资源简介

2024年广东省揭阳市惠来县周田中学中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）王老师给全班同学留了一个特色寒假作业，画一张有关兔子的图画，以下四个图形是开学后收上来的图画中的一部分，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（　　）
A．0.324×108 B．32.4×106 C．3.24×107 D．3.24×108
3．（3分）一辆汽车第一小时行了52.1千米，第二小时行了60千米，第三小时行了62.5千米，请你估一估：这辆车平均每小时行了多少千米？该结果正确的取值范围应（　　）
A．在50～52.1之间 B．在60～62.5之间
C．在52.1～60之间 D．在62.5～70之间
4．（3分）如图，一把直角三角板的顶点A，B在⊙O上，边BC，AC与⊙O交于点D，E，连结DE，已知∠B＝60°，则∠AED的度数为（　　）
A．120° B．110° C．100° D．90°
5．（3分）关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣5 B．m＜﹣5
C．m＞﹣5且m≠﹣3 D．m≠﹣3
6．（3分）如图是成都市某周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温最高气温的说法正确的是（　　）
A．最大值与最小值的差是8℃
B．众数是28℃
C．中位数是24℃
D．平均数是26℃
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，下列四个结论：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△ACD：S△ACB＝1：3．其中正确的有几个？（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（3分）如图是两个完全相同的等腰直角三角形，如图①中的正方形面积与图②中的正方形面积之比为（　　）
A．1：1 B．3：4 C．6：5 D．9：8
9．（3分）如图，点C是线段AB上一点（AC＞BC），分别以AC，BC为直角边在AB同侧作等腰Rt△ACD和等腰Rt△BCE，连结AE，BD．记S△ACD＝S1，S△BCE＝S2，S△ADE＝S3，S△BDE＝S4，若S1﹣S2＝20，则S3+S4＝（　　）
A．10 B．15 C．20 D．40
10．（3分）如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（﹣2，m）和B两点，则不等式ax的解集为（　　）
A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜2
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）已知（x﹣5）x＝1，则x＝　 　 ．
12．（3分）如图，已知圆锥底面圆的半径为2cm，母线长为6cm，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面一周（回到原来的位置A）所爬行的最短路径为 　 　 cm．
13．（3分）学校组织知识竞赛，共20道题，记分规则为：若答对，每题得5分；若答错或不答，每题倒扣3分，景同学的参赛目标是超过83分，则她至少要答对 　 　 道题．
14．（3分）若“*”是一种新的运算符号，并且规定a*b＝a×b﹣a÷b，则（﹣4）*2＝　 　 ．
15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为16，线段CE绕着点C逆时针方向旋转，且CE＝6，连接BE，以BE为边作正方形BEFG，M为AB边上的点，且，当线段FM的长最小时，tan∠ECB＝　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：．
17．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠BAC交AC于点D，且∠DBC＝∠A．
（1）尺规作图：过点C作CH⊥AB，垂足为点H（要求：保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求∠A的度数．
18．（8分）某中学为了解初三同学的体育中考准备情况，随机抽取该年级某班学生进行体育模拟测试（满分30分），根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图（如图1和图2），已知图2中得28分的人数所对圆心角为90°，回答下列问题：
（1）条形统计图有一部分污损了，求得分27分的人数；直接写出所调查学生测试成绩中位数和众数．
（2）一同学因病错过考试，补测后与之前成绩汇总，发现中位数变大了，求该名同学的补测成绩．
（3）已知体育测试的选考项目有：①足球运球绕杆：②篮球运球绕杆；③排球正面双手垫球，求小明和小亮选择同一项目的概率．
19．（9分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AE⊥OC于点D，交BC于F，与过点B的直线交于点E，且BE＝EF．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为10，OD＝6，求BE的长．
20．（9分）2024年南国书香节已在广州琶洲顺利举行．某学校在活动期间购买甲、乙两种图书．已知乙图书比甲图书每本价格多10元，用5000元购买的甲图书和用6000元购买的乙图书数量相同．
（1）求出甲、乙两种图书每本的价格分别是多少；
（2）若计划购买甲、乙两种图书共50本，购书总费用不超过2860元，则最少购进甲图书多少本？
21．（9分）我国无人机已广泛的应用在人们的生产和生活中．如图所示，某中学数学课外活动小组利用无人机测量沅江某一段江面的宽度，先在沅江两岸边上各选定一点A、B，且AB所在直线与江岸所在直线垂直，再在A点放飞无人机到一定高度后，然后在AB上方从A向B以30m/s的速度水平飞行．在M点处测得A点的俯角为72°，B点的俯角为30°，20s后在N点处测得B点的俯角为60°，求此段沅江江面的宽度．（结果精确到1米）（参考数据：，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）
22．（12分）综合应用
【问题感知】
（1）如图①，在等边△ABC中，AB＝4，点M、N分别在边AC、BC上，若N是BC中点，则线段MN长度的最小值为 　 　 ．
【问题呈现】
若图①中“N是BC中点”改为“AM＝CN”，再求线段MN长度的最小值．
【问题解决】
（2）如图②，若把等边△ABC中“N是BC中点”改为“AM＝CN”，如何求线段MN的最小值．
解决方法：小明将通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述问题：过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P，作射线AP．则∠CAP为 　 　 度，线段MN长度的最小值为 　 　 ．
【应用迁移】
（3）如图③．某房屋在维修时需使用钢丝绳进行加固处理，小明根据问题画出了示意图④，MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳．四边形BCDE是矩形，AB＝AC＝CD＝2米，∠ACB＝30°，若点M在AC上，点N在DE上，AM＝DN．求钢丝绳MN的最小值．
23．（12分）在菱形ABCD中，点E为射线BC（不与B点重合）上一动点，连接AE，点F为AE中点，连接BF，将△ABF沿BF翻折得到△GBF，连接GE．
（1）如图1，连接AG，GE与AG的位置关系是　 　 ；GE与BF的位置关系是　 　 ；
（2）如图2，若∠D＝60°，当点E运动到BC中点时，求的值；
（3）已知AB＝6，∠D＝60°，若∠AEG＝60°，则CE的长为　 　 ．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C A C B D D C D
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
2．解：∵3240万＝32400000，
∴3240万用科学记数法表示为3.24×107．
故选：C．
3．解：这辆车平均每小时大约行了58.2（千米），
即该结果正确的取值范围应在52.1～60之间．
故选：C．
4．解：∵四边形ABDE是圆内接四边形，
∴∠AED＝180°﹣∠B＝120°，
故选：A．
5．解：，
方程两边同乘x﹣1，得
3x+m＝5（x﹣1），
解得，
∵x≠1，
∴，
∴m≠﹣3，
∵方程的解是正数，
∴，
∴m＞﹣5，
∴m＞﹣5且m≠﹣3，
故选：C．
6．解：由图可得，
最大值与最小值的差是：30﹣20＝10℃，故选项A错误，
众数是28℃，故选项B正确，
这组数按照从小到大排列是：20、22、24、26、28、28、30，故中位数是26℃，故选项C错误，
平均数是：25℃，故选项D错误，
故选：B．
7．解：∵以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，
∴AD是∠BAC的平分线，
故①正确，符合题意；
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，
∴∠ADC＝90°﹣∠DAC＝90°﹣30°＝60°，
故②正确，符合题意；
∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∠DAB＝30°，
∴AD＝DB，
∴点D在AB的中垂线上，
故③正确，符合题意；
∵∠CAD＝30°，
∴，
∵AD＝DB，
∴，
∴，即CB＝3CD，
∵S△ACDCD AC，S△ACBCB AC＝3CD AC，
∴S△ACD：S△ACB＝1：3，
故④正确，符合题意；
故正确的有①②③④，共4个．
故选：D．
8．解：如图所示：在图②中，过点R作RS⊥PQ于S，交MT于H，
在图①中，Rt△ABC为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠C＝90°，∠A＝∠B＝45°，
∵四边形CDEF为正方形，
∴设CD＝DE＝EF＝FC＝a，∠CDE＝90°，
∴S正方形CDEF＝a2，
∵∠ADE＝90°﹣∠CDE＝90°，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴AD＝DE＝a，
∴AC＝BC＝2a，
∴S△ABCAC BC＝2a2，
∴S△ABC＝2S正方形CDEF；
在图2中，Rt△PQR为等腰直角三角形，
∴PR＝QR，∠R＝90°，∠P＝∠Q＝45°，
∵RS⊥PQ，
∴∠PQS＝∠QRS＝45°，
∵四边形MNKT为正方形，
∴MN＝NK＝KT＝TM，∠MNK＝∠TMN＝90°，RT∥PQ，
∴RS⊥MT，
∴△RHM为等腰直角三角形，
∴设RH＝MH＝b，
同理：RH＝TH＝b，
∴MN＝NK＝KT＝TM＝2b，
∴S正方形MNKT＝（2b）2＝4b2，
∵∠MNP＝180°﹣∠MNK＝90°，
∴△MNP为等腰直角三角形，
∴PN＝MN＝2b，
同理：KQ＝KT＝2b，
∴PQ＝PN+NK+KQ＝6b，
∴RSPQ＝3b，
∴S△PQRPQ RS＝9b2，
∴，
∴S△PQRS正方形MNKT，
∵图①和图②中是两个完全相同的等腰直角三角形，
∴S△ABC＝S△PQR，
∴2S正方形CDEFS正方形MNKT，
∴S正方形CDEF：S正方形MNKT＝9：8．
故选：D．
9．解：依题意得：△ACD和△BCE都是直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴设AC＝CD＝a，BC＝CE＝b，
∴DE＝CD﹣CE＝a﹣b，
∴S1a2，S2b2，S3a（a﹣b）（a2﹣ab），S4b（a﹣b）（ab﹣b2），
∵S1﹣S2＝20，
∴a2b2＝20，
∴（a2﹣b2）＝20，
∴S3+S4（a2﹣ab+ab﹣b2）（a2﹣b2）＝20．
故选：C．
10．解：∵正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（﹣2，m）和B两点，
∴B（2，﹣m），
∴不等式ax的解集为x＜﹣2或0＜x＜2，
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：当x＝0且x﹣5≠0时，解得x＝0；
当x﹣5＝﹣1且x为偶数时，解得x＝4；
当x﹣5＝1时，解得x＝6．
综上，x＝0或4或6．
故答案为：0或4或6．
12．解：圆锥的侧面展开如图：
设∠ASB＝n°，
即：2π 2，
得：n＝120，
∴AB＝6，
故答案为：6．
13．解：设景同学答对了x道题，则答错或不答（20﹣x）道题，
根据题意得：5x﹣3（20﹣x）＞83，
解得：x，
又∵x为整数，
∴x的最小值为18，
∴她至少要答对18道题．
故答案为：18．
14．解：∵a*b＝a×b﹣a÷b，
∴（﹣4）*2
＝（﹣4）×2﹣（﹣4）÷2
＝﹣8+2
＝﹣6，
故答案为：﹣6．
15．解：如图，连接BF，BD，过点M作MN⊥BD于N，连接DM，
∵四边形ABCD，四边形BEFG都是正方形，
∴BDBC＝16，BF＝2BE，∠DBC＝∠ABD＝∠FBE＝45°，
∴∠DBF＝∠CBE，2，
∴△BEC∽△BFD，
∴，∠ECB＝∠FDB，
∴DF＝2EC＝6，
在△MFD中，MF≥DM﹣DF，
∴当点F在MD上时，MF有最小值，
∵M为AB边上的点，且，
∴MB＝4，
∵∠ABD＝45°，MN⊥BD，
∴MN＝BNBM＝2，
∴DN＝14，
∴tan∠ECB＝tan∠MDB，
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：
＝1+2﹣4+2
＝1+2﹣4+1
＝0．
17．解：（1）过点C作CH⊥AB，垂足为点H，如图：
（2）∵AB＝AC，
∴设∠ABC＝∠ACB＝2α，
∵BD平分∠BAC交AC于点D，
∴∠DBC∠ABC＝α，
∵∠DBC＝∠A，
∴∠A＝α，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝5α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠A的度数为36°．
18．解：（1）∵样本容量为：1040（人），
∴得分27分的人数为：40﹣（2+10+12+8）＝8（人）；
∵中位数是数据有小到大排列第20，第21个数据的平均数，而第20，第21个数据分别为28分，29分，
∴中位数为（28+29）÷2＝28.5（分）；
∵29分有12人，是人数最多的分数，
∴众数为：29分，
答：得分27分的人数为8人；所调查学生测试成绩中位数为28.5分，众数为29分；
（2）补测成绩与原来成绩合并后，将合并后的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第21名的成绩为中位数，
∵成绩的中位数变大了，
∴第21名的成绩大于28.5分，
∴这名同学补测成绩为29分或30分；
（3）画树状图如下：
一共有9种等可能的情况，其中小明和小亮选择同一项目有3种可能的情况，
∴P（小明和小亮选择同一项目）．
19．（1）证明：∵BE＝EF，
∴∠EFB＝∠EBF，
∵∠CFD＝∠EFB，
∴∠EBF＝∠CFD，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵AE⊥OC，
∴∠OCB+∠CFD＝90°，
∴∠OBC+∠EBF＝90°，即∠EBA＝90°，
∵AB是直径，
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为10，
∴OA＝10，AB＝20，
∵AE⊥OC，OD＝6，
∴AD8，
∵∠ADO＝∠EBA＝90°，∠DAO＝∠BAE，
∴△DAO∽△BAE，
∴，即，
∴BE＝15．
20．解：（1）设甲图书每本的价格为x元，则乙图书每本的价格是（x+10）元，
由题意得：，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是所列方程的解，且符合题意，
∴x+10＝50+10＝60，
答：甲图书每本的价格为50元，乙图书每本的价格为60元；
（2）设购买甲图书m本，则购买乙图书（50﹣m）本，
由题意得：50m+60（50﹣m）≤2860，
解得：m≥14，
答：最少购进甲图书14本．
21．解：如图：连接AB，过点M作MC⊥AB，垂足为C，过点N作ND⊥AB，垂足为D，
由题意得：MC＝ND，MN＝CD＝20×30＝600（m），MN∥AB，
∴∠EMA＝∠MAC＝72°，∠FNB＝∠NBD＝60°，
∵∠FNB是△MNB的一个外角，
∴∠NBM＝∠FNB﹣∠NMB＝30°，
∴∠NBM＝∠NMB＝30°，
∴MN＝NB＝600m，
在Rt△NBD中，ND＝BN sin60°＝600300（m），
BD＝NB cos60°＝600300（m），
∴MC＝ND＝300m，
在Rt△AMC中，AC168.5（m），
∴AB＝AC+CD+BD＝168.5+600+300≈1069（m），
∴此段沅江江面的宽度约为1069m．
22．解：【问题感知】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝4，∠C＝60°，
∵N是BC中点，
∴CN＝2，
当NM⊥AC时，线段MN的值最小，
∴线段MN的最小值＝CN sin60°＝2；
故答案为：；
【问题解决】
（2）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵CP∥MN，MP∥NC，
∴四边形CPMN是平行四边形，
∴MP＝NC，
又∵AM＝CN，
∴AM＝MP．
∴∠CAP＝∠MPA，
∵∠PMC＝∠ACB＝60°，
∴∠CAP＝∠MPA＝30°；
∵四边形CPMN是平行四边形，
∴MN＝PC，当PC⊥AP最小时，MN也有最小值，此时PCAC＝2，
∴MN最小值是2．
故答案为：30，2；
【方法应用】（3）如图过M、D作ED、MN的平行线，
则四边形MNDP是平行四边形，
∴MN＝DP，∠PMC＝∠ACB＝30°，
∴∠PAM＝∠APM＝15°，
当DP⊥AP时，DP最小，
∵∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝30°，
∴∠PAD＝∠CAD+∠PAM＝45°，
在△ACD中，ADAC＝2米，
∴DP＝AD sin45°米，
故钢丝绳MN长度的最小值为米．
23．解：（1）连接AG，延长BF交AG于K．
由折叠的性质可知BF垂直平分AG，
∴K是AG中点，
∵F是AE中点，
∴FK是△AEG的中位线，
∴FK∥GE，即GE∥BF，
∵BF⊥AG，
∴GE⊥AG，
故答案为：GE⊥AG，GE∥BF，
（2）延长BF交AG于K．
设BE＝a，则AB＝2a，
∴，，
∴，
由（1）可知，GE⊥AG，GE∥BF，
∴∠AKF＝90°＝∠AEB，
又∵∠AFK＝∠BFE，
∴∠FAK＝∠FBE，
∵，
∴，
设FK＝3x，AK＝2x，
在Rt△AFK中，，
解得，
由题意，FK为△AEG的中位线，
∴；
（3）1°当点E在BC上时，延长BF交AG于K．
∵∠AGE＝90°，∠AEG＝60°，
∴∠EAG＝30°，
在Rt△AEG中，设EG＝2x，则AE＝4x，
∴EF＝2x，AG＝2x，FKx，
∴AK，
∵BF∥EG，
∴∠BFE＝∠EFG＝60°，
∵∠D＝60°，
∴∠ABE＝60°＝∠BFE，
∵∠BEF＝∠AEB，
∴△BFE∽△ABE，
∴，即，
∴EB＝2x，FB＝3，
在Rt△ABK中，BK2+AK2＝AB2，
∴（3x）2+（x）2＝62，
整理得：2x2+3x﹣9＝0，
解得x（负值舍去），
∴BE＝2x＝3，
∴CE＝AB﹣BE＝6﹣（3）＝9﹣3；
2°当点E在BC延长线上时，
同理可得△AFB∽△ABE，
设EG＝2x，则AE＝4x，
∴AF＝EF2x，
∴，即，
解得x
∴AE＝4x＝6，
过A作AH⊥BC于点H，则BH，AH，
∴EH3，
∴CE＝BE﹣BC＝BH+EH﹣BC＝3+36＝33；
综上，CE的长为或3；
故答案为：或3．
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