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2023-2024学年上海市杨浦区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共6题，每题3分，满分18分）.
1．下列函数中，一次函数的是　　
A． B．
C． D．为常数）
2．下列方程中，有实数根的方程是　　
A． B． C． D．
3．下列关于向量的等式中，正确的是　　
A． B． C． D．
4．下列事件中，随机事件的是　　
A．直线与直线有公共点
B．10位学生分3组，至少有一组人数超过3
C．任取一个实数，它的平方小于零
D．掷一次骰子，向上的一面是6点
5．下列命题中，正确的是　　
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的菱形是正方形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是正方形
6．上海市16个区共约1326条健身步道和绿道，甲、乙两人沿着总长度为9千米的“健身步道“行走，甲的速度是乙的1.5倍，甲比乙提前15分钟走完全程．如果设乙的速度为千米时，那么下列方程中正确的是　　
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．直线的截距是 　　．
8．方程的根是　　．
9．方程的解是 　　．
10．方程组的解是 　　．
11．如果直线经过第一、三、四象限，那么的取值范围是 　　．
12．已知方程，如果设，那么原方程转化为关于的整式方程为 　　．
13．在四张完全相同的卡片上分别印有平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取一张，那么抽到卡片上印有的图案是中心对称图形的概率为 　　．
14．某种型号电视机经过连续两次降价，每台售价由原来1500元降到980元，设平均每次降价的百分率为，那么可列方程为 　　．
15．如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是 　　．
16．如果一个等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米，那么这个梯形的中位线长为　　厘米．
17．已知直线与直线，如果满足，，那么直线与直线称为“互为交换直线”如果直线与其交换直线分别与轴交于点、，且，那么　　．
18．如图，已知在梯形中，，，，，平分，交边于点．如果是直角三角形，那么的长为 　　．
三、解答题（本大题共7题，满分46分）
19．解方程：
20．解方程组：．
21．如图，在中，点、、分别是边、、的中点．
（1）写出图中所有与相等的向量：　　；
（2）用图中的向量表示：　　；
（3）求作： （不要求写作法，但要写出结论）．
22．、两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶．甲车从城驶往城，乙车从城驶往城，甲车在行驶过程中速度始终不变．甲车距城高速公路入口处的距离（千米）与行驶时间（时之间的关系如图．
（1）求关于的函数解析式；
（2）已知乙车以60千米时的速度匀速行驶，当乙车与甲车相遇后速度随即改为（千米时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚40分钟到达终点，求乙车变化后的速度．
23．已知：如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，联结．
（1）求证：；
（2）联结、，如果，求证：四边形是矩形．
24．已知在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点，点．点是轴上一点，点是平面内一点，四边形是菱形．
（1）求点和点的坐标；
（2）由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形，对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”；否则叫做“凹多边形”．如果点是直线上的一个动点，纵坐标为，且四边形是凹四边形（线段与线段没有交点），求的取值范围．
25．已知在矩形中，，，点是边上的动点，联结．线段绕点顺时针旋转，点落在点处．
（1）如图1，当时，求的面积；
（2）设，，求关于的函数关系式和定义域；
（3）作的平分线与边所在直线交于点，如果，求的长．
参考答案
一．选择题（共6小题）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B D B D C D
一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．下列函数中，一次函数的是　　
A． B．
C． D．为常数）
解：、，不符合一次函数的定义，故此选项不符合题意；
、属于一次函数，故此选项符合题意；
、是反比例函数，不符合一次函数的定义，故此选项不符合题意；
、当时，不是一次函数，故此选项不符合题意；
故选：．
2．下列方程中，有实数根的方程是　　
A． B． C． D．
解：由分子为0而分母不为0可得分式为0可知中无解，不符合题意；
由可得：，根据算术平方根的非负性可知中无解，不符合题意；
由可得，根据平方的非负性可知中无解，不符合题意；
由可得，，所以中有实数根，符合题意．
故选：．
3．下列关于向量的等式中，正确的是　　
A． B． C． D．
解：，
，
，
，
选项、、错误，选项正确，
故选：．
4．下列事件中，随机事件的是　　
A．直线与直线有公共点
B．10位学生分3组，至少有一组人数超过3
C．任取一个实数，它的平方小于零
D．掷一次骰子，向上的一面是6点
解：、直线与直线不平行，所以有公共点，是必然事件，不符合题意；
、10位学生分3组，至少有一组人数超过3是必然事件，不符合题意；
、任取一个实数，它的平方小于零是不可能事件，不符合题意；
、掷一次骰子，向上的一面是6点是随机事件，符合题意；
故选：．
5．下列命题中，正确的是　　
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的菱形是正方形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是正方形
解：、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
、菱形对角线必然互相垂直，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意；
、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：．
6．上海市16个区共约1326条健身步道和绿道，甲、乙两人沿着总长度为9千米的“健身步道“行走，甲的速度是乙的1.5倍，甲比乙提前15分钟走完全程．如果设乙的速度为千米时，那么下列方程中正确的是　　
A． B．
C． D．
解：甲的速度是乙的1.5倍，且乙的速度为，
甲的速度为．
依题意得：．
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．直线的截距是 　　．
解：令，得，
直线的截距是，
故答案为：．
8．方程的根是　　．
解：（法方程可变形为，
因为，
所以方程的解为．
故答案为：
（法方程可变形为，
所以．
故答案为：
9．方程的解是 　　．
解：，
两边平方得，，
解得，；
经检验，是方程的根；
故答案为．
10．方程组的解是 　或　．
解：根据题意、可看作方程的两根，
，
解得，，
所以或．
故答案为或．
11．如果直线经过第一、三、四象限，那么的取值范围是 　　．
解：，
经过一、三象限，
经过第一、三、四象限，
，
．
故答案为：．
12．已知方程，如果设，那么原方程转化为关于的整式方程为 　　．
解：设，则，
原方程化为：，
去分母得：，
即，
故答案为：．
13．在四张完全相同的卡片上分别印有平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取一张，那么抽到卡片上印有的图案是中心对称图形的概率为 　　．
解：平行四边形、矩形、菱形是中心对称图形，
抽到的卡片上印有的图案是中心对称图形的概率为．
故答案为：．
14．某种型号电视机经过连续两次降价，每台售价由原来1500元降到980元，设平均每次降价的百分率为，那么可列方程为 　　．
解：由题意可得，
，
故答案为：．
15．如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是 　八　．
解：设这个多边形的边数为，则
，
解得，
故这个多边形为八边形．
故答案为：八．
16．如果一个等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米，那么这个梯形的中位线长为　13　厘米．
解：等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米，
两底的和（厘米），
这个梯形的中位线长为（厘米），
故答案为：13．
17．已知直线与直线，如果满足，，那么直线与直线称为“互为交换直线”如果直线与其交换直线分别与轴交于点、，且，那么　1或3　．
解：由题意得直线的交换直线为直线，
直线与其交换直线分别与轴交于点、，
，，
，
或3．
故答案为：1或3．
18．如图，已知在梯形中，，，，，平分，交边于点．如果是直角三角形，那么的长为 　1.5或2　．
解：依题意得，当是直角三角形时，有以下两种情况：
①当时，过点作，交延长线于，如图1所示：
，，
，，
又，交延长线于，
，
四边形为矩形，
，，
平分，
，
设，则，
在和中，
，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
则；
②当时，过点作于，如图2所示：
，于，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
综上所述：的长为1.5或2．
三、解答题（本大题共7题，满分46分）
19．解方程：
解：去分母得：，即，
分解因式得：，
解得：或，
经检验是增根，分式方程的解为．
20．解方程组：．
解：，
由②得：，
即，③，
则由①和③组成两个方程组，，
解之得：，，
即原方程组的解是，．
21．如图，在中，点、、分别是边、、的中点．
（1）写出图中所有与相等的向量：　，　；
（2）用图中的向量表示：　　；
（3）求作： （不要求写作法，但要写出结论）．
解：（1）点、、分别是边、、的中点，
，，，
，，，
四边形为平行四边形，
与相等的向量有：，，
故答案为：，；
（2）根据平行四边形法则：，
故答案为：；
（3），
如图示：即为所求．
22．、两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶．甲车从城驶往城，乙车从城驶往城，甲车在行驶过程中速度始终不变．甲车距城高速公路入口处的距离（千米）与行驶时间（时之间的关系如图．
（1）求关于的函数解析式；
（2）已知乙车以60千米时的速度匀速行驶，当乙车与甲车相遇后速度随即改为（千米时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚40分钟到达终点，求乙车变化后的速度．
解：（1）设与的函数解析式：，
将点，代入函数解析式，
得，
解得，
；
（2）当时，，
两车相遇时，，
解得，
根据题意，得，
解得，
答：乙车变化后的速度为90千米时．
23．已知：如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，联结．
（1）求证：；
（2）联结、，如果，求证：四边形是矩形．
【解答】证明：（1）如图，连接并延长，交于点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
是的中位线，
；
（2）连接并延长，交于点，
由（1）可知：，
，
同理可得：，
，
梯形为等腰梯形，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形为矩形，
，
四边形是矩形．
24．已知在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点，点．点是轴上一点，点是平面内一点，四边形是菱形．
（1）求点和点的坐标；
（2）由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形，对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”；否则叫做“凹多边形”．如果点是直线上的一个动点，纵坐标为，且四边形是凹四边形（线段与线段没有交点），求的取值范围．
解：（1）如图，
四边形是菱形，
，，，
设点，，，
，
即，
，
即，
，
，
即；
（2），，，
将点，代入直线，
则，
解得，
直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
将点，代入，
则，
解得，
直线的解析式为：，
如图，当点在直线下方，直线上方时，四边形是凹四边形，
此时，令，则有，
，
如图，当点在直线上方时，四边形是凹四边形，
此时，令，则有，
，
综上，四边形是凹四边形，或．
25．已知在矩形中，，，点是边上的动点，联结．线段绕点顺时针旋转，点落在点处．
（1）如图1，当时，求的面积；
（2）设，，求关于的函数关系式和定义域；
（3）作的平分线与边所在直线交于点，如果，求的长．
解：（1）如图1，作于，并延长交于，
四边形为矩形，
，，
，
由旋转得，，，
，
，
，
，
，
，
易得四边形为矩形，
，
，
；
（2）如图1，由（1）得，
，，
，，
，
在中，，即，
；
（3）如图2，当点在点上方时，
延长、交于，作于，
，，
，
，
，
，，
，
，
设，，，
，
平分，
，
，
，
在中，，即，
，
，
，
，
，
，
，
如图3，当点在点下方时，
延长、交于，作于，
，，
，
，
，
，，
，
，
设，，，
，
平分，
，
，
，
在中，，即即，
，
，
，
，
，
，
，
综上，的长为或．

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