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2023-2024学年上海市浦东新区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（共6题，每题3分，满分18分）.
1．已知一次函数，那么这个一次函数的图象经过　　
A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限
2．在下列方程中，有实数根的是　　
A． B． C． D．
3．下列等式中不正确的是　　
A． B．
C． D．
4．下列说法正确的是　　
A．不确定事件发生的概率为0.5
B．“顺次连接四边形四条边的中点，得到的四边形是正方形”，这是不可能事件
C．随机事件发生的概率大于0且小于1
D．“取两个无理数，它们的和为无理数”，这是必然事件
5．已知平行四边形，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是　　
A． B． C． D．
6．如图，在等腰梯形中，，联结，，且，设，．下列两个说法：①；②，则下列说法正确的是　　
A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②均正确 D．①②均错误
二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。
7．直线的截距是　　．
8．二项方程在实数范围内的解是 　　．
9．关于的方程的解是　　．
10．用换元法解方程中，如果设，那么将原方程变形后表示为一元二次方程一般形式是 　　．
11．方程的根是 　　．
12．某班的“社会实践活动小组”有男生3人，女生4人，若选出一人做组长，则组长是女生的概率是 　　．
13．如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是 　　．
14．已知菱形的边长为，一条对角线长为，那么菱形的面积为 　　．
15．根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为，根据题意可列方程 　　．
16．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，且，那么的长为　　．
17．在梯形中，，，，点、分别是、的中点，那么的长为 　　．
18．如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，．若，则　　度．
三、解答题：本题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19．解方程：
20．解方程：．
21．已知四边形是平行四边形，点在上．
（1）填空：　　；　　；
（2）求作：．
22．甲、乙两地间铁路长2400千米，经技术改造后，列车实现了提速．提速后比提速前速度增加20千米时，列车从甲地到乙地行驶时间减少4小时．已知列车在现有条件下安全行驶的速度不超过140千米时．请你用学过的数学知识说明这条铁路在现有条件下是否还可以再次提速？
23．寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上点出发，以80千米小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程（千米）与所用时间（小时）的函数图象．
根据图象提供的信息回答下列问题：
（1）图中的　　，　　；
（2）求提速后关于的函数解析式（不用写出定义域）；
（3）她们能否在中午之前到达目的地？请说明理由．
24．如图，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，．
（1）求证：；
（2），平分，，求的长．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，且与直线交于点．
（1）分别求出点、、的坐标；
（2）若是线段上的点，且△的面积为12，求直线的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设是射线上的点，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．已知边长为的正方形中，是对角线上的一个动点（与点，不重合），过点作，交射线于点，过点作，垂足为点．
（1）当点落在线段上时（如图所示），设，的面积为，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
（2）在点的运动过程中，能否为等腰三角形？如果能，试求出的长，如果不能，试说明理由．
参考答案
一、选择题：共6小题，每小题3分，共18分。
1．已知一次函数，那么这个一次函数的图象经过　　
A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限
解：一次函数中，，，
这个一次函数的图象经过一、三、四象限，
故选：．
2．在下列方程中，有实数根的是　　
A． B． C． D．
解：．，
，
算术平方根具有非负性，
此方程无实数根，故本选项不符合题意；
．，
△，
所以此方程无实数根，故本选项不符合题意；
．，
方程两边平方得：，
即，
解得：或，
经检验：是原方程的解，不是原方程的解，
所以此方程有实数根，故本选项符合题意；
．，
方程两边都乘，得，
经检验是增根，
即此方程无实数根，故本选项不符合题意；
故选：．
3．下列等式中不正确的是　　
A． B．
C． D．
解：、，符合题意；
、，不符合题意；
、，不符合题意；
、，不符合题意．
故选：．
4．下列说法正确的是　　
A．不确定事件发生的概率为0.5
B．“顺次连接四边形四条边的中点，得到的四边形是正方形”，这是不可能事件
C．随机事件发生的概率大于0且小于1
D．“取两个无理数，它们的和为无理数”，这是必然事件
解：、不确定事件发生的概率为大于0且小于1，故不符合题意；
、“顺次连接四边形四条边的中点，得到的四边形是正方形”，这是随机事件，故不符合题意；
、随机事件发生的概率大于0且小于1，故符合题意；
、“取两个无理数，它们的和为无理数”，这是随机事件，故不符合题意；
故选：．
5．已知平行四边形，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是　　
A． B． C． D．
解：、，，所以，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；
、不能判定这个平行四边形为矩形，错误；
、，对角线相等，可推出平行四边形是矩形，故正确；
、，所以，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；
故选：．
6．如图，在等腰梯形中，，联结，，且，设，．下列两个说法：①；②，则下列说法正确的是　　
A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②均正确 D．①②均错误
解：过作交的延长线于，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是等腰梯形，
，
，
△是等腰直角三角形，
；故①正确；
过作于，
，
，故②错误；
故选：．
二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。
7．直线的截距是　　．
解：在一次函数中，
，
一次函数在轴上的截距．
故答案为：．
8．二项方程在实数范围内的解是 　　．
解：，
，
，
则，
故答案为：．
9．关于的方程的解是　　．
解：，
，
方程两边都除以得：，
故答案为：．
10．用换元法解方程中，如果设，那么将原方程变形后表示为一元二次方程一般形式是 　　．
解：分式方程中，设，则原方程可变为：
，
两边都乘以得，
，
故答案为：．
11．方程的根是 　　．
解：，
两边平方，得，
整理得：，
解得：或5，
经检验是原方程的解，不是原方程的解，
故答案为：．
12．某班的“社会实践活动小组”有男生3人，女生4人，若选出一人做组长，则组长是女生的概率是 　　．
解： “社会实践活动小组”有男生3人，女生4人，共7人，
选出一人做组长，则组长是女生的概率是．
故答案为：．
13．如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是 　八　．
解：设这个多边形的边数为，则
，
解得，
故这个多边形为八边形．
故答案为：八．
14．已知菱形的边长为，一条对角线长为，那么菱形的面积为 　120　．
解：如图，在菱形中，，，
，，
由勾股定理得：，
，
菱形的面积，
故答案为：120．
15．根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为，根据题意可列方程 　　．
解：根据题意得，，
故答案为：．
16．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，且，那么的长为　4　．
解：四边形是平行四边形，对角线，交于点，
，，
，
，
，
，
设，，
则，
解得：，
则，
故．
故答案为：4．
17．在梯形中，，，，点、分别是、的中点，那么的长为 　7　．
解：，分别是边，的中点，
为梯形的中位线，
．
故答案为：7．
18．如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，．若，则　18　度．
解：连接，如图：
四边形是矩形，
．
是的中点，
，
，．
，关于对称，
，
．
，，，
．
．
，
．
，
．
设，则，
．
，
．
．
故答案为：18．
三、解答题：本题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19．解方程：
解：去分母得：，即，
分解因式得：，
解得：或，
经检验是增根，分式方程的解为．
20．解方程：．
解：，
或
解得或．
21．已知四边形是平行四边形，点在上．
（1）填空：　　；　　；
（2）求作：．
解：（1）四边形是平行四边形，
，，
由题意，，，
故答案为，．
（2）连接．
，
即为所求．
22．甲、乙两地间铁路长2400千米，经技术改造后，列车实现了提速．提速后比提速前速度增加20千米时，列车从甲地到乙地行驶时间减少4小时．已知列车在现有条件下安全行驶的速度不超过140千米时．请你用学过的数学知识说明这条铁路在现有条件下是否还可以再次提速？
解：设提速后列车速度为千米时，则：．
解之得：，（舍去）．
经检验是原方程的根．
，仍可再提速．
答：这条铁路在现有条件下仍可再次提速．
23．寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上点出发，以80千米小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程（千米）与所用时间（小时）的函数图象．
根据图象提供的信息回答下列问题：
（1）图中的　3　，　　；
（2）求提速后关于的函数解析式（不用写出定义域）；
（3）她们能否在中午之前到达目的地？请说明理由．
解：（1），，
故答案为：3，320．
（2）设提速后关于的函数解析式为、为常数，且．
将坐标和代入，
得，
解得，
提速后关于的函数解析式为．
（3）能．理由如下：
当她们到达目的地时，，
得，
解得，
6.2小时时12分，
她们于分到达目的地．
24．如图，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，．
（1）求证：；
（2），平分，，求的长．
【解答】（1）证明：在中，、分别是、的中点，
，，
在中，是中点，
，
，
．
（2）解：，平分，
，
由（1）可知，，
，
，
，
，
，
由（1）可知，
25．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，且与直线交于点．
（1）分别求出点、、的坐标；
（2）若是线段上的点，且△的面积为12，求直线的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设是射线上的点，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）直线，
当时，，
当时，，
，，
解方程组：得：，
，
答：，，．
（2）解：设，
△的面积为12，
，
解得：，
，
设直线的函数表达式是，把，代入得：
，
解得：，
，
答：直线的函数表达式是．
（3）答：存在点，如图，设，，
当为菱形的对角线时，，且，
解得：，
，；
当为菱形的对角线时，，，
，
解得：，
，，，；
当为菱形的对角线时，则，，，
，
解得：（舍去）或，
，；
以、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标是或或．
26．已知边长为的正方形中，是对角线上的一个动点（与点，不重合），过点作，交射线于点，过点作，垂足为点．
（1）当点落在线段上时（如图所示），设，的面积为，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
（2）在点的运动过程中，能否为等腰三角形？如果能，试求出的长，如果不能，试说明理由．
解：（1）过点作于，过点作于，连接，交于点，
四边形是正方形，，，
，
，，
，
即，
，
在和中，
，
，
，
四边形是正方形，
．
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
四边形是边长为的正方形，
，
，
，
，
即与之间的函数关系式为；
（2）①若点在线段上，
，
，
，
．
若为等腰三角形，则，
，
，与矛盾，
当点在线段上时，不可能是等腰三角形；
②若点在线段的延长线上，
若是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为．

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