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浙江省金华市义乌市绣湖中学2024-2025八年级下学期3月月考数学试卷
1．（2025八下·义乌月考）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A.方程是一元一次方程，选项A不符合题意；
B.方程是分式方程，选项B不符合题意；
C.方程是一元三次方程，选项C不符合题意；
D.方程是一元二次方程，选项D符合题意．
故答案为：D
【分析】利用一元二次方程的定义" 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程 "，逐一分析四个选项，即可得出结论．
2．（2025八下·义乌月考）若代数式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：代数式有意义，
，
解得：.
故答案为：A．
【分析】根据二次根式有意义，列出不等式求解．
3．（2025八下·义乌月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： A. ，a值不确定，当a是完全平方的倍数时，可对该根式进一步化简； 由于a值 不能确定 ，不能明确它是否为最简形式，所以不符合二次根式的确定性要求；故A错误.
B. ，对6进行因数分解，6=2×3，其中2和3都不是完全平方数，不存在能提取出来的完全平方数因数，所以是最简二次根式；故B正确.
C. ，可以分解为 12=4×3，而4是完全平方数，即，所以不是最简形式；故C错误.
D. ，根据幂运算法则其中x2是完全平方形式，所以不是最简形式；故D错误.
综上所述，选项B中的二次根式是最简二次根式。
故答案为：B.
【分析】 最简二次根式是指在根号下的数不能再分解出完全平方数的因数的二次根式.需要对每个选项进行化简，看其是否包含完全平方数因数，判断是否可以进一步简化.
4．（2025八下·义乌月考）解一元二次方程，配方后正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项，得
两边都加上（-2）2，得
∴，
故答案为：A.
【分析】配方法解一元二次方程．
5．（2025八下·义乌月考）下列运算中，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A．，原计算正确，故选项A符合题意；
B．与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故选项B不符合题意；
C．，原计算错误，故选项C不符合题意；
D．与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故选项D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用二次根式的性质可判断选项A；根据合并同类二次根式的运算法则可判断选项BD；根据二次根式的乘法运算法则可判断C．
6．（2025八下·义乌月考）已知一元二次方程的两根为，，则的值为（　　）
A．2 B． C．8 D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：一元二次方程的两根为，，
，，
，
故答案为：C．
【分析】先一元二次方程根与系数的关系，求得两根之和与两根之积，再代入求值．
7．（2025八下·义乌月考）如图，在一块长、宽的矩形草坪中修建小路，已知剩余草地的面积是，设小路的宽度为，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小路的宽度为，
根据题意，可列出方程为：，
故选：D．
【分析】根据平移的性质可，列出一元二次方程．
8．（2025八下·义乌月考）如图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠）如图③，正方形美术作品的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的应用；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵如图②，，，
∴，
∵现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，
∴能裁剪的纸条的条数为（条），，，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
同理可得：另两条纸条的长分别为，，
∴长方形纸条的总长度为，
如图③，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），
∴，，
∴，
∴正方形美术作品的面积为，
故选：C．
【分析】先求出能裁剪的纸条的条数为3条，再证明是等腰直角三角形，从中求得BP的长，进一步可求得，再求出长方形纸条的总长，就可求得的长，最后求出的长，利用正方形的面积公式求得结果．
9．（2025八下·义乌月考）已知实数满足，则的值为（　　）
A． B．4 C．或4 D．2
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或，
∴或，
故选：C．
【分析】设，通过变移，转化关于k的一元二次方程求解，再代回求出待求代数式的值．
10．（2025八下·义乌月考）已知关于的方程有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点在直线l：y上，点在直线下方，则PQ的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解： ∵关于x的方程该方程有两个相等的实数根，
∴
解得：；
根据点Q在直线下方；
∴，即；
∴，即，
∴点Q坐标；
设x=-1-b，y=b，将y=b代入x=-1-b；
得，x+y=-1，即y=-x-1；
点Q在直线y=-x-1；
又∵点P在直线上；
点P、Q两直线斜率相等，
∴两直线平行
直线变形；
y=-x-1直线变形；
∴两直线距离=；
即PQ的最小值为；
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根的判别式来确定a与b的关系，找出点Q所在直线，最后通过点到直线的关系求出PQ的最小值.
11．（2025八下·义乌月考）化简： =　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】 =
【分析】根据二次根式的性质和化简，计算得到答案即可。
12．（2025八下·义乌月考）把一元二次方程化成一般形式是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：
去括号，得，
移项，得.
故答案为：．
【分析】先去掉括号，再移项即可．
13．（2025八下·义乌月考）计算：　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的双重非负性可求解．
14．（2025八下·义乌月考）如图，一块长方形场地的长与宽的比为，于点，于点，连接，，则四边形与长方形的面积比为　 　．
【答案】
【知识点】分母有理化；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【解答】解：设长方形的长和宽为：和，
由勾股定理可得：，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
同理可得：，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形与长方形的面积比为：．
故答案为：．
【分析】设长方形的长和宽为和，用x分别表示出AC，DE，BF，再利用HL定理可证明，根据全等三角形的性质，可得出，再求出AE、EF，接着用x表示出，，再求出它们的比即可．
15．（2025八下·义乌月考）若，则的值为　 　．
【答案】7
【知识点】整式的混合运算；分母有理化；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：7．
【分析】先已知式子利用分母有理化化简，得到，再通过多次代入待求式子，将待求式子的次数降低，直到求出结果．
16．（2025八下·义乌月考）如果一元二次方程有两个有理根，其中为自然数，则　 　．
【答案】3或6或11
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程有两个有理根，
∴，
∵该方程有2个有理根，其中为自然数，
∴是完全平方数，
令（m为整数），
∴，
∴将该方程看作关于的一元二次方程，
∴，
∴为完全平方数，
令（k为整数），
∴，
∴或
解得：或
当，，解得：或（舍）；
当，，解得或，
综上：或或，
故答案为：3或6或11．
【分析】根据方程有2个有理根，可知判别式为完全平方数，转化为待求字母的方程组求解．
17．（2025八下·义乌月考）化简：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质，分别化成最简二次根式，再计算加减即可求解；
（2）先利用平方差公式将括号去掉，再计算除法，计算求解即可．
18．（2025八下·义乌月考）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解答】解（1）
提取公因式x，得
则x=0或x-2=0.
解得x1=0，x2=2
（2）解：中，a=2，b=3，c=-1，
，
代入求根公式得：，
即：，
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】(1)方程左边可提取公因式x，转化为两个一次因式的乘积等于0的形式，直接求解.
（2）方程无法直接因式分解，需使用求根公式，先计算判别式△ =b2-4ac，再代入公式求解.
19．（2025八下·义乌月考）已知x，y是Rt的两边，且满足．
（1）求的算术平方根；
（2）求Rt的面积．
【答案】（1）解：∵二次根式要有意义，
∴且5-x≥0，
∴
将x=5代入中，
可得，
将x=5，y=3代入6x+2y=6×5+2×3=36，
∴36的算术平方根是6，
即6x+2y的算术平方根是6
（2）解：由（1）可知x=5，y=3，
当x=5，y=3是直角边长时，，
当x= 5是斜边长时，另一条直角边为，
，
综上所述，的面积为或6
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；求算术平方根
20．（2025八下·义乌月考）某商场4月份以每个50元的价格销售某种品牌的玩具，4月份一共销售了40个．商场在5月份和6月份都进行了涨价，且玩具销售额逐月增加，若6月份的玩具销售额为2880元．（销售额销售单价销售数）
（1）求从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率．
（2）经过市场调查发现，每个玩具的销售价格每增加5元，月销售量减少1个，且6月份每个玩具的价格小于100元．求6月份每个玩具的销售价格．
【答案】（1）解：4月份的玩具销售额为元
设从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率为x，
由题意得，
解得，（舍去）
答：从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率为.
（2）解：设6月份每个玩具的销售价格增加x元，则6月份的销售量减少个
解得，（舍）
答：6月份每个玩具的销售价格是90元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先计算出4月份的玩具销售额，设从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率为x，根据题意列出关于x的一元二次方程求解．
（2）设6月份每个玩具的销售价格增加x元，则6月份的销售量减少个，列出一元二次方程求解，再求出6月份每个玩具的销售价格 ．
（1）解：4月份的玩具销售额为元
设从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率为x，
由题意得，
解得，（舍去）
答：从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率为
（2）设6月份每个玩具的销售价格增加x元，则6月份的销售量减少个
解得，（舍）
答：6月份每个玩具的销售价格是90元
21．（2025八下·义乌月考）（1）如果关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围．
（2）如果关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
【答案】解：（1）∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得，
∵方程是一元二次方程，有意义，
∴，且，
解得且，
综上所述，的取值范围为且．
（2）∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：，
∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，
∴，，
∵，
∴，即，
解得或（舍去），
∴的值为．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据这个一元二次方程有实数根，转化为待求字母的不等式求解；
（2）先根据一元二次方程有两个实数根，求出字母m的范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系，列出关于待求字母的方程求解．
22．（2025八下·义乌月考）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒．
（1）在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由；
（2）在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由；
（3）取的中点，运动过程中，当时，求的值．
【答案】（1）解：的长度能为，理由如下：
根据题意可知：，，，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
解得：（舍去）或，
当时的长度能为.
（2）解：不能，理由如下：
设运动秒后的面积为，则，，，，
，
，
，
，
，
即，
，
，
方程无实数根，
的面积不能为.
（3）解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
设，，
的中点为
，
又，，
取的中点，连接，则，
，
，
，
解得：，．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；四边形-动点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）由题意可知：，，，根据勾股定理及一元二次方程根的判别式，即可判定；
（2）设运动秒后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
（3）以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，，则，取的中点，连接，则，根据直角三角形的性质可得，再根据两点间的距离公式，可得，解方程即可求得．
（1）解：的长度能为，理由如下：
根据题意可知：，，，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
解得：（舍去）或，
当时的长度能为；
（2）解：不能，理由如下：
设运动秒后的面积为，则，，，，
，
，
，
，
，
即，
，
，
方程无实数根，
的面积不能为；
（3）解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
设，，
的中点为
，
又，，
取的中点，连接，则，
，
，
，
解得：，．
23．（2025八下·义乌月考）阅读材料：已知，为非负实数，∵，∴，当且仅当“”时，等号成立，这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．
例：已知，求函数的最小值．
解：令，，则由，得．
当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4．
根据以上材料解答下列问题：
（1）用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？
（2）已知，则当_____时，代数式取到最小值，最小值为_____；
（3）已知为任意实数，代数式的值为，求的最大值和最小值．
【答案】（1）解：设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，
∵用篱笆围一个面积为的矩形花园，
∴矩形的宽为米，
∴，
当时，取等号，
∴当时，周长有最小值为40，
∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米.
（2）4，3
（3）解：，
当时，，
∵，
∴，
当且仅当时，即时，等号成立，
∴当时，取得最大值为；
当时，，
∴，
∵，
∴
∴，
当且仅当时，即时，等号成立，
∴当时，取得最小值为；
当时，，可知，
综上所述，的最小值为，的最大值为．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的应用
【解析】【解答】解：（2）∵，
∴，
∴，
当且仅当时，即时，等号成立，
∴最小值为3，
故答案为：4，3.
【分析】（1）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可以用x表示出矩形的宽，列出用x表示函数表达式，再运用“均值不等式”求解；
（2）将变形为，再运用“均值不等式”求解；
（3）当和时，原式变形为，然后对分母运用“均值不等式”即可求解，再讨论时代数式的值与和时的比较即可．
（1）解：设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，
根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园，
则矩形的宽为米，
∴，
当且仅当时，取等号，即当时，周长有最小值，最小值为40，
∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米；
（2）解：∵，
∴，
∴，
当且仅当时，即时，等号成立，
∴最小值为3，
故答案为：4，3；
（3）解：，
当时，，
∵，
∴，
当且仅当时，即时，等号成立，
∴当时，取得最大值为；
当时，，
∴，
∵，
∴
∴，
当且仅当时，即时，等号成立，
∴当时，取得最小值为；
当时，，可知，
综上：的最小值为，的最大值为．
24．（2025八下·义乌月考）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标是，连接．若动点从点出发沿着线段以5个单位每秒的速度向终点运动，设运动时间为秒．
（1）求线段的长．
（2）连接，当为等腰三角形时，过点作线段的垂线与直线交于点，求点的坐标；
（3）已知点为的中点，连接，点关于直线的对称点记为（如图2），在整个运动过程中，若点恰好落在内部（不含边界），请直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标是，
∴，
∴；
所以，线段的长为10．
（2）解：为等腰三角形，分三种情况：当时，过点作轴于点，轴于点，设，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴＝5，
∵在中，，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴；
当时，过点轴于点，轴于点，过点于点，设，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴；
当时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述，或或.
（3）解：如图，当上时，过点轴于点，过点作，过点作轴于点，
∵点为的中点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点关于直线的对称点记为，
∴，
∴，
即，
∴，
在中，，
∴，
解得（舍去）或，
当点运动到点重合，此时，解得，
∴当时，点恰好落在内部（不含边界）．
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【分析】（1）先根据A、B两点的坐标，求得OA，OB，再根据勾股定理求解；
（2）分三种情况，分别讨论，分别求出M点的坐标；
（3）利用三角形面积相等求出，再利用t表示出BG，OG，PN，根据轴对称的性质得出，从而可用t表示出OP，利用勾股定理，列出关于t的方程求出t即可求解．
1 / 1浙江省金华市义乌市绣湖中学2024-2025八年级下学期3月月考数学试卷
1．（2025八下·义乌月考）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·义乌月考）若代数式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·义乌月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·义乌月考）解一元二次方程，配方后正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·义乌月考）下列运算中，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·义乌月考）已知一元二次方程的两根为，，则的值为（　　）
A．2 B． C．8 D．
7．（2025八下·义乌月考）如图，在一块长、宽的矩形草坪中修建小路，已知剩余草地的面积是，设小路的宽度为，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025八下·义乌月考）如图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠）如图③，正方形美术作品的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·义乌月考）已知实数满足，则的值为（　　）
A． B．4 C．或4 D．2
10．（2025八下·义乌月考）已知关于的方程有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点在直线l：y上，点在直线下方，则PQ的最小值为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025八下·义乌月考）化简： =　 　．
12．（2025八下·义乌月考）把一元二次方程化成一般形式是　 　．
13．（2025八下·义乌月考）计算：　 　．
14．（2025八下·义乌月考）如图，一块长方形场地的长与宽的比为，于点，于点，连接，，则四边形与长方形的面积比为　 　．
15．（2025八下·义乌月考）若，则的值为　 　．
16．（2025八下·义乌月考）如果一元二次方程有两个有理根，其中为自然数，则　 　．
17．（2025八下·义乌月考）化简：
（1）
（2）
18．（2025八下·义乌月考）解方程：
（1）；
（2）．
19．（2025八下·义乌月考）已知x，y是Rt的两边，且满足．
（1）求的算术平方根；
（2）求Rt的面积．
20．（2025八下·义乌月考）某商场4月份以每个50元的价格销售某种品牌的玩具，4月份一共销售了40个．商场在5月份和6月份都进行了涨价，且玩具销售额逐月增加，若6月份的玩具销售额为2880元．（销售额销售单价销售数）
（1）求从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率．
（2）经过市场调查发现，每个玩具的销售价格每增加5元，月销售量减少1个，且6月份每个玩具的价格小于100元．求6月份每个玩具的销售价格．
21．（2025八下·义乌月考）（1）如果关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围．
（2）如果关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
22．（2025八下·义乌月考）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒．
（1）在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由；
（2）在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由；
（3）取的中点，运动过程中，当时，求的值．
23．（2025八下·义乌月考）阅读材料：已知，为非负实数，∵，∴，当且仅当“”时，等号成立，这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．
例：已知，求函数的最小值．
解：令，，则由，得．
当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4．
根据以上材料解答下列问题：
（1）用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？
（2）已知，则当_____时，代数式取到最小值，最小值为_____；
（3）已知为任意实数，代数式的值为，求的最大值和最小值．
24．（2025八下·义乌月考）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标是，连接．若动点从点出发沿着线段以5个单位每秒的速度向终点运动，设运动时间为秒．
（1）求线段的长．
（2）连接，当为等腰三角形时，过点作线段的垂线与直线交于点，求点的坐标；
（3）已知点为的中点，连接，点关于直线的对称点记为（如图2），在整个运动过程中，若点恰好落在内部（不含边界），请直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A.方程是一元一次方程，选项A不符合题意；
B.方程是分式方程，选项B不符合题意；
C.方程是一元三次方程，选项C不符合题意；
D.方程是一元二次方程，选项D符合题意．
故答案为：D
【分析】利用一元二次方程的定义" 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程 "，逐一分析四个选项，即可得出结论．
2．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：代数式有意义，
，
解得：.
故答案为：A．
【分析】根据二次根式有意义，列出不等式求解．
3．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： A. ，a值不确定，当a是完全平方的倍数时，可对该根式进一步化简； 由于a值 不能确定 ，不能明确它是否为最简形式，所以不符合二次根式的确定性要求；故A错误.
B. ，对6进行因数分解，6=2×3，其中2和3都不是完全平方数，不存在能提取出来的完全平方数因数，所以是最简二次根式；故B正确.
C. ，可以分解为 12=4×3，而4是完全平方数，即，所以不是最简形式；故C错误.
D. ，根据幂运算法则其中x2是完全平方形式，所以不是最简形式；故D错误.
综上所述，选项B中的二次根式是最简二次根式。
故答案为：B.
【分析】 最简二次根式是指在根号下的数不能再分解出完全平方数的因数的二次根式.需要对每个选项进行化简，看其是否包含完全平方数因数，判断是否可以进一步简化.
4．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项，得
两边都加上（-2）2，得
∴，
故答案为：A.
【分析】配方法解一元二次方程．
5．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A．，原计算正确，故选项A符合题意；
B．与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故选项B不符合题意；
C．，原计算错误，故选项C不符合题意；
D．与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故选项D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用二次根式的性质可判断选项A；根据合并同类二次根式的运算法则可判断选项BD；根据二次根式的乘法运算法则可判断C．
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：一元二次方程的两根为，，
，，
，
故答案为：C．
【分析】先一元二次方程根与系数的关系，求得两根之和与两根之积，再代入求值．
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小路的宽度为，
根据题意，可列出方程为：，
故选：D．
【分析】根据平移的性质可，列出一元二次方程．
8．【答案】C
【知识点】二次根式的应用；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵如图②，，，
∴，
∵现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，
∴能裁剪的纸条的条数为（条），，，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
同理可得：另两条纸条的长分别为，，
∴长方形纸条的总长度为，
如图③，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），
∴，，
∴，
∴正方形美术作品的面积为，
故选：C．
【分析】先求出能裁剪的纸条的条数为3条，再证明是等腰直角三角形，从中求得BP的长，进一步可求得，再求出长方形纸条的总长，就可求得的长，最后求出的长，利用正方形的面积公式求得结果．
9．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或，
∴或，
故选：C．
【分析】设，通过变移，转化关于k的一元二次方程求解，再代回求出待求代数式的值．
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解： ∵关于x的方程该方程有两个相等的实数根，
∴
解得：；
根据点Q在直线下方；
∴，即；
∴，即，
∴点Q坐标；
设x=-1-b，y=b，将y=b代入x=-1-b；
得，x+y=-1，即y=-x-1；
点Q在直线y=-x-1；
又∵点P在直线上；
点P、Q两直线斜率相等，
∴两直线平行
直线变形；
y=-x-1直线变形；
∴两直线距离=；
即PQ的最小值为；
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根的判别式来确定a与b的关系，找出点Q所在直线，最后通过点到直线的关系求出PQ的最小值.
11．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】 =
【分析】根据二次根式的性质和化简，计算得到答案即可。
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：
去括号，得，
移项，得.
故答案为：．
【分析】先去掉括号，再移项即可．
13．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的双重非负性可求解．
14．【答案】
【知识点】分母有理化；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【解答】解：设长方形的长和宽为：和，
由勾股定理可得：，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
同理可得：，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形与长方形的面积比为：．
故答案为：．
【分析】设长方形的长和宽为和，用x分别表示出AC，DE，BF，再利用HL定理可证明，根据全等三角形的性质，可得出，再求出AE、EF，接着用x表示出，，再求出它们的比即可．
15．【答案】7
【知识点】整式的混合运算；分母有理化；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：7．
【分析】先已知式子利用分母有理化化简，得到，再通过多次代入待求式子，将待求式子的次数降低，直到求出结果．
16．【答案】3或6或11
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程有两个有理根，
∴，
∵该方程有2个有理根，其中为自然数，
∴是完全平方数，
令（m为整数），
∴，
∴将该方程看作关于的一元二次方程，
∴，
∴为完全平方数，
令（k为整数），
∴，
∴或
解得：或
当，，解得：或（舍）；
当，，解得或，
综上：或或，
故答案为：3或6或11．
【分析】根据方程有2个有理根，可知判别式为完全平方数，转化为待求字母的方程组求解．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质，分别化成最简二次根式，再计算加减即可求解；
（2）先利用平方差公式将括号去掉，再计算除法，计算求解即可．
18．【答案】（1）解答】解（1）
提取公因式x，得
则x=0或x-2=0.
解得x1=0，x2=2
（2）解：中，a=2，b=3，c=-1，
，
代入求根公式得：，
即：，
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】(1)方程左边可提取公因式x，转化为两个一次因式的乘积等于0的形式，直接求解.
（2）方程无法直接因式分解，需使用求根公式，先计算判别式△ =b2-4ac，再代入公式求解.
19．【答案】（1）解：∵二次根式要有意义，
∴且5-x≥0，
∴
将x=5代入中，
可得，
将x=5，y=3代入6x+2y=6×5+2×3=36，
∴36的算术平方根是6，
即6x+2y的算术平方根是6
（2）解：由（1）可知x=5，y=3，
当x=5，y=3是直角边长时，，
当x= 5是斜边长时，另一条直角边为，
，
综上所述，的面积为或6
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；求算术平方根
20．【答案】（1）解：4月份的玩具销售额为元
设从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率为x，
由题意得，
解得，（舍去）
答：从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率为.
（2）解：设6月份每个玩具的销售价格增加x元，则6月份的销售量减少个
解得，（舍）
答：6月份每个玩具的销售价格是90元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先计算出4月份的玩具销售额，设从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率为x，根据题意列出关于x的一元二次方程求解．
（2）设6月份每个玩具的销售价格增加x元，则6月份的销售量减少个，列出一元二次方程求解，再求出6月份每个玩具的销售价格 ．
（1）解：4月份的玩具销售额为元
设从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率为x，
由题意得，
解得，（舍去）
答：从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率为
（2）设6月份每个玩具的销售价格增加x元，则6月份的销售量减少个
解得，（舍）
答：6月份每个玩具的销售价格是90元
21．【答案】解：（1）∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得，
∵方程是一元二次方程，有意义，
∴，且，
解得且，
综上所述，的取值范围为且．
（2）∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：，
∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，
∴，，
∵，
∴，即，
解得或（舍去），
∴的值为．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据这个一元二次方程有实数根，转化为待求字母的不等式求解；
（2）先根据一元二次方程有两个实数根，求出字母m的范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系，列出关于待求字母的方程求解．
22．【答案】（1）解：的长度能为，理由如下：
根据题意可知：，，，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
解得：（舍去）或，
当时的长度能为.
（2）解：不能，理由如下：
设运动秒后的面积为，则，，，，
，
，
，
，
，
即，
，
，
方程无实数根，
的面积不能为.
（3）解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
设，，
的中点为
，
又，，
取的中点，连接，则，
，
，
，
解得：，．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；四边形-动点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）由题意可知：，，，根据勾股定理及一元二次方程根的判别式，即可判定；
（2）设运动秒后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
（3）以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，，则，取的中点，连接，则，根据直角三角形的性质可得，再根据两点间的距离公式，可得，解方程即可求得．
（1）解：的长度能为，理由如下：
根据题意可知：，，，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
解得：（舍去）或，
当时的长度能为；
（2）解：不能，理由如下：
设运动秒后的面积为，则，，，，
，
，
，
，
，
即，
，
，
方程无实数根，
的面积不能为；
（3）解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
设，，
的中点为
，
又，，
取的中点，连接，则，
，
，
，
解得：，．
23．【答案】（1）解：设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，
∵用篱笆围一个面积为的矩形花园，
∴矩形的宽为米，
∴，
当时，取等号，
∴当时，周长有最小值为40，
∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米.
（2）4，3
（3）解：，
当时，，
∵，
∴，
当且仅当时，即时，等号成立，
∴当时，取得最大值为；
当时，，
∴，
∵，
∴
∴，
当且仅当时，即时，等号成立，
∴当时，取得最小值为；
当时，，可知，
综上所述，的最小值为，的最大值为．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的应用
【解析】【解答】解：（2）∵，
∴，
∴，
当且仅当时，即时，等号成立，
∴最小值为3，
故答案为：4，3.
【分析】（1）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可以用x表示出矩形的宽，列出用x表示函数表达式，再运用“均值不等式”求解；
（2）将变形为，再运用“均值不等式”求解；
（3）当和时，原式变形为，然后对分母运用“均值不等式”即可求解，再讨论时代数式的值与和时的比较即可．
（1）解：设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，
根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园，
则矩形的宽为米，
∴，
当且仅当时，取等号，即当时，周长有最小值，最小值为40，
∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米；
（2）解：∵，
∴，
∴，
当且仅当时，即时，等号成立，
∴最小值为3，
故答案为：4，3；
（3）解：，
当时，，
∵，
∴，
当且仅当时，即时，等号成立，
∴当时，取得最大值为；
当时，，
∴，
∵，
∴
∴，
当且仅当时，即时，等号成立，
∴当时，取得最小值为；
当时，，可知，
综上：的最小值为，的最大值为．
24．【答案】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标是，
∴，
∴；
所以，线段的长为10．
（2）解：为等腰三角形，分三种情况：当时，过点作轴于点，轴于点，设，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴＝5，
∵在中，，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴；
当时，过点轴于点，轴于点，过点于点，设，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴；
当时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述，或或.
（3）解：如图，当上时，过点轴于点，过点作，过点作轴于点，
∵点为的中点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点关于直线的对称点记为，
∴，
∴，
即，
∴，
在中，，
∴，
解得（舍去）或，
当点运动到点重合，此时，解得，
∴当时，点恰好落在内部（不含边界）．
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【分析】（1）先根据A、B两点的坐标，求得OA，OB，再根据勾股定理求解；
（2）分三种情况，分别讨论，分别求出M点的坐标；
（3）利用三角形面积相等求出，再利用t表示出BG，OG，PN，根据轴对称的性质得出，从而可用t表示出OP，利用勾股定理，列出关于t的方程求出t即可求解．
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