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第一章 因式分解 综合素质评价
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
2．下列因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3．多项式提取公因式后，剩下的因式应是（ ）
A. B. C. D.
4．小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：,,,,,分别对应下列六个字：连，丽，美，大，滨，城.现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A. 滨城 B. 美丽滨城 C. 滨城大连 D. 美丽大连
5．若能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值为 （ ）
A. 1或5 B. 7或 C. 5 D. 7
6．已知,,为三角形的三边长，且满足，则三角形的形状为（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 锐角三角形
7．如图，长与宽分别为，的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为（ ）
A. 2 560 B. 490 C. 70 D. 49
8．若为任意整数，且的值总能被4整除，则整数不能取（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 5
9．已知，，则，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
10．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“致真数”，如，，即8，24均为“致真数”.在不超过50的正整数中，所有的“致真数”之和为（ ）
A. 160 B. 164 C. 168 D. 177
二、填空题（每题3分，共18分）
11．因式分解：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
12．多项式与的公因式是_ _ _ _ _ _ _ _ .
13．是多项式因式分解的结果，则的值是_ _ _ _ .
14． 边长分别为和的两个正方形的摆放方式如图所示，则阴影部分的面积化简后的结果是_ _ _ _ _ _ .
15．已知，则的值为_ _ _ _ .
16．多项式其中 是小于10的自然数，可以分解因式，那么能取的值共有_ _ _ _ 个.
三、解答题（共72分）
17．（8分）把下列各式分解因式：
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
18．（6分）用简便方法计算：
（1） ；
（2） .
19．（6分）
（1） 先因式分解，再计算求值：，其中，；
（2） 已知，求的值.
20．（7分）若在对多项式进行分解因式时，甲看错了的值，分解的结果是；乙看错了的值，分解的结果是，则分解因式正确的结果是多少？
21．（9分）已知,，求下列代数式的值.
（1） ；
（2） ；
（3） .
22．（12分）如图①，有足够多的边长为的小正方形类，宽为、长为的长方形类以及边长为的大正方形类，发现利用图①中的三类图形可以拼出一些长方形来解释某些等式.
（1） 用图①中的若干个图形（三类图形都要用到）拼成一个正方形，使其面积为，画出图形，并根据图形填空：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 如图②是由图①中的三类图形拼出的一个长方形，根据图②可以得到并解释等式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（3） 用图①中的若干个图形（三类图形都要用到）拼成一个长方形，使其面积为，画出你的拼法，并根据你画的图形因式分解：.
23．（12分）阅读下列材料：因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法无法分解，如.我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解.
过程如下：
.
这种因式分解的方法叫分组分解法.
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1） 因式分解：；
（2） 因式分解：；
（3） 三边，，满足，判断的形状并说明理由.
24．（12分）
问题：已知多项式含有因式和，求,的值.
解：设（其中 为整式），
取，得，①
取，得，②
由①，②解得，.
根据以上阅读材料解决下列问题：
（1） 若多项式含有因式，求实数的值；
（2） 若多项式含有因式，求实数,的值；
（3） 如果一个多项式与某非负数的差含有某个一次因式，则称这个非负数是这个多项式除以该一次因式的余数.请求出多项式除以一次因式的余数.
答案
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】B
【解析】由题意得，
，或.
6.【答案】A
【解析】因为，即，
所以，，．因为,,是三角形的三边长，
所以,，所以，即，
所以三角形为等腰三角形．
7.【答案】B
【解析】 长与宽分别为,的长方形，它的周长为14，面积为10，
，，
．故选．
8.【答案】C
【解析】的值总能被4整除，为任意整数，总能被4整除, 整数为，1，5均满足条件，故选．
9.【答案】A
【解析】，.
10.【答案】C
【解析】设相邻的两奇数分别为，且为正整数，，
根据题意得，，
的最大值为6，当时，，，
.
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】8
14.【答案】
【解析】由题意得.
15.【答案】0
【解析】，，，
．
16.【答案】5
【解析】多项式其中是小于10的自然数，可以分解因式，则能取的值为0，2，4，6，8，共5个.
17.【答案】（1） 【解】.
（2） .
（3） ．
（4） ．
18.【答案】（1） 【解】原式.
（2） 原式.
19.【答案】
（1） 【解】.
把,代入，得
原式.
（2） ,,.
20.【解】 甲看错了的值，分解的结果是，.
乙看错了的值，分解的结果是，， 这个多项式为，
分解因式正确的结果为.
21.【答案】（1） 【解】,.又,.
（2） ,,.
（3） ,.
22.【答案】
（1） 【解】画图如图①所示.
（2）
（3） 拼法如图②所示，
长方形的长为，宽为，面积为，
即.
23.【答案】（1） 【解】.
（2） .
（3） 是等边三角形.
理由如下：，
，
.
，，
，且，
，且，，
是等边三角形．
24.【答案】
（1） 【解】设（其中为整式），
取，得，解得.
（2） 设（其中为整式），
取，，得，①
取，，得,②
由①,②解得，.
（3） 设多项式除以一次因式的余数为，另一个因式为，则，
取，得，解得.
除以一次因式的余数为2.
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