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2023-2024学年上海市金山区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共6题，每题2分，满分12分）.
1．下列方程是高次方程的是　　
A． B． C． D．
2．下列函数是一次函数的是　　
A． B． C． D．
3．用换元法解分式方程时，设，那么原方程化成整式方程正确的是　　
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是　　
A． B． C． D．与平行
5．下列事件是随机事件的是　　
A．汽车的车窗玻璃破碎
B．从地面上抛掷一枚硬币，硬币一定会落下
C．从一副没有大小王的扑克牌中任意取出一张牌，这张牌一定是大王
D．今年十四岁的你，明年一定是十五岁
6．已知在中，点、分别在边、上，联结、，下列条件能使四边形一定是平行四边形的是　　
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．方程的根是　　．
8．方程的根是 　　．
9．方程的解是 　　．
10．方程组的解是 　　．
11．已知直线的截距等于1，且经过点，那么这条直线的表达式是 　　．
12．布袋里有3个红球、2个白球，它们除颜色外其他都相同，从中任意摸出两个球恰好是同颜色的概率的是 　　．
13．甲、乙两人在公路上练习竞走和长跑，竞走、长跑的距离与时间的关系如图所示，那么在30千米的休息处，乙比甲早到了 　　小时．
14．如图，在梯形中，，点是的中点，，设，，那么　　（用、表示）
15．如果一个边形的每一个内角都是，那么　 　．
16．在菱形中，对角线、相交于，若，，那么　　．
17．如图，在等腰梯形中，，，于，、分别是、的中点，梯形的面积为24，那么　　．
18．在中，，，点、分别在边、上，联结，，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点处，那么线段　　．
三、解答题（本大题共7题，满分52分）
19．解方程组：．
20．解关于的方程：．
21．如图，在直角坐标平面内的对角线的交点正好与坐标原点重合，且点、坐标分别为，．
（1）求点、的坐标；
（2）求的周长．
22．为了落实“珍惜和合理利用每一寸土地”的基本国策，某地区计划若干年内开发“改造后可利用土地”的面积达到360平方千米，实际施工中，第一年比原计划每年开发的土地面积多2平方千米．如果按此速度继续开发，预计可提前6年完成任务．求实际施工中每年开发土地面积是多少平方千米？
23．如图，已知在等腰梯形中，，点、分别在底边上，联结、，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求证：四边形是矩形．
24．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点、分别在轴和轴正半轴上，，，双曲线与矩形交于、两点，直线与轴正半轴交于点，．
（1）求直线的表达式；
（2）将直线向下平移个单位，使平移后直线与双曲线的交点在矩形内部，求的取值范围；
（3）设直线是平移直线所得直线，点是直线上的一个动点，当是等边三角形时，求直线的表达式．
25．（1）性质证明：已知：如图1，、分别是的外角平分线，求证：平分；
根据上述证明可以得到这样一条性质：三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线交于一点，我们把这个交点叫做这个三角形的旁心．图1中点就是的一个旁心．
（2）性质应用：
①如图2，已知点是的一个旁心，求证：；
②已知点、、是的三个旁心，，在△中，，，且经过点，求△的面积．
参考答案
一．选择题（共6小题）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B C D D A B
一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分）
1．下列方程是高次方程的是　　
A． B． C． D．
解：．方程是二元一次方程，不是高次方程，故本选项不符合题意；
．方程是高次方程，故本选项符合题意；
．方程是分式方程，不是整式方程，不是高次方程，故本选项不符合题意；
．方程是无理方程，不是整式方程，不是高次方程，故本选项不符合题意．
故选：．
2．下列函数是一次函数的是　　
A． B． C． D．
解：、，分母中含有字母，不是一次函数，故此选项不符合题意；
、，含有二次项，不是一次函数，故此选项不符合题意；
、，是一次函数，故此选项符合题意；
、，分母中含有字母，不是一次函数，故此选项不符合题意．
故选：．
3．用换元法解分式方程时，设，那么原方程化成整式方程正确的是　　
A． B． C． D．
解：分式方程中，若设，则，原方程可变为：
，
两边都乘以得，
，
即，
故选：．
4．下列说法正确的是　　
A． B． C． D．与平行
解：、，原说法错误；
、，因为向量是有方向的，而向量的模没有方向，原说法错误；
、的方向相反，不是相等向量，原说法错误；
、与长度相等，方向相反，所以与平行，原说法正确．
故选：．
5．下列事件是随机事件的是　　
A．汽车的车窗玻璃破碎
B．从地面上抛掷一枚硬币，硬币一定会落下
C．从一副没有大小王的扑克牌中任意取出一张牌，这张牌一定是大王
D．今年十四岁的你，明年一定是十五岁
解：、汽车的车窗玻璃破碎是随机事件，符合题意；
、从地面上抛掷一枚硬币，硬币一定会落下是必然事件，不符合题意；
、从一副没有大小王的扑克牌中任意取出一张牌，这张牌一定是大王是不可能事件，不符合题意；
、今年十四岁的你，明年一定是十五岁是必然事件，不符合题意；
故选：．
6．已知在中，点、分别在边、上，联结、，下列条件能使四边形一定是平行四边形的是　　
A． B． C． D．
解：、四边形是平行四边形，
，，
，
不能证得，
得不到，
无法证得，故证不出四边形是平行四边形；故不符合题意；
、，
，
，
，
四边形是平行四边形，故符合题意；
、四边形平行四边形，
，
，
，
，
证不出四边形是平行四边形，故不符合题意；
、当，同理选项，证不出四边形是平行四边形，故不符合题意；
综上所述，不能使四边形是平行四边形的条件有1个．
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．方程的根是　　．
解：
或（舍去）
故答案为：
8．方程的根是 　　．
解：分式方程两边分别乘，
可得，
，
，
，
解得，
检验是分式方程的解．
故答案为：．
9．方程的解是 　　．
解：，
方程两边平方，得，
整理得：，
，
或，
解得：或，
经检验：是原方程的解，不是原方程的解，
所以原方程的解是．
故答案为：．
10．方程组的解是 　　．
解：令，，
则；
①②，可得，
解得，
把代入①，可得：，
解得，
原方程组的解是，
，
解得．
故答案为：．
11．已知直线的截距等于1，且经过点，那么这条直线的表达式是 　　．
解：因为直线的截距等于1，
所以，
将点代入得，
，
解得，
所以这条直线的表达式是．
故答案为：．
12．布袋里有3个红球、2个白球，它们除颜色外其他都相同，从中任意摸出两个球恰好是同颜色的概率的是 　　．
解：列表如下：
红 红 红 白 白
红 （红，红） （红，红） （红，白） （红，白）
红 （红，红） （红，红） （红，白） （红，白）
红 （红，红） （红，红） （红，白） （红，白）
白 （白，红） （白，红） （白，红） （白，白）
白 （白，红） （白，红） （白，红） （白，白）
共有20种等可能的结果，其中从中任意摸出两个球恰好是同颜色的结果有8种，
从中任意摸出两个球恰好是同颜色的概率为．
故答案为：．
13．甲、乙两人在公路上练习竞走和长跑，竞走、长跑的距离与时间的关系如图所示，那么在30千米的休息处，乙比甲早到了 　0.5　小时．
解：由题意可得，甲的速度为：（千米小时），
即速度为：（千米小时），
甲走完30千米所需时间为：（小时），
乙走完30千米所需时间为：（小时），
（小时），
即在30千米的休息处，乙比甲早到了0.5小时．
故答案为：0.5．
14．如图，在梯形中，，点是的中点，，设，，那么　　（用、表示）
解：，，
四边形是平行四边形，
，，
点是的中点，
，
．
．
故答案为：．
15．如果一个边形的每一个内角都是，那么　18　．
解：多边形的每一个内角都等于，
多边形的每一个外角都等于，
边数．
故答案为：18．
16．在菱形中，对角线、相交于，若，，那么　　．
解：如图，
四边形是菱形，
，，，
在中，由勾股定理得：，
，
故答案为：．
17．如图，在等腰梯形中，，，于，、分别是、的中点，梯形的面积为24，那么　　．
解：过作交的延长线于，于，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
梯形的面积为24，
，
，
、分别是、的中点，
是梯形的中位线，
，
故答案为：．
18．在中，，，点、分别在边、上，联结，，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点处，那么线段　　．
解：连接，，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7题，满分52分）
19．解方程组：．
解：，
由②得：，
或③，
由①和③组成两个二元一次方程组：，，
解得：，，
所以方程组的解是，．
20．解关于的方程：．
解：方程整理得：，
即，
若，即，开方得：；
若，即，方程无实数根．
21．如图，在直角坐标平面内的对角线的交点正好与坐标原点重合，且点、坐标分别为，．
（1）求点、的坐标；
（2）求的周长．
解：（1）平行四边形对角线的交点恰好与坐标原点重合，
点和点、点和点关于原点中心对称，
，．
，．
（2）由，知：．
由，知：
故的周长．
22．为了落实“珍惜和合理利用每一寸土地”的基本国策，某地区计划若干年内开发“改造后可利用土地”的面积达到360平方千米，实际施工中，第一年比原计划每年开发的土地面积多2平方千米．如果按此速度继续开发，预计可提前6年完成任务．求实际施工中每年开发土地面积是多少平方千米？
解：设实际施工中每年开发土地面积是平方千米，则原计划施工中每年开发土地面积是平方千米，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：实际施工中每年开发土地面积是12平方千米．
23．如图，已知在等腰梯形中，，点、分别在底边上，联结、，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求证：四边形是矩形．
【解答】证明：（1），
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）在等腰梯形中，，
四边形是平行四边形，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形．
24．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点、分别在轴和轴正半轴上，，，双曲线与矩形交于、两点，直线与轴正半轴交于点，．
（1）求直线的表达式；
（2）将直线向下平移个单位，使平移后直线与双曲线的交点在矩形内部，求的取值范围；
（3）设直线是平移直线所得直线，点是直线上的一个动点，当是等边三角形时，求直线的表达式．
解：（1），，
则，则点，
设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则直线的表达式为：；
（2）当时，则，则，即点，
同理可得，点，
设平移后的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，则，
将点的坐标代入，
同理可得：，
故的取值范围为：；
（3）设直线的表达式为：，
设点，
由点、、的坐标得，，，，
由题意得：，
即，
解得：，，
则直线的表达式为：或．
25．（1）性质证明：已知：如图1，、分别是的外角平分线，求证：平分；
根据上述证明可以得到这样一条性质：三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线交于一点，我们把这个交点叫做这个三角形的旁心．图1中点就是的一个旁心．
（2）性质应用：
①如图2，已知点是的一个旁心，求证：；
②已知点、、是的三个旁心，，在△中，，，且经过点，求△的面积．
【解答】（1）证明：如图1，过分别作于，于，于．
平分，，（已知），
（角平分线的性质）．
同理得：（角平分线的性质）．
（等量代换）．
又，（已知），
平分（角平分线性质的逆定理）；
（2）①证明：如图2，延长至，延长至，
点是的一个旁心，
，分别平分，．
，（角平分线的定义）．
在中，，
．
又，，
．
；
②解：如图3，过点作于，过点作于，过点作于，
，，
，
点、、是的三个旁心，
，（由①的结论得出），
，，
，
，
，
，
，，
，
中，，
的面积，
同理可得：的面积，
设，则，，
，
在中，，
，
，
△的面积的面积的面积的面积，
△的面积．

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