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10.2.2加减消元法
一、单选题
1．用加减消元法解方程组，下列解法错误的是（　　）
A．①×3﹣②×2，消去x B．①×2﹣②×3，消去y
C．①×（﹣3）+②×2，消去x D．①×2﹣②×（﹣3），消去y
2．已知二元一次方程组：①；②；③；④，解以上方程组比较适合选择的方法是（　　）
A．①②用代入法，③④用加减法
B．①③用代入法，②④用加减法
C．②③用代入法，①④用加减法
D．②④用代入法，①③用加减法
3．在代数式kx+b中，当x分别取﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3时，对应代数式的值如表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3
kx+b ﹣5 ﹣3 ﹣1 3 5 7
则4k﹣2b+1的值为（　　）
A．3 B．7 C．﹣5 D．﹣4
4．已知|2x+y+3|+（x﹣y+3）2＝0，则（x+y）2024等于（　　）
A．2024 B．1 C．﹣1 D．﹣2024
5．已知：关于x，y的方程组，则x﹣y的值为（　　）
A．﹣1 B．a﹣1 C．0 D．1
6．对于实数x，y，定义新运算x*y＝ax+by+1，其中a，b为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若3*5＝15，4*7＝28，则5*9＝（　　）
A．40 B．41 C．45 D．46
7．规定：形如关于x、y的方程x+ky＝b与kx+y＝b的两个方程互为共轭二元一次方程，其中k≠1；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．若关于x、y的方程组为共轭方程组，则a、b的值为（　　）
A． B． C． D．
8．若方程组的解x、y的值互为相反数，则k的值为（　　）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣1
9．若是关于x，y的二元一次方程组的解，则3m﹣n的值为（　　）
A．4 B．±4 C．7 D．﹣7
10．解方程组时，将a看错后得到，正确结果应为，则a+b+c的值应为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
11．已知方程组的解满足x+y＝6，则k＝ 　 　．
12．若3x3m﹣4n﹣1+5ym﹣2n+1＝4是关于x、y的二元一次方程，则 的值等于 　 　．
13．已知是方程组的解，则（2a+b）（2a﹣b）＝　﹣6　．
14．解方程组时，小强正确解得，而小刚只看错了c，解得，那么当x＝﹣1时，ax2+bx+c的值为 　 　．
15．对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4．已知T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8，有下列结论：
①a＝1，b＝2；
②若T（m，n）＝0（n≠﹣2），则；
③关于m，n的二元一次方程T（m，n）＝0有且仅有3组整数解；
④若T（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x，y都成立且x≠y，则k＝0．
其中结论正确的为 　 　．（填序号）
16．用加减法解方程组：
（1） （2） （3）．
（4） （5） （6）．
17．如果为a﹣3b的算术平方根，为1﹣a2的立方根，求2a﹣3b的平方根．
18．如图，已知∠1＝∠2＝α，∠3＝β，且α、β满足方程组．
（1）求α、β的值．
（2）若CB平分∠ACG，求∠BCG的度数．
19．阅读材料并回答下列问题：
当m，n都是实数，且满足m﹣n＝6，就称点P（m﹣1，3n+1）为“可爱点”．例如：点E（3，1），令得，m﹣n＝4≠6，所以E（3，1）不是“可爱点”；F（4，﹣2），令得，m﹣n＝6，所以F（4，﹣2）是“可爱点”．
（1）请判断点A（7，1）是否为“可爱点”：　否　（填“是”或“否”）．
（2）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点B（x，y）是“可爱点”，求t的值；
（3）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点C（x，y）是“可爱点”，求正整数a，b的值．
20．汛期即将来临．防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯．便于夜间察看河水及两岸河堤的情况．如图1，探照灯A射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，探照灯B射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯A射出的光束的转动速度是a°/秒，探照灯B射出的光束的转动速度是b°/秒，且a，b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．
（1）求a，b的值．
（2）如图2，两探照灯同时转动，在探照灯A射出的光束到达AN之前，两探照灯射出的光束交于点C，若∠BCA＝70°，求∠BAC的度数．
（3）若探照灯B射出的光束先转动40秒，探照灯A射出的光束才开始转动，在探照灯B射出的光束第一次到达BQ之前，当两探照灯的光束互相平行时，请直接写出探照灯A转动的时间．
参考答案
一、单选题
1．
【分析】用加减法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数．如果系数相等，那么相减消元；如果系数互为相反数，那么相加消元．
【解答】解：A、①×3﹣②×2，可消去x，故不合题意；
B、①×2﹣②×3，可消去y，故不合题意；
C、①×（﹣3）+②×2，可消去x，故不合题意；
D、①×2﹣②×（﹣3），得13x﹣12y＝31，不能消去y，符合题意．
故选：D．
2．
【分析】根据①中x、y的关系为x＝y，③中x、y的关系为y＝6+2x，①③用代入法，②④用加减法．
【解答】解：已知二元一次方程组：①；②；③；④，解以上方程组比较适合选择的方法是：①③用代入法，②④用加减法．
故选：B．
3．
【分析】根据题意列得二元一次方程组，解得k，b的值后代入4k﹣2b+1中计算即可．
【解答】解：由题意得，
解得：，
则4k﹣2b+1＝4×2﹣2×1+1＝7，
故选：B．
4．
【分析】根据|2x+y+3|+（x﹣y+3）2＝0得，解方程组，代入计算即可．
【解答】解：根据|2x+y+3|+（x﹣y+3）2＝0，
得，
解得，
故（x+y）2024＝（﹣2+1）2024＝1，
故选：B．
5．
【分析】由x、y系数的特点和所求式子的关系，可确定让①﹣②即可求解．
【解答】解：方程组，
①﹣②，得
x﹣y＝﹣a+4﹣3+a＝1．
故选：D．
6．
【分析】已知等式利用题中的新定义化简求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：根据题中的新定义得：，
解得，
∴5*9＝5×（﹣37）+9×25+1＝41．
故选：B．
7．
【分析】根据规定列得方程组，解方程组即可．
【解答】解：由题意可得
解得：，
故选：A．
8．
【分析】解关于x、y的方程组，x，y即可用k表示出来，再根据x、y的值互为相反数，即可得到关于k的方程，从而求得k的值．
【解答】解：解方程组得：，
根据题意得：k﹣2k﹣2＝0，
解得：k＝﹣2，
故选：C．
9．
【分析】把代入二元一次方程组得到关于m、n的二元一次方程组，解出即可得到m、n的值，最后代入代数式中计算即可．
【解答】解：把代入二元一次方程组，
可得：，
解得：，
∴把代入3m﹣n，可得：3m﹣n＝3×3﹣2＝7．
故选：C．
10．
【分析】根据题意可得：把代入bx﹣cy＝﹣1可得：2b﹣3c＝﹣1，再把代入中得：，然后进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：把代入bx﹣cy＝﹣1可得：2b﹣3c＝﹣1，
把代入中得：，
解得：a＝3，
由题意得：，
解得：，
∴a+b+c＝3+1+1＝5，
故选：C．
二、填空题
11．
【分析】先利用加减消元法求出5x+5y＝3k+12，再由x+y＝6得到5×6＝3k+12，解方程即可．
【解答】解：
①+②得：5x+5y＝3k+12，
即5（x+y）＝3k+12，
把x+y＝6代入5（x+y）＝3k+12得：5×6＝3k+12，
3k+12＝30，
3k＝18，
解得k＝6，
故答案为：6．
12．
【分析】根据二元一次方程的定义易得，解得m，n的值后计算即可．
【解答】解：∵3x3m﹣4n﹣1+5ym﹣2n+1＝4是关于x、y的二元一次方程，
∴，
解得：，
则2，
故答案为：2．
13．
【分析】把代入方程组即可得到2a﹣b和2a+b的值，从而得出计算结果．
【解答】解：把代入方程组得，，
∴（2a+b）（2a﹣b）＝2×（﹣3）＝﹣6，
故答案为：﹣6．
14．
【分析】先把代入原方程组得到2a+2b①，2c﹣8＝﹣2，则c＝3；再把代入方程ax+by＝6得到﹣2a+4b②，据此求出，再代值计算即可得到答案．
【解答】解：由题意得是方程组的解，
∴2a+2b＝6①，2c﹣8＝﹣2，
∴c＝3；
∵小刚只看错了c，解得，
∴是方程ax+by＝6的解，
∴﹣2a+4b＝6②，
∴联立①②得，
∴当x＝﹣1时，ax2+bx+c的值为1×（﹣1）2+2×（﹣1）+3＝2，
故答案为：2．
15．
【分析】①根据新定义的规定及已知条件得，由此解出a，b即可对结论①进行判断；
②根据新定义的规定由T（m，n）＝0（n≠﹣2）得amn+bm﹣4＝0，再根据结论①正确得a＝1，b＝2，则mn+2m﹣4＝0，由此可对结论②进行判断；
③由结论②正确得当T（m，n）＝0，，当m，n为整数时，n＝2，0，﹣1，﹣3，﹣7，﹣6，据此可求出若T（m，n）＝0时，m、n所有整数解，进而可对结论③进行判断；
④根据新定义的规定及a＝1，b＝2，若T（kx，y）＝T（ky，x）时，则kxy+2kx﹣4＝kxy+2ky﹣4，进而得kx＝ky，然后根据T（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x、y都成立且x≠y，则k＝0，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①∵T（x，y）＝axy+bx﹣4，T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8，
∴，解得：，
故结论①正确；
②∵T（x，y）＝axy+bx﹣4，T（m，n）＝0（n≠﹣2），
∴amn+bm﹣4＝0，
又∵结论①正确，
∴a＝1，b＝2，
∴mn+2m﹣4＝0，
∴，
故结论②正确；
③∵结论②正确，
∴当T（m，n）＝0，，
当m，n为整数时，n＝2，0，﹣1，﹣3，﹣7，﹣6，
当n＝2时，m＝1，
当n＝0时，m＝2，
当n＝﹣1时，m＝4，
当n＝﹣3时，m＝﹣4，
当n＝﹣4时，m＝﹣2，
当n＝﹣6时，m＝﹣1，
∴若T（m，n）＝0，则m、n有且仅有6组整数解，
故结论③不正确；
④若T（kx，y）＝T（ky，x），T（x，y）＝axy+bx﹣4，a＝1，b＝2，
∴kxy+2kx﹣4＝kxy+2ky﹣4，
∴kx＝ky，
∴若T（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x、y都成立且x≠y，
∴k＝0，
故结论④正确．
综上所述：正确的结论是①②④．
故答案为：①②④．
三、解答题
16．解：（1），
②﹣①得，8y＝﹣8，
解得y＝﹣1，
把y＝﹣1代入①得，2x﹣5×（﹣1）＝7，
解得x＝1．
所以方程组的解是；
（2），
①×3得，6x+9y＝36③，
②×2得，6x+8y＝34④，
③﹣④得，y＝2，
把y＝2代入①得，2x+6＝12，
解得x＝3．
所以方程组的解是；
（3）方程组可化为，
由①得，y＝4x﹣5③，
③代入②得，3x+2（4x﹣5）＝12，
解得x＝2，
把x＝2代入③得，y＝8﹣5＝3．
所以方程组的解是．
（4）①×2+②得：11x＝33，即x＝3，
把x＝3代入①得：y＝4，
则方程组的解为；
（5）①×3﹣②×2得：5x＝5，即x＝1，
把x＝1代入①得：y＝2，
则方程组的解为；
（6）方程组整理得：，
两方程相加得：6x＝18，即x＝3，
把x＝3代入第一个方程得：y，
则方程组的解为．
17．解：由题意，有，
解得，
得：2a﹣3b＝8．
则．
18．解：（1），
①+②，得2α+3α＝80°+20°，
解得α＝20°，
把α＝20°代入①，得2×20°+β＝80°，
解得β＝40°，
∴；
（2）解：∵∠1＝∠2＝α，
∴AC∥DE，
∴∠ACD＝∠3＝40°，
∴∠ACG＝180°﹣∠ACD＝140°，
∵CB平分∠ACG，
∴．
19．解：（1）∵点A（7，1），令，
解得，
∵m﹣n＝8≠6，
∴A（7，1）不是“可爱点“，
故答案为：否；
（2）方程组的解为，
∵点B（，）是“可爱点”，
∴，
∴，
∵m﹣n＝6，
∴6，
解得t＝10，
∴t的值为10．
（3）方程组的解为，
∵点C（，）是“可爱点”，
∴，
∴，
∵m﹣n＝6，
∴6，
解得b＝14a，
∵a，b为正整数，
∴或或或．
20．解：（1）∵|a﹣3b+（a+b﹣4）2＝0，
∴a﹣3b＝0，a+b﹣4＝0，
∴a＝3b，
∴3b+b﹣4＝0，
解得b＝1，
∴a＝3b＝3×1＝3，
∴a、b的值分别为3、1；
（2）如图，过点C作CG∥PQ，
∵PQ∥MN，
∴PQ∥CG∥MN，
∴∠GCA+∠MAC＝180°，∠GCB＝∠PBC，
设灯A转动的时间为t秒，
则∠MAC＝3t°，∠PBC＝t°，
∴∠GCA+3t°＝180°，∠GCB＝∠PBC＝t°，
∴∠GCA＝180°﹣3t°，
∵∠BCA＝70°，
∴180°﹣3t+t＝70°，
解得t＝55．
∵∠MAB+∠BAN＝180°，∠BAN＝45°，
∴∠MAB＝180°﹣∠BAN＝180°﹣45°＝135°，
∴∠BAC＝∠MAC﹣∠MAB
＝3t°﹣135°
＝（3×55）°﹣135°
＝165°﹣135°
＝30°；
（3）当x＝20或x＝80时，两探照灯的 光束互相平行．
解：设灯A转动x秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜x＜60时，
由题意，得40+x＝3x，
解得x＝20；
②当60＜x＜120时，
由题意，得3x﹣180+（40+x）×1＝180，
解得x＝80；
③当120＜x＜140时，
由题意，得3x﹣360＝x+40，
解得x＝200＞140（不符合题意，舍去），
综上所述，当x＝20或x＝80时，两探照灯的 光束互相平行．

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