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10.3实际问题与二元一次方程组
一、单选题
1．九章算术原文：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百，问人数、金价咨几何？”译文：“今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱，问合伙人数、金价各是多少？”设合伙人数为x人，金价为y钱，根据题意列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
2．《算法统宗》中记载了这样一个问题：“一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大小和尚得几丁？”其大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头．问大、小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
3．福州鱼丸是一种地道闽味小吃，颗颗圆润饱满，外皮Q弹滑嫩，内馅鲜美多汁，精选鱼肉与细腻猪肥膘巧妙融合，由手工打制而成，既保留了鱼肉的鲜香，又增添了口感的层次．周末小花和小丽一起去小吃摊品尝鱼丸，小花说：“我比你多吃了7个鱼丸啊！”小丽说：“如果你给我8个鱼丸，我的鱼丸数量就是你的2倍”．如果她们说的都是真的，设小花吃了x个鱼丸，小丽吃了y个鱼丸，那么可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
4．《九章算术》中记载这样一个问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．问绳长、井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？若设绳长、井深分别为x、y尺，则符合题意的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
5．李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为7.5cm，用4个碗叠放时总高度为11.5cm．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（　　）
A．15.5cm B．17.5cm C．19.5cm D．21.5cm
6．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”．诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、丙三人的解题方案，判断正确的个数是（　　）
甲：设客房有x间，则7x+7＝9（x﹣1）；
乙：设客人有y人，则；
丙：设客房有x间，客人有y人，则．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（　　）
A．60厘米 B．80厘米 C．100厘米 D．120厘米
8．如图，长方形ABCD中放置9个形状、大小都相同的小长方形，AD与AB的差为4，小长方形的周长为16，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．26 B．28 C．30 D．32
9．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则2x+y的值为（　　）
A．﹣5 B．﹣4 C．4 D．5
10．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（　　）
A．| B．|| C．||| D．||||
二、填空题
11．已知一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字和是9，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小63，则这个两位数是 　 　．
12．一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，则用 　 　张铁皮做盒身，　 　张铁皮做盒底，恰巧配套．
13．已知兄弟俩的对话如下：弟弟对哥哥说：“我俩的年龄加起来是妈妈年龄的一半”，哥哥对弟弟说：“现在我比你大4岁，再过18年，我们的年龄加起来就等于妈妈的年龄了”，则哥哥今年的年龄是 　 　岁．
14．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年02月04日至2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”陶制品分为小套装和大套装两种已知购买2个小套装和购买1个大套装，共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元，则大套装的单价为 　 　元．
15．团体购买公园门票，票价如下表：
购票人数 1～50 51～100 100以上
门票价格 13元/人 11元/人 9元/人
现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和b（a≥b），若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数的乘积ab＝ 　 　．
三、解答题
16．在《二元一次方程组》这一章的复习课上，刘老师给出了下面的题目：
在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条4000米长的公路，甲队每天修建200米，乙队每天修建250米，一共用18天完成．
（1）李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组，请写出李东所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示 　 　，y表示 　 　；并写出该方程组中△处的数应是 　 　，□处的数应是 　；
（2）陈彬同学的思路是想设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．下面请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？
17.今年“五一黄金周”，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石宝寨风景区更是人山人海．“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行，从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时．
（1）求该客轮在静水中的速度和水流速度；
（2）若在重庆港口、石宝寨两地之间需建新码头便于游客休息观光，使该客轮从重庆港到该码头和从石宝寨到该码头所用的航行时间相同，问重庆港与该码头两地相距多少千米．
18．为了防治“甲流病毒”，某医药公司计划用两种车型购买相关药物．已知：用2辆A型车和1辆B型车装满药物一次可运11吨，用1辆A型车和2辆B型车装满药物一次可运13吨．
（1）求1辆A型车和1辆B型车都装满药物一次可分别运多少吨？
（2）该医药公司准备购买33吨药物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆．一次运完，且恰好每辆车都装满．请你帮该医药公司设计租车方案．
19．某超市用9600元购进甲、乙两种商品共200件，这两种商品的进价，标价如下表：
价格 类型 甲种 乙种
进价（元/件） 30 60
标价（元/件） 50 90
（1）求甲、乙两种商品各购进多少件？
（2）若甲种商品按标价下降a元出售，乙种商品按标价八折出售，那么这批商品全部售出后，超市共获利2640元，求a的值．
20．某商场从厂家购进了A、B两种品牌篮球，第一批购买了这两种品牌篮球各40个，共花费了7200元．全部销售完后，商家打算再购进一批这两种品牌的篮球，最终第二批购进50个A品牌篮球和30个B品牌篮球共花费了7400元．两次购进A、B两种篮球进价保持不变．
（1）求A、B两种品牌篮球进价各为多少元一个；
（2）第二批次篮球在销售过程中，A品牌篮球每个原售价为140元，售出40个后出现滞销，商场决定打折出售剩余的A品牌篮球；B品牌篮球每个按进价加价30%销售，很快全部售出．已知第二批次两种品牌篮球全部售出后共获利2440元，求A品牌篮球打几折出售？
21．某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知：用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨：用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨．该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满物资，一次可分别运多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案；
（3）若此次运输中，1辆A型车的租金为120元，1辆B型车的租金为150元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费．
参考答案
一、单选题
1．
【分析】设合伙人数为x人，金价y钱，根据“每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设合伙人数为x人，金价y钱．
∵每人出钱400，会多出3400钱，
∴400x﹣3400＝y；
∵每人出钱300，会多出100钱，
∴300x﹣100＝y．
联立两方程组成方程组得，
故选：D．
2．
【分析】根据题意列方程组即可．
【解答】解：设大和尚有x人，小和尚有y人，
由题意得：，
故选：A．
3．
【分析】根据小花说：“我比你多吃了7个鱼丸啊！”小丽说：“如果你给我8个鱼丸，我的鱼丸数量就是你的2倍”，列出方程组即可．
【解答】解：由题意得，．
故选：B．
4．
【分析】用代数式表示井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺．
【解答】解：若设绳长、井深分别为x、y尺，则符合题意的方程组是．
故选：C．
5．
【分析】设一个碗的高度为x cm，增加一个碗高度增加y cm，根据用2只碗叠放时总高度为7.5cm，用4只碗叠放时总高度为11.5cm．列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．
【解答】解：设一个碗的高度为x cm，增加一个碗高度增加y cm，
由题意得：，
解得：，
∴8个碗叠成一列高度为x+7y＝5.5+7×2＝19.5（cm），
即将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度至少有19.5cm，
故选：C．
6．
【分析】根据题意找到等量关系式即可．
【解答】解：设客房有x间，则7x+7＝9（x﹣1），故甲正确，符合题意；
设客人有y人，则，故乙不正确，不符合题意；
设客房有x间，客人有y人，则，故丙正确，符合题意；
综上：正确的有甲、丙，共2个，
故选：C．
7．
【分析】设小长方形纸片的长为x厘米，宽为y厘米，由大长方形的宽为60厘米，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设小长方形纸片的长为x厘米，宽为y厘米，
根据题意得：，
解得：，
则每个小长方形的周长＝2（x+y）＝120（厘米），
故选：D．
8．
【分析】设小长方形的长为x、宽为y，根据AD与AB的差为4，小长方形的周长为16，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．
【解答】解：设小长方形的长为x、宽为y，
由题意得：，
解得：，
∴S阴影＝（x+2y）（x+4y）﹣9xy＝（6+4）×（6+8）﹣9×6×2＝32，
故选：D．
9．
【分析】根据每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
∴2x+y＝2×（﹣3）+2＝﹣4，
故选：B．
10．
【分析】设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意列出方程组，把x＝3代入，求得a的值便可．
【解答】解：设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意得，
，
把x＝3代入，得
由③得，y＝5，
把y＝5代入④得，12+5a＝27，
∴a＝3，
故选：C．
二、填空题
11．
【分析】理解题意，正确列出方程组，然后求解即可．
【解答】解：设两位数的十位数字为x，个位数字为y，
根据题意，得，
解得，
∴这个两位数为81，
故答案为：81．
12．
【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是（1）盒身的个数×2＝盒底的个数；（2）制作盒身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮张数＝35，列方程组求解即可．
【解答】解：设用x张制作盒身，y张制作盒底，
根据题意，得，
解得，
故答案为：15，20．
13．
【分析】设哥哥今年的年龄是x岁，弟弟今年的年龄是y岁，由题意：“我俩的年龄加起来是妈妈年龄的一半”，哥哥对弟弟说：“现在我比你大4岁，再过18年，我们的年龄加起来就等于妈妈的年龄了”，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设哥哥今年的年龄是x岁，弟弟今年的年龄是y岁，
由题意得：，
解得：，
即哥哥今年的年龄是11岁，
故答案为：11．
14．
【分析】设大套装的单价为x元，小套装的单价为y元，根据购买2个小套装和购买1个大套装，共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得到结论．
【解答】解：设大套装的单价为x元，小套装的单价为y元，
依题意可得：，
解得，
∴大套装的单价为120元．
故答案为：120．
15．
【分析】先判断a+b≥51，且a，b为正整数，再分51≤a+b≤100，a+b＞100，再建立方程组解题即可．
【解答】解：∵50×13＝650，
∴两个部门的人数和超过50人，
∴a+b≥51，且a，b为正整数，
当51≤a+b≤100时，
∴11（a+b）＝990，
∴a+b＝90①，
∵a≥b，
当两部门的人都小于50人时，不是整数，不符合题意；
∴51≤a≤100，1≤b≤50，
∴11a+13b＝1290②，
联立①②可得：，
解得：，不符合题意，
当a+b＞100时，
∴9（a+b）＝990，
∴a+b＝110③，
∵a≥b，
当1≤b≤50，51＜a≤100，
∴11a+13b＝1290④，
联立③④可得：，
解得：，
∴ab＝40×70＝2800，
当51≤b≤100，51≤a≤100时，
∴11（a+b）＝1290，此时不符合题意，舍去，
当a＞100时，则1≤b＜10，
∴13b+9a＝1290⑤，
联立③⑤可得：，
解得：，不符合题意，舍去，
综上分析：ab＝2800，
故答案为：2800．
三、解答题
16．解：（1）∵甲、乙两个工程队先后接力18天完成公路的修建任务，
∴x+y＝18，
∴△处的数应是18；
∵甲队每天修建200米，乙队每天修建250米，公路全长4000米，
∴200x+250y＝4000，
∴x表示甲队修建的时间，y表示乙队修建的时间，□处的数应是4000．
故答案为：甲队修建的时间，乙队修建的时间，18，4000；
（2）根据题意得：，
解得：，
∴8（天）．
答：乙队修建了8天．
17.解：（1）设该客轮在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时，
依题意得：，
解得：，
答：该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时；
（2）设从重庆港到该码头两地相距a千米，则从石宝寨到该码头两地相距（270﹣a）千米，
依题意得：，
解得：a＝162，
答：重庆港与该码头两地相距162千米．
18.解：（1）设1辆A型车装满药物一次可运x吨，1辆B型车装满药物一次可运y吨，
由题意得：，
解得：，
答：1辆A型车装满药物一次可运3吨，1辆B型车装满药物一次可运5吨；
（2）由题意，得3a+5b＝33，
整理得：a＝11b，
∵a，b均为正整数，
∴或，
∴有2种租车方案：
①租A型车6辆，B型车3辆；
②租A型车1辆，B型车6辆．
19.解：（1）设甲种商品购进x件，乙种商品购进y件，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种商品购进80件，乙种商品购进120件；
（2）根据题意得：（50﹣a﹣30）×80+（90×0.8﹣60）×120＝2640，
解得：a＝5．
答：a的值为5．
20.解：（1）设A品牌篮球进价为x元，B品牌篮球进价为y元，
根据题意，可得：，
解得：，
∴A品牌篮球进价为100元，B品牌篮球进价为80元；
（2）设A品牌篮球打m折出售，
∴A品牌篮球的利润为：（元），
B品牌篮球的利润为：30×80×30%＝720（元），
根据题意，可得：140m+600+720＝2440，
解得：m＝8，
∴A品牌篮球打八折出售．
21.解：（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，
根据题意得：，
解得：．
答：1辆A型车装满资物一次可运4吨，1辆B型车装满资物一次可运3吨；
（2）根据题意得：4a+3b＝31，
∴a．
又∵a，b均为正整数，
∴或或，
∴该物流公司共有3种租车方案，
方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；
方案2：租用4辆A型车，5辆B型车；
方案3：租用7辆A型车，1辆B型车；
（3）选择方案1所需租金为120×1+150×9＝1470（元）；
选择方案2所需租金为120×4+150×5＝1230（元）；
选择方案3所需租金为120×7+150×1＝990（元）．
∵1470＞1230＞990，
∴最省钱的租车方案为：租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为990元．

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