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9.1.2用坐标描述既简单几何图形
一、单选题
1．已知直线MN∥x轴，M点的坐标为（2，3），并且线段MN＝3，则点N的坐标为（　　）
A．（﹣1，3） B．（5，3）
C．（1，3）或（5，3） D．（﹣1，3）或（5，3）
2．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，4），点B是x轴上的一个动点，下列数值能作为线段AB长度的是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．三角形ABC中，点B和点C的位置如图所示，点A的位置正确的是（　　）
A．（5，3） B．（9，5） C．（3，5） D．（2，2）
4．在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如图中的P，Q两点即为“等距点”．若点A的坐标为（﹣3，1），点B的坐标为B（m，m+6），且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为（　　）
A．（3，9） B．（﹣3，3） C．（﹣9，﹣3） D．（﹣9，3）
5．如图，在正方形网格中，点A，B分别用数对（2，1），（7，1）表示，在图中确定点C，连接AB，BC，CA，得到以A为直角顶点的等腰直角三角形，则表示点C的数对是（　　）
A．（2，5） B．（2，6） C．（7，5） D．（7，6）
6．如图，已知∠AOC＝30°，∠BOC＝150°，OD平分∠BOA．若点A表示为（2，30°），点B表示为（4，150°），则点D表示为（　　）
A．（5，90°） B．（5，75°） C．（5，60°） D．（5，120°）
7．如图，点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴、y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”，例如：如图中的点P（1，3）是“垂距点”．下列选项是“垂距点”是（　　）
A．（﹣1，5） B．（2，﹣2） C．（﹣2，6） D．（1，﹣5）
8．在直角坐标系中，过不同的两点P（2a，6）与Q（4+b，3﹣b）的直线PQ∥x轴，则（　　）
A．，b＝﹣3 B．，b＝﹣3 C．，b≠﹣3 D．，b≠﹣3
9．如图，已知点A（﹣3，1），B（﹣3，﹣5），点C（x，y）在线段AB上运动，当OC＞OA时，y的取值范围为（　　）
A．﹣5≤y＜﹣1 B．y＜1 C．﹣1＜y＜1 D．﹣5＜y≤﹣1
10．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度按逆时针方向沿四边形ABCD的边做环绕运动；同时，另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位长度的速度按顺时针方向沿四边形ABCD的边做环绕运动，则第4次相遇时的点的坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣2） D．（1，1）
二、填空题
11．如图，平面上的25个点组成一个5×5的点阵，同一行或同一列中的两个相邻点之间的距离相等，在点阵中建立平面直角坐标系，若B（2，0），C（2，4），则点A的坐标为 　 ．
12．如图，△ABC的顶点都在方格的格点上，顶点A，B的坐标分别为（﹣1，1），（1，﹣1），则顶点C的坐标是 　 　．
13．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，3），点B（﹣1，0），点D（2，3），点C在x轴上．若CD＝AB，则点C的坐标为 　 　．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（a，b）且∠AOB＝∠BAO＝45°，则a3+6ab2+9a2b的值为 　 　．
15．在平面直角坐标系中，若两点A（x1，y1）、B（x2，y2），线段AB的中点是C，则点C的坐标为），例如：点A（2，4）、点B（3，﹣1），则线段AB的中点C的坐标为，即．请利用上面的结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点M（a，b），N（a+2，a+b），线段MN的中点P恰好位于y轴上，且到x轴的距离是3，则a﹣2b的值等于 　 　．
三、解答题
16．如图，平面直角坐标系中，已知C（0，5），D（a，5）（a＞0），A，B在x轴上，若∠1＝∠D，请写出∠ACB和∠BED数量关系并证明你的结论．
17．如图，一只甲虫在5×5的方格（每一格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右为正，向下向左为负．例如：从A到B记为：A→B（+1，+3）；从C到D记为：C→D（+1，﹣2）（其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向）．
（1）填空：A→C（ 　 　，　 　）；C→B（ 　 　，　 ）．
（2）若甲虫的行走路线为：A→B→C→D→A，请计算甲虫走过的路程．
18．已知平面直角坐标系中有一点M（2m+1，m﹣1）．
（1）若点M在y轴上，求点M的坐标．
（2）若N的坐标为（5，﹣2），MN∥x轴，求点M的坐标．
（3）若点M到y轴的距离为3，求点M的坐标．
19．如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（a，0），（a，b），点C在y轴上，且BC∥x轴，a，b满足|a﹣3|+（b﹣4）2＝0．点P从原点出发，以每秒2个单位的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线运动（回到O为止）．
（1）写出点A，B，C的坐标；
（2）当点P运动4秒时，求出点P的坐标；
（3）点P运动t秒后（t≠0），是否存在点P到x轴的距离为个单位的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．在平面直角坐标系中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“识别距离”，给出如下定义：
若|x1﹣x2|＞|y1﹣y2|，则点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“识别距离”为|x1﹣x2|；
若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“识别距离”为|y1﹣y2|．
例如：对于点P1（2，﹣1）与点P2（4，3），因为|2﹣4|＜|﹣1﹣3|，所以点P1与点P2的“识别距离”为4．
【初步理解】
（1）已知点A（﹣1，0），B（1，3），则点A与点B的“识别距离”为　 　．
【深入应用】
（2）已知点A（2，0），点B为y轴上的一个动点，
①若点A与点B的“识别距离”为4，求出满足条件的点B的坐标；
②点A与点B的“识别距离”的最小值为　 ．
【知识迁移】
（3）已知点C（m，2m﹣1），D（0，0），直接写出点C与点D“识别距离”的最小值及对应的C点坐标．
21.如图，在边长均为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，并描出下列各点：A（2，1），B（4，1），C（1，3），D（﹣1，3），E（1，﹣2），F（1，4），G（3，2），H（3，﹣2），I（﹣1，1），J（3，3）．
（1）连接AB，CD，EF，GH，IJ，描出它们的中点并写出这些中点的坐标；
（2）将上述中点的横坐标和纵坐标分别与对应线段的两个端点的横坐标和纵坐标进行比较，你发现它们之间有什么关系？用文字语言表述出来．
（3）根据你的发现，若某线段两端点的坐标分别为（a，b），（c，d），则该线段中点的坐标为多少？
参考答案
一、单选题
1．
【分析】根据平行于x轴的直线上点的坐标特征即可解决问题．
【解答】解：∵直线MN∥x轴，且M点的坐标为（2，3），
∴点N的纵坐标为3，
∵MN＝3，
∴2+3＝5，2﹣3＝﹣1，
即点N的横坐标为5或﹣1，
∴则点N的坐标为（﹣1，3）或（5，3）．
故选：D．
2．
【分析】根据点到直线的距离垂线段最短，当AB⊥x轴时，线段AB长度最小，点B坐标为（﹣3，0），故AB＝4，即可求解．
【解答】解：由题意可得：
故当B是x轴上任意一点时，AB⊥x轴时，线段AB的长度最小，
∴根据坐标轴的性质可得，此时点B坐标为（﹣3，0），
∴AB＝4，
即线段AB的最小值是4，
故选：A．
3．
【分析】根据A，B在同一条竖直的直线上，A，C在同一条水平的直线上，由B，C坐标得出A的坐标．
【解答】解：∵A，B在同一条竖直的直线上，
∴A，B的横坐标相同，即A的横坐标为5，
∵A，C在同一条水平的直线上，
∴A，C的纵坐标相同，即A的纵坐标为3，
∴A的坐标为（5，3），
故选：A．
4．
【分析】先分析出直线上的点到x、y轴距离中有3的点，再根据”等距点“概念进行解答即可．
【解答】解：∵点A的坐标为（﹣3，1），到x、y轴的距离中的最大值等于3，
∴点B坐标中到x、y轴的距离中，至少有一个为3的点，
如果m＝3时，点B坐标为（3，9）；
如果m＝﹣3时，点B坐标为（﹣3，3）；
如果m+6＝3时，点B坐标为（﹣3，3）；
如果m+6＝﹣3时，点B坐标为（﹣9，﹣3），
这些点中与A符合“等距点”的是：（﹣3，3），
故选：B．
5．
【分析】根据正方形网格中各点的坐标，找到C点，使之满足以A为直角顶点的等腰直角三角形即可．
【解答】解：如图所示，
∵A（2，1），B（7，1），C（2，6）
∴AB＝5，AC＝5，
∵CA⊥AB，
∴△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形．
故选：B．
6．
【分析】根据点A和点B的表示方法，得出∠BOC和∠AOC的度数，再根据OD平分角BOA及点D的位置即可解决问题．
【解答】解：因为∠AOC＝30°，∠BOC＝150°，
所以∠AOB＝150°﹣30°＝120°．
因为OD平分∠AOB，
所以∠AOD，
所以∠DOC＝60°+30°＝90°，
又因为点D在从内向外的第5层圆上，
所以点D可表示为（5，90°）．
故选：A．
7．
【分析】根据新定义计算满足纵横坐标绝对值和为4即可．
【解答】解：A、|﹣1|+|5|＝6≠4，不是“垂距点”，不符合题意；
B、|2|+|﹣2|＝4，是“垂距点”，符合题意；
C、|﹣2|+|6|＝8≠4，不是“垂距点”，不符合题意；
D、|1|+|﹣5|＝6≠4，不是“垂距点”，不符合题意；
故选：B．
8．
【分析】根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相等列出方程计算即可得解．
【解答】解：∵过不同的两点P（2a，6）与Q（4+b，3﹣b）的直线PQ∥x轴，
∴2a≠4+b，6＝3﹣b，
解得b＝﹣3，a．
故选：B．
9．
【分析】作点A关于x轴的对称点A′，则A′（﹣3，﹣1）．再结合图象即可直接确定y的取值范围．
【解答】解：如图，作点A关于x轴的对称点A′，则A′（﹣2，﹣1）．
∵OC＞OA，
∴点C在A′B上，且不与A′重合．
∵B（﹣3，﹣5），
∴y的取值范围为﹣5≤y＜﹣1．
故选：A．
10．
【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为3和2，P、Q的速度和是5，求得每一次相遇的地点的坐标即可解答．
【解答】解：∵点A（1，1）、B（﹣1，1）、C（﹣1，﹣2）、D（1，﹣2），
∴AB＝CD＝1﹣（﹣1）＝2，AD＝BC＝1﹣（﹣2）＝3，
∴矩形的周长为2×（2+3）＝10，
由题意，经过1秒时，P、Q在点B（﹣1，1）处相遇，接下来P、Q两点走的路程和是10的倍数时，两点相遇，相邻两次相遇间隔时间为10÷（2+3）＝2（秒），
∴第二次相遇点是CD的中点（0，﹣2），
第三次相遇点是点A（1，1），
第四次相遇点是点（﹣1，﹣1），
故选：A．
二、填空题
11．
【分析】根据题意，建立合适的平面直角坐标系即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为点B坐标为（2，0），点C坐标为（2，4），
则如图所示，
所以点A的坐标为（0，4）．
故答案为：（0，4）．
12．
【分析】依据点A，B的坐标建立直角坐标系中，即可得到点C的坐标．
【解答】解：根据题意，建立平面直角坐标系如图所示，
由图可知点C的坐标为（2，0）．
故答案为：（2，0）．
13．
【分析】根据轴对称的性质即可求解．
【解答】解：∵点A（﹣2，3），点B（﹣1，0），
∴点A关于直线x＝﹣2的对称点为E（3，0），
连接AE，则AB＝AE，
∵点A（﹣2，3），点D（2，3），
∴点A、D关于y轴对称，
∴点B、点E关于y轴的对称点为（1，0）和（3，0），
∴若点C为（1，0）或（3，0）时，AB＝CD，
∴若CD＝AB，则点C的坐标为（1，0）或（3，0）．
故答案为：（1，0）或（3，0）．
14．
【分析】如图，过点B作BC⊥x轴于点C，通过解直角△AOB求出OB的长度；然后再通过解等腰直角△OBC来求BC、OC的长度，即点B的坐标．
【解答】解：如图，过点B作BC⊥x轴于点C，则∠BCO＝90°．
∵A（0，4），
∴OA＝4，
∵∠AOB＝∠BAO＝45°
∴∠OBA＝90°，
∴AB＝OB＝2．
∵∠BOC＝45°，
∴OC＝BC＝2，
∴B（2，2）．
∴a＝2，b＝2．
∴a3+6ab2+9a2b＝23+6×2×22+9×22×2＝128．
故答案为：128．
15．
【分析】先求出MN的中点P的坐标，再根据点P满足的条件列出方程求出a、b的值，最后代入代数式计算即可．
【解答】解：根据题意可得：点M（a，b），N（a+2，a+b），线段MN的中点P（a+1，），
∵点P恰好位于y轴上，
∴a+1＝0，解得a＝﹣1，
∵点P到x轴的距离是3，
∴3或3，
∴或，
∴b或b，
∴a﹣2b＝﹣12＝﹣8或a﹣2b＝﹣1﹣24．
综上分析，a﹣2b的值为﹣8或4．
故答案为：﹣8或4．
三、解答题
16．解：∠ACB+∠BED＝180°．
理由：∵C（0，5）、D（a，5）（a＞0），
∴CD∥x轴，即CD∥AB，
∴∠1+∠ACD＝180°，
∵∠1＝∠D，
∴∠D+∠ACD＝180°，
∴AC∥DE，
∴∠ACB＝∠DEC，
∵∠DEC+∠BED＝180°，
∴∠ACB+∠BED＝180°．
17．解：（1）由题意可得，
A→C记为（+3，+4）；C→B记为（﹣2，﹣1），
故答案为：+3，+4；﹣2，﹣1；
（2）如图所示，
∵A→B＝3+1＝4，B→C＝1+2＝3，C→D＝1+2＝3，D→A＝2+4＝6．
∴AB+BC+CD+DA
＝4+3+3+6
＝16．
18．解：（1）因为点M在y轴上，
所以2m+1＝0，
解得m，
所以m﹣1，
则点M的坐标为（0，）．
（2）因为MN∥x轴，且点N的坐标为（5，﹣2），
所以m﹣1＝﹣2，
解得m＝﹣1，
所以2m+1＝﹣1，
所以点M的坐标为（﹣1，﹣2）．
（3）因为点M到y轴的距离为3，
所以|2m+1|＝3，
解得m＝1或﹣2，
当m＝1时，
2m+1＝3，m﹣1＝0，
则点M的坐标为（3，0）；
当m＝﹣2时，
2m+1＝﹣3，m﹣1＝﹣3，
则点M的坐标为（﹣3，﹣3），
综上所述：点M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣3）．
19．解：（1）∵|a﹣3|+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝4，
根据平面直角坐标系得，A（3，0），B（3，4），
∵BC∥x轴，
∴C点、B点的纵坐标相等，
∴C（0，4）；
（2）当P运动4秒时，点P运动了2×4＝8个单位长度，
∵AO＝3，AB＝4，
∴点P运动3秒时，点P在线段BC上，
∴BP＝8﹣7＝1，
∴CP＝3﹣1＝2，
∴点P的坐标是（2，4）；
（3）存在．
如图，∵t≠0，
∴点P可能运动到AB或BC或OC上，
①当点P运动到AB上时，2t≤7，
∴0＜t，P1A＝2t﹣OA＝2t﹣3，
∴2t﹣3t，
解得：t＝2，
∴P1A＝2×2﹣3＝1，
∴点P1的坐标为（3，1）；
②当点P运动到BC上时，7≤2t≤10，即x≤5，
点P2到x的距离为4，
∴t＝4，
解得：t＝8，
∵x≤5，
∴不符合题意；
③当点P运动到OC上时，10≤2t≤14，即5≤t≤7，
P3O＝OA+AB+BC+OC﹣2t＝14﹣2t，
∴14﹣2tt，
解得t，
∴P3O＝14﹣2，
∴点P3的坐标为（0，）．
综上所述，点P运动t秒后，存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况，点的P坐标为：（3，1）或（0，）．
20．解：（1）∵点A（﹣1，0），B（1，3），
∴|x1﹣x2|＝|﹣1﹣1|＝2，|y1﹣y2|＝|0﹣3|＝3，
∴|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，
根据“识别距离”的定义，可知点A与点B的“识别距离”为3，
故答案为：3；
（2）①∵B为y轴上的动点，
∴可设B点坐标为（0，b），
∵点A（2，0）与点B的“识别距离”为4，|2﹣0|＝2，
∴|0﹣b|＝4，
∴b＝±4．
∴点B的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；
②∵|2﹣0|＝2，根据“识别距离”的定义可知，
当|0﹣b|＞2时，点A与点B的“识别距离”大于2，
当|0﹣b|≤2时，点A与点B的“识别距离”等于2，
∴点A与点B的“识别距离”的最小值为2，
故答案为：2．
（3）点C与D的“识别距离”的最小值；
相应的C点坐标为．
理由：由“识别距离”的定义可知：点C与点D“识别距离”的最小，|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|，
∵C（m，2m﹣1），D（0，0），
∴|m﹣0|＝|m|，|2m﹣1﹣0|＝|2m﹣1|，
∴|m|＝|2m﹣1|，
解得：m＝1或m，
当m＝1时，“识别距离”为|1﹣0|＝1，
当m时，“识别距离”为|0|，
∴点C与D的“识别距离”的最小值为；
相应的C点坐标为．
21.解：（1）如图：
各中点的坐标分别是M（3，1），N（0，3），P（1，1），Q（3，0），R（1，2）．
（2）对于点M的坐标来说：，；
对点N 来说：，；
对点P来说：，；
对点Q来说：，；
对点R来说：，．
由此发现中点的横坐标为对应线段的两个端点的横坐标和的一半，
中点的纵坐标为对应线段的两个端点的纵坐标和的一半．
（3）若某线段两端点的坐标分别为（a，b），（c，d），
那么该线段的中点坐标为，．

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