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2023-2024学年上海市宝山区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.
1．下列方程为无理方程的是　　
A． B． C． D．
2．已知，那么的值是　　
A．1 B．3 C． D．
3．已知菱形的边长是8，一个内角是，那么这个菱形的面积是　　
A．64 B．32 C． D．
4．下列事件中，属于确定事件的是　　
A．直线与直线有公共点
B．当取某个实数值时，关于的方程有实数根
C．抛掷一枚质地均匀的硬币，结果硬币的正面朝上
D．有两条边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
5．下面是两位同学对于某个一次函数、为常数，且图象的描述：
同学甲：不经过第三象限；
同学乙：经过点．
根据这两位同学的描述，下列结论中错误的是　　
A． B． C． D．
6．如图，已知梯形是某菜园的一块空地，，，米，，某同学由上述条件得到以下两个结论：
①对角线将梯形分成的两个三角形的面积之比；
②现准备过的中点修一条笔直的小路（点在边上，小路面积忽略不计），将这块空地分成面积相等的两部分，分别种植不同的蔬菜，那么小路的长是米．
对于结论①和②，下列说法正确的是　　
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都正确 D．①和②都错误
二、填空题（共12题，每题4分，满分48分）.
7．一次函数的图象在轴上的截距是　 　．
8．方程的根是　 　．
9．方程的根是　 　．
10．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是　 　．
11．化简：　 　．
12．随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买、两种型号的充电桩，已知型充电桩比型充电桩的单价多0.4万元，且用10万元购买型充电桩与用12万元购买型充电桩的数量相等．设型充电桩的单价是万元，那么根据题意可列方程　 　．
13．如果直线平移后经过点，那么平移后的直线表达式是　 　．
14．先后两次掷一枚材质均匀的骰子，第一次掷得的点数记为，第二次掷得的点数记为，那么点落在直线上的概率是　 　．
15．如果一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，那么这个多边形的边数为　 　．
16．如图，已知菱形的边长是4，，、是边、的中点，、是线段、的中点，那么　 　．
17．在平面直角坐标系中，如果两个点的横坐标、纵坐标都是整数，且这两个点的横坐标与纵坐标的积相等，我们就称这两个点互为等积点．如：点与点互为等积点．那么以点和它的所有等积点为顶点的凸多边形的面积是　 　．
18．已知矩形，，将沿着直线翻折，点落在点处，如果点到直线的距离是6，那么的长是　 　．
三、解答题（共7题，其中第19至22题每题10分，第23至24题每题12分，第25题14分，满分78分）.
19．解方程：．
20．解方程组：．
21．如图，中，、、分别是、、三边的中点，连接、，交于点，设，．
（1）试用向量表示　 　；
（2）在图中求作：、．（不要写出过程，只需写出结论即可）
22．暑期将至，某健身俱乐部为了促销，面向学生推出三种优惠活动．
活动一：购买一张学生暑期卡元张），每次凭卡不需要再付费；
活动二：购买一张学生暑期乐享卡元张），每次费用按平常价格的六折优惠；
活动三：不购买上述暑期卡，凭学生证每次费用按平常价格的九折优惠．
三种活动仅限暑期月1日至8月31日期间）使用，次数不限．
又知学生甲计划暑期前往该健身俱乐部15次，如果选择活动二，共需支付费用650元．请根据上述信息，解答下列问题：
（1）每次健身的平常价格是　 　元；
（2）设健身次时，所需总费用为元．当选择活动三时，与的函数关系式是　 　．
（3）学生乙计划暑期前往健身俱乐部25次，选择哪种活动所需费用最少？说明理由．
23．如图，已知平行四边形，是边的中点，点在边上，连接并延长交的延长线于点，连接、．
（1）如果，求证：四边形是矩形；
（2）如果是边的中点，且，求证：四边形是菱形．
24．如图，在平面直角坐标系中，点、，将点向左平移2个单位后落在轴上的点处．
（1）求的值；
（2）将线段绕点逆时针旋转，点落在点处，求直线的表达式；
（3）设（2）中的直线与轴交于点，在直角坐标平面内找点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．
25．如图，梯形，，，，，的平分线交边于点．
（1）如果，，求的长；
（2）如果，设，四边形的面积为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
（3）设是的中点，连接，如果，且，求的长．
参考答案
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.
1．下列方程为无理方程的是　　
A． B． C． D．
解：．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意；
．根号内含有未知数，方程属于无理方程，故本选项符合题意；
．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意；
．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意．
故选：．
2．已知，那么的值是　　
A．1 B．3 C． D．
解：．
故选：．
3．已知菱形的边长是8，一个内角是，那么这个菱形的面积是　　
A．64 B．32 C． D．
解：如图，四边形是菱形，
连接，过点作于，
四边形菱形的边长是8，一个内角是，
，，
是等边三角形，
，
，
菱形的面积．
故选：．
4．下列事件中，属于确定事件的是　　
A．直线与直线有公共点
B．当取某个实数值时，关于的方程有实数根
C．抛掷一枚质地均匀的硬币，结果硬币的正面朝上
D．有两条边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
解：．因为两直线值相同，所以直线与直线没有公共点，故本选项不符合题意；
．当取非负数时，关于的方程有实数根，
取负数时，关于的方程没有实数根
是确定事件中的不可能事件，故本选项符合题意；
．抛掷一枚质地均匀的硬币，结果硬币的正面朝上，此为随机事件，故本选项不符合题意；
．有两条边及其中一边的对角对应相等且为直角时，这两个三角形全等，此为不确定事件，故本选项不符合题意．
故选：．
5．下面是两位同学对于某个一次函数、为常数，且图象的描述：
同学甲：不经过第三象限；
同学乙：经过点．
根据这两位同学的描述，下列结论中错误的是　　
A． B． C． D．
解：该函数的图象经过点，
，
故，
故正确，不符合题意；
该函数的图象不经过第三象限，经过点，
，，
故，
故、正确，不符合题意；
，
，
，
，
故错误，符合题意，
故选：．
6．如图，已知梯形是某菜园的一块空地，，，米，，某同学由上述条件得到以下两个结论：
①对角线将梯形分成的两个三角形的面积之比；
②现准备过的中点修一条笔直的小路（点在边上，小路面积忽略不计），将这块空地分成面积相等的两部分，分别种植不同的蔬菜，那么小路的长是米．
对于结论①和②，下列说法正确的是　　
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都正确 D．①和②都错误
解：如图，过点作交的延长线于点，
则，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
，故①错误；
如图，根据题意得平分梯形的面积，
，
点是中点，
，
，
，
故点作交于点，
则四边形是矩形，
，，
在△中，，故②正确；
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．一次函数的图象在轴上的截距是　　．
解：一次函数中，
此函数图象在轴上的截距是．
故答案为：．
8．方程的根是 　3　．
解：，
，
，
，
故答案为：3．
9．方程的根是　　．
解：，
或，
，，
检验：当，无意义，
．
故答案为．
10．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是　　．
解：设，
则原方程可化为：，
整理，得，
故答案为：．
11．化简：　　．
解：．
故答案为：．
12．随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买、两种型号的充电桩，已知型充电桩比型充电桩的单价多0.4万元，且用10万元购买型充电桩与用12万元购买型充电桩的数量相等．设型充电桩的单价是万元，那么根据题意可列方程 　　．
解：设型充电桩的单价是万元，则型充电桩的单价为万元，
根据题意得，
故答案为：．
13．如果直线平移后经过点，那么平移后的直线表达式是 　　．
解：设平移后的直线表达式是，
直线平移后经过点，
，
解得，
平移后的直线表达式是，
故答案为：．
14．先后两次掷一枚材质均匀的骰子，第一次掷得的点数记为，第二次掷得的点数记为，那么点落在直线上的概率是 　　．
解：列表如下：
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
共有36种等可能的结果，其中点落在直线上的结果有：，，，共3种，
点落在直线上的概率为．
故答案为：．
15．如果一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，那么这个多边形的边数为 　10　．
解：这个多边形的内角和为，
设这个多边形的边数为，
则，
解得：．
这个多边形的边数是10．
故答案为：10．
16．如图，已知菱形的边长是4，，、是边、的中点，、是线段、的中点，那么　　．
解：连接，，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
点是的中点，
，，
，
、是线段、的中点，
是的中线，
．
故答案为：．
17．在平面直角坐标系中，如果两个点的横坐标、纵坐标都是整数，且这两个点的横坐标与纵坐标的积相等，我们就称这两个点互为等积点．如：点与点互为等积点．那么以点和它的所有等积点为顶点的凸多边形的面积是　16　．
解：根据互为等积点的定义得出点的等积点为，，，
故以、、、为顶点的四边形的面积
．
故答案为：16．
18．已知矩形，，将沿着直线翻折，点落在点处，如果点到直线的距离是6，那么的长是 　5或20　．
解：①如图1，当时，交于点，过点作交于点，则，
四边形是矩形，
，
根据折叠的性质得，，
，
，
，，
设，
，即．
，
在中，，即，
解得：，
；
②如图2，时，过点作交的延长线于点，过点作交于点，则，
四边形是矩形，
．，
四边形是矩形，
，，
，
根据折叠的性质得，，，，
在中，，
设，，
在中，，即，
解得：，
，
综上，或20；
故答案为：5或20．
三、解答题（本大题共7题，其中第19至22题每题10分，第23至24题每题12分，第25题14分，满分78分）
19．解方程：．
解：，
，
，
，
，
，
或，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
20．解方程组：．
解：，
由②得：，
或③，
由①和③组成两个二元一次方程组：，
解得：，，
所以原方程组的解是，．
21．如图，中，、、分别是、、三边的中点，连接、，交于点，设，．
（1）试用向量表示　　；
（2）在图中求作：、．（不要写出过程，只需写出结论即可）
解：（1）、分别是、边的中点，，，
，，
．
是的中点，
，
．
故答案为：．
（2），
如图，即为所求．
、分别是、边的中点，
为的中位线，
，，
．
是的中点，
，
．
如图，即为所求．
22．暑期将至，某健身俱乐部为了促销，面向学生推出三种优惠活动．
活动一：购买一张学生暑期卡元张），每次凭卡不需要再付费；
活动二：购买一张学生暑期乐享卡元张），每次费用按平常价格的六折优惠；
活动三：不购买上述暑期卡，凭学生证每次费用按平常价格的九折优惠．
三种活动仅限暑期月1日至8月31日期间）使用，次数不限．
又知学生甲计划暑期前往该健身俱乐部15次，如果选择活动二，共需支付费用650元．请根据上述信息，解答下列问题：
（1）每次健身的平常价格是 　50　元；
（2）设健身次时，所需总费用为元．当选择活动三时，与的函数关系式是 　　．
（3）学生乙计划暑期前往健身俱乐部25次，选择哪种活动所需费用最少？说明理由．
解：（1）设每次健身的平常价格为元，
根据题意得，
解得，
每次健身的平常价格为50元，
故答案为：50；
（2）根据题意得：，
故答案为：；
（3）活动一：800元；
活动二：（元；
活动三：（元；
活动一所需费用最少．
23．如图，已知平行四边形，是边的中点，点在边上，连接并延长交的延长线于点，连接、．
（1）如果，求证：四边形是矩形；
（2）如果是边的中点，且，求证：四边形是菱形．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
，
是边的中点，
，
又，
，
，，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是矩形；
（2）连接，如图，
是边的中点，是边的中点，
是的中位线，
，
，
又，
，
，
又，，
，
，
四边形是菱形．
24．如图，在平面直角坐标系中，点、，将点向左平移2个单位后落在轴上的点处．
（1）求的值；
（2）将线段绕点逆时针旋转，点落在点处，求直线的表达式；
（3）设（2）中的直线与轴交于点，在直角坐标平面内找点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．
解：（1）将点向左平移2个单位后落在轴上，
，
解得：；
的值为0；
（2）由（1）可得，
，
，
如图：
根据旋转可得，，
，
设直线的表达式为，
直线经过点，
，
解得：，
直线的表达式为；
（3）由（2）知直线的表达式为，
，
设，
又，，
①若，为对角线，则，的中点重合，
，
解得：，
；
②若，为对角线，则，的中点重合，
，
解得：，
；
③若，为对角线，则，的中点重合，
，
解得；
；
综上所述，的坐标为或或．
25．如图，梯形，，，，，的平分线交边于点．
（1）如果，，求的长；
（2）如果，设，四边形的面积为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
（3）设是的中点，连接，如果，且，求的长．
解：（1）过点作交于点，如图，
，
四边形是矩形，
，
，平分，
，
，
由勾股定理可得，，
．
（2）由（1）可知，，
，
，
，
由勾股定理可得，，
，
，
，，
，
解得，
．
（3）延长交于点，如图，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，平分，
，
，
，
是的中点，，
，，，
，
，
，
，
由勾股定理得，，
即，
解得，
，
．

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