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2024年广西校际联合体中考数学调考试卷（二）
1．（2024九下·广西壮族自治区模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、3a与2b不是同类项，不能合并，不符合题意；
B、3a+a=4a，原计算错误，不符合题意；
C、3y-2y=y，原计算错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据同类项的概念与合并同类项法则逐一判断即可．
2．（2024九下·广西壮族自治区模拟）如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的左视图和俯视图，这些相同的小正方体的个数为（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【知识点】由三视图判断小正方体的个数
【解析】【解答】解：俯视图中有5个正方形，那么最底层有5个正方体，
由左视图可得第二层有1个正方体，
∴共有个正方体．
故答案为：B．
【分析】利用三视图的定义并结合图形分析求解即可.
3．（2024九下·广西壮族自治区模拟）2022年2月19日晚间，北京冬奥会金牌得主谷爱凌在某短视频平台开启了直播，从平台统计来看，观看人次最高峰竟然高达1400多万，这样的直播表现已经可以一线明星媲美了．数据用科学记数法可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
4．（2024九下·广西壮族自治区模拟）如图，AB∥CD，BF，DF 分别平分∠ABE 和∠CDE，BF∥DE，∠F 与∠ABE 互补，则∠F 的度数为
A．30° B．35° C．36° D．45°
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，延长FB交CD于G，
∵BF∥ED
∴∠F=∠EDF
又∵DF 平分∠CDE，
∴∠CDE=2∠F，
∵BF∥ED
∴∠CGF=∠EDC=2∠F，
∵AB∥CD
∴∠ABF=∠CGF=2∠F，
∵BF平分∠ABE
∴∠ABE=2∠ABF=4∠F，
又∵∠F 与∠ABE 互补，
∴∠F +∠ABE =180°，即5∠F=180°，
解得：∠F=36°.
故答案为：C.
【分析】延长FB交CD于G，利用角平分线定义及平行线的性质和等量代换求出∠CGF=∠EDC=2∠F，再结合∠F 与∠ABE 互补，可得∠F +∠ABE =180°，即5∠F=180°，再求出∠F=36°即可.
5．（2024九下·广西壮族自治区模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；积的乘方运算；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、，则不符合题意；
B、，则符合题意；
C、，则不符合题意；
D、，则不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用完全平方公式的计算方法、算术平方的计算方法、同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方的计算方法逐项分析判断即可.
6．（2024九下·广西壮族自治区模拟）下列关于方程实数根的情况，说法正确的是（　　）
A．没有实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
7．（2024九下·广西壮族自治区模拟）为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者对居住在该小区的50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中提供的信息，这50人一周的体育锻炼时间的众数、中位数和锻炼时间的平均数分别是（　　）
A．，和 B．，和
C．，和 D．，和
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：因为出现最多的是6小时，则众数为6小时；
按大小循序排列在中间的两个人的锻炼时间都为6小时，则中位数为6小时，
平均数：（小时）；
故答案为：A．
【分析】利用众数、中位数和平均数的定义及计算方法逐项分析判断即可.
8．（2024九下·广西壮族自治区模拟）小明家到学校5公里，则小明骑车上学的用时t与平均速度v之间的函数关系式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据速度，时间与路程的关系得，
∴．
故答案为：D．
【分析】利用“路程、速度和时间”的关系列出函数解析式即可.
9．（2024九下·广西壮族自治区模拟）刘皖同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的名称或一个作者姓名，分别是：《论语》、孔子、《道德经》、老子，从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：不妨用A，B、C、D分别表示《论语》、孔子、《道德经》、老子，画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中满足条件的结果数为4种，
抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率：，
故答案为：B．
【分析】先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
10．（2024九下·广西壮族自治区模拟）如图，是的直径，是的弦，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：在圆内，∵
∴，
∵是的直径，
∴，
∴=，
故答案为：B.
【分析】利用圆周角的性质可得，再结合，利用角的运算求出∠ABD的度数即可.
11．（2024九下·广西壮族自治区模拟）点、是抛物线上的点，且，则下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，顶点为，
∵，
∴时，y随x的增大而增大，
∵点、是抛物线上的点，且，
∴．
故答案为：A．
【分析】先求出时，y随x的增大而增大，再结合，求出即可．
12．（2024九下·广西壮族自治区模拟）如图，菱形中，，E是边中点，连接，把四边形沿翻折，A，B的对应点分别为F，G，的延长线交于点M，连接，，．下列结论：
①；②；③；④．其中正确的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长交于一点N，如图所示：
∵ E是边中点，连接，把四边形沿翻折，A，B的对应点分别为F，G，
∴
∴
∴
∵
∴
∴；故①是正确的
∵ E是边中点，连接，把四边形沿翻折，A，B的对应点分别为F，G，
∴，
∴是的中位线
∴
故②是正确的；
∵菱形中，
∵ E是边中点，连接，把四边形沿翻折，A，B的对应点分别为F，G，
∴
∴
∴
∵在菱形中，
∴
∴，故③是正确的；
连接，如图：
∵菱形中，，E是边中点，
∴
∴
∵
∴
∵
∴故④是错误的
故答案为：C.
【分析】 先利用中点以及折叠性质可得再利用角的运算和等量代换可证明①是否正确；再利用折叠的性质，可得是的中位线，再利用中位线的性质可证明②是否正确；再利用菱形性质以及折叠性质可得，再利用角的运用角的运算和等量代换可得即可证明③是否正确；连接，利用菱形的性质并结合，，求出，再利用直角三角形斜边大于直角边，进行判断，从而得解.
13．（2024九下·广西壮族自治区模拟）从地到地有许多条路，一般地人们会从直路上通过，而不会走曲折的路，这是因为　 　．
【答案】两点之间，线段最短
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：从地到地有多条道路，人们一般会选中间的直路，而不会走其它的曲折的路，
这是因为两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
【分析】利用线段的性质（两点之间线段最短）分析求解即可.
14．（2024九下·广西壮族自治区模拟）如图，小王告诉小李，图中A，B两点的坐标分别为，（2，2），小李一下就说出了点C在同一坐标系中的坐标是　 　．
【答案】(-1，4)
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：∵A(-3，2)，B(2，2)，
结合图知，x轴是水平方向，且水平向右为正方向，y轴是竖直方向，
∴点A(-3，2)向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度时对应的点就是原点．
此时，点C在同一坐标系中的坐标是(-1，4)．
故答案为：(-1，4)．
【分析】先求出点A(-3，2)向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度时对应的点就是原点，再求出点C在同一坐标系中的坐标是(-1，4)即可．
15．（2024九下·广西壮族自治区模拟）若，，则　 　（保留两个有效数字）．
【答案】2.4
【知识点】无理数的估值；二次根式的乘除法；近似数与准确数
【解析】【解答】解：，，
．
故答案为：2.4．
【分析】利用二次根式的乘法将变形为，再将，代入计算即可.
16．（2024九下·广西壮族自治区模拟）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间与乙做60个零件所用的时间相等.设甲每小时做x个零件，依题意列方程为　 　.
【答案】 ＝
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】设甲每小时做x个零件，则乙每小时做(x-6)个零件，由甲做90个零件所用的时间与乙做60个零件所用的时间相等列出方程为 ＝ .
【分析】设甲每小时做x个零件，则乙每小时做(x-6)个零件，再根据题中的等量关系即可列出方程.
17．（2024九下·广西壮族自治区模拟）如图，身高米的小明（）在太阳光下的影子长米，此时，立柱的影子一部分是落在地面的，一部分是落在墙上的．若量得米，米，则立柱的高为　 　米．
【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示，过点作平行线交于点，过点作平行线交于点，
，
，，
，，
，
，
．
故答案为：．
【分析】过点作平行线交于点，过点作平行线交于点，先证出，，再利用相似三角形的性质可得，将数据代入求出，最后利用线段的和差求出CD的长即可.
18．（2024九下·广西壮族自治区模拟）如图，甲、乙两架无人机在空中执行飞行任务，甲以千米秒的速度向正南方向飞行，当甲在处时，乙在甲南偏西方向千米的处，且乙从沿南偏西方向匀速直线飞行，当甲飞行2秒到达处时，乙飞行到甲的南偏西方向的处．求乙无人机的飞行速度．（结果保留根号）
【答案】解：甲以千米秒的速度向正南方向飞行，飞行2秒到达处，
（千米），
（千米），
，
，
是等边三角形；
如图，过点作于，
根据题意可知：，，
．
是等边三角形，
，（千米），
．
在中，（千米），，
（千米），
在中，（千米），，
（千米），
则乙无人机的飞行速度：（千米秒）．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点作于，先证出是等边三角形，利用等边三角形的性质可得，，再求出，再求出，利用解直角三角形的方法求出，最后利用“速度=路程÷时间”列出算式求解即可.
19．（2024九下·广西壮族自治区模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】有理数的乘法运算律
【解析】【分析】利用有理数的乘法分配律的计算方法及步骤分析求解即可.
20．（2024九下·广西壮族自治区模拟）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式
；
当，时，
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
21．（2024九下·广西壮族自治区模拟）已知等边三角形，
（1）尺规作图：过顶点、、依次作、、的垂线，三条垂线交于点、、（保留一条垂线的作图痕迹，另两条垂线的作图痕迹可以不保留，不需要写作法）
（2）求证：是等边三角形．
【答案】解：（1）如图所示：
（2）证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°．
∵BC⊥MN，BA⊥MG，
∴∠CBM＝∠BAM＝90°．
∴∠ABM＝90° ∠ABC＝30°．
∴∠M＝90° ∠ABM＝60°．
同理：∠N＝∠G＝60°．
∴△MNG为等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定与性质；直角三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）以点C为圆心作圆，交AC于H，交AC延长线于I，分别以点H、I为圆心，以大于HC为半径画圆，交于点G，连接CG即可；
（2）先利用等边三角形的性质可得∠ABC＝60°，再结合∠CBM＝∠BAM＝90°，求出∠ABM＝90° ∠ABC＝30°，再求出∠N＝∠G＝60°，即可证出△MNG为等边三角形．
22．（2024九下·广西壮族自治区模拟）2021年4月，教育部办公厅在《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中明确要求保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间．某校为了解本校学生校外体育活动情况，随机对本校100名学生某天的校外体育活动时间进行了调查，并按照体育活动时间分A，B，C，D四组整理如下：
组别 体育活动时间/分钟 人数
A 0≤x＜30 10
B 30≤x＜60 20
C 60≤x＜90 60
D x≥90 10
根据以上信息解答下列问题：
（1）制作一个适当的统计图，表示各组人数占所调查人数的百分比；
（2）小明记录了自己一周内每天的校外体育活动时间，制作了如下折线统计图．请计算小明本周内平均每天的校外体育活动时间；
（3）若该校共有1400名学生，请估计该校每天校外体育活动时间不少于1小时的学生人数．
【答案】（1）解：由于各组人数占所调查人数的百分比，因此可以采用扇形统计图；
（2）解：＝64（分），
答：小明本周内平均每天的校外体育活动时间为64分钟.
（3）解：1400×＝980（名），
答：该校1400名学生中，每天校外体育活动时间不少于1小时的大约有980名．
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）利用条形统计图的特点：能清楚的表示出数量的多少；折线统计图的特点：不但可以表示出数量的多少，而且能看出各种数量的增减变化情况；扇形统计图比较清楚地反映出部分与部分、部分与整体之间的数量关系；据此进行解答即可；
（2）利用平均数的定义及计算方法（一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商）分析求解即可；
（3）先求出“ 体育活动时间不少于1小时 ”的百分比，再乘以1400可得答案.
23．（2024九下·广西壮族自治区模拟）如图，抛物线与轴交于，两点，为的中点，过点的直线交抛物线于点，（点在点的右边，且，不与，重合），直线，交于点，则点在一条定直线上，且的面积为定值，请求出这条直线的解析式及的面积．
【答案】解：，，为的中点，
，即
设直线的解析式为，
把点代入得，
，
，
联立方程组，得，
整理得：，
设为，为，
，，
设直线表达式为，
把和代入得，
解得，
直线的解析式为，
整理得：①，
同理②，
、交于，联立①②得，
，
整理得，
将代入，
，
，
点的纵坐标为定值，即定直线的解析式为；
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】先求出点E的坐标，再利用待定系数法求出直线CD的解析式，再联立方程组，得，设为，为，再设直线表达式为，解得，可得直线的解析式为，再求出①，②，可得，整理得，再将代入，求出y=-2，再求出点的纵坐标为定值，即定直线的解析式为，最后求出即可．
24．（2024九下·广西壮族自治区模拟）如图，是的外接圆，直径与交于点E，过点D作的切线，与的延长线交于点F．
（1）求证：；
（2）若，若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴.
（2）解：连接，
∵，，
∴，
∴直径于E，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）先利用切线的性质可得，即，再结合，，求出即可；
（2）连接，先证出，再利用相似三角形的性质可得，即，求出，利用三角形的面积公式可得，将数据代入可得，求出，再求出即可．
25．（2024九下·广西壮族自治区模拟）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在x轴和y轴上，顶点B的坐标为，反比例函数的图象经过对角线的中点E，与矩形的边分别交于点F，G，设直线的函数表达式为．
（1）求k，a，b的值；
（2）利用图象，直接写出当时x的取值范围
（3）若点P在矩形的边上，且为等腰三角形，求点P的坐标．
【答案】（1）解：过点E作于点M，如图所示：
∴，．
∴．
∵点E为对角线的中点，
∴．
∵，
∴，．
∴．
∵反比例函数的图象经过点E，
∴，即．
∴．
∵点F，G分别在矩形的边上，
∴设．
∵点F，G在上，
∴．
∴．
将分别代入，
得：，
解得：，
∴．
∴．
（2）或
（3）解：∵为等腰三角形，设，，
∴．
当时，，
解得：．（负值舍去）
当时，同理可得：．
当时，同理可得，（舍去）
综上，点P的坐标为或或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】（2）解：∵，
∴结合图象可知：当或时，有．
故答案为：或.
【分析】（1）过点E作于点M，先求出点E的坐标，求出反比例函数解析式；再求出点F、G的坐标，再利用待定系数法求出直接解析式，联立方程组，求出，从而得解；
（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可；
（3）先求出，再分类讨论：①当时，②当时，③当时，再求出点P的坐标即可.
26．（2024九下·广西壮族自治区模拟）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整
原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由．
（1）思路梳理：
∵，
∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合．
∵，
∴，点F、D、G共线．
易证 ，得．
（2）类比引申：
如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，．若、都不是直角，则当时，是否仍有，并说明理由．
（3）联想拓展：
如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程．
【答案】（1）
（2）证明：仍有；
理由如下：∵，
∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图2所示：
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，点F、D、G共线，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴.
（3）猜想：．
理由如下：把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，如图3所示：
则，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图1，
∵，
∴，点F、D、G共线，
则，，，
，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】（1）先证出，再利用全等三角形的性质得出，最后求解即可；
（2）利用旋转的性质证出，再利用全等三角形的性质得出，最后利用线段的和差及等量代换可得；
（3）先利用旋转的性质及“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，，是直角三角形，再利用勾股定理及等量代换可得．
1 / 12024年广西校际联合体中考数学调考试卷（二）
1．（2024九下·广西壮族自治区模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024九下·广西壮族自治区模拟）如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的左视图和俯视图，这些相同的小正方体的个数为（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
3．（2024九下·广西壮族自治区模拟）2022年2月19日晚间，北京冬奥会金牌得主谷爱凌在某短视频平台开启了直播，从平台统计来看，观看人次最高峰竟然高达1400多万，这样的直播表现已经可以一线明星媲美了．数据用科学记数法可以表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九下·广西壮族自治区模拟）如图，AB∥CD，BF，DF 分别平分∠ABE 和∠CDE，BF∥DE，∠F 与∠ABE 互补，则∠F 的度数为
A．30° B．35° C．36° D．45°
5．（2024九下·广西壮族自治区模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024九下·广西壮族自治区模拟）下列关于方程实数根的情况，说法正确的是（　　）
A．没有实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
7．（2024九下·广西壮族自治区模拟）为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者对居住在该小区的50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中提供的信息，这50人一周的体育锻炼时间的众数、中位数和锻炼时间的平均数分别是（　　）
A．，和 B．，和
C．，和 D．，和
8．（2024九下·广西壮族自治区模拟）小明家到学校5公里，则小明骑车上学的用时t与平均速度v之间的函数关系式是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九下·广西壮族自治区模拟）刘皖同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的名称或一个作者姓名，分别是：《论语》、孔子、《道德经》、老子，从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024九下·广西壮族自治区模拟）如图，是的直径，是的弦，若，则（　　）
A． B． C． D．
11．（2024九下·广西壮族自治区模拟）点、是抛物线上的点，且，则下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
12．（2024九下·广西壮族自治区模拟）如图，菱形中，，E是边中点，连接，把四边形沿翻折，A，B的对应点分别为F，G，的延长线交于点M，连接，，．下列结论：
①；②；③；④．其中正确的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
13．（2024九下·广西壮族自治区模拟）从地到地有许多条路，一般地人们会从直路上通过，而不会走曲折的路，这是因为　 　．
14．（2024九下·广西壮族自治区模拟）如图，小王告诉小李，图中A，B两点的坐标分别为，（2，2），小李一下就说出了点C在同一坐标系中的坐标是　 　．
15．（2024九下·广西壮族自治区模拟）若，，则　 　（保留两个有效数字）．
16．（2024九下·广西壮族自治区模拟）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间与乙做60个零件所用的时间相等.设甲每小时做x个零件，依题意列方程为　 　.
17．（2024九下·广西壮族自治区模拟）如图，身高米的小明（）在太阳光下的影子长米，此时，立柱的影子一部分是落在地面的，一部分是落在墙上的．若量得米，米，则立柱的高为　 　米．
18．（2024九下·广西壮族自治区模拟）如图，甲、乙两架无人机在空中执行飞行任务，甲以千米秒的速度向正南方向飞行，当甲在处时，乙在甲南偏西方向千米的处，且乙从沿南偏西方向匀速直线飞行，当甲飞行2秒到达处时，乙飞行到甲的南偏西方向的处．求乙无人机的飞行速度．（结果保留根号）
19．（2024九下·广西壮族自治区模拟）计算：．
20．（2024九下·广西壮族自治区模拟）先化简，再求值：，其中，．
21．（2024九下·广西壮族自治区模拟）已知等边三角形，
（1）尺规作图：过顶点、、依次作、、的垂线，三条垂线交于点、、（保留一条垂线的作图痕迹，另两条垂线的作图痕迹可以不保留，不需要写作法）
（2）求证：是等边三角形．
22．（2024九下·广西壮族自治区模拟）2021年4月，教育部办公厅在《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中明确要求保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间．某校为了解本校学生校外体育活动情况，随机对本校100名学生某天的校外体育活动时间进行了调查，并按照体育活动时间分A，B，C，D四组整理如下：
组别 体育活动时间/分钟 人数
A 0≤x＜30 10
B 30≤x＜60 20
C 60≤x＜90 60
D x≥90 10
根据以上信息解答下列问题：
（1）制作一个适当的统计图，表示各组人数占所调查人数的百分比；
（2）小明记录了自己一周内每天的校外体育活动时间，制作了如下折线统计图．请计算小明本周内平均每天的校外体育活动时间；
（3）若该校共有1400名学生，请估计该校每天校外体育活动时间不少于1小时的学生人数．
23．（2024九下·广西壮族自治区模拟）如图，抛物线与轴交于，两点，为的中点，过点的直线交抛物线于点，（点在点的右边，且，不与，重合），直线，交于点，则点在一条定直线上，且的面积为定值，请求出这条直线的解析式及的面积．
24．（2024九下·广西壮族自治区模拟）如图，是的外接圆，直径与交于点E，过点D作的切线，与的延长线交于点F．
（1）求证：；
（2）若，若，，求的长．
25．（2024九下·广西壮族自治区模拟）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在x轴和y轴上，顶点B的坐标为，反比例函数的图象经过对角线的中点E，与矩形的边分别交于点F，G，设直线的函数表达式为．
（1）求k，a，b的值；
（2）利用图象，直接写出当时x的取值范围
（3）若点P在矩形的边上，且为等腰三角形，求点P的坐标．
26．（2024九下·广西壮族自治区模拟）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整
原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由．
（1）思路梳理：
∵，
∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合．
∵，
∴，点F、D、G共线．
易证 ，得．
（2）类比引申：
如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，．若、都不是直角，则当时，是否仍有，并说明理由．
（3）联想拓展：
如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、3a与2b不是同类项，不能合并，不符合题意；
B、3a+a=4a，原计算错误，不符合题意；
C、3y-2y=y，原计算错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据同类项的概念与合并同类项法则逐一判断即可．
2．【答案】B
【知识点】由三视图判断小正方体的个数
【解析】【解答】解：俯视图中有5个正方形，那么最底层有5个正方体，
由左视图可得第二层有1个正方体，
∴共有个正方体．
故答案为：B．
【分析】利用三视图的定义并结合图形分析求解即可.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
4．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，延长FB交CD于G，
∵BF∥ED
∴∠F=∠EDF
又∵DF 平分∠CDE，
∴∠CDE=2∠F，
∵BF∥ED
∴∠CGF=∠EDC=2∠F，
∵AB∥CD
∴∠ABF=∠CGF=2∠F，
∵BF平分∠ABE
∴∠ABE=2∠ABF=4∠F，
又∵∠F 与∠ABE 互补，
∴∠F +∠ABE =180°，即5∠F=180°，
解得：∠F=36°.
故答案为：C.
【分析】延长FB交CD于G，利用角平分线定义及平行线的性质和等量代换求出∠CGF=∠EDC=2∠F，再结合∠F 与∠ABE 互补，可得∠F +∠ABE =180°，即5∠F=180°，再求出∠F=36°即可.
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；积的乘方运算；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、，则不符合题意；
B、，则符合题意；
C、，则不符合题意；
D、，则不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用完全平方公式的计算方法、算术平方的计算方法、同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方的计算方法逐项分析判断即可.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
7．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：因为出现最多的是6小时，则众数为6小时；
按大小循序排列在中间的两个人的锻炼时间都为6小时，则中位数为6小时，
平均数：（小时）；
故答案为：A．
【分析】利用众数、中位数和平均数的定义及计算方法逐项分析判断即可.
8．【答案】D
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据速度，时间与路程的关系得，
∴．
故答案为：D．
【分析】利用“路程、速度和时间”的关系列出函数解析式即可.
9．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：不妨用A，B、C、D分别表示《论语》、孔子、《道德经》、老子，画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中满足条件的结果数为4种，
抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率：，
故答案为：B．
【分析】先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：在圆内，∵
∴，
∵是的直径，
∴，
∴=，
故答案为：B.
【分析】利用圆周角的性质可得，再结合，利用角的运算求出∠ABD的度数即可.
11．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，顶点为，
∵，
∴时，y随x的增大而增大，
∵点、是抛物线上的点，且，
∴．
故答案为：A．
【分析】先求出时，y随x的增大而增大，再结合，求出即可．
12．【答案】B
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长交于一点N，如图所示：
∵ E是边中点，连接，把四边形沿翻折，A，B的对应点分别为F，G，
∴
∴
∴
∵
∴
∴；故①是正确的
∵ E是边中点，连接，把四边形沿翻折，A，B的对应点分别为F，G，
∴，
∴是的中位线
∴
故②是正确的；
∵菱形中，
∵ E是边中点，连接，把四边形沿翻折，A，B的对应点分别为F，G，
∴
∴
∴
∵在菱形中，
∴
∴，故③是正确的；
连接，如图：
∵菱形中，，E是边中点，
∴
∴
∵
∴
∵
∴故④是错误的
故答案为：C.
【分析】 先利用中点以及折叠性质可得再利用角的运算和等量代换可证明①是否正确；再利用折叠的性质，可得是的中位线，再利用中位线的性质可证明②是否正确；再利用菱形性质以及折叠性质可得，再利用角的运用角的运算和等量代换可得即可证明③是否正确；连接，利用菱形的性质并结合，，求出，再利用直角三角形斜边大于直角边，进行判断，从而得解.
13．【答案】两点之间，线段最短
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：从地到地有多条道路，人们一般会选中间的直路，而不会走其它的曲折的路，
这是因为两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
【分析】利用线段的性质（两点之间线段最短）分析求解即可.
14．【答案】(-1，4)
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：∵A(-3，2)，B(2，2)，
结合图知，x轴是水平方向，且水平向右为正方向，y轴是竖直方向，
∴点A(-3，2)向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度时对应的点就是原点．
此时，点C在同一坐标系中的坐标是(-1，4)．
故答案为：(-1，4)．
【分析】先求出点A(-3，2)向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度时对应的点就是原点，再求出点C在同一坐标系中的坐标是(-1，4)即可．
15．【答案】2.4
【知识点】无理数的估值；二次根式的乘除法；近似数与准确数
【解析】【解答】解：，，
．
故答案为：2.4．
【分析】利用二次根式的乘法将变形为，再将，代入计算即可.
16．【答案】 ＝
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】设甲每小时做x个零件，则乙每小时做(x-6)个零件，由甲做90个零件所用的时间与乙做60个零件所用的时间相等列出方程为 ＝ .
【分析】设甲每小时做x个零件，则乙每小时做(x-6)个零件，再根据题中的等量关系即可列出方程.
17．【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示，过点作平行线交于点，过点作平行线交于点，
，
，，
，，
，
，
．
故答案为：．
【分析】过点作平行线交于点，过点作平行线交于点，先证出，，再利用相似三角形的性质可得，将数据代入求出，最后利用线段的和差求出CD的长即可.
18．【答案】解：甲以千米秒的速度向正南方向飞行，飞行2秒到达处，
（千米），
（千米），
，
，
是等边三角形；
如图，过点作于，
根据题意可知：，，
．
是等边三角形，
，（千米），
．
在中，（千米），，
（千米），
在中，（千米），，
（千米），
则乙无人机的飞行速度：（千米秒）．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点作于，先证出是等边三角形，利用等边三角形的性质可得，，再求出，再求出，利用解直角三角形的方法求出，最后利用“速度=路程÷时间”列出算式求解即可.
19．【答案】解：原式
．
【知识点】有理数的乘法运算律
【解析】【分析】利用有理数的乘法分配律的计算方法及步骤分析求解即可.
20．【答案】解：原式
；
当，时，
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
21．【答案】解：（1）如图所示：
（2）证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°．
∵BC⊥MN，BA⊥MG，
∴∠CBM＝∠BAM＝90°．
∴∠ABM＝90° ∠ABC＝30°．
∴∠M＝90° ∠ABM＝60°．
同理：∠N＝∠G＝60°．
∴△MNG为等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定与性质；直角三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）以点C为圆心作圆，交AC于H，交AC延长线于I，分别以点H、I为圆心，以大于HC为半径画圆，交于点G，连接CG即可；
（2）先利用等边三角形的性质可得∠ABC＝60°，再结合∠CBM＝∠BAM＝90°，求出∠ABM＝90° ∠ABC＝30°，再求出∠N＝∠G＝60°，即可证出△MNG为等边三角形．
22．【答案】（1）解：由于各组人数占所调查人数的百分比，因此可以采用扇形统计图；
（2）解：＝64（分），
答：小明本周内平均每天的校外体育活动时间为64分钟.
（3）解：1400×＝980（名），
答：该校1400名学生中，每天校外体育活动时间不少于1小时的大约有980名．
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）利用条形统计图的特点：能清楚的表示出数量的多少；折线统计图的特点：不但可以表示出数量的多少，而且能看出各种数量的增减变化情况；扇形统计图比较清楚地反映出部分与部分、部分与整体之间的数量关系；据此进行解答即可；
（2）利用平均数的定义及计算方法（一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商）分析求解即可；
（3）先求出“ 体育活动时间不少于1小时 ”的百分比，再乘以1400可得答案.
23．【答案】解：，，为的中点，
，即
设直线的解析式为，
把点代入得，
，
，
联立方程组，得，
整理得：，
设为，为，
，，
设直线表达式为，
把和代入得，
解得，
直线的解析式为，
整理得：①，
同理②，
、交于，联立①②得，
，
整理得，
将代入，
，
，
点的纵坐标为定值，即定直线的解析式为；
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】先求出点E的坐标，再利用待定系数法求出直线CD的解析式，再联立方程组，得，设为，为，再设直线表达式为，解得，可得直线的解析式为，再求出①，②，可得，整理得，再将代入，求出y=-2，再求出点的纵坐标为定值，即定直线的解析式为，最后求出即可．
24．【答案】（1）证明：∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴.
（2）解：连接，
∵，，
∴，
∴直径于E，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）先利用切线的性质可得，即，再结合，，求出即可；
（2）连接，先证出，再利用相似三角形的性质可得，即，求出，利用三角形的面积公式可得，将数据代入可得，求出，再求出即可．
25．【答案】（1）解：过点E作于点M，如图所示：
∴，．
∴．
∵点E为对角线的中点，
∴．
∵，
∴，．
∴．
∵反比例函数的图象经过点E，
∴，即．
∴．
∵点F，G分别在矩形的边上，
∴设．
∵点F，G在上，
∴．
∴．
将分别代入，
得：，
解得：，
∴．
∴．
（2）或
（3）解：∵为等腰三角形，设，，
∴．
当时，，
解得：．（负值舍去）
当时，同理可得：．
当时，同理可得，（舍去）
综上，点P的坐标为或或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】（2）解：∵，
∴结合图象可知：当或时，有．
故答案为：或.
【分析】（1）过点E作于点M，先求出点E的坐标，求出反比例函数解析式；再求出点F、G的坐标，再利用待定系数法求出直接解析式，联立方程组，求出，从而得解；
（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可；
（3）先求出，再分类讨论：①当时，②当时，③当时，再求出点P的坐标即可.
26．【答案】（1）
（2）证明：仍有；
理由如下：∵，
∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图2所示：
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，点F、D、G共线，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴.
（3）猜想：．
理由如下：把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，如图3所示：
则，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图1，
∵，
∴，点F、D、G共线，
则，，，
，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】（1）先证出，再利用全等三角形的性质得出，最后求解即可；
（2）利用旋转的性质证出，再利用全等三角形的性质得出，最后利用线段的和差及等量代换可得；
（3）先利用旋转的性质及“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，，是直角三角形，再利用勾股定理及等量代换可得．
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