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期末 压轴题（选择题 填空题）36题
一、平行四边形——综合辨析题
1．如图，边长为的正方形，对角线，相交于O，E为边上一动点（不与B，C重合），交于F，G为中点．给出如下四个结论：
①；②点E在运动过程中，面积不变化；③周长的最小值为；④点E在运动过程中，与始终相等
其中正确的结论是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④
【答案】A
【来源】江苏省扬州苏东坡中学2023-2024学年下学期八年级数学期末考试
【分析】①证明，则可证得结论①正确；②由的值随着点E在运动，先变小，后变大，根据三角形面积公式即可判断选项②错误；③根据，得到，设，则，利用勾股定理得到，利用非负数的性质求得的最小值，即可求得选项③正确；④利用直角三角形斜边中线的性质，即可得出选项④正确．
【详解】解：①∵四边形是正方形，相交于点O，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故①正确；
②∵的值随着点E在上由B向C运动过程中，先变小，后变大，
∴面积也先变小，后变大；
故②错误；
③∵，
∴，
设，
则，
∴，
∴当时，有最小值，最小值为，
∵，
∴周长的最小值为；
故③正确；
④∵，G为中点，
∴，
∴点E在运动过程中，与始终相等，
故④正确；
综上，①③④正确．
故选：A．
2．在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，交于，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【来源】江苏省无锡市锡山高级中学实验学校2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题
【分析】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．如图1中，作于，于，由，推出，由，，可得，故①正确，如图2中，延长交的延长线于，作于．易证，可得，设，则，通过计算即可一一判断．
【详解】解：如图，作于，于．
，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，，
，
平分，故①正确，
如图中，延长交的延长线于，作于．
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，，
，
，
设，则，
，
，，
，
，故②正确，
，
，
，
，故③正确，
，
，故④错误，
故选：A
3．如图，在正方形中，，为上一动点，交于，过作交于点，过作于，连结．在以下四个结论中：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．①③ B．②③ C．③④ D．②④
【答案】B
【来源】江苏省无锡市宜兴市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
【分析】连接，延长交于点，证明即可证明，由，即可证明②正确；如图，连接交于，可得 ，，证明，可得③正确，是动点，则是动点，的长度的变化的，可得的长度是变化的，可得④错误．
【详解】解：①连接，延长交于点，连接，
为正方形的对角线，
，
，
，
，
，，
∴，
，
，
，
，
，
∵，
∴，故①错误；
，，
，故②正确；
③如图，连接交于，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故③正确；
④∵是动点，则是动点，的长度的变化的，
∴的长度是变化的，故④错误；
综上：②③正确；
故选B
4．如图，点E是线段上一点，四边形和四边形均为正方形，连接，分别交于点M、N，延长交于点H，连接、、．若已知的面积，则一定能求出（ ）

A．四边形的面积 B．四边形的面积
C．的面积 D．与的面积之和
【答案】C
【来源】江苏省泰州市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
【分析】如图所示，连接，先证明，再证明都是等腰直角三角形，得到，进而推出，则，证明，得到，再证明四边形是菱形，得到；证明，得到，则；证明四边形是矩形，得到，则 ，即可推出，
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形和四边形均为正方形，
∴，，
∴，即，
由正方形的性质可得，
∴都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由正方形的对称性可得，
∴，
∴四边形是菱形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴
；
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴
，
∴，
∴，
故选：C．

5．如图，在给定的正方形中，点E从点B出发，沿边方向向终点C运动，交于点F，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（ ）

A．一直减小 B．一直减小后增大
C．一直不变 D．先增大后减小
【答案】A
【来源】江苏省泰州市泰州中学附属初级中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
【分析】过点P作，交的延长线于点H，根据平行四边形，可得到，；结合，得到，继而得到，根据正方形的性质，得，得到；由，，得到，证明，得到，，继而得到； 证明，得到，继而得到，得到，结合运动属性，一直增大，继而判定一直减小，解答即可．
本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【详解】过点P作，交的延长线于点H，
∵平行四边形，
∴，；
∵，
∴，
∴，
根据正方形的性质，得，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴；
根据正方形的性质，，得，，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据运动属性，得一直增大，继而判定一直减小，
故选A．

6．如图，矩形的边上有一点E，，，，垂足为F，将绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点G落在上，点E恰好落在点B处，连接．有下列结论：①；②平分；③；④在上存在一点P，使的值最小为．其中结论正确的是（ ）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】A
【来源】江苏省无锡市经开区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题
【分析】先判定四边形是矩形，四边形是正方形，根据特殊四边形的性质和旋转的性质，得出，再利用等角对等边，即可判断①结论；根据正方形和旋转的性质，得到，即可判断②结论；过点G作于点H，利用矩形和旋转的性质，得到，再利用角平分线的性质定理，得到，证明是等腰直角三角形，利用勾股定理，求得，然后利用三角形面积公式，即可判断③结论；连接，根据正方形性质和两点间线段最短可知，与交点即为点P，当点C、P、G三点共线时，有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求出的长，即可判断④结论．
【详解】解： 四边形是矩形，
，
，
，
四边形和四边形是矩形，
由旋转的性质可知，，
四边形是正方形，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，①结论正确；
四边形是正方形，
，
由旋转的性质可知，，
，
，
平分，②结论正确；
如图，过点G作于点H，
四边形是矩形，
，
由旋转的性质可知，，
平分，，，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
和是等高三角形，
，
，③结论正确；
由正方形的性质可知，点F和点C关于对称，
点P在上，
，
如图，连接，与交点即为点P，

，
当点C、P、G三点共线时，有最小值，最小值为的长，
四边形是正方形，
，
在中，，
的值最小为，④结论错误；
综上可知，正确的结论有①②③，
故选：A．
二、平行四边形-最值问题
7．如图，在矩形中，，，点是上一点，且，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则面积的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【来源】江苏省无锡市锡山区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，由矩形的性质可得点重合，的值最小，即为的长，即得的最小值为，得到的最小值为，延长相交于点，过点作的延长线于点，证明得到，可得当取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值，当取最大时，点重合，此时，即得，得到，最后利用三角形面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，
当时，取最小值，
∵四边形为矩形，
∴，
∴点重合，的值最小，即为的长，
∵，，
∴，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
延长相交于点，过点作的延长线于点，则，
∵四边形为矩形，四边形为菱形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值，
当取最大时，点重合，此时，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
8．如图，在菱形中，，，点、分别在边、上，且，则的最小值是（ ）

A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【来源】江苏省常州市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题
【分析】连接，很容易能得到和全等，根据全等的性质，能推出为等边三角形，从而将的最小值问题转化为的最小值；而的最小值，又可以联想到点到的距离：垂线段最短，从而将问题解决了．
【详解】解：过点作，连接，
，
四边形是菱形，
，，
和都是等边三角形，
，，
在中，，
，
在中，根据勾股定理，得：，
，
，
垂线段最短，
，
．
在和中，
≌．
，，
即：，
，，
为等边三角形，
，
，
即：有最小值．
故选：．
9．如图，E为正方形中边上的一点，且，，M、N分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为（ ）

A．8 B．8 C．8 D．12
【答案】C
【来源】江苏省无锡市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
【分析】由勾股定理可求的长，由“”可证，可得，通过证明四边形是平行四边形，可得，由，可得当点A，点M，点G三点共线时，的最小值为，由勾股定理即可求解．
【详解】解：过点D作，交于点H，过点E作，过点M作，直线交于点G，连接，如图，

∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当点A，点M，点G三点共线时，的最小值为，
∴．
故选：C．
10．在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，则的最小值为 ．
【答案】
【来源】江苏省淮安市淮阴区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
【分析】如图，以为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点H，由勾股定理得，，证明四边形是矩形，证明，则，由四边形是平行四边形，证明是等腰直角三角形，则，由，可知当A、G、N在一条直线上时最小，为，然后作答即可．
【详解】解：如图，以为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点H，
∵正方形，
∴，，
∵E是的中点，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴当A、G、N在一条直线上时最小，为，
故答案为：．
11．如图，正方形的边长为2，，点是直线上一个动点，连接，线段绕点顺时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值为 ．
【答案】
【来源】江苏省扬州市广陵区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
【分析】连接，在上截取，使，连接，过点作于点，证明，得出，点在直线上运动，当点与重合时，的值最小，求出最小值即可．
【详解】解：连接，在上截取，使，连接，过点作于点，如图所示：
∵四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中
，
∴，
∴，
∴点在直线上运动，当点与重合时，的值最小，
∵，
∴，
故答案为：．
12．如图，正方形的边长为8，是的中点，是上的动点，过点作分别交于点．则的最小值是 ．
【答案】
【来源】江苏省扬州市梅岭教育集团2023-2024学年八年级下学期6月期末数学试题
【分析】如图，过作于，则四边形是矩形，证明，则，如图，将沿着的方向平移到，连接，证明四边形是平行四边形，则，如图，过作，使，连接并延长交的延长线于，连接，证明四边形是平行四边形，则，，证明四边形是矩形，则，，，，，由，可知三点共线时，的和最小，为，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：∵正方形，
∴，，
如图，过作于，则四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
如图，将沿着的方向平移到，连接，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
如图，过作，使，连接并延长交的延长线于，连接，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴当三点共线时，的和最小，为，
由勾股定理得，，
故答案为：．
13．如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接且点P是的中点，连接、，则的最小值等于 ．
【答案】
【来源】江苏省镇江市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
【分析】本题考查了菱形的性质、用轴对称方法解决最短路径问题，以及勾股定理等知识．
首先证明，随着点E的运动，点P到等距，即在过菱形对角线交点，平行于边的直线l上，过点D作于点F，得到点D和F关于直线l对称，连交直线l于点H，连，证明当点P与点H重合时，的值最小，再分别求出，，即可．
【详解】解：过P作于点N，交于点M，
由题意，，
∴，
∵点P是CE的中点，
∴，
∴，
∴，
则由题意可知，随着点E的运动，点P到等距，即在过菱形对角线交点，平行于边的直线l上
过点D作于点F，
则此时点D和F关于直线l对称，
连交直线l于点H，连，
则，
当点P与点H重合时，的值最小，
由题意，，，
∴，，
∴
故答案为：
14．如图点A坐标是，点B是x正半轴上的任意一动点，以为边向右侧作矩形， 且；则点 D到x轴距离的最大值是 ．

【答案】4
【来源】江苏省宿迁市泗阳县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
【分析】本题考查等积法，直角三角形斜边中线等于斜边一半，矩形性质等．根据题意取点，即和，当三点共线时点 D到x轴距离的最大值．
【详解】解：∵，即矩形面积为6，
∴，
∴取点，即，

∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
取F为的中点，
∴，
∴当三点共线时点 D到x轴距离的最大值，

∴，
故答案为：4．
三、平行四边形-求边长
15．如图，在四边形中，，，、分别是、的中点，若的长恰为整数，则的长可以是（ ）

A．，， B．， C．，， D．，，，
【答案】C
【来源】江苏省无锡市锡山区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题
【分析】连接并延长至，使得，连接、，证明，根据三角形三边关系，可得的范围，根据中位线的性质即可求解．
【详解】解：如图，连接并延长至，使得，连接、，
，
是的中点，
，
在与中，
，
，
，，
，，
，
当时，，，三点共线，
，
分别是的中点，，
是的中位线，
，
长的取值范围为：，
的长可以是：，，，
故选：C．
16．如图，菱形的边长为6，，对角线相交于点O，动点E从点D沿运动到点O，连接，在直线左侧作正方形，则点G运动的路径长为 ．
【答案】
【来源】江苏省南通市海安市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
【分析】作出正方形，将线段绕点A顺时针旋转到，连接，利用菱形的性质结合勾股定理求出，证明，得到，由为定角，推出点在直线上运动，且路径长为的长度，再根据点E在上运动，即可得到的长度范围，进而得到点G运动的路径长．
【详解】解：如图，作出正方形，将线段绕点A顺时针旋转到，连接，
四边形是边长为6的菱形，，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
由旋转的性质得到，
，
，
为定角，
点在直线上运动，且路径长为的长度，
点E在上运动，即，
点G运动的路径长为，
故答案为：．
17．如图，在中，，，，点D、E分别为边的中点，连接，点F为边上一动点，且，则的长为 ．

【答案】或
【来源】江苏省泰州市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
【分析】根据三角形的中位线定理，可知，进而可知，则有两种可能，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，以及勾股定理，即可解答．
【详解】解：∵点D、E分别为边的中点，
∴，
又∵，
∴，
在中，，，，
∴，
即，则有以下两种情况：
种：当F点运动到中点时，
∵是直角三角形，，
∴，
∵点F是中点，则，
；
种：如图，作，交于点H，
，
∵，
∴，
∵，
在中，，
在中，，
∴，
综上所述：的长为或，
故答案为：或．
18．如图，矩形中，，，点在折线上运动，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．若时，则 ．
　　
【答案】或
【来源】江苏省南通市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
【分析】分两种情况：①当E点在上时，过F点作于G点，由旋转的性质可得，先根据AAS证明，则可得，由勾股定理可求出、的长，即可知的长，再根据勾股定理求出的长即可．②当E点在上时，由旋转的性质可得，，于是可得．在中，由勾股定理可得，则，由此得，．作于G点，由勾股定理可得的长，于是可求出的长．
【详解】①如图，当E点在上时，过F点作于G点，

则，
∵四边形是矩形，
，．
根据旋转的性质得，
，
即，
，
，
．
中，，
，
，
．
②如图，当E点在上时，

∵四边形是矩形，
∴，，
又，
．
根据旋转的性质得，
，
即．
中，，
，
，
，
．
作于G点，
则，，
．
，
，
，
，
，
．
综上，的长为或．
故答案为：或．
19．如图，将一副三角尺中，含角的三角尺的长直角边与含角的三角尺的斜边重合，P，Q分别是边上的两点，与交于E，且四边形是面积为3的平行四边形，则线段的长为 ．

【答案】
【来源】江苏省 苏州市吴中、吴江、相城区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题
【分析】根据题意作出图形，过点Q作于点F，设，，则，根据已知条件得出，继而根据含30度角的直角三角形的性质得出，解方程得出，进而根据等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，

过点Q作于点F，
设，，则，
在中，，
依题意，，
∴，
∴，
∵，则，
又，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵四边形是平行四边形，则，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
即，
∴，
在中，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
四、分式
20．若关于x的分式方程的解为非负数，且关于y的不等式组有3个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．19 B．22 C．30 D．33
【答案】B
【来源】江苏省无锡市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
【分析】先通过分式方程求出a的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到a的整数解．
【详解】解：解分式方程可得：，且
∵解为非负数，
∴得：，即且，
解不等式组，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∵有3个整数解，
∴，3，4，即
利用不等式性质，将其两边先同时减1，再乘以3，可得，
综上所述：a的整数值可以取10、12，
∴其和为22，
故选：B
21．若（A、B、C均为常数）的计算结果为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【来源】 江苏省南京2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
【分析】本题考查分式的加减运算，解三元一次方程组，解题的关键是正确化简分式．
先将化简计算得到，则得到方程组，即可求解，再代入求值．
【详解】解：
，
∵（A、B、C均为常数）的计算结果为，
∴，
解得：，
∴，
故选：D．
22．若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（ ）
A．277 B．240 C．272 D．256
【答案】C
【来源】江苏省南通2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
【分析】此题考查了分式方程的解的含义，正确的计算与检验是解本题的关键．把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
两边都乘以，得
，
解得，且，；，
∴且，
解得：，，
∵正整数使关于的分式方程的解为整数，
∴，
∴或15或39或65或195，
即或5或29或55或185，
其中不符合题意，
∴，
故选C．
五、反比例函数
23．如图，已知点，，C是y轴上位于点B上方的一点，AD平分，BE平分，直线BE交AD于点D．若反比例函数的图像经过点D，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【来源】江苏省扬州市扬州中学文昌教育集团2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题
【分析】由题意根据角平分线的性质可知，进而可得，勾股定理求得，进而求得，进而求得点的坐标，即可求得
【详解】如图，过分别作的垂线，垂足分别为，，
平分，平分，
,
,
，
四边形是正方形
，，
故选：C．
24．下列函数：①；②；③；④，其图象是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【来源】江苏省南京市联合体2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
【分析】本题考查看函数图象，中心对称图形，画出函数的图象，再根据中心对称图形的定义判断即可求解，正确画出函数图象是解题的关键．
【详解】解：函数的图象为
是轴对称图形，故不合题意；
函数的图象为
是中心对称图形，故符合题意；
函数的图象为
是中心对称图形，故符合题意；
函数的图象为
是轴对称图形，故不合题意；
∴图象是中心对称图形的是，
故选：．
25．函数在平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图像是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【来源】江苏省南京市鼓楼区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
【分析】由，得到，函数的图象可以看作由函数的图象向右平移2个单位长度得到，据此可判断的图象．
【详解】∵
∴
∴函数的图象可以看作由函数的图象向右平移2个单位长度得到
故选：A
26．我们已经学习过一次函数和反比例函数的图像和性质，类似地可以对函数进行探索.下列结论：①图像在第一、三象现；②图像与y轴无交点；③图像与x轴只有一个交点；④图像关于原点成中心对称；⑤当时，y随x增大而增大，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．③④⑤
【答案】C
【来源】江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
【分析】①分，、、找出y的正负，由此可得出函数图象经过第一、二、三、四象限，①错误；②由在分母上可得出，函数图象与轴无交点，②正确；③由当时，，可得出函数图象与轴的交点坐标为、，③错误；④设点（）为函数图象上任意一点，根据函数图象上点的坐标特征可得出点在函数的图象上，即图象关于原点成中心对称，④正确；⑤利用作差法确定当时，随的增大而增大，⑤正确．综上即可得出结论．
【详解】解：①当时，，图象在第三象限；
当时，，图象在第二象限；
当时，，图象在第四象限；
当时，，图象在第一象限．
∴函数图象经过第一、二、三、四象限，①错误；
②∵为分母，
∴，
∴函数图象与轴无交点，②正确；
③当时，，
∴函数图象与轴的交点坐标为、，③错误；
④设点（）为函数图象上任意一点，
则，，
∴点在函数的图象上，
∴图象关于原点成中心对称，④正确；
⑤当时，设，
则
即：当，
∴当时，随的增大而增大，⑤正确．
综上所述：正确的结论有②④⑤．
故选：C．
27．如图，点为坐标原点，菱形的边在轴的正半轴上，对角线、交于点，反比例函数的图象经过点和点，若菱形的面积为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【来源】江苏省无锡市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
【分析】过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F，设点A（m，n），根据题意将点D的坐标表示出来，即可求出AD所在直线的函数表达式，再求出点C的坐标；根据菱形的性质可得AO=CO，结合勾股定理即可表示出AE，最后根据菱形的面积求出m即可．
【详解】
过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F，
设点A（m，n），
∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，
∴，
∵四边形OABC为菱形，则点D为AC中点，
∴DF=，即点D的纵坐标为，
∵反比例函数的图象经过点和点，
∴D（2m，），
设AD所在的直线函数表达式为：y=kx+b，
将A（m，n），D（2m，）代入得：，
解得：，
∴AD所在的直线函数表达式为：，
当y=0时，解得x=3m，
∴C（3m，0），
∴OA=OC=3m，
在Rt△OAE中，AE=，
∵菱形的面积为，
∴OC×AE=，解得：m=，
∴AE=，
∴A（，2），
故选：A
28．如图，矩形的顶点B、D落在反比例函数 的图像上，点A落在反比例函数 （k为常数，)在第二象限的图像上，矩形被坐标轴分割成四个小矩形．若在第四象限的小矩形的面积为1，则k的值为 ．
【答案】
【来源】江苏省连云港市2023-2024学年八年级下学期6月期末考试数学试题
【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数图像上点的坐标特征，矩形的性质等知识，设，，，，由矩形性质得，，，，根据反比例函数比例系数k的几何意义及其图像上点的坐标特征得，，，结合，，可得，问题随之得解．
【详解】解：设，，，，
由题意：，，，，
∵点B、D落在反比例函数 的图像上，
∴，，
∵在第四象限的小矩形的面积为1，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点A落在反比例函数 （k为常数，)在第二象限的图像上，
∴，
故答案为：．
29．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，且点的横坐标为1，该反比例函数的图象关于直线对称后的图象经过直线上的点，则线段的长度为 ．

【答案】或/或
【来源】江苏省泰州市姜堰区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题
【分析】根据题意求得反比例函数解析式为，得到和，根据反比例函数的对称轴的平移规律得到反比例函数上的点的平移规律，即可根据勾股定理求得两点间距离，
【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，且点的横坐标为1，
故将代入一次函数得，故点，
将代入反比例函数，得，故反比例函数的解析式为；
令，整理得，解得，，
将代入一次函数得，故点；
故点与点关于直线对称，
∵反比例函数关于直线对称，
则直线关于直线对称后的图像为直线；
令反比例函数的图像关于直线对称后的图象为，的图象关于直线对称
故的图象可以看做是由反比例函数进行平移得到，
原点关于直线的对称点，如图：

故直线可以看做直线每一个点先向右平移1个单位，向下平移1个单位得到（或向右下45度防线平移个单位），
则的图象可以看做是由反比例函数图象上每一个点先向右平移1个单位，向下平移1个单位得到（或向右下45度防线平移个单位），
则点平移之后的坐标为，
点平移之后的坐标为，
即反比例函数的图像关于直线对称后的图象经过直线上的点的坐标为或，
线段的长度为，或；
故答案为：或．
30．如图，反比例函数图象l1的表达式为，图象l2与图象l1关于直线x=1对称，直线y=k2x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则的值为 ．
【答案】
【来源】江苏省2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
【详解】利用函数的对称性质确定l2的解析式，再联立方程，通过方程跟与系数的关系求出的值．
解：∵图象l2与图象l1关于直线x=1对称，即f（x）与f（2﹣x）关于直线x=1对称，
∴反比例函数l2为：y，
∵直线y=k2x与l2交于A，B两点，
∴，
整理得：，
∴，（根与系数的关系），
∵A为中点，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：．
31．如图，平面直角坐标系中，点为反比例函数的图像一点，点为轴上一点，连接，过点作，交反比例函数的图像于点，连接，若为等腰直角三角形，则点的横坐标为 ．
【答案】
【来源】江苏省苏州市四市2023-2024学年下学期八年级数学期末统考卷
【分析】本题考查了反比例函数的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
过作，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，延长交轴于点，然后证明，则有，，，即点横坐标为，然后求出反比例函数解析式为，故有，最后通过线段和差即可求解．
【详解】解：如图，过作，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，延长交轴于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴，即点横坐标为，
∵点为反比例函数的图象一点，
∴，
∴反比例函数图象为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的横坐标为，
故答案为：．
六、二次根式
32．如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连，的最小值为 ．
【答案】
【来源】江苏省无锡市惠山区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
【分析】过点作于点，作于点，利用定理证出，再根据全等三角形的性质可得；连接，根据正方形的性质、利用定理证出，推出，，再利用勾股定理可得，然后根据垂线段最短求出的最小值，由此即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，作于点，
四边形为正方形，
，，
，且，
四边形为正方形，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
在和中，，
，
，
矩形为正方形．
如图，连接，
四边形为正方形，，
，
，
矩形为正方形，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为，
的最小值为．
故答案为：
33．若的积是有理数，则无理数m的值为 ．
【答案】（答案不唯一）
【来源】江苏省常州市天宁区实验初级中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试题
【分析】对进行化简，由题意令，（是有理数）即可求解．
【详解】解：
的积是有理数，m是无理数，
是有理数，
令，（是有理数）
解得：，
当即，
时，
故答案为：（答案不唯一）．
34．已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【来源】江苏省南通市海门区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
【分析】本题考查二次根式的性质，完全平方公式，平方的非负性．根据二次根式的性质将变形为，配方得到，根据得到，进而求解即可．
【详解】解：∵m，n均为正实数，
∴可化为，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴的最大值为．
故选：B
七、综合题
35．如图，在菱形中，点的坐标为，点的纵坐标为2，直线的表达式为，交y轴于点E，若，则菱形的面积为（ ）
A．25 B． C． D．32
【答案】D
【来源】江苏省无锡市宜兴外国语学校2023—2024学年下学期八年级数学期末试卷
【分析】连接，交于点，过点作轴于点，设直线与轴的交点为点，先求出点的纵坐标为6，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后根据一次函数的解析式求出点的坐标，求出的长，最后计算菱形的面积即可．
【详解】解：如图，连接，交于点，过点作轴于点，设直线与轴的交点为点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵点的坐标为，点的纵坐标为2，
∴点的纵坐标为，
∴，
又∵点的坐标为，
∴，
∴，
由一次函数的图象可知，，
将代入一次函数得：，解得，即，
将代入一次函数得：，即，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵轴，
∴（等腰三角形的三线合一），
∴，
∴一次函数的解析式为，
将代入一次函数得：，解得，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴菱形的面积为，
故选：D．
36．如图，在等腰中，，平分，平分，、分别为射线、上的动点，若，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．4 D．8
【答案】C
【来源】江苏省无锡市新吴实验中学2023-2024学年八年级下学期数学期末试卷
【分析】如图，作关于的对称点，则，当三点共线时最短即，当时最短，过点作，交的延长线于点，即与点重合时最短，过点作于点，根据等面积法求得，即可求解．
【详解】解：如图，作关于的对称点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，
∴，当三点共线时最小即，
∵当时，最短，
∴即为所求，
∵， 是等腰直角三角形，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵平分，
∴
∵，
设，则
在中，
∵
∴
解得
∴
∵
∴
故选：C．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页期末 压轴题（选择题 填空题）36题
一、平行四边形——综合辨析题
【来源】江苏省扬州苏东坡中学2023-2024学年下学期八年级数学期末考试
1．如图，边长为的正方形，对角线，相交于O，E为边上一动点（不与B，C重合），交于F，G为中点．给出如下四个结论：
①；②点E在运动过程中，面积不变化；③周长的最小值为；④点E在运动过程中，与始终相等
其中正确的结论是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④
【来源】江苏省无锡市锡山高级中学实验学校2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题
2．在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，交于，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【来源】江苏省无锡市宜兴市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
3．如图，在正方形中，，为上一动点，交于，过作交于点，过作于，连结．在以下四个结论中：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．①③ B．②③ C．③④ D．②④
【来源】江苏省泰州市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
4．如图，点E是线段上一点，四边形和四边形均为正方形，连接，分别交于点M、N，延长交于点H，连接、、．若已知的面积，则一定能求出（ ）

A．四边形的面积 B．四边形的面积
C．的面积 D．与的面积之和
【来源】江苏省泰州市泰州中学附属初级中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
5．如图，在给定的正方形中，点E从点B出发，沿边方向向终点C运动，交于点F，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（ ）

A．一直减小 B．一直减小后增大
C．一直不变 D．先增大后减小
【来源】江苏省无锡市经开区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题
6．如图，矩形的边上有一点E，，，，垂足为F，将绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点G落在上，点E恰好落在点B处，连接．有下列结论：①；②平分；③；④在上存在一点P，使的值最小为．其中结论正确的是（ ）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
二、平行四边形-最值问题
【来源】江苏省无锡市锡山区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
7．如图，在矩形中，，，点是上一点，且，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则面积的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【来源】江苏省常州市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题
8．如图，在菱形中，，，点、分别在边、上，且，则的最小值是（ ）

A．2 B．3 C． D．
【来源】江苏省无锡市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
9．如图，E为正方形中边上的一点，且，，M、N分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为（ ）

A．8 B．8 C．8 D．12
【来源】江苏省淮安市淮阴区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
10．在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，则的最小值为 ．
【来源】江苏省扬州市广陵区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
11．如图，正方形的边长为2，，点是直线上一个动点，连接，线段绕点顺时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值为 ．
【来源】江苏省扬州市梅岭教育集团2023-2024学年八年级下学期6月期末数学试题
12．如图，正方形的边长为8，是的中点，是上的动点，过点作分别交于点．则的最小值是 ．
【来源】江苏省镇江市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
13．如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接且点P是的中点，连接、，则的最小值等于 ．
【来源】江苏省宿迁市泗阳县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
14．如图点A坐标是，点B是x正半轴上的任意一动点，以为边向右侧作矩形， 且；则点 D到x轴距离的最大值是 ．

三、平行四边形-求边长
【来源】江苏省无锡市锡山区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题
15．如图，在四边形中，，，、分别是、的中点，若的长恰为整数，则的长可以是（ ）

A．，， B．， C．，， D．，，，
【来源】江苏省南通市海安市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
16．如图，菱形的边长为6，，对角线相交于点O，动点E从点D沿运动到点O，连接，在直线左侧作正方形，则点G运动的路径长为 ．
【来源】江苏省泰州市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
17．如图，在中，，，，点D、E分别为边的中点，连接，点F为边上一动点，且，则的长为 ．

【来源】江苏省南通市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
18．如图，矩形中，，，点在折线上运动，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．若时，则 ．
　　
【来源】江苏省 苏州市吴中、吴江、相城区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题
19．如图，将一副三角尺中，含角的三角尺的长直角边与含角的三角尺的斜边重合，P，Q分别是边上的两点，与交于E，且四边形是面积为3的平行四边形，则线段的长为 ．

四、分式
【来源】江苏省无锡市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
20．若关于x的分式方程的解为非负数，且关于y的不等式组有3个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．19 B．22 C．30 D．33
【来源】 江苏省南京2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
21．若（A、B、C均为常数）的计算结果为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【来源】江苏省南通2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
22．若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（ ）
A．277 B．240 C．272 D．256
五、反比例函数
【来源】江苏省扬州市扬州中学文昌教育集团2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题
23．如图，已知点，，C是y轴上位于点B上方的一点，AD平分，BE平分，直线BE交AD于点D．若反比例函数的图像经过点D，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
【来源】江苏省南京市联合体2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
24．下列函数：①；②；③；④，其图象是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【来源】江苏省南京市鼓楼区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
25．函数在平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图像是（ ）

A． B． C． D．
【来源】江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
26．我们已经学习过一次函数和反比例函数的图像和性质，类似地可以对函数进行探索.下列结论：①图像在第一、三象现；②图像与y轴无交点；③图像与x轴只有一个交点；④图像关于原点成中心对称；⑤当时，y随x增大而增大，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．③④⑤
【来源】江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
27．如图，点为坐标原点，菱形的边在轴的正半轴上，对角线、交于点，反比例函数的图象经过点和点，若菱形的面积为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【来源】江苏省连云港市2023-2024学年八年级下学期6月期末考试数学试题
28．如图，矩形的顶点B、D落在反比例函数 的图像上，点A落在反比例函数 （k为常数，)在第二象限的图像上，矩形被坐标轴分割成四个小矩形．若在第四象限的小矩形的面积为1，则k的值为 ．
【来源】江苏省泰州市姜堰区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题
29．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，且点的横坐标为1，该反比例函数的图象关于直线对称后的图象经过直线上的点，则线段的长度为 ．

【来源】江苏省2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
30．如图，反比例函数图象l1的表达式为，图象l2与图象l1关于直线x=1对称，直线y=k2x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则的值为 ．
【来源】江苏省苏州市四市2023-2024学年下学期八年级数学期末统考卷
31．如图，平面直角坐标系中，点为反比例函数的图像一点，点为轴上一点，连接，过点作，交反比例函数的图像于点，连接，若为等腰直角三角形，则点的横坐标为 ．
六、二次根式
【来源】江苏省无锡市惠山区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
32．如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连，的最小值为 ．
【来源】江苏省常州市天宁区实验初级中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试题
33．若的积是有理数，则无理数m的值为 ．
【来源】江苏省南通市海门区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
34．已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
七、综合题
【来源】江苏省无锡市宜兴外国语学校2023—2024学年下学期八年级数学期末试卷
35．如图，在菱形中，点的坐标为，点的纵坐标为2，直线的表达式为，交y轴于点E，若，则菱形的面积为（ ）
A．25 B． C． D．32
【来源】江苏省无锡市新吴实验中学2023-2024学年八年级下学期数学期末试卷
36．如图，在等腰中，，平分，平分，、分别为射线、上的动点，若，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．4 D．8
试卷第1页，共3页
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