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2024年广西壮族自治区百色市田阳区中考一模数学试题
1．（2024九下·田阳模拟）下面的四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，
所以对顶角是两条直线相交形成的角，
选项A、C中的∠1、∠2都不是两条直线相交成的角，
选项B中的∠1、∠2不是互为反向延长线形成的两个角，是邻补角，
故选项A、B、C中的∠1、∠2都不是对顶角；
选项D符合对顶角的定义．
故答案为：D．
【分析】利用对顶角的定义（两条直线相交后形成的两个角，它们有公共的顶点且没有公共边）及特征分析求解即可.
2．（2024九下·田阳模拟） 下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式；二次根式的混合运算；完全平方式
【解析】【解答】解：A、，此项错误，不符合题意；
B、，此项错误，不符合题意；
C、，此项错误，不符合题意；
D、，此项正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质、合并同类二次根式、完全平方公式逐项计算并判断选择正确的即可．
3．（2024九下·田阳模拟） 点关于y轴的对称点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵是点关于y轴的对称点，
∴的坐标为（5，-4）.
故答案为：B.
【分析】关于y轴对称，那么纵坐标不变，横坐标变成相反数，据此解题即可．
4．（2024九下·田阳模拟）如图，已知，，添加条件（　　）能使．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加条件：，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴．
故答案为：D.
【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
5．（2024九下·田阳模拟）反比例函数的图象经过点，则k的值为（　　）
A． B． C．6 D．5
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得：．
故答案为：C．
【分析】将点P的坐标代入求出k的值即可.
6．（2024九下·田阳模拟）如图，圆心角，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，设点是优弧上的一点，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C.
【分析】设点是优弧上的一点，连接，，先利用圆周角的性质可得，再利用圆内接四边形的性质求出即可．
7．（2024九下·田阳模拟）若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】根据多边形的内角和公式（n-2) 180°，列式求解即可．
【解答】设这个多边形是n边形，根据题意得，
（n-2) 180°=900°，
解得n=7．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键
8．（2024九下·田阳模拟）全国交通安全反思日是每年的4月30日，其设立的目的是唤起人们对交通安全的关注，在新的全国交通安全反思日到来之际，学校举办了“我为自己的安全负责”主题演讲比赛．某班5名参赛成员的成绩（单位：分）分别为：89，87，90，89，95．关于这组数据，下列说法错误的是（　　）
A．平均数是89 B．中位数是89 C．众数是89 D．方差是7.2
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：将数据重新排列为87，89，89，90，95．
A．数据的平均数为，此选项错误，符合题意；
B．数据的中位数为89，此选项正确，不符合题意；
C．数据的众数为89，此选项正确，不符合题意；
D．方差为，此选项正确，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】先将数据从小到大排列，再利用平均数、中位数、众数和方差的定义及计算方法分析求解即可.
9．（2024九下·田阳模拟）如图，在中，，平分，交于点．已知，，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作，
，
，
又且平分，
，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作，先利用角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求出即可.
10．（2024九下·田阳模拟） 习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”、为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动，用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套，设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，由题意得，
．
故答案为：B.
【分析】设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则第一批购买了套，第二批购买了套，根据用元购买的套数只比第一批少4套列出方程即可.
11．（2024九下·田阳模拟）如图，在中，点的坐标分别为、、，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过作轴于，如图，
∵点的坐标分别为、，
∴，，
∴由勾股定理得，
∵点的坐标为，
∴，，
∴，
同理，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴的周长，
故答案为：．
【分析】过作轴于，先求出，，利用勾股定理求出AB的长，再求出，，再根据四边形是平行四边形，可得，，最后利用平行四边形的周长公式列出算式求解即可.
12．（2024九下·田阳模拟）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE＋DF＝EF；④S正方形ABCD＝2＋，其中正确的序号是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC-BE=CD-DF，
∴CE=CF，
∴①说法正确；
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°，
∴②说法正确；
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③说法错误；
∵EF=2，
∴CE=CF=，
设正方形的边长为a，
在Rt△ADF中，
AD2+DF2=AF2，即a2+（a-）2=4，
解得a=，
则a2=2+，
S正方形ABCD=2+，
④说法正确，
综上，正确的说法是①②④，
故答案为：D．
【分析】利用正方形的性质和全等三角形的判定方法证出Rt△ABE≌Rt△ADF，再利用全等三角形的性质及角的运算和等量代换求出∠AEB=75°，最后利用线段的和差及等量代换和正方形的面积公式逐项分析判断即可.
13．（2024九下·田阳模拟） 要使分式有意义，则x的取值范围是　 　.
【答案】x≠2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式有意义，
∴x-2≠0，
解得x≠2，
故答案为：x≠2.
【分析】根据分式有意义的条件，分母不为0，解题即可.
14．（2024九下·田阳模拟）已知和是直线上的两点，则与 的大小关系是　 　． (填“> ”，“< ”或 “＝”)
【答案】<
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵中的，
∴y随x的增大而增大，
∵，
∴，
故答案为：<．
【分析】利用一次函数的性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小）分析求解即可.
15．（2024九下·田阳模拟）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程x +2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=22 -4×1×m>0，
解得： m<1，
故答案为： m<1.
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与判别式 Δ =b2-4ac有如下关系：①Δ >0，方程有两个不相等的实数根，②Δ =0，方程有两个相等的实数根，③Δ <0，方程没有实数根.根据题意得出 Δ =22 -4×1×m>0，解不等式即可.
16．（2024九下·田阳模拟）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为，2，将长为3的线段摆放在数轴上，使得点P与中点重合，则点Q表示的数为　 　．
【答案】0或
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：由题意可得：，的中点表示的数为，
即点P表示的数为，
当在的左边时，此时点Q表示的数为，
当在的右边时，此时点Q表示的数为，
故答案为：0或
【分析】分类讨论：①当在的左边时，②当在的右边时，再利用两点之间的距离公式求解即可.
17．（2024九下·田阳模拟）如图，在矩形中，若，，则的长为　 　．
【答案】6
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
18．（2024九下·田阳模拟）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB的长为8cm，则图中阴影部分的面积为　 　cm2．
【答案】16π．
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质
【解析】【解答】设AB切小圆于点C，连接OC，OB，
∵AB切小圆于点C，
∴OC⊥AB，
∴BC=AC=AB=×8=4，
∵Rt△OBC中，OB2=OC2+BC2，
∴OB2－OC2= BC2=16，
∴圆环（阴影）的面积=π OB2－π OC2=π（OB2－OC2）=16π（cm2）．
故答案为：16π．
【分析】设AB切小圆于点C，连接OC，OB，先利用垂径定理求出BC=AC=AB=×8=4，再利用勾股定理求出OB2－OC2= BC2=16，最后利用圆的面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可.
19．（2024九下·田阳模拟）计算：.
【答案】解：
=-1-8+3×3
=-1-8+9
=0
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】先算乘方，再算除法，最后算加减.
20．（2024九下·田阳模拟）解方程：x2-4x+2=0
【答案】解：由方程可得：a=1，b=-4，c=2
x=
=
=2±
∴x1=2+ ，x2=2-
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】利用一元二次方程的求根公式x=，把a，b，c的值代入进行计算，即可求解.
21．（2024九下·田阳模拟）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点均为网格线的交点．
（1）以点为位似中心，在网格中画出的位似图形使原图形与新图形的相似比为；
（2）把向上平移个单位长度后得到，请画出；
（3）的面积为______．
【答案】（1）解：如图，
∴如图所示，就是所求作的三角形.
（2）解：如图，的每一个顶点都向上平移个单位，再连接各顶点，
∴如图所示，就是所求作的三角形.
（3）．
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移；作图﹣位似变换；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（3）解：的面积=，
故答案为：．
【分析】（1）先利用位似图形的性质及特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）利用三角形的面积公式及割补法求出△A2B2C2的面积即可.
22．（2024九下·田阳模拟）“书香润石室，阅读向未来”，为了让同学们获得更好的阅读体验，学校图书馆在每年年末，都将购进一批图书供学生阅读．为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查．问卷设置了五种选项：A“艺术类”，B“文学类”，C“科普类”，D“体育类”，E“其他类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生人数为　 　名；
（2）请直接补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是多少度；
（4）请结合数据简要分析，给学校准备购进这一批图书提出建议．
【答案】（1）100
（2）解：根据题意得：(人)，
补图如下：
．
（3）解：根据题意，得．
（4）解：根据学生最喜欢科普类的图书，由此建议学校多购买科普类的图书．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：(人)，
故答案为：100．
【分析】（1）利用“B”的人数除以对应的百分比可得总人数；
（2）先求出“D”的人数，再作出条形统计图即可；
（3）先求出“A”的百分比，再乘以360°可得答案；
（4）根据条形统计图中的数据分析求解即可.
23．（2024九下·田阳模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE切⊙O于点A，AE与直径BD的延长线相交于点E．
（1）如图①，若∠C＝71°，求∠E的大小；
（2）如图②，当AE＝AB，DE＝2时，求∠E的大小和⊙O的半径．
【答案】（1）解：连接．
∵切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：连接，如图所示：
设
是的切线，
即
在中，
即
解得
在中，
即的半径为2.
【知识点】角的运算；含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）连接OA，先利用切线的性质可得， 再利用圆周角的性质求出，最后利用角的运算求出即可；
（2）连接OA，设∠E=x，利用角的运算求出，再利用角的运算求出 利用含30°角的直角三角形的性质求出OA的长，从而可得的半径为2.
24．（2024九下·田阳模拟）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）设AE与BF相交于点O，四边形ABEF的周长为24，BF=6，求四边形ABEF的面积．
【答案】（1）证明：由尺规作图可知：AE是∠BAF的角平分线，AF=AB，EF=EB，
∴∠FAE=∠BAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠FAE=∠AEB，
∴∠AEB=∠BAE，
∴ BA=BE，
∴ BA=BE=AF=EF
∴四边形ABEF是菱形
（2）解：∵菱形ABEF的周长为24，
∴ AF=AB=6，
∵菱形ABEF中，AE⊥BF，BF=6，
∴OB=3，
∴，
∴
∴
【知识点】菱形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）由作法得AF=AB，EF=EB，AE平分∠BAD，则∠BAE=∠FAE，由平行四边形的对边平行得AD∥BC，由二直线平行，内错角相等，得∠FAE=∠BEA，则∠AEB=∠BAE，由等角对等边得 BA=BE=AF=EF ，从而根据四边相等的四边形是菱形可得结论；
（2）利用菱形的性质得到AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=3，BE=6，再利用勾股定理计算出OE，然后根据菱形的面积公式计算．
25．（2024九下·田阳模拟）冻雨是湖北不常见的天气情况，一旦遇上会对工作和生活带来不便甚至灾害．武汉市在二月份下了多次冻雨，许多树木因为冻雨结冰发生折断，我们对一无冰树枝置于武汉的2024年2月3日15点开始的冻雨下进行观察，发现一段含冰树枝的重量y（千克）和时间x（小时）近似满足二次函数关系：，当时，该含冰树枝重9.75千克；当时，该含冰树枝增重到15.75千克．
（1）求二次函数的解析式．
（2）由经验可知当冻雨下含冰树枝的重量是未结冰时的3.5倍时，树枝会发生折断，请问树枝会折断吗？如果会，何时断裂，如果不会，说明理由．
（3）在（2）的树枝折发生折断的经验下，从2月3日15时，观察同一段树枝，经过10小时后，冻雨雨量开始增大，平均每小时的重量额外增加n千克，发现该段树枝在次日凌晨到之间折断，请直接写出n的范围__________．
【答案】（1）解：∵，当时，该含冰树枝重9.75千克；当时，该含冰树枝增重到15.75千克，
∴，
解得：，
∴.
（2）解：不会，
理由如下：∵，
∴当时，，
∴当冻雨下含冰树枝的重量是未结冰时的3.5倍时，，
解得：或，
∵，
∴树枝不会折断.
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（3）∵，
∴当时，，
10小时后的时间为凌晨，
∵该段树枝在次日凌晨到之间折断，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据“雨下含冰树枝的重量是未结冰时的3.5倍”列出方程，再求解即可；
（3）将x=10代入解析式可得，再列出不等式组，最后求出n的取值范围即可.
26．（2024九下·田阳模拟）问题呈现： 如图1，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B和C，D，AB和CD相交于点P，求tan∠BPD 的值．
方法归纳： 利用网格将线段CD平移到线段BE，连接AE，得到格点△ABE，且AE⊥BE，则∠BPD 就变换成Rt△ABE 中的∠ABE．
问题解决：
（1）图1中tan∠BPD的值为________；
（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B 和 C，D，AB与CD交于点P，求cos ∠BPD的值；
思维拓展：
（3）如图3，AB⊥CD，垂足为B，且AB＝4BC，BD＝2BC，点E在AB上，且AE＝BC，连接AD交CE的延长线于点P，利用网格求sin∠CPD．
【答案】解：（1）2；
（2）过点A作AE//CD，连接BE，由图2可知E点在格点上，且∠AEB＝90°，
由勾股定理可得：
∴cos∠BPD＝cos∠BAE＝；
（3）如图3构造网格，过点A作AN//PC，连接DN，由图可知N点在格点上，且∠AND＝90°，
由勾股定理可得：
∴sin∠CPD＝sin∠NAD＝
【知识点】平行线的性质；勾股定理；归纳与类比
【解析】【解答】解：（1） 由勾股定理可得：，
∵CD//BE，
∴tan∠BPD＝tan∠ABE＝；
故答案为：2.
【分析】（1）先利用勾股定理求出AE和BE的长，再利用正切的定义及计算方法分析求解即可；
（2）过点A作AE//CD，连接BE，先利用勾股定理求出AE和AB的长，再利用余弦的定义及计算方法分析求解即可；
（3）过点A作AN//PC，连接DN，先利用勾股定理求出DN和AD的长，再利用正弦的定义及计算方法分析求解即可.
1 / 12024年广西壮族自治区百色市田阳区中考一模数学试题
1．（2024九下·田阳模拟）下面的四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024九下·田阳模拟） 下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九下·田阳模拟） 点关于y轴的对称点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九下·田阳模拟）如图，已知，，添加条件（　　）能使．
A． B． C． D．
5．（2024九下·田阳模拟）反比例函数的图象经过点，则k的值为（　　）
A． B． C．6 D．5
6．（2024九下·田阳模拟）如图，圆心角，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九下·田阳模拟）若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（2024九下·田阳模拟）全国交通安全反思日是每年的4月30日，其设立的目的是唤起人们对交通安全的关注，在新的全国交通安全反思日到来之际，学校举办了“我为自己的安全负责”主题演讲比赛．某班5名参赛成员的成绩（单位：分）分别为：89，87，90，89，95．关于这组数据，下列说法错误的是（　　）
A．平均数是89 B．中位数是89 C．众数是89 D．方差是7.2
9．（2024九下·田阳模拟）如图，在中，，平分，交于点．已知，，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024九下·田阳模拟） 习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”、为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动，用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套，设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2024九下·田阳模拟）如图，在中，点的坐标分别为、、，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
12．（2024九下·田阳模拟）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE＋DF＝EF；④S正方形ABCD＝2＋，其中正确的序号是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
13．（2024九下·田阳模拟） 要使分式有意义，则x的取值范围是　 　.
14．（2024九下·田阳模拟）已知和是直线上的两点，则与 的大小关系是　 　． (填“> ”，“< ”或 “＝”)
15．（2024九下·田阳模拟）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　．
16．（2024九下·田阳模拟）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为，2，将长为3的线段摆放在数轴上，使得点P与中点重合，则点Q表示的数为　 　．
17．（2024九下·田阳模拟）如图，在矩形中，若，，则的长为　 　．
18．（2024九下·田阳模拟）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB的长为8cm，则图中阴影部分的面积为　 　cm2．
19．（2024九下·田阳模拟）计算：.
20．（2024九下·田阳模拟）解方程：x2-4x+2=0
21．（2024九下·田阳模拟）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点均为网格线的交点．
（1）以点为位似中心，在网格中画出的位似图形使原图形与新图形的相似比为；
（2）把向上平移个单位长度后得到，请画出；
（3）的面积为______．
22．（2024九下·田阳模拟）“书香润石室，阅读向未来”，为了让同学们获得更好的阅读体验，学校图书馆在每年年末，都将购进一批图书供学生阅读．为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查．问卷设置了五种选项：A“艺术类”，B“文学类”，C“科普类”，D“体育类”，E“其他类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生人数为　 　名；
（2）请直接补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是多少度；
（4）请结合数据简要分析，给学校准备购进这一批图书提出建议．
23．（2024九下·田阳模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE切⊙O于点A，AE与直径BD的延长线相交于点E．
（1）如图①，若∠C＝71°，求∠E的大小；
（2）如图②，当AE＝AB，DE＝2时，求∠E的大小和⊙O的半径．
24．（2024九下·田阳模拟）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）设AE与BF相交于点O，四边形ABEF的周长为24，BF=6，求四边形ABEF的面积．
25．（2024九下·田阳模拟）冻雨是湖北不常见的天气情况，一旦遇上会对工作和生活带来不便甚至灾害．武汉市在二月份下了多次冻雨，许多树木因为冻雨结冰发生折断，我们对一无冰树枝置于武汉的2024年2月3日15点开始的冻雨下进行观察，发现一段含冰树枝的重量y（千克）和时间x（小时）近似满足二次函数关系：，当时，该含冰树枝重9.75千克；当时，该含冰树枝增重到15.75千克．
（1）求二次函数的解析式．
（2）由经验可知当冻雨下含冰树枝的重量是未结冰时的3.5倍时，树枝会发生折断，请问树枝会折断吗？如果会，何时断裂，如果不会，说明理由．
（3）在（2）的树枝折发生折断的经验下，从2月3日15时，观察同一段树枝，经过10小时后，冻雨雨量开始增大，平均每小时的重量额外增加n千克，发现该段树枝在次日凌晨到之间折断，请直接写出n的范围__________．
26．（2024九下·田阳模拟）问题呈现： 如图1，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B和C，D，AB和CD相交于点P，求tan∠BPD 的值．
方法归纳： 利用网格将线段CD平移到线段BE，连接AE，得到格点△ABE，且AE⊥BE，则∠BPD 就变换成Rt△ABE 中的∠ABE．
问题解决：
（1）图1中tan∠BPD的值为________；
（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B 和 C，D，AB与CD交于点P，求cos ∠BPD的值；
思维拓展：
（3）如图3，AB⊥CD，垂足为B，且AB＝4BC，BD＝2BC，点E在AB上，且AE＝BC，连接AD交CE的延长线于点P，利用网格求sin∠CPD．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，
所以对顶角是两条直线相交形成的角，
选项A、C中的∠1、∠2都不是两条直线相交成的角，
选项B中的∠1、∠2不是互为反向延长线形成的两个角，是邻补角，
故选项A、B、C中的∠1、∠2都不是对顶角；
选项D符合对顶角的定义．
故答案为：D．
【分析】利用对顶角的定义（两条直线相交后形成的两个角，它们有公共的顶点且没有公共边）及特征分析求解即可.
2．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式；二次根式的混合运算；完全平方式
【解析】【解答】解：A、，此项错误，不符合题意；
B、，此项错误，不符合题意；
C、，此项错误，不符合题意；
D、，此项正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质、合并同类二次根式、完全平方公式逐项计算并判断选择正确的即可．
3．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵是点关于y轴的对称点，
∴的坐标为（5，-4）.
故答案为：B.
【分析】关于y轴对称，那么纵坐标不变，横坐标变成相反数，据此解题即可．
4．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加条件：，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴．
故答案为：D.
【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
5．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得：．
故答案为：C．
【分析】将点P的坐标代入求出k的值即可.
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，设点是优弧上的一点，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C.
【分析】设点是优弧上的一点，连接，，先利用圆周角的性质可得，再利用圆内接四边形的性质求出即可．
7．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】根据多边形的内角和公式（n-2) 180°，列式求解即可．
【解答】设这个多边形是n边形，根据题意得，
（n-2) 180°=900°，
解得n=7．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键
8．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：将数据重新排列为87，89，89，90，95．
A．数据的平均数为，此选项错误，符合题意；
B．数据的中位数为89，此选项正确，不符合题意；
C．数据的众数为89，此选项正确，不符合题意；
D．方差为，此选项正确，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】先将数据从小到大排列，再利用平均数、中位数、众数和方差的定义及计算方法分析求解即可.
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作，
，
，
又且平分，
，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作，先利用角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求出即可.
10．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，由题意得，
．
故答案为：B.
【分析】设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则第一批购买了套，第二批购买了套，根据用元购买的套数只比第一批少4套列出方程即可.
11．【答案】A
【知识点】点的坐标；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过作轴于，如图，
∵点的坐标分别为、，
∴，，
∴由勾股定理得，
∵点的坐标为，
∴，，
∴，
同理，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴的周长，
故答案为：．
【分析】过作轴于，先求出，，利用勾股定理求出AB的长，再求出，，再根据四边形是平行四边形，可得，，最后利用平行四边形的周长公式列出算式求解即可.
12．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC-BE=CD-DF，
∴CE=CF，
∴①说法正确；
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°，
∴②说法正确；
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③说法错误；
∵EF=2，
∴CE=CF=，
设正方形的边长为a，
在Rt△ADF中，
AD2+DF2=AF2，即a2+（a-）2=4，
解得a=，
则a2=2+，
S正方形ABCD=2+，
④说法正确，
综上，正确的说法是①②④，
故答案为：D．
【分析】利用正方形的性质和全等三角形的判定方法证出Rt△ABE≌Rt△ADF，再利用全等三角形的性质及角的运算和等量代换求出∠AEB=75°，最后利用线段的和差及等量代换和正方形的面积公式逐项分析判断即可.
13．【答案】x≠2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式有意义，
∴x-2≠0，
解得x≠2，
故答案为：x≠2.
【分析】根据分式有意义的条件，分母不为0，解题即可.
14．【答案】<
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵中的，
∴y随x的增大而增大，
∵，
∴，
故答案为：<．
【分析】利用一次函数的性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小）分析求解即可.
15．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程x +2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=22 -4×1×m>0，
解得： m<1，
故答案为： m<1.
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与判别式 Δ =b2-4ac有如下关系：①Δ >0，方程有两个不相等的实数根，②Δ =0，方程有两个相等的实数根，③Δ <0，方程没有实数根.根据题意得出 Δ =22 -4×1×m>0，解不等式即可.
16．【答案】0或
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：由题意可得：，的中点表示的数为，
即点P表示的数为，
当在的左边时，此时点Q表示的数为，
当在的右边时，此时点Q表示的数为，
故答案为：0或
【分析】分类讨论：①当在的左边时，②当在的右边时，再利用两点之间的距离公式求解即可.
17．【答案】6
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
18．【答案】16π．
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质
【解析】【解答】设AB切小圆于点C，连接OC，OB，
∵AB切小圆于点C，
∴OC⊥AB，
∴BC=AC=AB=×8=4，
∵Rt△OBC中，OB2=OC2+BC2，
∴OB2－OC2= BC2=16，
∴圆环（阴影）的面积=π OB2－π OC2=π（OB2－OC2）=16π（cm2）．
故答案为：16π．
【分析】设AB切小圆于点C，连接OC，OB，先利用垂径定理求出BC=AC=AB=×8=4，再利用勾股定理求出OB2－OC2= BC2=16，最后利用圆的面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可.
19．【答案】解：
=-1-8+3×3
=-1-8+9
=0
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】先算乘方，再算除法，最后算加减.
20．【答案】解：由方程可得：a=1，b=-4，c=2
x=
=
=2±
∴x1=2+ ，x2=2-
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】利用一元二次方程的求根公式x=，把a，b，c的值代入进行计算，即可求解.
21．【答案】（1）解：如图，
∴如图所示，就是所求作的三角形.
（2）解：如图，的每一个顶点都向上平移个单位，再连接各顶点，
∴如图所示，就是所求作的三角形.
（3）．
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移；作图﹣位似变换；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（3）解：的面积=，
故答案为：．
【分析】（1）先利用位似图形的性质及特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）利用三角形的面积公式及割补法求出△A2B2C2的面积即可.
22．【答案】（1）100
（2）解：根据题意得：(人)，
补图如下：
．
（3）解：根据题意，得．
（4）解：根据学生最喜欢科普类的图书，由此建议学校多购买科普类的图书．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：(人)，
故答案为：100．
【分析】（1）利用“B”的人数除以对应的百分比可得总人数；
（2）先求出“D”的人数，再作出条形统计图即可；
（3）先求出“A”的百分比，再乘以360°可得答案；
（4）根据条形统计图中的数据分析求解即可.
23．【答案】（1）解：连接．
∵切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：连接，如图所示：
设
是的切线，
即
在中，
即
解得
在中，
即的半径为2.
【知识点】角的运算；含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）连接OA，先利用切线的性质可得， 再利用圆周角的性质求出，最后利用角的运算求出即可；
（2）连接OA，设∠E=x，利用角的运算求出，再利用角的运算求出 利用含30°角的直角三角形的性质求出OA的长，从而可得的半径为2.
24．【答案】（1）证明：由尺规作图可知：AE是∠BAF的角平分线，AF=AB，EF=EB，
∴∠FAE=∠BAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠FAE=∠AEB，
∴∠AEB=∠BAE，
∴ BA=BE，
∴ BA=BE=AF=EF
∴四边形ABEF是菱形
（2）解：∵菱形ABEF的周长为24，
∴ AF=AB=6，
∵菱形ABEF中，AE⊥BF，BF=6，
∴OB=3，
∴，
∴
∴
【知识点】菱形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）由作法得AF=AB，EF=EB，AE平分∠BAD，则∠BAE=∠FAE，由平行四边形的对边平行得AD∥BC，由二直线平行，内错角相等，得∠FAE=∠BEA，则∠AEB=∠BAE，由等角对等边得 BA=BE=AF=EF ，从而根据四边相等的四边形是菱形可得结论；
（2）利用菱形的性质得到AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=3，BE=6，再利用勾股定理计算出OE，然后根据菱形的面积公式计算．
25．【答案】（1）解：∵，当时，该含冰树枝重9.75千克；当时，该含冰树枝增重到15.75千克，
∴，
解得：，
∴.
（2）解：不会，
理由如下：∵，
∴当时，，
∴当冻雨下含冰树枝的重量是未结冰时的3.5倍时，，
解得：或，
∵，
∴树枝不会折断.
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（3）∵，
∴当时，，
10小时后的时间为凌晨，
∵该段树枝在次日凌晨到之间折断，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据“雨下含冰树枝的重量是未结冰时的3.5倍”列出方程，再求解即可；
（3）将x=10代入解析式可得，再列出不等式组，最后求出n的取值范围即可.
26．【答案】解：（1）2；
（2）过点A作AE//CD，连接BE，由图2可知E点在格点上，且∠AEB＝90°，
由勾股定理可得：
∴cos∠BPD＝cos∠BAE＝；
（3）如图3构造网格，过点A作AN//PC，连接DN，由图可知N点在格点上，且∠AND＝90°，
由勾股定理可得：
∴sin∠CPD＝sin∠NAD＝
【知识点】平行线的性质；勾股定理；归纳与类比
【解析】【解答】解：（1） 由勾股定理可得：，
∵CD//BE，
∴tan∠BPD＝tan∠ABE＝；
故答案为：2.
【分析】（1）先利用勾股定理求出AE和BE的长，再利用正切的定义及计算方法分析求解即可；
（2）过点A作AE//CD，连接BE，先利用勾股定理求出AE和AB的长，再利用余弦的定义及计算方法分析求解即可；
（3）过点A作AN//PC，连接DN，先利用勾股定理求出DN和AD的长，再利用正弦的定义及计算方法分析求解即可.
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