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浙江省金华市义乌市绣湖中学2024-2025八年级下学期3月月考数学试卷
1．（2025八下·义乌月考）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A.方程-3x = 0关于x的一元一次方程，故A错误；
B.是分式方程，故B错误；
C.未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故C错误；
D.是一元二次方程，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程，其一般形式为ax2+bx+c=0，其中a、b、c是常数，且a≠ 0，即可解答.
2．（2025八下·义乌月考）若代数式有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴
解得，
故答案为：A.
【分析】 要使代数式有意义，需要满足二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，即，即可解答.
3．（2025八下·义乌月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： A. ，a值不确定，当a是完全平方的倍数时，可对该根式进一步化简； 由于a值 不能确定 ，不能明确它是否为最简形式，所以不符合二次根式的确定性要求；故A错误.
B. ，对6进行因数分解，6=2×3，其中2和3都不是完全平方数，不存在能提取出来的完全平方数因数，所以是最简二次根式；故B正确.
C. ，可以分解为 12=4×3，而4是完全平方数，即，所以不是最简形式；故C错误.
D. ，根据幂运算法则其中x2是完全平方形式，所以不是最简形式；故D错误.
综上所述，选项B中的二次根式是最简二次根式。
故答案为：B.
【分析】 最简二次根式是指在根号下的数不能再分解出完全平方数的因数的二次根式.需要对每个选项进行化简，看其是否包含完全平方数因数，判断是否可以进一步简化.
4．（2025八下·义乌月考）解一元二次方程，配方后正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、展开为即与原方程的一次项系数、常数项均不匹配，故A错误.
B、展开为即与原方程一致，故B错误.
C、展开为即与原方程的常数项均不匹配，故C错误.
D、展开为即与原方程的一次项系数、常数项均不匹配，故D错误.
故答案为：B.
【分析】 将方程 通过配方化简成完全平方形式，以确定等式左边完全平方项的结构和右边常数项的值，从而找到正确的选项.也可分别把四个选项根据完全平方差公式展开与原方程式对比，即可解答.
5．（2025八下·义乌月考）下列运算中，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式
【解析】【解答】解： A. 先化简，因为 12 = 4 × 3 =× 3，所以则，而不是；故A错误.
B.是不同的最简二次根式，它们的被开方数不同，不能直接相减，所以不能化简为，故B错误.
C.先计算.再计算，故C正确.
D.是不同的最简二次根式，它们的被开方数不同，不能直接相加，所以不能化简为，故D错误.
故答案为：C.
【分析】 根号的乘法是两个二次根式相乘，被开方数相乘后再开方，根号的加法和减法不能直接相加减，除非根号里的数相同，对于每个选项的分析，识别并运用正确的根号运算公式。
6．（2025八下·义乌月考）已知一元二次方程的两根为，则的值为（　　）
A．8 B．-8 C．-2 D．2
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： ∵一元二次方程为；
∴二次项系数a=1，一次项系数b=-3，常数项c=-5；
根据韦达定理根与系数的关系，得：
两根之和
两根之积
∴；
故答案为：A.
【分析】 对于一元二次方程，韦达定理指出两根之和两根之积，其利用这些关系来解析题目中的表达式.
7．（2025八下·义乌月考）如图，在一块长28m，宽10m的矩形草坪中修建小路，已知剩余草地的面积是．设小路的宽度为xm，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A．28×10-28x-10x=243 B．2（28-x+10-x）=243
C．（28-x）（10-x）+x2=243 D．（28-x）（10-x）=243
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
8．（2025八下·义乌月考）如图①是一张等腰直角三角形纸片，AC=BC=24cm，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为6cm的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品EFGH镶边（纸条不重叠）如图③，正方形美术作品的面积为（　　）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：观察图②，我们可以发现等腰直角三角形中，相邻两条长方形纸条在斜边上的重叠部分(等腰直角三角形)的直角边为cm.
设正方形边长为a，从图③的镶边关系可得：，
解得：a，
正方形面积S=a2=()2=324-
在等腰直角三角形中，设正方形边长为x.
观察③根据相似关系，，
解得：，
正方形的面积，
即正方形美术作品的面积27cm2.
故答案为：27cm2.
【分析】本题涉及等腰直角三角形的性质，即等腰直角三角形的两个底角都是45°。利用这个性质可以得到长方形纸条的长与宽的关系，再结合镶边的情况求出正方形的边长，进而求得正方形的面积.
9．（2025八下·义乌月考）已知实数满足，则的值为（　　）
A．-2 B．4 C．－2或4 D．2
【答案】B
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解： 原方程为；
等式变形；
即；
设，则原方程为；
即；
解得t=4或t=-2；
①当时，
则
∴a无解
即舍去；
②当时
则；
∴a有解
即有意义；
故答案为：B.
【分析】 首先，观察给定方程的形式，将方程重新组织，变换为关于的方程，从而简化求解过程。 通过对方程的化简和解方程，找出的可能值。
10．（2025八下·义乌月考）已知关于的方程有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点在直线l：y上，点在直线下方，则PQ的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解： ∵关于x的方程该方程有两个相等的实数根，
∴
解得：；
根据点Q在直线下方；
∴，即；
∴，即，
∴点Q坐标；
设x=-1-b，y=b，将y=b代入x=-1-b；
得，x+y=-1，即y=-x-1；
点Q在直线y=-x-1；
又∵点P在直线上；
点P、Q两直线斜率相等，
∴两直线平行
直线变形；
y=-x-1直线变形；
∴两直线距离=；
即PQ的最小值为；
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根的判别式来确定a与b的关系，找出点Q所在直线，最后通过点到直线的关系求出PQ的最小值.
11．（2025八下·义乌月考）化简： =　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】 =
【分析】根据二次根式的性质和化简，计算得到答案即可。
12．（2025八下·义乌月考）把一元二次方程x（x+2）=-3化成一般形式是　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：，
去括号，得
移项，得
故答案为：.
【分析】 一元二次方程的一般形式，即。题目给出的方程是，首先需要通过展开方程，然后移项，使方程成为一元二次方程的一般形式.
13．（2025八下·义乌月考）计算.（3-π）2=　 　.
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
14．（2025八下·义乌月考）如图，一块长方形场地ABCD的长AB与宽AD的比为3：1，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，连接BE，DF，则四边形DEBF与长方形ABCD的面积比为　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
15．（2025八下·义乌月考）若，则a3-11a2+9a+8的值为　 　.
【答案】7
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；求代数式的值-化简代入求值
16．（2025八下·义乌月考）如果一元二次方程x2-2nx+9n-27=0有两个有理根，其中n为自然数，则n=　 　.
【答案】n=3或n=6或n=11
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程有两个有理根，
∴，
设(m为有理数），
则，
，
设（k为整数），
即，
由平方差公式，得，
∵27=27×1=3×9=（-1）×（-27）=（-3）×（-9），
∴时，解得m=7，k=13，
当m=7时，代入，
解得，n=11或n=-2(舍去）
时，解得m=3，k=-3，
当m=3时，代入，
解得，n=3或n=6，
时，解得m=-7，k=13，
当m=-7时，代入，
解得，n=11或n=-2(舍去），
时，解得m=-3，k=3，
当m=-3时，代入，
解得，n=3或n=6，
经检验，n=3或n=6或n=11时一元二次方程有两个有理根，
故答案为：n=3或n=6或n=11.
【分析】一元二次方程根的判别式，当△是完全平方数时，方程有两个有理根，对于给定方程，其中a=1，b=-2n，c=9n-27， 首先计算判别式Δ ， 根为有理数，Δ需要为完全平方数 ， 需要确定满足这一条件的自然数n的值，设， 即我们需要找到满足上述等式的自然数n和整数m的组合。
17．（2025八下·义乌月考）化简：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质，分别化成最简二次根式，再计算加减即可求解；
（2）先利用平方差公式将括号去掉，再计算除法，计算求解即可．
18．（2025八下·义乌月考）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解答】解（1）
提取公因式x，得
则x=0或x-2=0.
解得x1=0，x2=2
（2）解：中，a=2，b=3，c=-1，
，
代入求根公式得：，
即：，
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】(1)方程左边可提取公因式x，转化为两个一次因式的乘积等于0的形式，直接求解.
（2）方程无法直接因式分解，需使用求根公式，先计算判别式△ =b2-4ac，再代入公式求解.
19．（2025八下·义乌月考）已知x，y是Rt的两边，且满足．
（1）求的算术平方根；
（2）求Rt的面积．
【答案】（1）解：∵二次根式要有意义，
∴且5-x≥0，
∴
将x=5代入中，
可得，
将x=5，y=3代入6x+2y=6×5+2×3=36，
∴36的算术平方根是6，
即6x+2y的算术平方根是6
（2）解：由（1）可知x=5，y=3，
当x=5，y=3是直角边长时，，
当x= 5是斜边长时，另一条直角边为，
，
综上所述，的面积为或6
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；求算术平方根
20．（2025八下·义乌月考）某商场1月份以每个50元的价格销售某种品牌的玩具，1月份一共销售了40个，商场在2月份和3月份都进行了涨价，且玩具销售额逐月增加，若3月份的玩具销售额为2880元，（销售额=销售单价X销售数量）
（1）求从1月份到3月份，玩具销售额的月平均增长率，
（2）经过市场调查发现，每个玩具的销售价格每增加5元，月销售量减少1个，且3月份每个玩具的销售价格小于100元，求3月份每个玩具的销售价格.
【答案】（1）【解答】解：设从1月份到3月份，玩具销售额的月平均增长率为m.
1月份的销售额为50x40=2000元，
2月份的销售额是1月份销售额乘以(1+m)，即2000(1+m)元，
3月份的销售额是 2月份销售额乘以(1+m)，也就是2000(1+m)(1+m)=2000(1+m)元，
3月份销售额为2880元，即2000(1+m)2=2880，
两边同时除以2000得到((1+ m)2= 1.44，
开平方可得1 + m =± 1.2.
当1 + m = 1.2时，m=1.2-1=0.20=20%；
当1+m=-1.2时，m=-1.2-1=-2.2，因为增长率不能为负，所以舍去m=-2.2，
∴从1月份到3月份，玩具销售额的月平均增长率为20%
（2）【解答】解：设3月份每个玩具的销售价格增加x元，那么 3月份每个玩具的销售价格为(500+x)元.
现在价格增加了x元，则销售量减少个，
1月份销售量是40个，所以3月份的销售量为(40-)个，
3月份销售额为2880元，根据销售额公式可列方程(50+x)(40-)=2880，
整理得(x-40)(x-110)=0.
解得x1=40，x2=110。
当x=40时，3月份每个玩具的销售价格为50+40=90元；
当x=110时，3月份每个玩具的销售价格为50+110=160元；
∵3月份每个玩具的价格小于100元，
∴x=110不符合要求，应舍去.
∴3月份每个玩具的销售价格是90元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)第一问旨在通过已知的 1月和 3月销售额，求出销售额的月平均增长率。核心思路是利用增长模型，以1月销售额为基础，根据月平均增长率构建 3月销售额的表达式，从而列出方程求解。
(2)第二问是在已知价格与销售量关系以及3月销售额的情况下，求出3月每个玩具的销售价格。关键在于通过设价格增加量，依据价格与销量的关联得出销售价格和销售量的表达式，进而列出方程并结合价格限制条件确定最终价格.
21．（2025八下·义乌月考）
（1）如果关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有实数根，求k的取值范围.
（2）如果关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的两个实数根分别为x1、x2，且=4，求m的值.
【答案】（1）【解答】解：∵方程kx2-x+1=0是一元二次方程，
∴二次项系数k≠0；
又∵方程有实数根，
∴判别式△=b-4ac≥0，
∵a=k，b=-，c=1，
则，即2k+1-4k0，
解得；
又∵有意义，
∴2k+1，解得k ≥；
综合以上条件，且
（2）【解答】解：∵一元二次方程x2+2mx+m2+m=0，
∴a=1，b=2m，c=m2+m，
根据韦达定理，x1+x2=，x1x2=，
∵x21+x22=4，
∴根据完全平方公式x21+x22=4，得，
即，
整理得，
解得m=2或m=-1，
当m=2时，原方程为x2+4x+6=0，此时判别式△=(4)2-4x1x6=16-24=-8<0，方程无实数根，舍去m =2.
当m =-1时，原方程为x2-2x=0，判别式△=(-2)2-4x1x0=4>0，方程有实数根，所以m =-1.
∴m的值为-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)对于第一问，一元二次方程有实数根需要考虑判别式△>0，同时要注意二次项系数不为0以及根号下数的非负性.
(2)对于第二问，根据韦达定理得到x1+x2和x1x2的表达式，再将x21+x22=4变形为与x1+x2和x1x2有关的式子，代入求解，最后要检验所得的m值是否满足判别式大于等于0.
22．（2025八下·义乌月考）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点运动即停止.设运动时间为t秒。
（1）在运动过程中，PQ的长度能否为3cm？若能，求出t的值，若不能，请说明理由；
（2）在运动过程中，△PDQ的面积能否为10cm2？若能，求出t的值，若不能，请说明理由；
（3）取PQ的中点M，运动过程中，当∠AMD=90°时，求t的值.
【答案】（1）【解答】解：PQ的长度能为3cm.
理由：∵点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动，运动时间为t秒，
∴AP=tcm.
又∵AB=6cm，
∴PB=(6-t)cm.
∵点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，
∴BQ=2tcm.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°.
在Rt △ PBQ中，根据勾股定理PB2+BQ2=PQ2.
已知PQ=cm，则(6-t)2+(2t)2=()2.
整理得(5t+3)(t-3)= 0.
解得t=3或t=因为时间不能为负，所以舍去t=.
∴当 t=3时，PQ的长度能为3cm
（2）【解答】解：△PDQ的面积不能为10cm2.
理由：设运动时间为t秒，则AP=tcm，PB=(6-t)cm，BQ=2tcm，CQ=(12-2t)cm.
= AB·BC-12AD·AP-12CD·CQ-12PB·BQ = 6×12-12×12×t-12×6×12-2t-126-t×2t = t2-6t+36
若S△PDQ=10cm2，则 t2-6t+36=10，
移项得t2-6t+26=0.
△=b2-4ac=(-6)2-4x1x26=36-104 =-68 <0.
∴方程无实数根，
即APDQ的面积不能为10cm2
（3）【解答】解：如图以B为坐标原点，分别以BC、BA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系.
∵AB=6cm，BC=12cm，
则A(0，6)，D(12，6)，
由（1）可知PB=(6-t)cm，BQ=2tcm，
∴P(0，6-t)，Q(2t，0).
∵M是PQ的中点，
∴M（t，3-），
取AD的中点N（6，6），连接MN，
又∵，
∴MN=，
根据两点间距离公式d=，
可得，
整理得，
解得.
∴当时，
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形-动点问题；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】(1)，在直角三角形PBQ中利用勾股定理建立方程求解t；
(2)通过矩形面积减去相关三角形面积得到△PDQ的面积表达式，再建立方程求解t，并判断方程是否有解；
(3)取PQ中点M，利用中点坐标公式(若有两点(x1，y1)，(x2，y2)，则中点坐标为和直角三角形斜边中线性质(直角三角形斜边中线等于斜边的一半)建立方程求解t.
23．（2025八下·义乌月考）阅读材料：已知a，b为非负实数，，当且仅当＂＂时，等号成立．这个结论就是著名的＂均值不等式＂，＂均值不等式＂在一类最值问题中有着广泛的应用．
例：已知，求函数的最小值．
解：令，则由，得．
当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4．根据以上材料解答下列问题：
（1）用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长，宽各为多少时，所用的笠笆最短？最短的简笆的长度是多少米？
（2）已知，则当　 　时，代数式取到最小值，最小值为　 　；
（3）已知为任意实数，代数式的值为，求的最大值和最小值．
【答案】（1）【解答】解：设矩形花园的长为x米，则宽为
篱笆的长度为米，
根据均值不等式a+b，即a=x，，
∴，
当且仅当，即时，函数取到最小值，
此时篱笆最短，最短长度为
即长和宽都为10米时篱笆最短；篱笆最短为40米
（2）2；3
（3）【解答】解：当x=0时，y=0.
当x0时，
当x＞0时，根据均值不等式
当且仅当，即时取等号.
此时，
当x＜0时，-x＞0，则
即
当且仅当，即x=时取等号，
此时.
综上，y的最大值为，最小值为
【知识点】函数值；转化思想
【解析】（2）【解答】解：将变形为，
∵
∴，
根据均值不等式a+b，即a=，，
∴（）+
当且仅当=，解方程可得m=2是取等号.
∴m=2时，代数式取到最小值，最小值为2+1=3.
故答案为：2；3.
【分析】 （1）对于篱笆围成的矩形花园问题，将“均值不等式”应用于长和宽，以求解最小的篱笆长度.
（2）对于代数式最小值问题，通过合理构造不等式，找到使代数式达到最小值的条件.
（3）对于函数的最值问题，利用“均值不等式”的性质，转换成易于分析的形式，求解最值.
24．（2025八下·义乌月考）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（8，0），点B的坐标是（0，6），连接AB.若动点P从点B出发沿着线段BA以5个单位每秒的速度向终点A运动，设运动时间为t秒.
（1）求线段AB的长.
（2）连接OP，当△OBP为等腰三角形时，过点P作线段AB的垂线与直线OB交于点M，求点M的坐标；
（3）已知N点为AB的中点，连接ON，点P关于直线ON的对称点记为P'(如图2)，在整个运动过程中，若P'点恰好落在△AOB内部(不含边界)，请直接写出t的取值范围。
【答案】（1）【解答】解：∵点 A的坐标为(8，0)，点B的坐标是(0，6)，
∴OA=8，OB =6.
在Rt△AOB中，根据勾股定理，
∴线段AB的长10
（2）【解答】解： 当△OBP为等腰三角形时，分三种情况：
①当PB=PO时，过点P作PD轴于点D，PCx轴于点C，
∴BD=OD=OB=3，
∵PB = PO，
∴PBO=POB，
∵POB+POA=90°，PAO+PBO=90°，
∴POA=PAO，
∴PO=PA=AB=5，
设OM=x，
在Rt△PDM中，PM2=PD2+DM2，
在Rt△BPM中，PM2=MB2-BP2，
∴PD2+DM2=MB2-BP2，即42+(3+x)2=(6+x)2-52，
解得：x=，
∴M(0，-)
②当BP=BO=6时，过点P作PDy轴于点D，PCx轴于点C，过点O作OEAB于点E，
∴DO=PC，DP=OC，
∵S△AOB=AB×OE=×OB×OA，
∴OE
∵S△POB=×BO×PD=×BP×OE，
∴PD=OE=，
Rt△PCA中，
∴DO=PC=，
Rt△PDM中，PM2=PD2+DM2，
Rt△BPM中，PM2=MB2-BP2，
∴PD2+DM2=MB2-BP2，
即
解得：x=4，
∴M(0，4)；
③当OB=OP时，如图，
∵OP=OB，
∴∠OBP=∠OPB，
∵MPAB，
∴∠BPO+∠OPM=90°，
又∠BMP+∠MBP=90°，
∴∠OMP=∠OPM，
∴OM=OP=OB=6，
∴M(0，-6)，
综上所述，M(0，)或M(0，-4)或M(0，-6)
（3）t的取值范围是【知识点】轴对称的性质；三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（3）如图，当P'在OA上时，过点N作NFx轴于点F，过点O作OEAB，过点P作PGy轴于点G，
∵N点为AB的中点，由(2)可知N(4，3)，OE=，
则NF =3，
∵BP=5t，BO=6，AO=8，
∴S△BOP=BOxPG=BP xOE，
∴PG=
∴
∴OG=6-3t，
∵BN=AB=5
∴PN=5-5t，
∵点P关于直线ON的对称点记为P’，
∴OP=OP，
∴
即
∴OP=OP=8-8t，
在中，PG2+OG2=OP2，
∴
解得t=2(舍去）或，
当点P运动到点N，P，P，N重合，此时5t=5，解得t=1，
∴当【分析】本题主要涉及勾股定理、等腰三角形的性质、三角形面积公式以及轴对称的性质等知识点。
(1)利用勾股定理求线段长度。
(2)对于等腰三角形的情况进行分类讨论，通过相似三角形或勾股定理求出相关线段长度，进而得到点 M 的坐标。
(3)根据轴对称性质和三角形位置关系确定t的取值范围。
1 / 1浙江省金华市义乌市绣湖中学2024-2025八年级下学期3月月考数学试卷
1．（2025八下·义乌月考）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·义乌月考）若代数式有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·义乌月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·义乌月考）解一元二次方程，配方后正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·义乌月考）下列运算中，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·义乌月考）已知一元二次方程的两根为，则的值为（　　）
A．8 B．-8 C．-2 D．2
7．（2025八下·义乌月考）如图，在一块长28m，宽10m的矩形草坪中修建小路，已知剩余草地的面积是．设小路的宽度为xm，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A．28×10-28x-10x=243 B．2（28-x+10-x）=243
C．（28-x）（10-x）+x2=243 D．（28-x）（10-x）=243
8．（2025八下·义乌月考）如图①是一张等腰直角三角形纸片，AC=BC=24cm，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为6cm的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品EFGH镶边（纸条不重叠）如图③，正方形美术作品的面积为（　　）.
A． B． C． D．
9．（2025八下·义乌月考）已知实数满足，则的值为（　　）
A．-2 B．4 C．－2或4 D．2
10．（2025八下·义乌月考）已知关于的方程有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点在直线l：y上，点在直线下方，则PQ的最小值为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025八下·义乌月考）化简： =　 　．
12．（2025八下·义乌月考）把一元二次方程x（x+2）=-3化成一般形式是　 　.
13．（2025八下·义乌月考）计算.（3-π）2=　 　.
14．（2025八下·义乌月考）如图，一块长方形场地ABCD的长AB与宽AD的比为3：1，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，连接BE，DF，则四边形DEBF与长方形ABCD的面积比为　 　.
15．（2025八下·义乌月考）若，则a3-11a2+9a+8的值为　 　.
16．（2025八下·义乌月考）如果一元二次方程x2-2nx+9n-27=0有两个有理根，其中n为自然数，则n=　 　.
17．（2025八下·义乌月考）化简：
（1）
（2）
18．（2025八下·义乌月考）解方程：
（1）；
（2）．
19．（2025八下·义乌月考）已知x，y是Rt的两边，且满足．
（1）求的算术平方根；
（2）求Rt的面积．
20．（2025八下·义乌月考）某商场1月份以每个50元的价格销售某种品牌的玩具，1月份一共销售了40个，商场在2月份和3月份都进行了涨价，且玩具销售额逐月增加，若3月份的玩具销售额为2880元，（销售额=销售单价X销售数量）
（1）求从1月份到3月份，玩具销售额的月平均增长率，
（2）经过市场调查发现，每个玩具的销售价格每增加5元，月销售量减少1个，且3月份每个玩具的销售价格小于100元，求3月份每个玩具的销售价格.
21．（2025八下·义乌月考）
（1）如果关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有实数根，求k的取值范围.
（2）如果关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的两个实数根分别为x1、x2，且=4，求m的值.
22．（2025八下·义乌月考）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点运动即停止.设运动时间为t秒。
（1）在运动过程中，PQ的长度能否为3cm？若能，求出t的值，若不能，请说明理由；
（2）在运动过程中，△PDQ的面积能否为10cm2？若能，求出t的值，若不能，请说明理由；
（3）取PQ的中点M，运动过程中，当∠AMD=90°时，求t的值.
23．（2025八下·义乌月考）阅读材料：已知a，b为非负实数，，当且仅当＂＂时，等号成立．这个结论就是著名的＂均值不等式＂，＂均值不等式＂在一类最值问题中有着广泛的应用．
例：已知，求函数的最小值．
解：令，则由，得．
当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4．根据以上材料解答下列问题：
（1）用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长，宽各为多少时，所用的笠笆最短？最短的简笆的长度是多少米？
（2）已知，则当　 　时，代数式取到最小值，最小值为　 　；
（3）已知为任意实数，代数式的值为，求的最大值和最小值．
24．（2025八下·义乌月考）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（8，0），点B的坐标是（0，6），连接AB.若动点P从点B出发沿着线段BA以5个单位每秒的速度向终点A运动，设运动时间为t秒.
（1）求线段AB的长.
（2）连接OP，当△OBP为等腰三角形时，过点P作线段AB的垂线与直线OB交于点M，求点M的坐标；
（3）已知N点为AB的中点，连接ON，点P关于直线ON的对称点记为P'(如图2)，在整个运动过程中，若P'点恰好落在△AOB内部(不含边界)，请直接写出t的取值范围。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A.方程-3x = 0关于x的一元一次方程，故A错误；
B.是分式方程，故B错误；
C.未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故C错误；
D.是一元二次方程，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程，其一般形式为ax2+bx+c=0，其中a、b、c是常数，且a≠ 0，即可解答.
2．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴
解得，
故答案为：A.
【分析】 要使代数式有意义，需要满足二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，即，即可解答.
3．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： A. ，a值不确定，当a是完全平方的倍数时，可对该根式进一步化简； 由于a值 不能确定 ，不能明确它是否为最简形式，所以不符合二次根式的确定性要求；故A错误.
B. ，对6进行因数分解，6=2×3，其中2和3都不是完全平方数，不存在能提取出来的完全平方数因数，所以是最简二次根式；故B正确.
C. ，可以分解为 12=4×3，而4是完全平方数，即，所以不是最简形式；故C错误.
D. ，根据幂运算法则其中x2是完全平方形式，所以不是最简形式；故D错误.
综上所述，选项B中的二次根式是最简二次根式。
故答案为：B.
【分析】 最简二次根式是指在根号下的数不能再分解出完全平方数的因数的二次根式.需要对每个选项进行化简，看其是否包含完全平方数因数，判断是否可以进一步简化.
4．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、展开为即与原方程的一次项系数、常数项均不匹配，故A错误.
B、展开为即与原方程一致，故B错误.
C、展开为即与原方程的常数项均不匹配，故C错误.
D、展开为即与原方程的一次项系数、常数项均不匹配，故D错误.
故答案为：B.
【分析】 将方程 通过配方化简成完全平方形式，以确定等式左边完全平方项的结构和右边常数项的值，从而找到正确的选项.也可分别把四个选项根据完全平方差公式展开与原方程式对比，即可解答.
5．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式
【解析】【解答】解： A. 先化简，因为 12 = 4 × 3 =× 3，所以则，而不是；故A错误.
B.是不同的最简二次根式，它们的被开方数不同，不能直接相减，所以不能化简为，故B错误.
C.先计算.再计算，故C正确.
D.是不同的最简二次根式，它们的被开方数不同，不能直接相加，所以不能化简为，故D错误.
故答案为：C.
【分析】 根号的乘法是两个二次根式相乘，被开方数相乘后再开方，根号的加法和减法不能直接相加减，除非根号里的数相同，对于每个选项的分析，识别并运用正确的根号运算公式。
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： ∵一元二次方程为；
∴二次项系数a=1，一次项系数b=-3，常数项c=-5；
根据韦达定理根与系数的关系，得：
两根之和
两根之积
∴；
故答案为：A.
【分析】 对于一元二次方程，韦达定理指出两根之和两根之积，其利用这些关系来解析题目中的表达式.
7．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：观察图②，我们可以发现等腰直角三角形中，相邻两条长方形纸条在斜边上的重叠部分(等腰直角三角形)的直角边为cm.
设正方形边长为a，从图③的镶边关系可得：，
解得：a，
正方形面积S=a2=()2=324-
在等腰直角三角形中，设正方形边长为x.
观察③根据相似关系，，
解得：，
正方形的面积，
即正方形美术作品的面积27cm2.
故答案为：27cm2.
【分析】本题涉及等腰直角三角形的性质，即等腰直角三角形的两个底角都是45°。利用这个性质可以得到长方形纸条的长与宽的关系，再结合镶边的情况求出正方形的边长，进而求得正方形的面积.
9．【答案】B
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解： 原方程为；
等式变形；
即；
设，则原方程为；
即；
解得t=4或t=-2；
①当时，
则
∴a无解
即舍去；
②当时
则；
∴a有解
即有意义；
故答案为：B.
【分析】 首先，观察给定方程的形式，将方程重新组织，变换为关于的方程，从而简化求解过程。 通过对方程的化简和解方程，找出的可能值。
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解： ∵关于x的方程该方程有两个相等的实数根，
∴
解得：；
根据点Q在直线下方；
∴，即；
∴，即，
∴点Q坐标；
设x=-1-b，y=b，将y=b代入x=-1-b；
得，x+y=-1，即y=-x-1；
点Q在直线y=-x-1；
又∵点P在直线上；
点P、Q两直线斜率相等，
∴两直线平行
直线变形；
y=-x-1直线变形；
∴两直线距离=；
即PQ的最小值为；
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根的判别式来确定a与b的关系，找出点Q所在直线，最后通过点到直线的关系求出PQ的最小值.
11．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】 =
【分析】根据二次根式的性质和化简，计算得到答案即可。
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：，
去括号，得
移项，得
故答案为：.
【分析】 一元二次方程的一般形式，即。题目给出的方程是，首先需要通过展开方程，然后移项，使方程成为一元二次方程的一般形式.
13．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
15．【答案】7
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；求代数式的值-化简代入求值
16．【答案】n=3或n=6或n=11
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程有两个有理根，
∴，
设(m为有理数），
则，
，
设（k为整数），
即，
由平方差公式，得，
∵27=27×1=3×9=（-1）×（-27）=（-3）×（-9），
∴时，解得m=7，k=13，
当m=7时，代入，
解得，n=11或n=-2(舍去）
时，解得m=3，k=-3，
当m=3时，代入，
解得，n=3或n=6，
时，解得m=-7，k=13，
当m=-7时，代入，
解得，n=11或n=-2(舍去），
时，解得m=-3，k=3，
当m=-3时，代入，
解得，n=3或n=6，
经检验，n=3或n=6或n=11时一元二次方程有两个有理根，
故答案为：n=3或n=6或n=11.
【分析】一元二次方程根的判别式，当△是完全平方数时，方程有两个有理根，对于给定方程，其中a=1，b=-2n，c=9n-27， 首先计算判别式Δ ， 根为有理数，Δ需要为完全平方数 ， 需要确定满足这一条件的自然数n的值，设， 即我们需要找到满足上述等式的自然数n和整数m的组合。
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质，分别化成最简二次根式，再计算加减即可求解；
（2）先利用平方差公式将括号去掉，再计算除法，计算求解即可．
18．【答案】（1）解答】解（1）
提取公因式x，得
则x=0或x-2=0.
解得x1=0，x2=2
（2）解：中，a=2，b=3，c=-1，
，
代入求根公式得：，
即：，
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】(1)方程左边可提取公因式x，转化为两个一次因式的乘积等于0的形式，直接求解.
（2）方程无法直接因式分解，需使用求根公式，先计算判别式△ =b2-4ac，再代入公式求解.
19．【答案】（1）解：∵二次根式要有意义，
∴且5-x≥0，
∴
将x=5代入中，
可得，
将x=5，y=3代入6x+2y=6×5+2×3=36，
∴36的算术平方根是6，
即6x+2y的算术平方根是6
（2）解：由（1）可知x=5，y=3，
当x=5，y=3是直角边长时，，
当x= 5是斜边长时，另一条直角边为，
，
综上所述，的面积为或6
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；求算术平方根
20．【答案】（1）【解答】解：设从1月份到3月份，玩具销售额的月平均增长率为m.
1月份的销售额为50x40=2000元，
2月份的销售额是1月份销售额乘以(1+m)，即2000(1+m)元，
3月份的销售额是 2月份销售额乘以(1+m)，也就是2000(1+m)(1+m)=2000(1+m)元，
3月份销售额为2880元，即2000(1+m)2=2880，
两边同时除以2000得到((1+ m)2= 1.44，
开平方可得1 + m =± 1.2.
当1 + m = 1.2时，m=1.2-1=0.20=20%；
当1+m=-1.2时，m=-1.2-1=-2.2，因为增长率不能为负，所以舍去m=-2.2，
∴从1月份到3月份，玩具销售额的月平均增长率为20%
（2）【解答】解：设3月份每个玩具的销售价格增加x元，那么 3月份每个玩具的销售价格为(500+x)元.
现在价格增加了x元，则销售量减少个，
1月份销售量是40个，所以3月份的销售量为(40-)个，
3月份销售额为2880元，根据销售额公式可列方程(50+x)(40-)=2880，
整理得(x-40)(x-110)=0.
解得x1=40，x2=110。
当x=40时，3月份每个玩具的销售价格为50+40=90元；
当x=110时，3月份每个玩具的销售价格为50+110=160元；
∵3月份每个玩具的价格小于100元，
∴x=110不符合要求，应舍去.
∴3月份每个玩具的销售价格是90元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)第一问旨在通过已知的 1月和 3月销售额，求出销售额的月平均增长率。核心思路是利用增长模型，以1月销售额为基础，根据月平均增长率构建 3月销售额的表达式，从而列出方程求解。
(2)第二问是在已知价格与销售量关系以及3月销售额的情况下，求出3月每个玩具的销售价格。关键在于通过设价格增加量，依据价格与销量的关联得出销售价格和销售量的表达式，进而列出方程并结合价格限制条件确定最终价格.
21．【答案】（1）【解答】解：∵方程kx2-x+1=0是一元二次方程，
∴二次项系数k≠0；
又∵方程有实数根，
∴判别式△=b-4ac≥0，
∵a=k，b=-，c=1，
则，即2k+1-4k0，
解得；
又∵有意义，
∴2k+1，解得k ≥；
综合以上条件，且
（2）【解答】解：∵一元二次方程x2+2mx+m2+m=0，
∴a=1，b=2m，c=m2+m，
根据韦达定理，x1+x2=，x1x2=，
∵x21+x22=4，
∴根据完全平方公式x21+x22=4，得，
即，
整理得，
解得m=2或m=-1，
当m=2时，原方程为x2+4x+6=0，此时判别式△=(4)2-4x1x6=16-24=-8<0，方程无实数根，舍去m =2.
当m =-1时，原方程为x2-2x=0，判别式△=(-2)2-4x1x0=4>0，方程有实数根，所以m =-1.
∴m的值为-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)对于第一问，一元二次方程有实数根需要考虑判别式△>0，同时要注意二次项系数不为0以及根号下数的非负性.
(2)对于第二问，根据韦达定理得到x1+x2和x1x2的表达式，再将x21+x22=4变形为与x1+x2和x1x2有关的式子，代入求解，最后要检验所得的m值是否满足判别式大于等于0.
22．【答案】（1）【解答】解：PQ的长度能为3cm.
理由：∵点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动，运动时间为t秒，
∴AP=tcm.
又∵AB=6cm，
∴PB=(6-t)cm.
∵点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，
∴BQ=2tcm.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°.
在Rt △ PBQ中，根据勾股定理PB2+BQ2=PQ2.
已知PQ=cm，则(6-t)2+(2t)2=()2.
整理得(5t+3)(t-3)= 0.
解得t=3或t=因为时间不能为负，所以舍去t=.
∴当 t=3时，PQ的长度能为3cm
（2）【解答】解：△PDQ的面积不能为10cm2.
理由：设运动时间为t秒，则AP=tcm，PB=(6-t)cm，BQ=2tcm，CQ=(12-2t)cm.
= AB·BC-12AD·AP-12CD·CQ-12PB·BQ = 6×12-12×12×t-12×6×12-2t-126-t×2t = t2-6t+36
若S△PDQ=10cm2，则 t2-6t+36=10，
移项得t2-6t+26=0.
△=b2-4ac=(-6)2-4x1x26=36-104 =-68 <0.
∴方程无实数根，
即APDQ的面积不能为10cm2
（3）【解答】解：如图以B为坐标原点，分别以BC、BA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系.
∵AB=6cm，BC=12cm，
则A(0，6)，D(12，6)，
由（1）可知PB=(6-t)cm，BQ=2tcm，
∴P(0，6-t)，Q(2t，0).
∵M是PQ的中点，
∴M（t，3-），
取AD的中点N（6，6），连接MN，
又∵，
∴MN=，
根据两点间距离公式d=，
可得，
整理得，
解得.
∴当时，
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形-动点问题；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】(1)，在直角三角形PBQ中利用勾股定理建立方程求解t；
(2)通过矩形面积减去相关三角形面积得到△PDQ的面积表达式，再建立方程求解t，并判断方程是否有解；
(3)取PQ中点M，利用中点坐标公式(若有两点(x1，y1)，(x2，y2)，则中点坐标为和直角三角形斜边中线性质(直角三角形斜边中线等于斜边的一半)建立方程求解t.
23．【答案】（1）【解答】解：设矩形花园的长为x米，则宽为
篱笆的长度为米，
根据均值不等式a+b，即a=x，，
∴，
当且仅当，即时，函数取到最小值，
此时篱笆最短，最短长度为
即长和宽都为10米时篱笆最短；篱笆最短为40米
（2）2；3
（3）【解答】解：当x=0时，y=0.
当x0时，
当x＞0时，根据均值不等式
当且仅当，即时取等号.
此时，
当x＜0时，-x＞0，则
即
当且仅当，即x=时取等号，
此时.
综上，y的最大值为，最小值为
【知识点】函数值；转化思想
【解析】（2）【解答】解：将变形为，
∵
∴，
根据均值不等式a+b，即a=，，
∴（）+
当且仅当=，解方程可得m=2是取等号.
∴m=2时，代数式取到最小值，最小值为2+1=3.
故答案为：2；3.
【分析】 （1）对于篱笆围成的矩形花园问题，将“均值不等式”应用于长和宽，以求解最小的篱笆长度.
（2）对于代数式最小值问题，通过合理构造不等式，找到使代数式达到最小值的条件.
（3）对于函数的最值问题，利用“均值不等式”的性质，转换成易于分析的形式，求解最值.
24．【答案】（1）【解答】解：∵点 A的坐标为(8，0)，点B的坐标是(0，6)，
∴OA=8，OB =6.
在Rt△AOB中，根据勾股定理，
∴线段AB的长10
（2）【解答】解： 当△OBP为等腰三角形时，分三种情况：
①当PB=PO时，过点P作PD轴于点D，PCx轴于点C，
∴BD=OD=OB=3，
∵PB = PO，
∴PBO=POB，
∵POB+POA=90°，PAO+PBO=90°，
∴POA=PAO，
∴PO=PA=AB=5，
设OM=x，
在Rt△PDM中，PM2=PD2+DM2，
在Rt△BPM中，PM2=MB2-BP2，
∴PD2+DM2=MB2-BP2，即42+(3+x)2=(6+x)2-52，
解得：x=，
∴M(0，-)
②当BP=BO=6时，过点P作PDy轴于点D，PCx轴于点C，过点O作OEAB于点E，
∴DO=PC，DP=OC，
∵S△AOB=AB×OE=×OB×OA，
∴OE
∵S△POB=×BO×PD=×BP×OE，
∴PD=OE=，
Rt△PCA中，
∴DO=PC=，
Rt△PDM中，PM2=PD2+DM2，
Rt△BPM中，PM2=MB2-BP2，
∴PD2+DM2=MB2-BP2，
即
解得：x=4，
∴M(0，4)；
③当OB=OP时，如图，
∵OP=OB，
∴∠OBP=∠OPB，
∵MPAB，
∴∠BPO+∠OPM=90°，
又∠BMP+∠MBP=90°，
∴∠OMP=∠OPM，
∴OM=OP=OB=6，
∴M(0，-6)，
综上所述，M(0，)或M(0，-4)或M(0，-6)
（3）t的取值范围是【知识点】轴对称的性质；三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（3）如图，当P'在OA上时，过点N作NFx轴于点F，过点O作OEAB，过点P作PGy轴于点G，
∵N点为AB的中点，由(2)可知N(4，3)，OE=，
则NF =3，
∵BP=5t，BO=6，AO=8，
∴S△BOP=BOxPG=BP xOE，
∴PG=
∴
∴OG=6-3t，
∵BN=AB=5
∴PN=5-5t，
∵点P关于直线ON的对称点记为P’，
∴OP=OP，
∴
即
∴OP=OP=8-8t，
在中，PG2+OG2=OP2，
∴
解得t=2(舍去）或，
当点P运动到点N，P，P，N重合，此时5t=5，解得t=1，
∴当【分析】本题主要涉及勾股定理、等腰三角形的性质、三角形面积公式以及轴对称的性质等知识点。
(1)利用勾股定理求线段长度。
(2)对于等腰三角形的情况进行分类讨论，通过相似三角形或勾股定理求出相关线段长度，进而得到点 M 的坐标。
(3)根据轴对称性质和三角形位置关系确定t的取值范围。
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