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2024~2025学年第二学期高三半月考（三）数学试题
考试时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={-5A.{-1,0}
B.{2,3}
C.{-3,-1,0}
D.{-1,0,2}
2.若直线：x+y-1=0,,12,则下列向量可以作为直线2的方向向量的是()
A.(1,-1
B.(1,1)
C.(1,2)
D.(1,-2)
3.已知函数f(x)=√x2-6x+5在区间(a,+∞)上单调递增，则a的取值范围为()
A.(-∞，1]
B.(-∞，3]
C.[3,+∞)
D.[5,+∞)
4.已知首项为1的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S7=16S4-15,则a4=（)
A.24
B.12
C.20
D.15
5.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，
则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（)
A.120
B.60
C.40
D.30
6.已知F是抛物线C:x=2py(p>0)的焦点，P是第一象限内抛物线C上一点，P在
抛物线C准线上的射影为Q,∠P℉Q于，PQ=4,则地物线C的标准方程为（)
A.x=y
B x=2y
C.x=4y
D.x=6y
7.已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，？ABD为等边三角形，若二面角C-AB-D为
150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为()
A,日
8.
c.3
D.3
5
8.已知⊙0的半径为1，直线PA与⊙0相切于点A,直线PB与⊙0交于B,C两点，D
为Bc的中点，若|PO√2，则PAPD的最大值为()
A.1+2
B.1+22
C.1+√2
D.2+2
2
2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列结论正确的是（)
3-ai
A.复数i在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的充分不必要条件；
3
B.若随机变量X~864,引，
则D(4X+1)=48
C.已知某10个数据的平均值为7，方差为1.1，则加入一个数据7后方差变为1
D.存在函数f(xX)满足，对任意xER都有f(sin2x)=X+x
10.如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心0到水面的距离为1m，筒车的半径是3m，盛水筒
的初始位置为R,0P,与水平正方向的夹角为：.若筒车以角速度2rad1mn沿逆时针方向
转动，t为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点R所需的时间（单位：min),则(）
A.0B.sint=
正方向
C.sin2t=-
V5+2√2
D.cos2t=-
2W6+1
6
6
11·塌缩函数在神经网络、信号处理和数据压缩等领域经常用到，常见的塌缩函数有
tanhx)=e-e×
e+e
+e,设tanh(x)的值域为D,sigx)的值域为E,则下列结
sig(x)=_e*
论正确的是()
A.ECD
B.225[sig()+sig(-i订=2025
C.方程2sig(x)=1+tanx的所有实根之和为1
D.若关于×的不等式sig(e+e)+sig(-m2+2m+1)>1恒成立，则实数m的取值范
围为(-1,3)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12(1-二)(x*y)8的展开式中xXy的系数为（用数字作答）.
13.点A(-2,3),B(0,),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x43)2+y42)2
=1有公共点，则a的取值范围是
14.已知函数fx)=ax(e+1)+e-1恰好有3个零点，则实数a的取值范围是
22024~2025学年第二学期高三半月考（三)数学试题答案
1A解：集合A={W-503=0,23=8,33=27,则AnB={-1,0}.
2.B解：取1，上两点A(1,0),B(0,1),则AB=(-1,1)可以作为1的一个方向向量.
设PQ=(m,n)为2的方向向量，：112，A8.PQ=0,故-m+n=0,即m=n,选：B.
3D.解：根据题意，设t=x-6x45,则y=√t,必有t=x-6x45≥0，解可得烂-1或2
5,即函数的定义域为(-∞，-1]U[5,+∞)；函数f(x)=Vx2-6x+5在区间(a,+∞)
上单调递增，则t=X-6x5在(a,+∞)上单调递增且20恒成立，必有≥5，即a的取
值范围为[5，+∞).
4D.解：设等比数列{a}的公比为q,显然g≠1，否则7=16×4-15，此等式不成立，则
-15,由90，整理得g°-16g+15=0,即（g3-1)(g3-15)=0,因
1-q
1-q
此g=16,所以a4=1×g3-15.故选：
5B解：先从5人中选1人连续两天参加服务，共有C}=5种选法，然后从剩下4人中选1
人参加星期六服务，剩下3人中选取1人参加星期日服务，共有C}℃}=12种选法，根据
分步乘法计数原理可得共有5×12=60种选法.
6.C解：不妨设P(0,w),可得Q(x0 号)，由抛物线的定义知|P℉|=PQ=号+y0
因为∠p0=否，所以△PFQ为正三角形，此时P0-4号+y0解得y,4号不妨
设抛物线C的准线与y轴的交点为M,在Rt△FMQ中，FM+MQ=FQ2,即p2+x=42,
整理得x名-16-p2,又x名=2py0所以16-p2=2(4号)，解得p=2,则抛物线C的
标准方程为X=4y
7C解：取AB的中点E,连接CE,DE,因为△ABC是等腰直角三角形，且AB为斜边，则有
CE⊥AB,
1
又？ABD是等边三角形，则DE1AB,从而∠CED为二面角C-AB-D的平面角，即
∠CED=150°，
显然CE∩DE=E,CE,DEC平面CDE,于是ABL平面CDE,又ABC平面ABC,
因此平面cDE⊥平面ABC,显然平面CDEn平面ABC=CE,
直线cDc平面CDE,则直线cD在平面ABC内的射影为直线cE,
从而∠DCE为直线cD与平面ABC所成的角，令AB=2,则cE=1,DE=√5，在△CDE中，
由余弦定理得：
cD=VCE2+DE2-2cE·DEcos∠CED
+3-2x1×5x-5=5
由正弦定理得
DE
CD
sin∠DCE sin∠cED
即sin∠DcE=5sin150-5
显然∠DcE是锐角，cos∠DcE=V1-sin2∠DcE
-(V3
5
所以直线cD与平面ABc所成的角的正切为5
5
8.A【解答】解：如图，设LOPC=a,则-兀根据题意可得：∠APO=45°，
4
4
i而-1mlcs(a+)=1x2 codco(a+空)
4
2
220s(2a+开)，又
cos'a sinacosa 1tcos2a-sin2a 12
4
π4
4
当2a+刀
0，ac0s(2a+安)=1时
4
PA~PD取得最大值上+V2
22
2

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