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温州市普通高中2025届高三第三次适应性考试
数学试题卷
本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名，准考证号填写在答题卷上，将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠，不要弄破．
选择题部分（共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知都是单位向量，夹角为，则的值为（ ▲ ）
A．1 B．2 C． D．
2．已知集合，则（ ▲ ）
A． B． C． D．
3．已知是复数的共轭复数，（为虚数单位），则的虚部是（ ▲ ）
A．i B． C．1 D．
4．已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（ ▲ ）
A． B． C． D．
5．已知，则（ ▲ ）
A．3 B．2 C． D．
6．已知函数的定义域为，，，且，则（ ▲ ）
A． B．
C． D．
/万元 1 2 3 4 5
/万元 0.50 0.80 1.00 1.20 1.50
7．为了研究某种商品的广告投入和收益之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为（ ▲ ）万元．
A．2.48 B．2.58 C．2.68 D．2.88
8．已知双曲线的左右焦点分别是，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（ ▲ ）
A．4 B． C． D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则存在实数，使得（ ▲ ）
A．的最小正周期为 B．是偶函数
C．是奇函数 D．的最大值为0
10．抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（ ▲ ）
A．与是互斥事件 B．与是相互独立事件
C． D．
11．已知数列满足，定义：集合，并记该集合的元素个数为，则以下说法正确的是（ ▲ ）
A．若，则
B．若，则
C．存在数列，其中有一项能使得且
D．若任取数列的两项，恰好是元素的概率大于，则
非选择题部分（共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分。把答案填在题中的横线上。
12．2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学．某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况有
▲ 种．
13．在中，，，的中垂线交于点，则的面积的最大值是 ▲ ．
14．已知圆台上下底面半径分别为1，2，母线长为2，则圆台的体积等于 ▲ ；为下底面圆周上一定点，一只蚂蚁从点出发，绕着圆台的侧面爬行一周又回到点，则爬行的最短距离为
▲ ．
四．解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）已知的内角所对的边分别为，且
．
（1）求角的大小；
（2）点在边上，且，求的周长．
16．（本题满分15分）数列满足：．
（1）数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由；
（2）数列满足：，求数列的前项和．
17．（本题满分15分）抛物线与的焦点分别为，为的一个交点，且．
（1）求的值；
（2）是上的两点，若四边形（按逆时针排列）为平行四边形，求此四边形的面积．
18．（本题满分17分）如图，几何体由两个直三棱柱拼接而成，在直三棱柱中，
；在直三棱柱中，．直线分别交平面于点．
（1）求证：；
（2）若，则
（i）当时，求线段的长度；
（ii）当平面与平面的夹角与互余时，求的值．
19．（本题满分17分）设曲线．
（1）求证：关于直线对称；
（2）求证：是某个函数的图象；
（3）试求所有实数与，使得直线在的上方．温州市普通高中2025届高三第三次适应性考试
数学试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知都是单位向量，夹角为，则的值为（ ▲ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】取，则，所以．
2．已知集合，则（ ▲ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，所以．
3．已知是复数的共轭复数，（为虚数单位），则的虚部是（ ▲ ）
A．i B． C．1 D．
【答案】C
【解析】，故的虚部为1．
4．已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（ ▲ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可得，则．
5．已知，则（ ▲ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】
6．已知函数的定义域为，，，且，则（ ▲ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】易知满足题意，排除ABD．
/万元 1 2 3 4 5
/万元 0.50 0.80 1.00 1.20 1.50
7．为了研究某种商品的广告投入和收益之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为（ ▲ ）万元．
A．2.48 B．2.58 C．2.68 D．2.88
【答案】C
【解析】代入数据解得：，所以．
8．已知双曲线的左右焦点分别是，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（ ▲ ）
A．4 B． C． D．2
【答案】A
【解析】由对称性可知且，，解得．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则存在实数，使得（ ▲ ）
A．的最小正周期为 B．是偶函数
C．是奇函数 D．的最大值为0
【答案】AC
【解析】当时，，为奇函数，且，故AC正确；
若为偶函数，则，恒成立，矛盾，故B错误；
，所以，无解，故D错误．
10．抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（ ▲ ）
A．与是互斥事件 B．与是相互独立事件
C． D．
【答案】BD
【解析】A项：可掷出2，使得同时发生，故错误；
B项：，故正确；
项：由可知，故错误；
D项：，所以，故正确．
11．已知数列满足，定义：集合，并记该集合的元素个数为，则以下说法正确的是（ ▲ ）
A．若，则
B．若，则
C．存在数列，其中有一项能使得且
D．若任取数列的两项，恰好是元素的概率大于，则
【答案】BCD
【解析】A项：，则，故错误；
B项：，则，故正确；
C项：如，则，即且，故正确；
D项：注意到，由于，所以至多存在一个使得，且，对于其余的和中，至多只有一个属于，且，则至少需剔除（n-2）个元素，所以，故正确．
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分。把答案填在题中的横线上。
12．2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学．某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况有 ▲ 种．
【答案】9
【解析】种．
13．在中，，，的中垂线交于点，则的面积的最大值是
▲ ．
【答案】12
【解析】设，则．
设，则的轨迹是椭圆，
所以．
14．已知圆台上下底面半径分别为1，2，母线长为2，则圆台的体积等于 ▲ ；为下底面圆周上一定点，一只蚂蚁从点出发，绕着圆台的侧面爬行一周又回到点，则爬行的最短距离为 ▲ ．
【答案】
【解析】如图所示，爬行的最短距离为．
四．解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知的内角所对的边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）点在边上，且，求的周长．
【解析】（1）由射影定理得，
所以，所以，所以．
（2）在中，，解得，
在中，，所以，
所以周长．
16．数列满足：．
（1）数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由；
（2）数列满足：，求数列的前项和．
【解析】（1），故，
故，且，故是等比数列．
（2）由（1）可知，故，
所以，
所以
其中，所以．
17．抛物线与的焦点分别为，为的一个交点，且．
（1）求的值；
（2）是上的两点，若四边形（按逆时针排列）为平行四边形，求此四边形的面积．
【解析】（1）抛物线，准线方程为，
，所以，所以，
因为点在抛物线上，所以，
又，所以，
将代入抛物线，可得．
（2）由（1）可知，设中点为，
因为四边形为平行四边形，所以为中点，
设，所以，
因为在抛物线上，所以，
即，
所以，所以，且直线过点，
所以，即，
联立，
所以，
所以，
到距离，
所以．
18．如图，几何体由两个直三棱柱拼接而成，在直三棱柱中，
；在直三棱柱中，．直线分别交平面于点．
（1）求证：；
（2）若，则
（i）当时，求线段的长度；
（ii）当平面与平面的夹角与互余时，求的值．
【解析】（1）因为为直三棱柱，所以平面，
又因为，所以，所以．
（2）（i）因为，
所以，
又因为，所以，可得．
（ii）如图建系，，
则平面法向量，设平面法向量，
,
则，
所以，
,
,
,
令，则，
上式，
解得或（舍），
所以．
19．设曲线．
（1）求证：关于直线对称；
（2）求证：是某个函数的图象；
（3）试求所有实数与，使得直线在的上方．
【解析】（1）点关于的对称点是，
若点在曲线上，即，
所以，
即也在曲线上，故关于直线对称．
（2）固定，设，则，
当时，恒成立，至多只有一个零点；
当时，令，设，则，
则，
所以有且仅有一根，即与一一对应，所以是某个函数图象．
（3）引理：对于上任意一点，恒有．
证明：设，则，
所以，所以的图象夹在与之间，故．
联立，可得，
,
所以当时，，方程无解，当时，方程也无解，
所以．

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