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2024年广东省江门市陈白沙中学中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图，根据机器零件的设计图纸（单位：mm），按设计要求生产出的该机器零件尺寸最大相差（　　）
A．0.01 B．0.02 C．39.99 D．40.01
2．（3分）某校组织师生前往红军山革命烈士陵园进行扫墓活动，若租用7座的车x辆，那么最后一辆车空2个座位，则参加此次扫墓活动的师生人数为（　　）
A．（7x﹣2）人 B．7（x﹣1）人 C．（7x+2）人 D．7（x+1）人
3．（3分）地球距太阳约有120000000千米，数120000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.12×109 B．1.2×108 C．12×107 D．1.2×109
4．（3分）如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（　　）
A．如图1，展开后测得∠1＝∠2
B．如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C．如图3，测得∠1＝∠2
D．在图4中，展开后测得∠1+∠2＝180°
5．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣2b2
B．（a+b）2＝a2+b2
C．（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2
D．（a2）3÷a5＝1
6．（3分）如图，两个螺栓上有A、B、C三个螺母，每次随机拧下一个螺母，直至全部被拧下，则“最后拧下螺母B”的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）已知⊙M位于第一象限，点P（8，4）在⊙M的圆周上，以原点O为位似中心，在第一象限内将⊙M缩小到原来的，得到⊙N，则点P在⊙N上的对应点P′的坐标为（　　）
A．（4，8） B．（4，4） C．（8，2） D．（4，2）
8．（3分）在△ABC中，∠C＝60°，∠A＝50°，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN交AC点D，连接BD，则∠CBD的大小是（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
9．（3分）如图，BD是⊙O的直径，点A和点C都在⊙O上，若∠CBD＝50°，则∠CAB的度数是（　　）
A．50° B．40° C．70° D．60°
10．（3分）定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数．下面给出特征数为[1，m﹣2，2m+1]的二次函数的一些结论：①当m＝2时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＜0且x＜1时，y随x的增大而减小；④当m＝2时，若A（﹣1，y1），B（3，y2），则y1＜y2．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）写出一个比小的正有理数 　 　 ．
12．（3分）如图，以正五边形ABCDE的边CD向内作正方形CDFG，则∠BCG的度数为　 　 ．
13．（3分）如图，在2×2的正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，点O，A，B为格点，即是小正方形的顶点，若将扇形OAB围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径为 　 　 ．
14．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，且电路中只有一个电阻，通过的电流I（单位：A）与电阻R的阻值（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为6Ω时，电流为 　 　 A．
15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC，DE交于点F．若，则　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）解方程组：．
17．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，0），（0，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求出二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标．
18．（8分）如图，⊙O的直径AB＝20，弦BC＝16，连接AC．
（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝CA（点D不与A重合），连接BD（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求四边形ABDC的周长．
19．（9分）一部好的纪录片可以让学生开阔眼界，建立认知，构建宏大的世界观，某中学为了丰富学生暑期生活，向学生们推荐了《地球脉动》、《蓝色星球》、《冰冻星球》、《地球的力量》这四部纪录片，为了了解学生观看这四部纪录片的情况，就“这四部纪录片你看完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是 　 　 部，中位数是 　 　 部，扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为 　 　 度；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）现有两名没有看过这四部纪录片的学生准备从这四部纪录片中各自随机选择一部来观看，请用树状图或列表法求他们选中同一部纪录片的概率．
20．（9分）某车间甲、乙两台机器共生产9200个零件，两台机器同时加工一段时间后，甲机器出现故障，维修一段时间后仍按原来的效率加工，已知甲机器每天加工150个零件，如图是表示未生产零件的个数y（个）与乙机器工作时间x（天）之间的函数图象．
（1）乙机器每天加工 　 　 个零件，甲机器维修了 　 　 天；
（2）当甲、乙两台机器共生产7600个零件时，乙机器加工了多少天？
21．（9分）操作与探究
【操作】在数学实践课上，老师要求同学们对如图1的△ABC纸片进行以下操作，并探究其中的问题：
第一步：如图2，沿过点B的直线折叠，使得点A落在BC上，展开铺平该纸片，折痕为BD；
第二步：如图3，继续折叠该纸片，使得点B与点D重合，展开铺平该纸片，折痕为EF；
第三步：如图4，连接DE，DF．
【探究】
任务一：判断四边形BEDF的形状，并说明理由；
任务二：在△ABC纸片中，若∠ABC＝60°，折痕EF＝2，四边形BEDF的面积为 　 　 ．
22．（12分）【问题背景】已知点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，以OA为边长作正方形OABC，使正方形顶点B，C在x轴上方，OA与y轴的夹角为α．
【构建联系】
（1）如图1，当点B在y轴上时，直接写出α的度数 　 　 ，点B坐标 　 　 ；
【深入探究】
（2）如图2，当0°＜α＜45°时，AB与y轴相交于点D，若tanα，求经过点B的双曲线解析式；
（3）如图3，当45°＜α＜90°时，BC与y轴相交于点D，若tanα＝3，求点B的坐标．
【探索规律】
（4）若tanα＝n，0°＜α＜90°，则B坐标为 　 　 ．
23．（12分）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：
（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝ 　 　 BC；
②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为 　 　 ．
猜想论证：
（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．
拓展应用
（3）如图4，在四边形ABCD，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，AB＝2．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B C C C D B B C
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：该机器零件尺寸最小是：40﹣0.01＝39.99，最大是40+0.01＝40.01，
∴生产出的该机器零件尺寸最大相差为：40.01﹣39.99＝0.02，
故选：B．
2．解：根据题意可得：该校学生一共有（7x﹣2）人．
故选：A．
3．解：120000000＝1.2×108．
故选：B．
4．解：A、当∠1＝∠2时，a∥b，不符合题意；
B、由∠1＝∠2且∠3＝∠4可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，
∴a∥b，不符合题意；
C、∠1＝∠2不能判定a，b互相平行，符合题意；
D、由∠1+∠2＝180°可知a∥b，不符合题意．
故选：C．
5．解：A、（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2，故A不符合题意；
B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故B不符合题意；
C、（﹣a﹣b）2＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，故C符合题意；
D、（a2）3÷a5＝a6÷a5＝a，故D不符合题意；
故选：C．
6．解：一共3种情况，ABC，ACB，CAB，其中“最后拧下螺母B”的有2种情况，
故“最后拧下螺母B”的概率是．
故选：C．
7．解：∵已知⊙M位于第一象限，点P（8，4）在⊙M的圆周上，以原点O为位似中心，在第一象限内将⊙M缩小到原来的，得到⊙N，
∴点P在⊙N上的对应点P′的坐标为，即（4，2），
故选：D．
8．解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∵∠C＝60°，
∴∠ABC＝70°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝20°，
故选：B．
9．解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠CBD＝50°，
∴∠CDB＝90°﹣∠CBD＝40°，
∴∠CAB＝∠CDB＝40°，
故选：B．
10．解：由特征数的定义可知：特征数为[1，m﹣2，2m+1]的二次函数的解析式为y＝x2+（m﹣2）x+2m+1，
①当m＝2时，二次函数解析式为y＝x2+5，函数图象的对称轴是y轴，故①正确；
②当m＝2时，二次函数解析式为y＝x2+5，开口向上，点的坐标为（0，5），函数图象不过原点，故②错误；
③当m＜0且x＜1时，二次函数的解析式为y＝x2+（m﹣2）x+2m+1，对称轴为直线x11，函数图象开口向上，x＜1时，y随x的增大而减小，故③正确；
④当m＝2时，二次函数解析式为y＝x2+5，y轴为对称轴，A（﹣1，y1），B（3，y2），距离对称轴越远，函数值越大，所以y1＜y2，故④正确；
正确的有：①③④三个．
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：1，答案不唯一．
故答案为：1，答案不唯一．
12．解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠BCD＝540°÷5＝108°，
∵四边形CDFG是以CD为边的正方形，
∴∠DCG＝90°，
∴∠BCG＝∠BCD﹣∠DCG＝18°．
故答案为：18°．
13．解：这个锥的底面圆的周长为：2π×2＝π；
∴这个锥的底面圆的半径为：π÷2π．
故答案为：．
14．解：设反比例函数式I，
∵把（4，3）代入反比例函数式I，
∴k＝3×4＝12．
∴I，
∴当R＝6Ω时，I＝2A．
故答案为：2．
15．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵，
∴AE：DC＝2：5，△AEF∽△CDF，
∴（）2，
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：，
①+②，得3x＝9，
解得：x＝3，
把x＝3代入①，得6+3y＝3，
解得：y＝﹣1，
所以方程组的解是．
17．解：（1）把（1，0），（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣3，
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0）．
18．解：（1）如图，线段CD即为所求．
（2）连接AD，OC交于点E，设OE＝x．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC12，
∵AC＝CD，
∴，
∴OC⊥BD于E．
∴AE＝DE，
∵AE2＝AC2﹣EC2＝OA2﹣OE2，
∴122﹣（10﹣x）2＝102﹣x2，
解得x，
∵BE＝DE，BO＝OA，
∴AD＝2OE，
∴四边形ABCD的周长＝12+12+20．
19．解：（1）被调查的总人数为10÷25%＝40（人），
∴“1部”对应的人数为40﹣（2+10+8+6）＝14（人），
∴人数最多的数1部，即众数为1部，
处于中间位置的两个数据都是“2部”，中位数为“2部”
扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为，
故答案为：1，2，54；
（2）条形统计图如图所示，
（3）《地球脉动》、《蓝色星球》、《冰冻星球》、《地球的力量》分别用字母A、B、C、D表示，
树状图如图所示：
一共有16种等可能性，其中他们恰好选中同一部纪录片的可能性有4种，
故他们恰好选中同一部纪录片的概率是，
即他们恰好选中同一部纪录片的概率是；
20．解：（1）根据题意得：乙机器每天加工（9200﹣5200）÷10﹣150＝250（个）零件；
甲机器维修了（5200﹣3200）÷250＝8（天）．
故答案为：250，8；
（2）由（1）可知：点B的坐标为（18，3200）．
设当18≤x≤26时，y关于x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（18，3200），（26，0）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y关于x的函数关系式为y＝﹣400x+10400．
当y＝9200﹣7600＝1600时，﹣400x+10400＝1600，
解得：x＝22．
答：当甲、乙两台机器共生产7600个零件时，乙机器加工了22天．
21．解：任务一：四边形BEDF是菱形，
理由：如图4，设EF交BD于点I，
∵将△ABC沿过点B的直线折叠，使得点A落在BC上，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵将△ABC折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，
∴点D与点B关于直线EF对称，
∴EF垂直平分BD，
∴∠BIE＝∠BIF＝90°，DE＝BE，DF＝BF，
在△BEI和△BFI中，
，
∴△BEI≌△BFI（ASA），
∴BE＝BF，
∴DE＝BE＝BF＝DF，
∴四边形BEDF是菱形．
任务二：如图4，∵∠ABC＝60°，BE＝BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴BE＝EF＝2，
∵四边形BEDF是菱形，
∴EI＝FIEF＝1，BI＝DI，
∵EF⊥BD，
∴∠BIE＝90°，
∴BI，
∴BD＝2BI＝2，
∴S四边形BEDFBD EF2×22，
故答案为：2．
22．解：（1）如图1，过点A作AE⊥y轴于点E，
∵四边形OABC为正方形，
∴AB＝OA，△AOE为等腰直角三角形，AE＝OE，OB＝2OE，
∴∠AOB＝45°，
∴α＝45°，
设A（a，），则AE＝a，OE，
∴a，
解得：a1＝﹣2（舍去），a2＝2，
∴AE＝OE＝2，
∴OB＝2OE＝4，点B坐标为（0，4）；
故答案为：45°；（0，4）；
（2）如图2，过点A作AE⊥y轴于点E，过B作BF⊥AE交AE的延长线于点F，交x轴于点G，
∴∠OEA＝∠AFB＝90°，
∵tan∠AOD＝tanα，
∴，即OE＝2AE，
设点A（t，2t），则2t，
解得：t1，t2（舍去），
∴A（，2），
∴AE，OE＝2，
∵四边形OABC为正方形，
∴AB＝OA，∠OAB＝90°，
∴∠BAF+∠OAE＝90°，
∵∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠OAE，
在△ABF和△OAE中，
，
∴△ABF≌△OAE（AAS），
∴BF＝AE，AF＝OE，
∴EF＝AF﹣AE＝2，
∵∠EOG＝∠OEF＝∠EFG＝90°，
∴四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE，∠FGO＝90°，
∴BG＝BF+FG23，
∴点B坐标为（，3 ），
设经过点B的双曲线解析式为y（k≠0），把点B的坐标代入得：3，
解得：k＝﹣6，
∴经过点B的双曲线解析式为y；
（3）如图3，过点A作 AH⊥y轴于点H，过点B作BT⊥x轴于T，交AH于K，
则∠AKB＝∠OHA＝∠OAB＝90°，
∵∠OAH+∠AOH＝90°，∠OAH+∠BAK＝90°，
∴∠AOH＝∠BAK＝α，
∵tanα＝3，
∴3，
∴BK＝3AK，AH＝3OH，
在△BAK和△AOH中，
，
∴△BAK≌△AOH（AAS），
∴AK＝OH，BK＝AH，
设OH＝m，则AK＝m，AH＝BK＝3m，
∴A（3m，m），代入y，得：m，
解得：m1，m2（舍去），
∴A（2，），
∴OH＝AK，AH＝BK＝2，
∴HK＝AH﹣AK＝2，
∵∠OHK＝∠HOT＝∠OTK＝90°，
∴四边形OHKT是矩形，
∴OT＝HK，KT＝OH，
∴OT，BT＝BK+KT＝2，
∴点B的坐标为（， ）；
（4）如图2，过点A作AE⊥y轴于点E，过B作BF⊥x轴于点F，交AE于G，
则∠AEO＝∠BGA＝90°，
∵tan∠AOD＝tanα＝n，
∴n，即AE＝nOE，
设OE＝s，则AE＝ns，
∴A（ns，s），代入y，得：s，
解得：s1，s2（舍去），
∴A（2，），
∴AE＝2，OE，
同理可得：△BAG≌△AOE，四边形OEGF是矩形，
∴BG＝AE，AG＝OE，
∴OF＝EG＝AG﹣AE2或OF＝AE﹣AG＝2，
BF＝BG+FG＝2，
当0°＜α≤45°时，点B在第二象限，B（，）；
当45°＜α＜90°时，点B在第一象限，B（，）；
故答案为：（，）．
23．解：（1）①如图2中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝AB′＝AC′，
∵DB′＝DC′，
∴AD⊥B′C′，
∵∠BAC＝60°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，
∴∠B′AC′＝120°，
∴∠B′＝∠C′＝30°，
∴ADAB′BC，
故答案为．
②如图3中，
∵∠BAC＝90°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，
∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°，
∵AB＝AB′，AC＝AC′，
∴△BAC≌△B′AC′，
∴BC＝B′C′，
∵B′D＝DC′，
∴ADB′C′BC＝4，
故答案为4．
（2）结论：ADBC．
理由：如图1中，延长AD到M，使得AD＝DM，连接B′M，C′M
∵B′D＝DC′，AD＝DM，
∴四边形AC′MB′是平行四边形，
∴AC′＝B′M＝AC，
∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∠B′AC′+∠AB′M＝180°，
∴∠BAC＝∠MB′A，∵AB＝AB′，
∴△BAC≌△AB′M，
∴BC＝AM，
∴ADBC．
（3）存在．
理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．
连接DF交PC于O．
∵∠ADC＝150°，
∴∠MDC＝30°，
在Rt△DCM中，∵CD＝2，∠DCM＝90°，∠MDC＝30°，
∴CM＝2，DM＝4，∠M＝60°，
在Rt△BEM中，∵∠BEM＝90°，BM＝14，∠MBE＝30°，
∴EMBM＝7，
∴BM＝7，
∴DE＝EM﹣DM＝3，
在Rt△AEB中，AE3
∴AE＝DE，∵BE⊥AD，
∴PA＝PD，PB＝PC，
在Rt△CDF中，∵CD＝2，CF＝6，
∴tan∠CDF，
∴∠CDF＝60°
∴∠ADF＝90°＝∠AEB，
∴∠CBE＝∠CFD，
∵∠CBE＝∠PCF，
∴∠CFD＝∠PCF，
∵∠CFD+∠CDF＝90°，∠PCF+∠CPF＝90°，
∴∠CPF＝∠CDF＝60°＝∠CDF，
易证△FCP≌△CFD，
∴CD＝PF，∵CD∥PF，
∴四边形CDPF是矩形，
∴∠CDP＝90°，
∴∠ADP＝∠ADC﹣∠CDP＝60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠ADP＝60°，∵∠BPF＝∠CPF＝60°，
∴∠BPC＝120°，
∴∠APD+∠BPC＝180°，
∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”，
∵AB＝2．
∴△PAB的“旋补中线”长AB．
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