=mg,F2=mg,选项B正确。
10.(4分)(2024·湖北卷,6)如图所示,两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进,两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为f,方向与船的运动方向相反,则每艘拖船发动机提供的动力大小为(　　)
[A] f [B] f
[C] 2f [D] 3f
【答案】 B
【解析】 根据题意对S在水平面受力分析如图甲所示,
有2FTcos 30°=f,解得FT=f。对P在水平面受力分析如图乙所示,
有(FT′sin 30°)2+(f+FT′cos 30°)2=F2,且FT=FT′,解得F=。故选B。
11.(12分)如图甲所示,一个质量为0.6 kg的小环挂在长为0.8 m的细线中间,细线两端分别固定在水平杆上A、B两点,AB间距为0.4 m,g取10 m/s2。
(1)求小环静止时细线上的拉力大小;
(2)对小环施加水平向左的拉力作用,使小环静止在A点正下方,如图乙所示,求此时细线上的拉力大小和水平拉力大小;
(3)恢复静止状态,现对小环施加一垂直于纸面向外的水平力,使AB与小环组成的平面与竖直方向成30°角静止,求此时细线上的拉力大小。
【答案】 (1)2 N　(2)3.75 N　3 N　(3)4 N
【解析】 (1)细线长为0.8 m,AB间距为0.4 m,则两细线夹角为60°。设细线上的拉力大小为FT1,根据平衡条件有2FT1cos 30°=mg,
解得FT1=2 N。
(2)设细线竖直段长度为x1,另一段长度为x2,则由题意可得x1+x2=0.8 m,
由几何关系可得+(0.4 m)2=,
解得x1=0.3 m,
设另一段细线与水平方向夹角为θ,则tan θ=,θ=37°,
设此时细线上的拉力大小为FT2,水平拉力大小为F,小环竖直方向受力平衡,有
FT2+FT2sin 37°=mg,
水平方向受力平衡,有FT2cos 37°=F,
解得FT2=3.75 N,F=3 N。
(3)设此时细线上的拉力大小为FT3,可得细线上的拉力的合力FT合=2FT3cos 30°,
又FT合cos 30°=mg,
联立解得FT3=4 N。
(
第
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高中总复习·物理
第3讲　
力的合成与分解
情境导思
如图甲所示,两个人分别用力F1、F2提着一桶水,水桶静止;如图乙所示,一个人单独用力F提着同一桶水,水桶静止。
(1)F1和F2的共同作用力与F的作用效果是什么关系
(2)两个力的合力一定比任一分力大吗
(3)水桶的重力与F1、F2两个力的合力是什么关系
知识构建
【答案】 共同　合力　分力　等效替代　平行四边形　分力　正交　平行四边形　算术
小题试做
(2024·吉林长春模拟)我国古代人民掌握了卓越的航海技术,曾有“郑和七下西洋”的壮举。帆船要逆风行驶时要调整帆面的朝向,使船沿“之”字形航线逆风而行。风吹到帆面,产生的风力垂直于帆面,由于船沿垂直于船身的阻力非常大,风力垂直于船身的分量不会引起船侧向的运动,在风力的作用下,船便会沿平行于船身方向运动。在下列各图中,风向如图所示,船沿虚线的路线逆风而行,则各图中帆面的方位正确的是(　　)
B
[A]　　　 [B] [C] [D]
(1)如图甲所示,若两个力F1、F2等大,夹角为θ,试推导合力的大小的表达式。若增大夹角θ,当夹角θ=120°时,合力F的大小和分力大小间有什么关系
(2)如图乙所示,若两个力F1、F2的夹角为θ,试推导合力的大小及与F1夹角的正切值的表达式。
乙
1.共点力合成的方法
(1)作图法:从力的作用点起,按同一标度作出两个分力F1和F2的图示,再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形,画出过作用点的对角线,量出对角线的长度,计算出合力的大小,量出对角线与某一力的夹角确定合力的方向(如图所示)。
(2)计算法:根据平行四边形定则作出力的示意图,然后利用勾股定理、三角函数、正弦定理等求出合力。
2.合力范围的确定
(1)两个共点力的合力范围:|F1-F2|≤F≤F1+F2。
①两个分力的大小不变时,其合力随夹角的增大而减小。
②当两个力反向时,合力最小,为|F1-F2|;当两个力同向时,合力最大,为F1+F2。
(2)三个共点力的合力范围。
①最大值:三个力同向时,其合力最大,为Fmax=F1+F2+F3。
②最小值:任取两个力,求出其合力的范围,如果第三个力在这个范围内,则三个力的合力的最小值为零,即Fmin=0;如果第三个力不在这个范围内,则三个力的合力的最小值等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和,即Fmin=F1-(F2+F3)(F1>F2+F3)。
3.几种特殊情况的共点力的合成
[例1] 【合力大小的范围】 如图为两个大小不变、夹角θ变化的力的合力的大小F与θ角之间的关系图像(0≤θ≤2π),下列说法正确的是(　　)
[A] 合力大小的变化范围是0≤F≤14 N
[B] 合力大小的变化范围是2 N≤F≤10 N
[C] 这两个分力的大小分别为6 N和8 N
[D] 这两个分力的大小分别为2 N和8 N
C
【解析】 由题图可知,当两力夹角为π时,两力的合力为2 N,而当两力夹角为时,两力的合力为10 N,则这两个分力的大小分别为6 N和8 N,故C正确,D错误;当两个力方向相同时,合力最大,为14 N,当两个力方向相反时,合力最小,为2 N,由此可见,合力大小的变化范围是2 N≤F≤14 N,故A、B错误。
[例2] 【合力的求解】 如图所示,假设某斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°,每根钢索中的拉力都是3×104 N,那么它们对塔柱形成的合力有多大 方向如何
【答案】 5.2×104 N　方向竖直向下
【解析】 法一　作图法
如图甲所示,自O点引两根有向线段OA和OB,它们跟竖直方向的夹角都为30°,取单位长度为1×104 N,则OA和OB的长度都是3个单位长度,量得对角线OC长度约为5.2个单位长度,所以合力的大小为F=5.2×1×104 N=5.2×104 N,方向竖直向下。
(1)如图所示,已知合力F的大小和方向及另一个分力F2的方向,若合力F能够合理分解,试推导F1的最小值应该是多少
提示:合力与分力间的关系满足平行四边形定则,如图所示,根据平行四边形定则,当F1=Fsin θ时,分力F1和分力F2恰好组成平行四边形,故F1的最小值是Fsin θ。
(2)结合(1)中的分析,若合力F能够合理分解,F1应满足什么条件 试画出相应的分解图。
提示:当F1Fsin θ1.力的分解的常用方法
2.力的分解方法选取原则
(1)一般来说,当物体受到三个或三个以下的力时,常按实际效果进行分解。若这三个力中,有两个力互相垂直,则优先选用正交分解法。
(2)当物体受到三个以上的力时,常用正交分解法。
3.一个已知力分解时有无解的讨论
(1)已知合力F和两个分力F1、F2的方向,求两个分力的大小,有唯一解。
(2)已知合力F和一个分力(大小、方向)求另一个分力(大小、方向),有唯一解。
(3)已知合力F和两分力F1、F2(F1>F2)的大小,求两分力的方向。
①F>F1+F2,无解。
②F=F1+F2,有唯一解,F1和F2跟F同向。
③F=F1-F2,有唯一解,F1与F同向,F2与F反向。
④F1-F2(4)已知合力F和F1的方向、F2的大小(F1与合力F的夹角为θ),求F1的大小和F2的方向。
①F2②F2=Fsin θ,有唯一解。
③Fsin θ④F2≥F,有唯一解。
[例3] 【力的效果分解法】(2024·辽宁辽阳二模)一凿子两侧面与中心轴线平行,尖端夹角为θ,当凿子竖直向下插入木板中后,用锤子沿中心轴线竖直向下以力F敲打凿子上侧时,凿子仍静止,侧视图如图所示。若敲打凿子时凿子作用于木板1、2面的弹力大小分别记为F1、F2,忽略凿子受到的重力及摩擦力,下列判断正确的是(　 　)
D
[例4] 【力的正交分解法】 (2024·重庆九龙坡阶段检测)(1)如图甲所示,在同一平面内的三个共点力F1=10 N、F2=10 N、F3=20 N互成120°角,求它们的合力的大小和方向;
甲　
【解析】 (1)以垂直于F3方向为x轴,沿F3方向为y轴,如图a所示。
a
(2)如图乙所示,在同一平面内的四个共点力F1=20 N、F2=30 N、F3=22 N、F4=40 N,方向如图乙所示,求它们的合力大小和方向。(取sin 37°=0.6,cos 37°=
0.8,要求写出求解过程,即画图加表达式或写出足够清楚的文字说明)
乙
【答案及解析】 (2)建立如图b所示的坐标系。
由图b可知,沿x轴方向的合力为
Fx=F4-F2sin 37°=40 N-30×0.6 N=22 N,
沿y轴方向的合力为
Fy=F1+F2cos 37°-F3
=20 N+30×0.8 N-22 N
=22 N,
b
c
力的正交分解的技巧
(1)力的正交分解是在物体受到三个或三个以上的共点力作用下求合力的一种方法,分解的目的是将矢量运算转化为代数运算。
(2)一般情况下,应用正交分解法建立坐标系时,应尽量使所求量(或未知量)“落”在坐标轴上,这样解方程较简单。
规律总结
AC
1.“活结”和“死结”模型
类型 “活结”模型 “死结”模型
图例
解读 “活结”把绳子分为两段,且可沿绳移动,“活结”一般由绳跨过光滑滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成,绳子因“活结”而弯曲,但实际为同一根绳。关键语句“光滑挂钩”“光滑滑轮” “死结”把绳子分为两段,且不可沿绳子移动,“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳,关键语句“节点”“系住”
特点 活结两侧绳子上的张力大小处处相等 死结两侧的绳子张力不一定相等
2.“动杆”和“定杆”模型
类型 “动杆”模型 “定杆”模型
图例
解读 轻杆用光滑的转轴或铰链连接,轻杆可围绕转轴或铰链自由转动。关键语句“光滑的转轴”“铰链连接” 轻杆被固定在接触面上,不发生转动,关键语句“固定”“插在墙里”
特点 当杆处于平衡状态时,杆的弹力方向一定沿着杆 杆的弹力方向不一定沿杆,可沿任意方向
[例6] 【“死结”模型】 (2022·辽宁卷,4)如图所示,蜘蛛用蛛丝将其自身悬挂在水管上,并处于静止状态。蛛丝OM、ON与竖直方向夹角分别为α、β(α>β)。用F1、F2分别表示OM、ON的拉力,则(　　)
[A] F1的竖直分力大于F2的竖直分力
[B] F1的竖直分力等于F2的竖直分力
[C] F1的水平分力大于F2的水平分力
[D] F1的水平分力等于F2的水平分力
D
[例7] 【“活结”模型】 在如图所示的甲、乙、丙、丁四幅图中,滑轮光滑且所受的重力忽略不计,滑轮的轴O安装在一根轻木杆P上,一根轻绳ab绕过滑轮,a端固定在墙上,b端下面挂一质量为m的重物。当滑轮和重物都静止不动时,甲、丙、丁图中木杆P与竖直方向的夹角均为θ,图乙中木杆P竖直。假设甲、乙、丙、丁四幅图中滑轮受到木杆P的弹力的大小依次为FA、FB、FC、FD,则下列判断正确的是(　　)
[A] FA=FB=FC=FD
[B] FD>FA=FB>FC
[C] FA=FC=FD>FB
[D] FC>FA=FB>FD
B
[例8] 【“定杆—动杆”模型】(2024·山东济南期末)(多选)图甲中,轻杆AB一端与墙上的光滑的铰链连接,另一端用轻绳系住,绳、杆之间夹角为30°,在B点下方悬挂质量为m的重物。图乙中,轻杆CD一端插入墙内,另一端装有小滑轮,现用轻绳绕过滑轮挂住质量为m的重物,绳、杆之间夹角也为30°。甲、乙中杆都垂直于墙,两图中重物都静止,则下列说法正确的是(　 　 )
[C] 两根杆中弹力方向均沿杆方向
[D] 若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同,则重物加重时,甲中轻绳更容易断裂
AD
基础对点练
对点1.共点力的合成
1.(4分)(2023·重庆卷,1)矫正牙齿时,可用牵引线对牙施加力的作用。若某颗牙齿受到牵引线的两个作用力大小均为F,夹角为α(如图),则该牙所受两牵引力的合力大小为(　　)
B
2.(6分)(2024·重庆模拟)(多选)图甲所示是古代某次测量弓力时的情境,图乙为其简化图,弓弦挂在固定点O上,弓下端挂一重物,已知弓弦可看成遵循胡克定律的弹性绳,重物质量增减时弓弦始终处于弹性限度内,不计弓弦的质量和O点处的摩擦,忽略弓身的形变,则(　　 )
[A] 若减少重物的质量,OA与OB的夹角不变
[B] 若增加重物的质量,OA与OB的夹角减小
[C] 若减少重物的质量,弓弦的长度变短
[D] 若增加重物的质量,弓弦的长度变短
BC
【解析】 设弓弦的张力为F,两侧弓弦与竖直方向夹角均为θ,根据平衡条件有2Fcos θ=mg,若增加重物质量,θ减小,OA与OB的夹角减小,忽略弓身的形变,则弓弦的长度变长。反之,若减小重物质量,OA与OB的夹角增大,弓弦的长度变短。
对点2.力的分解的两种常用方法
3.(4分)表演的安全网如图甲所示,网绳的结构为正方形格子,O、a、b、c、d等为网绳的结点,安全网水平张紧后,质量为m的运动员从高处落下,恰好落在O点上。该处下凹至最低点时,网绳dOe、bOg夹角均为120°,如图乙所示,此时O点受到向下的冲击力大小为4F,则这时O点周围每根网绳承受的张力大小为(　　)
B
【解析】 由题意可知,此时每根网绳与水平方向的夹角为30°,设每根网绳张力为FT,则有4FTsin 30°=4F,这时O点周围每根网绳承受的张力为FT=2F,故B正确,A、C、D错误。
4.(4分)(2024·湖南郴州模拟)某同学周末在家大扫除,移动衣橱时,无论怎么推也推不动,于是他组装了一个装置,如图所示,两块相同木板可绕A处的环转动,两木板的另一端点B、C分别用薄木板顶住衣橱和墙角,该同学站在该装置的A处。若调整装置A点距地面的高h=8 cm时,B、C两点的间距L=96 cm,B处衣橱恰好移动。已知该同学的质量为m=50 kg,重力加速度g取9.8 m/s2,忽略A处的摩擦,则此时衣橱受到该装置的水平推力大小为(　 　)
[A] 1 680 N [B] 1 470 N
[C] 875 N [D] 840 N
B
【解析】 该同学站在A点时,重力产生两个作用效果,如图甲所示,
甲
乙
5.(4分)(2024·河北卷,5)如图,弹簧测力计下端挂有一质量为0.20 kg的光滑均匀球体,球体静止于带有固定挡板的斜面上,斜面倾角为30°,挡板与斜面夹角为60°。若弹簧测力计位于竖直方向,读数为1.0 N,g取10 m/s2,挡板对球体支持力的大小为(　　)
A
【解析】 对小球受力分析如图所示,
对点3.“活结”和“死结”与“动杆”和“定杆”的问题
6.(6分)(多选)如图所示,A、B两物体通过两个质量不计的光滑滑轮悬挂起来,处于静止状态。现将绳子一端从P点缓慢移到Q点,系统仍然平衡,下列说法正确的是(　 　)
[A] 夹角θ将不变
[B] 夹角θ将变大
[C] 物体B位置将变高
[D] 绳子张力将增大
AC
【解析】 因为绳子张力始终与物体B的重力平衡,所以绳子张力不变;因为物体A的重力不变,所以绳子与水平方向的夹角不变;因为绳子一端从P点缓慢移到Q点,所以物体A会下落,则物体B位置会升高。
7.(6分)(多选)图甲中轻杆OA的A端固定在竖直墙壁上,另一端O光滑,一端固定在竖直墙壁B点的细线跨过O端系一质量为m的重物,OB水平;图乙中轻杆O′A′可绕A′点自由转动,另一端O′光滑;一端固定在竖直墙壁B′点的细线跨过O′端系一质量也为m的重物。已知图甲中∠BOA=30°,下列说法正确的是(　　 )
AC
8.(6分)(多选)如图所示,在竖直平面内有固定的半径为R的半圆轨道,其两端点M、N连线水平。将一轻质小环A套在轨道上,一细线穿过轻环,一端系在M点,另一端系一质量为m的小球,小球恰好静止在图示位置。不计一切摩擦,重力加速度为g,下列说法正确的是(　 　)
综合提升练
BD
9.(4分)一质量为m的小球通过短轻绳悬挂在光滑铰链上,光滑铰链(不计质量)与轻杆连接,轻杆通过光滑铰链分别与固定点O和O′连接,如图所示。已知两轻杆与水平地面和竖直墙壁的夹角都为30°,重力加速度为g,则下面轻杆和上面轻杆受到铰链的作用力大小分别为(　　 )
B
10.(4分)(2024·湖北卷,6)如图所示,两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进,两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为f,方向与船的运动方向相反,则每艘拖船发动机提供的动力大小为(　　)
B
【解析】 根据题意对S在水平面受力分析如图甲所示,
11.(12分)如图甲所示,一个质量为0.6 kg的小环挂在长为0.8 m的细线中间,细线两端分别固定在水平杆上A、B两点,AB间距为0.4 m,g取10 m/s2。
(1)求小环静止时细线上的拉力大小;
(2)对小环施加水平向左的拉力作用,使小环静止在A点正下方,如图乙所示,求此时细线上的拉力大小和水平拉力大小;
【答案】　(2)3.75 N　3 N
(3)恢复静止状态,现对小环施加一垂直于纸面向外的水平力,使AB与小环组成的平面与竖直方向成30°角静止,求此时细线上的拉力大小。
【答案】 (3)4 N
【解析】 (3)设此时细线上的拉力大小为FT3,可得细线上的拉力的合力FT合=2FT3cos 30°,
又FT合cos 30°=mg,
联立解得FT3=4 N。

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