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2023-2024学年上海市闵行区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共6题，每题2分，满分12分）.
1．已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则下列判断正确的是　　
A．， B．， C．， D．，
2．下列函数中，函数值随的增大而减小的是　　
A． B． C． D．
3．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为　　
A． B． C． D．
4．下列方程有实数根的是　　
A． B．
C． D．
5．在四边形中，，、交于点，下列说法错误的是　　
A．如果，，那么四边形是矩形
B．如果，那么四边形是菱形
C．如果，，那么四边形是矩形
D．如果，，那么四边形是菱形
6．已知：如图，在梯形中，，，，，．有以下两个说法：①梯形的面积；②梯形的周长；对这两种说法的判断正确的是　　
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②均正确 D．①、②均错误
二、填空题（共12题，每题2分，满分24分）
7．一次函数方程的截距是 　　．
8．已知一次函数的图象经过点，且平行于直线，那么这个函数的解析式是 　　．
9．六边形的内角和的度数是 　　．
10．矩形的两条对角线的夹角为，较短的边长为，则对角线长为　 　．
11．已知菱形的边长和一条对角线的长均为，则菱形的面积为　　．
12．顺次连接一个矩形各边中点得到的四边形是 　　．
13．任意抛掷一枚均匀的骰子，朝上面的数字为偶数的概率为 　　．
14．我国古代中有这样一个问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6.8尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设矩形门的宽为尺，高为尺，那么可列方程组是 　　．
15．已知在直角坐标系中有点、和，四边形是平行四边形，那么点的坐标是 　　．
16．已知：如图，在梯形中，，点是的中点，，，，长为 　　．
17．已知：如图，点、分别是双曲线在第一象限内分支上的两点，．过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线交于点，联结．如果，那么等于 　　度．
18．已知：如图，正方形的边长为，点是边上一点，与对角线交于点，如果，那么线段长为 　　．
三、解答题（本大题共8题，满分64分）
19．解方程：．
20．解方程：．
21．解方程组：．
22．如图，已知梯形中，，点在上，．
（1）填空：　　；
（2）填空：　　；
（3）在图中直接作出．（不写作法，写结论）
23．某物流公司送货员每月的工资由底薪和送货工资两部分组成，送货工资与送货件数成正比例．现有甲、乙两名送货员，当送货件数量为时，甲的工资是（元，乙的工资是（元．如图所示，已知甲的每月底薪是1000元，乙每送一件货物22元．
（1）根据图中信息，分别求出和关于的函数解析式；（不必写定义域）
（2）如果甲、乙两人平均每天送货量分别是10件和12件，求两人的月工资分别是多少元？
（一个月按30天算）
24．已知：如图，在中，点、分别是边、的中点，过点作的平行线，交射线于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，联结、，求证：四边形为矩形．
25．已知：如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在直线上有一点（点在第一象限内），△的面积与△的面积相等．
（1）求点和的坐标；
（2）求点的坐标；
（3）直线与轴交于点，点在线段上，且，求点坐标．
26．在菱形中，，点在边上（不与、重合），将线段绕着点顺时针旋转后，点落在点处，联结，交边于点．
（1）如图1，如果，延长至点，使得，联结．求证：；
（2）联结，
①如图2，设，求与之间的函数关系式；（不写定义域）
②如果，．求证：．
参考答案
一．选择题（共6小题）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D B A B D C
一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则下列判断正确的是　　
A．， B．， C．， D．，
解：一次函数的图象经过第一、二、四象限，
，．
故选：．
2．下列函数中，函数值随的增大而减小的是　　
A． B． C． D．
解：、是反比例函数，图象位于第一、三象限，在第一象限与第三象限，随的增大而减小，故本选项不符合题意；
、是一次函数，随的增大而减小，故本选项符合题意；
、是一次函数，随的增大而增大，故本选项不符合题意；
、，是常数，故本选项不符合题意；
故选：．
3．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为　　
A． B． C． D．
解：由题意，，
．
故选：．
4．下列方程有实数根的是　　
A． B．
C． D．
解：在中，△，故该方程无实数根，故选项不符合题意；
由，可得，故选项符合题意；
由，可知，则该无理方程无解，故选项不符合题意；
由，解得，而使得分母都为0，故该方程无实数根，则选项不符合题意；
故选：．
5．在四边形中，，、交于点，下列说法错误的是　　
A．如果，，那么四边形是矩形
B．如果，那么四边形是菱形
C．如果，，那么四边形是矩形
D．如果，，那么四边形是菱形
解：、，，，那么四边形是矩形，正确，不符合题意；
、，，那么四边形是菱形，正确，不符合题意；
、，，，那么四边形是矩形，正确，不符合题意；
、，，，无法判断四边形是菱形也可以是等腰梯形，错误，符合题意．
故选：．
6．已知：如图，在梯形中，，，，，．有以下两个说法：①梯形的面积；②梯形的周长；对这两种说法的判断正确的是　　
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②均正确 D．①、②均错误
解：如图，梯形的对角线相交于点，
，，即梯形是等腰梯形，
，，
又，
，
，
，
，
即，
，
，
在中，，，
，
同理，
，
梯形
，
因此①正确；
在中，，，
，
梯形的周长为：
，
因此②正确；
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．一次函数方程的截距是 　　．
解：令，得，
直线的截距是，
故答案为：．
8．已知一次函数的图象经过点，且平行于直线，那么这个函数的解析式是 　　．
解：一次函数的图象平行于直线，
该函数值为1，
设该直线解析式为，该函数图象经过点，
，解得：，
一次函数解析式为：．
故答案为：．
9．六边形的内角和的度数是 　　．
解：六边形的内角和的度数是．
故答案为：．
10．矩形的两条对角线的夹角为，较短的边长为，则对角线长为　12　．
解：设对角线的交点为，又矩形的对角线互相平分，矩形的两条对角线夹角为，
则为等边三角形，
所以对角线的一半为，
则对角线长度为．
故答案为：12．
11．已知菱形的边长和一条对角线的长均为，则菱形的面积为　　．
解：如图，为菱形的对角线，且，
四边形为菱形，
，
为等边三角形，
．
故答案为．
12．顺次连接一个矩形各边中点得到的四边形是 　菱形　．
解：如图，连接、，
、、、分别是矩形的、、、边上的中点，
，，
矩形的对角线，
，
四边形是菱形．
故答案为：菱形．
13．任意抛掷一枚均匀的骰子，朝上面的数字为偶数的概率为 　　．
解：根据题意可得：掷一次骰子，向上一面的点数有6种情况，其中有3种为向上一面的点数为偶数，
故朝上面的数字为偶数的概率为．
故选：．
14．我国古代中有这样一个问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6.8尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设矩形门的宽为尺，高为尺，那么可列方程组是 　　．
解：设长方形门的宽尺，高是尺，根据题意得：
，
故答案为：．
15．已知在直角坐标系中有点、和，四边形是平行四边形，那么点的坐标是 　　．
解：如图，
、和，四边形是平行四边形，
把点向下平移4个单位，再向右平移3个单位得到点，
把点向下平移4个单位，再向右平移3个单位得到点，
故答案为：．
16．已知：如图，在梯形中，，点是的中点，，，，长为 　6　．
【解答】解法一：如图1，取中点，连接，
点是的中点，，，
是梯形的中位线，
，
，
，
，
故答案为：6．
解法二：如图2，延长、交于点，
，
，
点是的中点，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
垂直平分，
，
，
故答案为：6．
17．已知：如图，点、分别是双曲线在第一象限内分支上的两点，．过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线交于点，联结．如果，那么等于 　21　度．
解：过点作轴于，交于，连接，设，交于点，如图所示：
轴，轴，
，，
点，分别是双曲线在第一象限内分支上的两点，
设，，
点的坐标为，点的横坐标为，
设直线的表达式为：，
将点代入，得，
直线的表达式为：，
对于，当时，，
点的坐标为，
又，
轴，
轴，
，
，
四边形为平行四边形，
又，
平行四边形为矩形，
，
设，
轴，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即等于21度，
故答案为：21．
18．已知：如图，正方形的边长为，点是边上一点，与对角线交于点，如果，那么线段长为 　　 ．
解：设 ，
四边形是正方形，且边长为，
，，，
，
，
△△，
，
即，
，
，
在△中，由勾股定理得：，
即，
整理得：，
或，
经检验：，均为分式方程的解，但是不合题意，舍去，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8题，满分64分）
19．解方程：．
解：原方程即：
方程两边同时乘以，
得，
化简，得．
解得：或2，
检验：时，，即不是原分式方程的解，
时，，是原分式方程的解，
．
20．解方程：．
解：，
，
，
解得或，
经检验，是原方程的解，是增根，
．
21．解方程组：．
解：，
由①得：③，
把③代入②得：，
整理得：，
解得，，
当时，，
当时，，
方程组的解为：或．
22．如图，已知梯形中，，点在上，．
（1）填空：　　；
（2）填空：　　；
（3）在图中直接作出．（不写作法，写结论）
解：（1）
．
故答案为：．
（2），，
四边形为平行四边形，
．
．
故答案为：．
（3）．
如图，即为所求．
23．某物流公司送货员每月的工资由底薪和送货工资两部分组成，送货工资与送货件数成正比例．现有甲、乙两名送货员，当送货件数量为时，甲的工资是（元，乙的工资是（元．如图所示，已知甲的每月底薪是1000元，乙每送一件货物22元．
（1）根据图中信息，分别求出和关于的函数解析式；（不必写定义域）
（2）如果甲、乙两人平均每天送货量分别是10件和12件，求两人的月工资分别是多少元？
（一个月按30天算）
解：（1）设关于的函数解析式为，
将代入得：
，
解得，
即关于的函数解析式为；
乙每送一件货物22元，
设关于的函数解析式为，
将代入得：
，
解得，
即关于的函数解析式为；
（2）如果甲、乙两人平均每天送货量分别是10件和12件，
那么甲、乙两人一个月送货量分别是（件和（件．
把代入，得（元；
把代入，得（元．
24．已知：如图，在中，点、分别是边、的中点，过点作的平行线，交射线于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，联结、，求证：四边形为矩形．
【解答】证明：（1）点、分别是边、的中点，
是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）如图，由（1）可知，，四边形是平行四边形，
，
点是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
平行四边形为矩形．
25．已知：如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在直线上有一点（点在第一象限内），△的面积与△的面积相等．
（1）求点和的坐标；
（2）求点的坐标；
（3）直线与轴交于点，点在线段上，且，求点坐标．
解：（1）对于，当时，，
令，则，
即点、的坐标分别为：、；
（2）过点作，则△的面积与△的面积相等，
则直线的表达式为：，
当时，，即点；
（3）设直线和交于点，则，
则，
设点，
则，
解得：（舍去）或，
即点，．
26．在菱形中，，点在边上（不与、重合），将线段绕着点顺时针旋转后，点落在点处，联结，交边于点．
（1）如图1，如果，延长至点，使得，联结．求证：；
（2）联结，
①如图2，设，求与之间的函数关系式；（不写定义域）
②如果，．求证：．
【解答】（1）证明：如图1，
四边形为菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由旋转得：，
，
，
，
；
（2）①解：如图2，延长至点，使得，联结，
四边形为菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由旋转得：，
，
，
，
，
，
，
，
即，
；
②证明：如图3，延长至点，使得，联结，延长，作于，作于，
，
，，
设，
，，
四边形为菱形，
，
，
，，
，
由（2）得，，
，
，即，
，
，
，
，
由（2）得，，，
，
，，
，
，
，
，
，
．

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