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第5讲　小专题:动态平衡和临界极值问题
考点一　物体的动态平衡
(1)如图所示,轻绳两端分别系在两根竖直固定的杆上,绳长L和d不变,用光滑挂钩在轻绳上挂一物体,稳定时如图所示,试推导图中θ1、θ2、θ3的大小关系。
提示:如题图所示,“活结”两端绳子上的拉力FT相等,因结点所受水平分力相等,即
FTsin θ1=FTsin θ2,故θ1=θ2=θ3。
(2)若两杆间距离d不变,上下移动轻绳在杆上的位置,θ是否变化
提示:根据几何关系可知sin θ==,若两杆间距离d不变,则上下移动轻绳在杆上的位置,θ不变。
(3)若两杆距离d逐渐减小,则θ如何变化 试推导轻绳上的拉力FT的表达式,并判断FT的大小如何变化
提示:若两杆距离d减小,由sin θ=可知,θ减小,在竖直方向上,有2FTcos θ=mg,FT=也减小。
1.动态平衡
“动态平衡”是指物体所受的力一部分是变力,是动态力,力的大小或方向发生变化,但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态,所以叫动态平衡。在问题的描述中常用“缓慢”等语言叙述。
2.做题流程
受力分析画不同状态下的受力平衡图构造矢量三角形
[例1] 【三角形相似法的应用】(多选)如图所示,一斜面固定在水平面上,一半球形滑块固定在斜面上,球心O的正上方有一定滑轮A(视为质点),细线的一端与一质量分布均匀的光滑圆球B连接,另一端绕过滑轮A在水平向右的拉力F作用下使圆球B保持静止。改变拉力F的大小,使圆球B从两球心等高的位置缓慢移动到圆球B的球心正好在O点的正上方(不考虑该位置的情况)。圆球B不会与定滑轮A接触,则下列说法正确的是(　　)
[A] 拉力F一直减小
[B] 拉力F先增大后减小
[C] 半球形滑块对圆球B的支持力先增大后减小
[D] 半球形滑块对圆球B的支持力大小保持不变
【答案】 AD
【解析】 对圆球B进行受力分析并合成三角形如图所示,根据几何关系可知图中力构成的矢量三角形与阴影部分的三角形相似,则==,移动过程中,高度h和两球的球心距离r不变,所以半球形滑块对圆球B的支持力大小保持不变,绳子长度l变短,则拉力F减小,故B、C错误,A、D正确。
[例2] 【图解法的应用】 如图所示,小球用细绳系住,绳的另一端固定于O点。现用水平力F缓慢推动斜面体,小球在斜面上无摩擦地滑动,细绳始终处于伸直状态,当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平,此过程中斜面对小球的支持力FN以及细绳对小球的拉力FT的变化情况是(　　)
[A] FN保持不变,FT不断增大
[B] FN不断增大,FT不断减小
[C] FN保持不变,FT先增大后减小
[D] FN不断增大,FT先减小后增大
【答案】 D
【解析】 用水平力F缓慢推动斜面体时,小球处于动态平衡状态。小球受到大小和方向均不变的重力、方向不变的支持力、方向和大小均变化的细绳的拉力,三个力构成封闭的矢量三角形,如图所示。当细绳与斜面平行时,细绳拉力FT2与支持力方向垂直,细绳拉力最小。当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平,细绳拉力为FT4,所以FT先减小后增大,而此过程中斜面对小球的支持力FN一直增大,选项D正确。
[变式] 【解析法的应用】 在[例2]中,从几何关系的角度推导斜面对小球的支持力FN以及绳对小球的拉力FT的表达式,并结合表达式分析FN、FT的变化特点。
【答案】 见解析
【解析】 对小球进行受力分析,如图所示,小球受到重力mg、支持力FN、拉力FT的作用。设细绳与水平方向的夹角为β,斜面的倾角为α,由平衡条件得FNcos α+FTsin β=mg,FNsin α-FTcos β=0,联立解得FT=,FN=。用水平力F缓慢推动斜面体,β一直减小直至接近0,由题图可知,起始时刻β>α,当β=α时,cos (β-α)=1,FT最小,随后β继续减小,FT增大,所以FT先减小后增大,β一直减小直至接近0,tan β 不断减小,FN不断增大。
[提升] 【图解法的拓展应用——两力夹角不变、正弦定理的应用】 如图,柔软轻绳ON的一端O固定,其中间某点M拴一重物,用手拉住绳的另一端N。初始时,OM竖直且MN被拉直,OM与MN之间的夹角为α(α>)。现将重物向右上方缓慢拉起,并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　)
[A] MN上的张力逐渐减小
[B] MN上的张力先增大后减小
[C] OM上的张力逐渐增大
[D] OM上的张力先增大后减小
【答案】 D
【解析】 法一　矢量三角形
以重物为研究对象分析受力情况,受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1,由题意知,三个力的合力始终为零,矢量三角形如图所示,F1、F2的夹角不变,在F2转至水平的过程中,矢量三角形在同一外接圆上,由图可知,MN上的张力F1逐渐增大,OM上的张力F2先增大后减小,故D正确,A、B、C错误。
法二　正弦定理
把三力F1、F2、G放在一个矢量三角形中,如图所示,
甲　　　　　乙
根据正弦定理有==,由几何关系有∠3+∠α=180°,∠2+∠γ=180°,∠1+∠β=
180°,故有==,在OM由竖直被拉到水平的过程中,α角保持不变,β由钝角减小至90°,γ由锐角增大至钝角,故可判断F1逐渐增大,F2先增大后减小,故D正确。
模型 情境 受力图 方法
一力恒定,另一力方向不变 OA绳方向不变,OB绳缓慢向上转动至竖直位置,结点O的位置不动 图解法:两个力的合力和第三个力等大、反向,即FA逐渐减小,FB先减小后增大
一力恒定,另外两力方向都变,但夹角不变 用手拉住绳的另一端N,将重物向右上方缓慢拉起,并保持夹角α不变,OM由竖直被拉到水平 矢量圆法:画出力的矢量三角形的外接圆,以不变的力为弦,用“同弦所对的圆周角相等”的规律判断移动过程中各力的变化情况,即绳OM的张力先增大后减小,绳MN的张力逐渐增大
一力恒定,另外两力方向都变,夹角也变 细绳绕过半球面正上方的定滑轮,拉小球A沿半球面缓慢上升 相似三角形法:力三角形和几何三角形相似,即==
考点二　平衡中的临界、极值问题
1.临界、极值问题特征
(1)临界问题:当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”,在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。
①由静止到运动,摩擦力达到最大静摩擦力。
②绳子恰好绷紧,拉力F=0。
③刚好离开接触面,支持力FN=0。
(2)极值问题:平衡物体的极值,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值。
2.解决极值和临界问题的三种方法
极限法 正确进行受力分析和变化过程分析,找到平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中寻找,不能在一个状态上研究临界问题,要把某个物理量推向极大或极小
数学 分析法 通过对问题的分析,根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(画出函数图像),用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)
物理 分析法 根据平衡条件,作出力的矢量图,通过对物理过程的分析,利用平行四边形定则进行动态分析,确定最大值和最小值
[例3] 【临界问题】 (2024·湖北宜昌期中)扩张机的原理如图所示,A、B、C处为活动铰链,在A处作用一水平力F,滑块D就能在比F大得多的压力下向上顶起物体,已知滑块D与墙壁接触面间的动摩擦因数为μ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,若要扩张机能够顶起质量为m的物体,并使其上升,必须满足的条件为(　　)
[A] tan α>μ [B] tan α>
[C] F≥mg [D] F≥2mg
【答案】 A
【解析】 将力F分解成沿杆的两个力FAC、FAB,那么FAC=FAB=,杆AB对滑块D的作用力使滑块D与墙壁之间产生一个垂直于墙壁的压力,FN=FABcos α=,同时给滑块D一个沿墙壁向上的力,F顶=FABsin α=tan α,当满足条件F顶≥μFN+mg时,滑块D就能在比F大得多的压力下向上顶起质量为m的物体,由tan α≥μ·+mg,可得tan α≥μ+>μ,F≥。故选A。
[例4] 【极值问题】 如图所示,有一质量为M、倾角θ=30°的斜面体B,质量为m的物体A静止在B上。现用水平力F推物体A,在F由零逐渐增大至 mg,再逐渐减小为零的过程中,A和B始终保持静止。对此过程,下列说法正确的是(　　)
[A] 地面对B的支持力大于(M+m)g
[B] A对B的压力的最小值为mg,最大值为mg
[C] A所受摩擦力的最小值为0,最大值为
[D] A所受摩擦力的最小值为mg,最大值为mg
【答案】 B
【解析】 因为A、B始终保持静止,对A、B整体受力分析可知,地面对B的支持力一直等于(M+m)g,A错误;当F=0时,A对B的压力最小,为mgcos 30°=mg,当F=mg时,A对B的压力最大,为mgcos 30°+Fsin 30°=mg,B正确;当Fcos 30°=mgsin 30°,即F=mg时,A所受摩擦力为0,当Fmg 时,A所受摩擦力沿斜面向下,
Ff′=Fcos 30°-mgsin 30°,当F=mg时,A所受摩擦力沿斜面向下最大,大小为mg,综上可知,A所受摩擦力的最小值为0,最大值为mg,C、D错误。
[提升] 【辅助角公式解决极值问题】 (多选)如图为工人在推动一台质量为30 kg的割草机,割草机割完草后,工人用最小的拉力拉它,使之在水平面上做匀速直线运动,已知这个最小拉力为180 N,g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,则(　　)
[A] 割草机与地面间的动摩擦因数μ=0.5
[B] 割草机与地面间的动摩擦因数μ=0.75
[C] 最小拉力与水平方向夹角α=37°
[D] 最小拉力与水平方向夹角α=53°
【答案】 BC
【解析】 对割草机受力分析,如图所示,则有Ff=Fcos α,FN+Fsin α=mg,又Ff=μFN,联立得F==,其中tan θ=,所以当θ+α=90°,即tan α=μ时,F有最小值,
Fmin==180 N,解得μ=0.75,α=37°。
(1)辅助角公式。
asin x+bcos x=(sin x+cos x) =sin(x+φ),其中辅助角φ由确定,即辅助角φ的终边经过点(a,b)。
(2)物体在斜向拉力和摩擦力作用下的平衡求极值问题时常用到辅助角公式。
(满分:40分)
对点1.物体的动态平衡
1.(6分)(2024·浙江宁波联考)(多选)如图所示,某款可折叠手机支架,调节支撑杆MN,手机背部支撑平面PQ的倾角θ随之改变,底部支撑平面ab与PQ始终垂直,忽略一切摩擦,当θ逐渐减小时,下列说法正确的是(　　)
[A] 背部支撑平面PQ对手机的弹力逐渐变小
[B] 手机对底部支撑平面ab的弹力逐渐变小
[C] 支架对手机的作用力逐渐增大
[D] 手机对支架的作用力始终不变
2.(6分)(2024·浙江杭州期中)(多选)如图甲所示为烤肠机,香肠放置在两根水平的平行金属杆中间,其截面图如图乙所示。假设香肠可视为质量为m的均匀圆柱体,烤制过程中香肠质量不变,半径变大。忽略摩擦及金属杆的热胀冷缩,重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
[A] 香肠烤熟前,金属杆1对烤肠的支持力大小为0.5mg
[B] 香肠烤熟后,金属杆1对烤肠的支持力比烤熟前小
[C] 香肠烤熟后与烤熟前相比,两根金属杆对烤肠的合力变大
[D] 香肠烤熟后,金属杆1对烤肠的支持力与竖直方向的夹角比烤熟前小
3.(4分)(2024·广西南宁模拟)如图所示,一个倾角为30°、底面粗糙、斜面光滑的斜面体放在粗糙的水平面上,斜面体的质量为2m。轻绳的一端固定在天花板上,另一端系住质量为m的小球,整个系统处于静止状态,轻绳与竖直方向的夹角也为30°。若滑动摩擦力等于最大静摩擦力,则斜面体与水平面间的动摩擦因数至少为(　　)
[A] [B] [C] [D]
4.(4分)(2024·山东菏泽期末)抖空竹在中国有着悠久的历史。如图所示,假设抖空竹所用轻绳AB总长为L,空竹重力为G,可视为质点。绳能承受的最大拉力为2G,将绳一端固定,将另一端缓慢水平向右移动d而使绳不断,不计一切摩擦,则d的最大可能值为(　　)
[A] L [B] L
[C] L [D] L
5.(4分)(2024·江苏苏州开学考试)竖直门闩简化结构的侧视图如图所示。下方部件A可以在水平槽内向前推进。槽表面光滑,摩擦力可以不计;部件A与部件B间动摩擦因数为μ,且最大静摩擦力等于滑动摩擦力,界面与水平面成45°夹角。部件B质量为m,重力加速度为g,为了使门闩启动,施加在部件A上的水平力F至少是(　　)
[A] mg [B] mg
[C] mg [D] mg
6.(6分)(多选)筷子是中华饮食文化的标志之一。如图所示,用筷子夹着质量为m的小球处于静止状态,筷子均在竖直平面内,且筷子与竖直方向的夹角均为θ。忽略小球与筷子之间的摩擦,重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
[A] 筷子对小球的合力大于重力
[B] 筷子的弹力大小均为FN=
[C] 保持左侧筷子固定不动,右侧筷子缓慢变为竖直,左、右筷子的弹力均逐渐变大
[D] 保持左侧筷子固定不动,右侧筷子缓慢变为竖直,左、右筷子的弹力均逐渐变小
7.(4分)(2024·山东青岛期末)中医针灸是世界非物质文化遗产,是针法和灸法的合称。如图甲,针法是把毫针按一定穴位刺入患者体内,运用捻转与提插等针刺手法来治疗疾病。如图乙,某次选用毫针长度约为25 mm,直径为0.3 mm,针尖部分的截面可以看作是高为2 mm的等腰三角形,医生用0.03 N的力垂直皮肤下压该针进行治疗。不计针的重力,已知当某个角很小时正切值近似等于正弦值,下列说法正确的是(　　)
[A] 若该针尖停止进入,则此时与针尖接触位置的肌肉组织所受弹力大小均不相同
[B] 针尖进入肌肉组织的过程中,肌肉所受的弹力大小约为0.4 N
[C] 针尖进入肌肉组织的过程中,肌肉所受的弹力大小约为0.2 N
[D] 若针尖形状如图丙,则针尖缓慢进入身体时某固定位置肌肉所受弹力越来越小
8.(6分)(2024·浙江温州期末)(多选)单手抓球的难易程度和手的大小、手指与球间的动摩擦因数有关。用如图所示简化模型进行受力分析:假设用两手指对称抓球,手指与球心在同一竖直面,手指接触点连线水平且相距为L,球半径为R,接触点与圆心的连线与水平方向夹角为θ,手指和球间的动摩擦因数为μ,球质量为m。已知重力加速度为g,最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力,忽略抓球引起的球的形变。下列说法正确的是(　　)
[A] 每个手指对球的摩擦力大小为
[B] 两手指间距L的取值范围为L>
[C] 每根手指对球的压力的最小值为
[D] 手对球的压力增大2倍时,摩擦力也增大2倍
(答案及解析)
对点1.物体的动态平衡
1.(6分)(2024·浙江宁波联考)(多选)如图所示,某款可折叠手机支架,调节支撑杆MN,手机背部支撑平面PQ的倾角θ随之改变,底部支撑平面ab与PQ始终垂直,忽略一切摩擦,当θ逐渐减小时,下列说法正确的是(　　)
[A] 背部支撑平面PQ对手机的弹力逐渐变小
[B] 手机对底部支撑平面ab的弹力逐渐变小
[C] 支架对手机的作用力逐渐增大
[D] 手机对支架的作用力始终不变
【答案】 BD
【解析】 背部支撑平面PQ对手机的弹力和底部支撑平面ab对手机的弹力,这两个力始终垂直,对手机受力分析如图所示,当θ逐渐减小时,背部支撑平面PQ对手机的弹力逐渐变大,底部支撑平面ab对手机的弹力逐渐减小,根据牛顿第三定律可知,手机对底部支撑平面ab的弹力逐渐变小,故A错误,B正确;支架对手机的作用力大小始终等于手机自身的重力,而根据牛顿第三定律可知,手机对支架的作用力始终不变,故C错误,D正确。
2.(6分)(2024·浙江杭州期中)(多选)如图甲所示为烤肠机,香肠放置在两根水平的平行金属杆中间,其截面图如图乙所示。假设香肠可视为质量为m的均匀圆柱体,烤制过程中香肠质量不变,半径变大。忽略摩擦及金属杆的热胀冷缩,重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
[A] 香肠烤熟前,金属杆1对烤肠的支持力大小为0.5mg
[B] 香肠烤熟后,金属杆1对烤肠的支持力比烤熟前小
[C] 香肠烤熟后与烤熟前相比,两根金属杆对烤肠的合力变大
[D] 香肠烤熟后,金属杆1对烤肠的支持力与竖直方向的夹角比烤熟前小
【答案】 BD
【解析】 对香肠进行受力分析如图所示,根据对称性有FN1=FN2,根据平衡条件有mg=2FN1cos θ=2FN2cos θ,解得FN1=FN2=,设金属杆之间的距离为d,则sin θ=,可知半径R变大,则θ减小,由分析可知, FN1、FN2均减小,故A错误,B、D正确;香肠处于平衡状态,合力为零,则两根金属杆对其合力不变,始终与重力等大反向,故C错误。
对点2.平衡中的临界、极值问题
3.(4分)(2024·广西南宁模拟)如图所示,一个倾角为30°、底面粗糙、斜面光滑的斜面体放在粗糙的水平面上,斜面体的质量为2m。轻绳的一端固定在天花板上,另一端系住质量为m的小球,整个系统处于静止状态,轻绳与竖直方向的夹角也为30°。若滑动摩擦力等于最大静摩擦力,则斜面体与水平面间的动摩擦因数至少为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 对小球受力分析,沿斜面方向有mgsin 30°=FTcos 30°,解得FT=mg,对小球和斜面体整体受力分析,由平衡条件得FTsin 30°=Ff,FTcos 30°+FN=(m+2m)g,整个系统处于静止状态,则Ff≤μFN,解得斜面体与水平面间的动摩擦因数μ≥。故选B。
4.(4分)(2024·山东菏泽期末)抖空竹在中国有着悠久的历史。如图所示,假设抖空竹所用轻绳AB总长为L,空竹重力为G,可视为质点。绳能承受的最大拉力为2G,将绳一端固定,将另一端缓慢水平向右移动d而使绳不断,不计一切摩擦,则d的最大可能值为(　　)
[A] L [B] L
[C] L [D] L
【答案】 B
【解析】 设轻绳与水平方向的夹角为θ,根据受力分析可得竖直方向上有2FTsin θ=G,绳能承受的最大拉力为2G,当绳中拉力达到最大值时,解得sin θ=,由几何关系可得sin θ=,联立解得d=L。
5.(4分)(2024·江苏苏州开学考试)竖直门闩简化结构的侧视图如图所示。下方部件A可以在水平槽内向前推进。槽表面光滑,摩擦力可以不计;部件A与部件B间动摩擦因数为μ,且最大静摩擦力等于滑动摩擦力,界面与水平面成45°夹角。部件B质量为m,重力加速度为g,为了使门闩启动,施加在部件A上的水平力F至少是(　　)
[A] mg [B] mg
[C] mg [D] mg
【答案】 C
【解析】 设A、B刚好发生相对滑动,A、B的受力如图所示,以B为研究对象,则有mg+Ffsin 45°=FABcos 45°,以A为研究对象,则有F=Ffcos 45°+FBAsin 45°,又Ff=μFAB=μFBA,联立解得施加在部件A上的水平力F的最小值为F=mg。
6.(6分)(多选)筷子是中华饮食文化的标志之一。如图所示,用筷子夹着质量为m的小球处于静止状态,筷子均在竖直平面内,且筷子与竖直方向的夹角均为θ。忽略小球与筷子之间的摩擦,重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
[A] 筷子对小球的合力大于重力
[B] 筷子的弹力大小均为FN=
[C] 保持左侧筷子固定不动,右侧筷子缓慢变为竖直,左、右筷子的弹力均逐渐变大
[D] 保持左侧筷子固定不动,右侧筷子缓慢变为竖直,左、右筷子的弹力均逐渐变小
【答案】 BC
【解析】 用筷子夹着小球在竖直平面内处于静止状态,根据平衡条件可知,筷子对小球的合力与小球的重力等大反向,故A错误;对小球受力分析,如图甲,由几何关系可知,筷子对小球的弹力大小为FN=,故B正确;保持左侧筷子固定不动,右侧筷子缓慢变为竖直,在右侧筷子转到竖直方向的过程中,左侧筷子对小球弹力FN1的方向始终垂直于筷子,方向不变,而小球自身的重力恒定不变,由此可以作出在动态平衡过程中力的矢量三角形,如图乙所示,当两根筷子与竖直方向夹角都为θ时,三力构成的矢量三角形为等腰三角形,在右侧的筷子转到竖直方向时,三个力的矢量构成一个直角三角形,在右侧筷子转到竖直的过程中,两筷子对小球的弹力都在增大,故C正确,D错误。
7.(4分)(2024·山东青岛期末)中医针灸是世界非物质文化遗产,是针法和灸法的合称。如图甲,针法是把毫针按一定穴位刺入患者体内,运用捻转与提插等针刺手法来治疗疾病。如图乙,某次选用毫针长度约为25 mm,直径为0.3 mm,针尖部分的截面可以看作是高为2 mm的等腰三角形,医生用0.03 N的力垂直皮肤下压该针进行治疗。不计针的重力,已知当某个角很小时正切值近似等于正弦值,下列说法正确的是(　　)
[A] 若该针尖停止进入,则此时与针尖接触位置的肌肉组织所受弹力大小均不相同
[B] 针尖进入肌肉组织的过程中,肌肉所受的弹力大小约为0.4 N
[C] 针尖进入肌肉组织的过程中,肌肉所受的弹力大小约为0.2 N
[D] 若针尖形状如图丙,则针尖缓慢进入身体时某固定位置肌肉所受弹力越来越小
【答案】 C
【解析】 在针尖进入人体肌肉组织的过程中,受力分析如图所示,
设针的直径为d,针尖的高度为h,由受力分析图可知=,解得FN=0.2 N,故B错误,C正确;若该针尖停留在某位置,则与针尖接触的肌肉组织所受弹力大小相同,但方向都垂直于接触面,所以与针尖接触位置的肌肉组织所受弹力同侧的相同,不同侧的不相同, 故A错误;若针尖缓缓变直,则针尖切线夹角越来越小,设针尖顶角为θ,根据F=2FNsin ,在合力不变时,夹角越小,弹力越大,故D错误。
8.(6分)(2024·浙江温州期末)(多选)单手抓球的难易程度和手的大小、手指与球间的动摩擦因数有关。用如图所示简化模型进行受力分析:假设用两手指对称抓球,手指与球心在同一竖直面,手指接触点连线水平且相距为L,球半径为R,接触点与圆心的连线与水平方向夹角为θ,手指和球间的动摩擦因数为μ,球质量为m。已知重力加速度为g,最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力,忽略抓球引起的球的形变。下列说法正确的是(　　)
[A] 每个手指对球的摩擦力大小为
[B] 两手指间距L的取值范围为L>
[C] 每根手指对球的压力的最小值为
[D] 手对球的压力增大2倍时,摩擦力也增大2倍
【答案】 BC
【解析】 对球受力分析,如图所示,竖直方向由平衡条件有2Ffcos θ=2FNsin θ+mg,则Ffcos θ>mg,所以每根手指对球的摩擦力大小Ff>,故A错误;因为Ff≤μFN,可得FNsin θ+mg≤μFNcos θ,即FN≥,故每根手指对球的压力的最小值为,故C正确;因为FNsin θ+mg≤μFNcos θ,所以FNsin θ<μFNcos θ,可得μ>tan θ,解得cos θ>,由图可知cos θ=,所以>,故两手指间距L的取值范围为L>,故B正确;当球受到手的静摩擦力时,Ff≠μFN,手对球的压力增大2倍时,摩擦力不增大2倍,故D错误。
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高中总复习·物理
第5讲　
小专题:动态平衡和临界极值问题
(1)如图所示,轻绳两端分别系在两根竖直固定的杆上,绳长L和d不变,用光滑挂钩在轻绳上挂一物体,稳定时如图所示,试推导图中θ1、θ2、θ3的大小关系。
提示:如题图所示,“活结”两端绳子上的拉力FT相等,因结点所受水平分力相等,即FTsin θ1=FTsin θ2,故θ1=θ2=θ3。
(2)若两杆间距离d不变,上下移动轻绳在杆上的位置,θ是否变化
(3)若两杆距离d逐渐减小,则θ如何变化 试推导轻绳上的拉力FT的表达式,并判断FT的大小如何变化
1.动态平衡
“动态平衡”是指物体所受的力一部分是变力,是动态力,力的大小或方向发生变化,但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态,所以叫动态平衡。在问题的描述中常用“缓慢”等语言叙述。
2.做题流程
[例1] 【三角形相似法的应用】(多选)如图所示,一斜面固定在水平面上,一半球形滑块固定在斜面上,球心O的正上方有一定滑轮A(视为质点),细线的一端与一质量分布均匀的光滑圆球B连接,另一端绕过滑轮A在水平向右的拉力F作用下使圆球B保持静止。改变拉力F的大小,使圆球B从两球心等高的位置缓慢移动到圆球B的球心正好在O点的正上方(不考虑该位置的情况)。圆球B不会与定滑轮A接触,则下列说法正确的是(　 　)
[A] 拉力F一直减小
[B] 拉力F先增大后减小
[C] 半球形滑块对圆球B的支持力先增大后减小
[D] 半球形滑块对圆球B的支持力大小保持不变
AD
[例2] 【图解法的应用】 如图所示,小球用细绳系住,绳的另一端固定于O点。现用水平力F缓慢推动斜面体,小球在斜面上无摩擦地滑动,细绳始终处于伸直状态,当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平,此过程中斜面对小球的支持力FN以及细绳对小球的拉力FT的变化情况是(　　)
[A] FN保持不变,FT不断增大
[B] FN不断增大,FT不断减小
[C] FN保持不变,FT先增大后减小
[D] FN不断增大,FT先减小后增大
D
【解析】 用水平力F缓慢推动斜面体时,小球处于动态平衡状态。小球受到大小和方向均不变的重力、方向不变的支持力、方向和大小均变化的细绳的拉力,三个力构成封闭的矢量三角形,如图所示。当细绳与斜面平行时,细绳拉力FT2与支持力方向垂直,细绳拉力最小。当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平,细绳拉力为FT4,所以FT先减小后增大,而此过程中斜面对小球的支持力FN一直增大,选项D正确。
[变式] 【解析法的应用】 在[例2]中,从几何关系的角度推导斜面对小球的支持力FN以及绳对小球的拉力FT的表达式,并结合表达式分析FN、FT的变化特点。
[A] MN上的张力逐渐减小
[B] MN上的张力先增大后减小
[C] OM上的张力逐渐增大
[D] OM上的张力先增大后减小
D
【解析】 法一　矢量三角形
以重物为研究对象分析受力情况,受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1,由题意知,三个力的合力始终为零,矢量三角形如图所示,F1、F2的夹角不变,在F2转至水平的过程中,矢量三角形在同一外接圆上,由图可知,MN上的张力F1逐渐增大,OM上的张力F2先增大后减小,故D正确,A、B、C错误。
法二　正弦定理
把三力F1、F2、G放在一个矢量三角形中,如图所示,
甲　　　　　 乙
规律总结
模型 情境 受力图 方法
一力恒定,另一力方向不变 OA绳方向不变,OB绳缓慢向上转动至竖直位置,结点O的位置不动 图解法:两个力的合力和第三个力等大、反向,即FA逐渐减小,FB先减小后增大
规律总结
一力恒定,另外两力方向都变,但夹角不变 用手拉住绳的另一端N,将重物向右上方缓慢拉起,并保持夹角α不变,OM由竖直被拉到水平 矢量圆法:画出力的矢量三角形的外接圆,以不变的力为弦,用“同弦所对的圆周角相等”的规律判断移动过程中各力的变化情况,即绳OM的张力先增大后减小,绳MN的张力逐渐增大
规律总结
1.临界、极值问题特征
(1)临界问题:当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”,在问题的描述中常用“刚好”
“刚能”“恰好”等语言叙述。
①由静止到运动,摩擦力达到最大静摩擦力。
②绳子恰好绷紧,拉力F=0。
③刚好离开接触面,支持力FN=0。
(2)极值问题:平衡物体的极值,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值。
2.解决极值和临界问题的三种方法
极限法 正确进行受力分析和变化过程分析,找到平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中寻找,不能在一个状态上研究临界问题,要把某个物理量推向极大或极小
数学 分析法 通过对问题的分析,根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(画出函数图像),用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)
物理 分析法 根据平衡条件,作出力的矢量图,通过对物理过程的分析,利用平行四边形定则进行动态分析,确定最大值和最小值
[例3] 【临界问题】 (2024·湖北宜昌期中)扩张机的原理如图所示,A、B、C处为活动铰链,在A处作用一水平力F,滑块D就能在比F大得多的压力下向上顶起物体,已知滑块D与墙壁接触面间的动摩擦因数为μ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,若要扩张机能够顶起质量为m的物体,并使其上升,必须满足的条件为(　　)
A
B
[提升] 【辅助角公式解决极值问题】 (多选)如图为工人在推动一台质量为30 kg的割草机,割草机割完草后,工人用最小的拉力拉它,使之在水平面上做匀速直线运动,已知这个最小拉力为180 N,g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,则(　 　)
[A] 割草机与地面间的动摩擦因数μ=0.5
[B] 割草机与地面间的动摩擦因数μ=0.75
[C] 最小拉力与水平方向夹角α=37°
[D] 最小拉力与水平方向夹角α=53°
BC
方法点拨
(2)物体在斜向拉力和摩擦力作用下的平衡求极值问题时常用到辅助角公式。
基础对点练
对点1.物体的动态平衡
1.(6分)(2024·浙江宁波联考)(多选)如图所示,某款可折叠手机支架,调节支撑杆MN,手机背部支撑平面PQ的倾角θ随之改变,底部支撑平面ab与PQ始终垂直,忽略一切摩擦,当θ逐渐减小时,下列说法正确的是(　　 )
[A] 背部支撑平面PQ对手机的弹力逐渐变小
[B] 手机对底部支撑平面ab的弹力逐渐变小
[C] 支架对手机的作用力逐渐增大
[D] 手机对支架的作用力始终不变
BD
【解析】 背部支撑平面PQ对手机的弹力和底部支撑平面ab对手机的弹力,这两个力始终垂直,对手机受力分析如图所示,当θ逐渐减小时,背部支撑平面PQ对手机的弹力逐渐变大,底部支撑平面ab对手机的弹力逐渐减小,根据牛顿第三定律可知,手机对底部支撑平面ab的弹力逐渐变小,故A错误,B正确;支架对手机的作用力大小始终等于手机自身的重力,而根据牛顿第三定律可知,手机对支架的作用力始终不变,故C错误,D正确。
2.(6分)(2024·浙江杭州期中)(多选)如图甲所示为烤肠机,香肠放置在两根水平的平行金属杆中间,其截面图如图乙所示。假设香肠可视为质量为m的均匀圆柱体,烤制过程中香肠质量不变,半径变大。忽略摩擦及金属杆的热胀冷缩,重力加速度为g。下列说法正确的是(　　 )
[A] 香肠烤熟前,金属杆1对烤肠的支持力大小为0.5mg
[B] 香肠烤熟后,金属杆1对烤肠的支持力比烤熟前小
[C] 香肠烤熟后与烤熟前相比,两根金属杆对烤肠的合力变大
[D] 香肠烤熟后,金属杆1对烤肠的支持力与竖直方向的夹角比烤熟前小
BD
对点2.平衡中的临界、极值问题
3.(4分)(2024·广西南宁模拟)如图所示,一个倾角为30°、底面粗糙、斜面光滑的斜面体放在粗糙的水平面上,斜面体的质量为2m。轻绳的一端固定在天花板上,另一端系住质量为m的小球,整个系统处于静止状态,轻绳与竖直方向的夹角也为30°。若滑动摩擦力等于最大静摩擦力,则斜面体与水平面间的动摩擦因数至少为(　　)
B
4.(4分)(2024·山东菏泽期末)抖空竹在中国有着悠久的历史。如图所示,假设抖空竹所用轻绳AB总长为L,空竹重力为G,可视为质点。绳能承受的最大拉力为2G,将绳一端固定,将另一端缓慢水平向右移动d而使绳不断,不计一切摩擦,则d的最大可能值为(　　)
B
5.(4分)(2024·江苏苏州开学考试)竖直门闩简化结构的侧视图如图所示。下方部件A可以在水平槽内向前推进。槽表面光滑,摩擦力可以不计;部件A与部件B间动摩擦因数为μ,且最大静摩擦力等于滑动摩擦力,界面与水平面成45°夹角。部件B质量为m,重力加速度为g,为了使门闩启动,施加在部件A上的水平力F至少是(　　)
C
6.(6分)(多选)筷子是中华饮食文化的标志之一。如图所示,用筷子夹着质量为m的小球处于静止状态,筷子均在竖直平面内,且筷子与竖直方向的夹角均为θ。忽略小球与筷子之间的摩擦,重力加速度为g。下列说法正确的是(　 　)
[A] 筷子对小球的合力大于重力
[C] 保持左侧筷子固定不动,右侧筷子缓慢变为竖直,左、右筷子的弹力均逐渐变大
[D] 保持左侧筷子固定不动,右侧筷子缓慢变为竖直,左、右筷子的弹力均逐渐变小
BC
综合提升练
7.(4分)(2024·山东青岛期末)中医针灸是世界非物质文化遗产,是针法和灸法的合称。如图甲,针法是把毫针按一定穴位刺入患者体内,运用捻转与提插等针刺手法来治疗疾病。如图乙,某次选用毫针长度约为25 mm,直径为0.3 mm,针尖部分的截面可以看作是高为2 mm的等腰三角形,医生用0.03 N的力垂直皮肤下压该针进行治疗。不计针的重力,已知当某个角很小时正切值近似等于正弦值,下列说法正确的是(　　)
C
[A] 若该针尖停止进入,则此时与针尖接触位置的肌肉组织所受弹力大小均不相同
[B] 针尖进入肌肉组织的过程中,肌肉所受的弹力大小约为0.4 N
[C] 针尖进入肌肉组织的过程中,肌肉所受的弹力大小约为0.2 N
[D] 若针尖形状如图丙,则针尖缓慢进入身体时某固定位置肌肉所受弹力越来越小
【解析】 在针尖进入人体肌肉组织的过程中,受力分析如图所示,
8.(6分)(2024·浙江温州期末)(多选)单手抓球的难易程度和手的大小、手指与球间的动摩擦因数有关。用如图所示简化模型进行受力分析:假设用两手指对称抓球,手指与球心在同一竖直面,手指接触点连线水平且相距为L,球半径为R,接触点与圆心的连线与水平方向夹角为θ,手指和球间的动摩擦因数为μ,球质量为m。已知重力加速度为g,最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力,忽略抓球引起的球的形变。下列说法正确的是(　 　)
BC

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