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10.4三元一次方程组的解法
一、单选题
1．下列四组数值中，（　　）是方程组的解．
A． B．
C． D．
2．三元一次方程组消去未知数c后，所得二元一次方程组是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知方程组，则x+y+z的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．若x、y满足x+y+m＝3，x﹣y﹣3m＝1，则代数式xy有可能值为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．方程组的解使代数式kx+2y﹣z的值为﹣5，则k的值为（　　）
A．0 B． C． D．
6．小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲，2件乙，1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲，3件乙，4件丙时显示的价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款（　　）
A．200元 B．400元 C．500元 D．600元
7．用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示x，y，z三元一次方程组，若4x+y﹣z为定值，则t与m关系（　　）
A．m﹣2t＝﹣1 B．m+2t＝1 C．2m﹣t＝1 D．2t+m＝﹣1
8．对于有理数x、y定义一种运算“□”：x□y＝ax+by+c，其中a、b、c为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算，已知3□5＝15，4□7＝28，则1□1的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣11 C．1 D．11
9．小华到学校超市买铅笔11支，作业本5个，笔芯2支，共花12.5元；小刚在这家超市买同样的铅笔10支，同样的作业本4个，同样的笔芯1支，共花10元钱．若买这样的铅笔1支、作业本1个，笔芯1支共需（　　）元．
A．3 B．2.5 C．2 D．无法求出
10．幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中c的值为（　　）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
二、填空题
11．若x+2y+3z＝5，4x+3y+2z＝10，则x+y+z的值为 　 　．
12．如果方程组的解与方程组的解相同，则a+b＝　 　．
13．若方程组的解满足k＝a+b+c，则点P（k+2，1﹣2k）在第 　 　象限．
14．信息安全保障越来越受到人们重视，很多信息需要加密处理，有一种加密、解密的工作原理为：发送方由明文通过加密规则加密成密文，接收方由密文通过解密成明文．已知某加密规则为：明文x，y互为相反数，其对应密文为x+2y﹣k，2x+y﹣k．若接收方收到密文为2和﹣1，则k的值为 　 　．
15．已知a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c满足，a+b+c＝12，则△ABC的形状为　 　．
三、解答题
16．解下列方程（组）
（1） （2） （3）．
（4）． （5）． （6）．
17．已知三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，且a+2b﹣c＝13，2a＝c+3，求三角形的三边长．
18．已知等式y＝ax2+bx+c，且当x＝1时y＝0；，当x＝2时y＝3；当x＝﹣3时y＝28；
（1）求a、b、c的值；
（2）当x＝﹣2时，y的值又是多少？
19．数学活动：探究不定方程
小张，小王两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以解出x+y+z的值．请在以下横线处补全两人的解法．
小张的方法：
②×3﹣①×2，整理可得：y＝　 　；
①×3﹣②×2，整理可得：x＝　 　，
∴x+y+z＝4
小王的方法：①+②：　 ③；
∴　 　得：x+y+z＝4．
请利用解不定方程的思路解决以下问题：已知买4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；买4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7，2元，求买2本英语簿，3本数学簿，1本作文本需要多少钱？
20．在解决“已知有理数x、y、z满足方程组，求4x+13y﹣9z的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①×a得：2ax+3ay﹣az＝5a③，由②×b得：bx﹣2by+3bz＝b④．
③+④得：（2a+b）x+（3a﹣2b）y+（﹣a+3b）z＝5a+b⑤．
当（2a+b）x+（3a﹣2b）y+（﹣a+3b）z＝4x+13y﹣9z时，
即，解得．
∴①×3+②×（﹣2），得4x+13y﹣9z＝5×3+1×（﹣2）＝13．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
（1）若有理数a、b满足（3x+4y+2z）×a+（x+6y+5z）×b＝12x+2y﹣5z，求a、b的值；
（2）母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
参考答案
一、单选题
1．
【分析】①+③得出4a＝﹣4，求出a的值，②+③得出5a﹣2b＝﹣9，代入后求出b，即可求出答案．
【解答】解：
①+③得：4a＝﹣4，
解得：a＝﹣1，
②+③得：5a﹣2b＝﹣9④，
把a＝﹣1代入④得：﹣5﹣2b＝﹣9，
解得：b＝2，
把a＝﹣1，b＝2代入①得：﹣1+2+c＝0，
解得：c＝﹣1，
故原方程组的解为，
故选：B．
2．
【分析】先消去未知数c可得，从而可得答案．
【解答】解：，
②﹣③得：3a+3b＝3即a+b＝1，
③×3+①得：5a﹣2b＝19，
∴，
故选：A．
3．
【分析】把三个方程相加，进行计算即可解答．
【解答】解：，
①+②+③得：
2x+2y+2z＝3+（﹣6）+9，
∴x+y+z＝3，
故选：A．
4．
【分析】结合已知条件进行代数式求值，然后代入xy中确定其取值即可．
【解答】解：由题意可得，
解得，
则xy＝（2+m）（1﹣2m）
＝2﹣4m+m﹣2m2
＝﹣2m2﹣3m+2
＝﹣2（m）2，
∵6＞5＞43，
∴代数式xy有可能值为3，
故选：D．
5．
【分析】用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入kx+2y﹣z＝﹣5即可求出k．
【解答】解：，
①﹣②得：x﹣z＝10④，
③+④得：2x＝14，
解得：x＝7，
把x＝7代入①得：7+y＝8，
解得：y＝1，
把x＝7代入③得：z+7＝4，
解得：z＝﹣3，
∴原方程组的解为，
把代入kx+2y﹣z＝﹣5得：7k+2×1﹣（﹣3）＝﹣5，
解得：．
故选：C．
6．
【分析】设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元，根据题意列出方程组，计算即可求出x，y，z的值，即可得到结果．
【解答】解：设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元，
根据题意得：，
①+②得：5x+5y+5z＝1000，即x+y+z＝200，
∴2x+2y+2z＝400，
则购买甲、乙、丙各两件应该付款400元．
故选：B．
7．
【分析】根据矩阵定义列方程组可解答．
【解答】解：由题意得：，
①×2+②得：4x+y+2tz+mz＝8，
∵4x+y﹣z为定值，
∴2t+m＝﹣1．
故选：D．
8．
【分析】先由运算的定义，写出3□5＝15，4□7＝28，得到关于a、b、c的方程组，用含c的代数式表示出a、b．代入2□2求出值．
【解答】解：∵3□5＝3a+5b+c＝15，4□7＝4a+7b+c＝28，
∴，
解这个方程组，得
，
所以1□1＝a+b+c＝13﹣2b+b+b﹣24＝﹣11．
故选：B．
9．
【分析】等量关系为：11×铅笔的单价+5×作业本的单价+2×笔芯的单价＝12.5；10×铅笔的单价+4×作业本的单价+1×笔芯的单价＝10，把两个方程相减后即可得到的方程可得购买这样的铅笔1支、作业本1个，笔芯1支共需的钱数．
【解答】解：设购一支铅笔，一个作业本，一支笔芯分别需要x，y，z元，
根据题意得，
①﹣②得x+y+z＝12.5﹣10＝2.5．
故买这样的铅笔1支、作业本1个，笔芯1支共需2.5元．
故选：B．
10．
【分析】根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等列出方程组即可解得答案．
【解答】解：根据题意得：，
∴（e+10）﹣（c+e）＝（b+c）﹣（b﹣2），
∴c＝4；
故选：D．
二、填空题
11．
【分析】此题可运用“整体思想”求解，让已知的两式相加，然后将系数化为1，即可求得x+y+z的值．
【解答】解：将两个方程左右两边分别相加，得5x+5y+5z＝15，
两边同时除以5，得x+y+z＝3．
故答案为：3．
12．
【分析】两个方程组的解相同，意思是这两个方程组中的x都等于4，y都等于3，即是方程组的解，根据方程组的解的定义，即可求出a+b的值．
【解答】解：依题意，知是方程组的解，
∴
①+②，得7a+7b＝7，
方程两边都除以7，得a+b＝1．
13．
【分析】将方程组中的三个方程相加后求得k的值，再将其代入k+2，1﹣2k中计算，最后根据各象限内点的坐标特征即可求得答案．
【解答】解：∵若方程组的解满足k＝a+b+c，
∴将方程组中的三个方程相加可得2a+2b+2c＝6，
∴k＝a+b+c＝3，
∴k+2＝5，1﹣2k＝﹣5，
则P（5，﹣5）在第四象限，
故答案为：四．
14．
【分析】根据题意列出方程，求解即可．
【解答】解：由题意得：，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】设k，表示a、b、c的长，代入a+b+c＝12中，计算k的值，可得三边的长，根据勾股定理的逆定理可得结论．
【解答】解：△ABC是直角三角形，理由是：
设k，
则a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8，
∵a+b+c＝12，
∴3k﹣4+2k﹣3+4k﹣8＝12，
k＝3，
∴a＝5，b＝3，c＝4，
∴c2+b2＝42+32＝25＝a2，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角三角形
三、解答题
16．解：（1），
2（x+2）﹣3（x﹣1）＝6，
2x+4﹣3x+3＝6，
﹣x＝﹣1，
x＝1；
（2），
整理得：，
①×3得：12x﹣9y＝6③，
②×4得：12x﹣16y＝﹣8④，
③﹣④得：7y＝14，
解得：y＝2，
把y＝2代入①得：4x﹣6＝2，
解得：x＝2，
故原方程组的解是：；
（3），
①+②得：3x+y＝1④，
①+③得：4x+y＝2⑤，
⑤﹣④得：x＝1，
把x＝1代入④得：3+y＝1，
解得：y＝﹣2，
把x＝1，y＝﹣2代入①得：1﹣4+z＝0，
解得：z＝3，
故原方程组的解是：．
（4），
①+②得3x+z＝1④，
（②+③）÷2得3x﹣2z＝﹣2⑤，
④与⑤组成方程组得，
解得，
把代入①得，0+3y+2＝3，
∴，
∴方程组的解为．
（5），
①+②得：8x﹣z＝18④，
②+③得：6x+z＝8⑤，
由④和⑤组成方程组：，
解得，
把x，z代入③得：y﹣2×（）＝3，
解得：y，
即方程组的解是．
（6），
①+③，得：10y＝30，
解得y＝3，
②+③，得：8y﹣4z＝27④，
将y＝3代入④，得：，
将，y＝3代入②，得：，
∴原方程组的解为．
17．解：∵三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，
∴a+b+c＝30，
∴，
①+②得：2a+3b＝43④，
把③代入④得：c+3b＝40⑤，
①﹣②得：﹣b+2c＝17⑥，
⑥×3得：﹣3b+6c＝51⑦，
⑤+⑦得：c＝13，
把c＝13代入③得：a＝8，
把a＝8，c＝13代入①得：b＝9，
∴方程组的解为：，
∴三角形的三边长分别为8，9，13．
18．解：（1）由题意得，
，
②﹣①，得3a+b＝3④，
③﹣②，得5a﹣5b＝25，即a﹣b＝5⑤，
④与⑤组成方程组得，
解得，
把代入①，得c＝1，
∴a、b、c的值分别是2，﹣3，1；
（2）由（1）知a、b、c的值分别是2，﹣3，1，
∴y＝2x2﹣3x+1，
当x＝﹣2时，y＝2×（﹣2）2﹣3×（﹣2）+1＝2×4+6+1＝15．
19．解：，
由题意，小张的方法：②×3﹣①×2，
整理可得：y＝3﹣2z；
①×3﹣②×2，整理可得：x＝z+1，
∴x+y+z＝4，
小王的方法：①+②：5x+5y+5z＝20③；
∴③÷5得：x+y+z＝4．
故答案为：3﹣2z；z+1；5x+5y+5z＝20；③÷5．
由题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元，
可得方程组
∴②﹣①得，3y＝1.2，
∴y＝0.4．
又①×8﹣②×5，整理得，2x+z＝2．
∴2x+3y+z＝3.2．
20．解：（1）∵（3x+4y+2z）×a+（x+6y+5z）×b＝12x+2y﹣5z，
∴3ax+4ay+2az+bx+6by+5bz＝12x+2y﹣5z，
∴（3a+b）x+（4a+6b）y+（2a+5b）z＝12x+2y﹣5z，
∴，解得；
（2）设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元，
由题意得，求x+3y+2z的值．
设①×a得：2ax+3ay+az＝18a③，
②×b得：3bx+5by+2bz＝28b④，
③+④得：（2a+3b）x+（3a+5b）y+（a+2b）z＝18a+28b⑤，
当（2a+3b）x+（3a+5b）y+（a+2b）z＝x+3y+2z时，
即，
解得，
∴x+3y+2z＝18a+28b＝12，
答：购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需12元．

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