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2025年中考数学模拟检测卷（南京专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
班级： 姓名： 学号：
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共12分）
一、选择题：本大题共6题，每题2分，共12分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A C D A B C
第二部分 非选择题（共108分）
二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答
题卡相应位置上
7．（2分）8.7，5．
8．（2分）8+4．
9．（2分）5．
10．（2分）50．
11．（2分）5．
12．（2分）x＝﹣2，y＝2（答案不唯一）．
13．（2分）2.5．
14．（2分）．
15．（2分）46°．
16．（2分）1．
三．解答题：本大题共11小题，共88分.把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。
17．（8分）解：（1），
，
，
；
（2），
，
，
＝x+2．
18．（7分）解：解不等式①得，x≤1；
解不等式②得，x＞﹣5，
所以不等式组的解集为：﹣5＜x≤1，
所以不等式组的整数解为﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1．
19．（7分）解：（1）①；
②；
③；
……，
以此类推，可知第n个等式为，
∴第④个等式为：，
故答案为：，；
（2）
，
，
．
20．（7分）解：（1）选择的条件是③，
故答案为：③；
（2）证明：∵BE⊥CD，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠CEB＝90°
∵CE＝CF，∠ECA＝∠FCD，
∴△BCE≌△DCF（ASA），
∴BC＝DC，
∴ ABCD为菱形．
21．（8分）解：（1）（7+9+7+8+9）÷5＝8（个），
S乙2[（7﹣8）2+（9﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.8；
（2）∵S甲2＝3.2，S乙2＝0.8，
∴S甲2＞S乙2，
∴乙的波动小，投篮更稳定
∴应选乙去参加3分球投篮大赛．
22．（7分）解：依题意，转到红色、黄色、绿色三色区域都可以获得购物券，则甲购物120元，获得购物券的概率是，
当他得到100元购物券的概率是，
当他得到50元购物券的概率是，
当他得到20元购物券的概率是，
答：甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是，
他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是、、．
23．（8分）解：如图，延长BD交AC于点E．
由题意得：BE⊥AC．
∵斜坡CD的坡度为i＝1：2.4＝DE：CE，
∴CE＝2.4DE．
∵DE2+CE2＝CD2，
∴DE2+（2.4DE）2＝262．
解得：DE＝10（米），
∴CE＝24米．
∴AE＝AC﹣CE＝76（米）．
在Rt△ABE中，∠A＝40°，
∵tanAtan40°≈0.84，
∴BE≈0.84AE＝0.84×76＝63.84（米）．
∴BD＝BE﹣DE＝63.84﹣10＝53.84≈53.8（米），
答：电梯BD的高度约为53.8米．
24．（8分）解：（1）如图所示：点D即为所求；
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴点D到射线AB和射线AC距离相等，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠BDC+∠BAC＝180°，
故点D即为所求；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，
∴∠AED＝∠AFD＝∠BED＝∠CFD＝90°，DE＝DF，
∵AD＝AD，
∴Rt△DEA≌Rt△DFA（HL），
∴AE＝AF；
∵D在∠BAC的平分线上，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴，
∴CD＝BD，
∵DE＝DF，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴BE＝CF，
∵AB+AC＝AE+BE+AF﹣CF＝2AF＝10，
∴AF＝5，
∴．
25．（9分）（1）解：∵四边形AEFC内接于⊙O，
∴∠EFC+∠EAC＝180°，
∵∠EFC+∠EFB＝180°，
∴∠EFB＝∠EAC，
∵∠B＝∠B，
∴△BEF∽△BCA，
∴，
∵AC＝12，EF＝5，
∴，
∵S四边形AEFC＝S△BCA﹣S△BEF，
∴，
∵，
∴．
（2）①证明：如图，过点B作BM⊥AC于点M，
则，，
∵tan∠BAC tan∠ACB＝1，
∴，
∴，
∵∠BMA＝∠CMB＝90°，
∴△BMA∽△CMB，
∴∠ABM＝∠BCM，
∵∠BCM+∠CBM＝90°，
∴∠CBM+∠ABM＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为矩形．
②解：如图，连接CO并延长交⊙O于点P，连接AP，AF，
∵四边形AFCP内接于⊙O，
∴∠AFC+∠APC＝180°，
∵∠AFC+∠AFB＝180°，
∴∠APC＝∠AFB，
∵CP为⊙O直径，∠B＝90°，
∴∠CAP＝∠ABF＝90°，
∴△CAP∽△ABF，
∴∠EAF＝∠ACP，
连接EO，FO和AO，
∵，，
∴∠EOF＝2∠EAF，∠AOP＝2∠ACP，
∴∠EOF＝∠AOP，
∴AP＝EF＝5，
∵∠CAP＝90°，
∴，
∴，
∴⊙O的半径为．
26．（9分）解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线xm；
（2）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（m，﹣1），
令y＝0，则x2﹣2mx+m2﹣1＝0，
解得x＝m﹣1或x＝m+1，
∴抛物线与x轴的两个交点为A（m﹣1，0）B（m+1，0），
∴AB＝2
∵点M、N中至少有一个点位于x轴的上方
∴x2﹣x1＞2，
∵x2＝x1+n（n＞0），
∴n＞2；
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝m，
∴（m+2，y2）点一定位于对称轴的右侧，它的对称点为（m﹣2，y2），
∵对于﹣1＜x1＜2，x2＝m+2时，都有y1＜y2，
∴，
解得0≤m≤1．
27．（10分）解：（1）∵点D和点E为分别为AB，AC中点，
∴由图1可知，，
∴，则，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝4，
∴∠BAC＝45°，
∴，
根据旋转的性质可得：∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴；
（2）由图1可知，点D和点E为分别为AB，AC中点，
∴DE∥BC，，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠ADE＝∠ABC＝90°，
∴当DE所在直线经过点B时，AD⊥BE，
根据勾股定理可得：，
由（1）可得：，
∴，
解得：；
（3）令AB，DE相交于点Q，过点E作EG⊥BC于点G，如图4，
根据题意可得：，
∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴，
∴sin∠CAB，cos∠CAB，
∵边AB平分线段DE，∠DBE＝∠ABC＝90°，
∴，
∴∠QBD＝∠QDB，
∵△DBE∽△ABC，
∴∠QDB＝∠CAB，
∴∠QBD＝∠CAB，
根据旋转的性质可得：∠QBD＝∠EBG，
∴∠CAB＝∠EBG，
∴，
∴，，
∴，
∴．
/2025年中考数学模拟检测卷（南京专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
班级： 姓名： 学号：
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共12分）
一、选择题：本大题共6题，每题2分，共12分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.
1．（2分）方程x2+x﹣2＝0的两个根为（　　）
A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2
C．x1＝﹣2，x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝2
【思路引导】根据解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【完整解答】解：x2+x﹣2＝0，
（x+2）（x﹣1）＝0，
x+2＝0或x﹣1＝0，
x1＝﹣2，x2＝1，
故选：A．
【考点点拨】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．
2．（2分）下列运算中正确的是（　　）
A．a a＝2a B．a6÷a2＝a3 C．（a2）3＝a6 D．（3a）2＝6a2
【思路引导】直接利用幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算，进而得出答案．
【完整解答】解：A．a a＝a2，故此选项不合题意；
B．a6÷a2＝a4，故此选项不合题意；
C．（a2）3＝a6，故此选项符合题意；
D．（3a）2＝9a2，故此选项不合题意．
故选：C．
【考点点拨】此题主要考查了幂的乘方运算以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（2分）如图，实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）
A．a+b＞0 B．a＞﹣b C．|a|＞3 D．﹣2＜﹣b＜﹣1
【思路引导】根据数轴的性质以及有理数的运算法则进行解答即可．
【完整解答】解：选项A，从数轴上看出，a在﹣3与﹣2之间，b在1与2之间，
∴﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2，
∴|a|＞|b|，
∵a＜0，b＞0，
所以a+b＜0，
故选项A不合题意．
选项B，从数轴上看出，a在﹣3与﹣2之间，b在1与2之间，
∴﹣b在﹣1和﹣2之间，
∴a＜﹣b，
故选项B不符合题意；
选项C，从数轴上看出，a在﹣3与﹣2之间，
∴|a|＜3，
故选项C不合题意；
选项D，从数轴上看出，b在1与2之间，
∴1＜b＜2，
∴﹣2＜﹣b＜﹣1，
故选项D符合题意；
故选：D．
【考点点拨】本题考查了实数和数轴以及有理数的运算，掌握数轴的性质，实数的性质是解题的关键．
4．（2分）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点（3，y1）和点（﹣3，y2），则y1+y2的值是（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．3
【思路引导】将两点代入得到y1，y2，则y1+y2＝0．
【完整解答】解：∵反比例函数的图象经过点（3，y1）和点（﹣3，y2），
∴y1，y2，
∴y1+y2＝0．
故选：A．
【考点点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．
5．（2分）若实数m，n（m＜n）是关于x的一元二次方程（x﹣a）（x﹣b）+1＝0（a＜b）的两个根，则下列大小关系正确的是（　　）
A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．m＜a＜n＜b D．a＜m＜b＜n
【思路引导】利用m是一元二次方程（x﹣a）（x﹣b）+1＝0（a＜b）的根可得（m﹣a）（m﹣b）＝﹣1＜0，则a＜m＜b，同理可得：a＜n＜b，结合m＜n即可得到答案．
【完整解答】解：∵m是一元二次方程（x﹣a）（x﹣b）+1＝0（a＜b）的根，
∴（m﹣a）（m﹣b）+1＝0，
∴（m﹣a）（m﹣b）＝﹣1＜0，
∵a＜b，
∴a＜m＜b，
同理可得：a＜n＜b，
∵m＜n，
∴a＜m＜n＜b，
故选：B．
【考点点拨】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
6．（2分）如图，已知⊙O的直径AB＝4，弦AC与弦BD交于点E，且OD⊥AC，垂足为点F．若AC＝BD．则EC的长为（　　）
A． B．1 C． D．
【思路引导】连结AD、OC，由OD⊥AC于点F，根据垂径定理得AF＝CF，，由AC＝BD，得，可证明，则∠AOD＝60°，所以△AOD是等边三角形，则AD＝OD＝2，DF＝OFOD＝1，由勾股定理得AF＝CF，再证明△DFE∽△AFD，得，则EF，即可求得EC＝CF﹣EF，于是得到问题的答案．
【完整解答】解：连结AD、OC，
∵OD⊥AC于点F，
∴AF＝CF，，
∵AC＝BD，
∴，
∴，
∴，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB180°＝60°，
∵AB是⊙O的直径，AB＝4，
∴OD＝OA＝OBAB4＝2，∠ADB＝90°，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD＝OD＝2，DF＝OFOD2＝1，
∴AF＝CF，
∵∠DFE＝∠AFD＝90°，∠EDF＝∠DAF＝90°﹣∠ADF，
∴△DFE∽△AFD，
∴，
∴EF，
∴EC＝CF﹣EF，
故选：C．
【考点点拨】此题重点考查圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明∠AOD＝60°是解题的关键．
第二部分 非选择题（共108分）
二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答
题卡相应位置上
7．（2分）用科学记数法表示870000＝m×10n，则m，n的值分别是 　8.7，5　 ．
【思路引导】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．
【完整解答】解：870000＝8.7×105，
∴m＝8.7，n＝5．
故答案为：8.7，5．
【考点点拨】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
8．（2分）计算的结果是 　8+4　 ．
【思路引导】根据乘法分配律计算即可．
【完整解答】解：
＝441
＝8+4，
故答案为：8+4．
【考点点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意乘法分配律的应用．
9．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是x＝2，则a的值为 　5　 ．
【思路引导】把x＝2代入求值即可．
【完整解答】解：把x＝2代入可得22﹣2a+6＝0，
解得a＝5，
故答案为：5．
【考点点拨】本题主要考查对一元二次方程的解，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能得到方程22﹣2a+6＝0是解此题的关键．
10．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OE，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝25°，则∠CEO度数为 　50　 °．
【思路引导】根据CD＝OD求出∠DOC＝∠C＝25°，根据三角形的外角性质求出∠EDO＝∠C+∠DOC＝50°，根据等腰三角形的性质求出∠E＝∠EDO＝50°．
【完整解答】解：连接OD．
∵CD＝OE，OE＝OD，
∴CD＝OD，
∵∠C＝25°，
∴∠DOC＝∠C＝25°，
∴∠EDO＝∠C+∠DOC＝50°，
∵OD＝OE，
∴∠E＝∠EDO＝50°．
故答案为：50．
【考点点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能求出∠ODE的度数是解此题的关键．
11．（2分）已知a是﹣2的相反数，且|b+1|＝0，则[﹣3a2 （ab2+2a）+4a（﹣ab）2]÷（﹣4a）的值为 　5　 ．
【思路引导】先根据相反数的定义，绝对值的性质求出a、b，然后化简后代入即可．
【完整解答】解：∵a是﹣2的相反数，且|b+1|＝0，
∴a＝2，b＝﹣1，
∴[﹣3a2 （ab2+2a）+4a（﹣ab）2]÷（﹣4a）
＝（﹣3a3b2﹣6a3+4a a2b2）÷（﹣4a）
＝（﹣3a3b2﹣6a3+4a3b2）÷（﹣4a）
＝（a3b2﹣6a3）÷（﹣4a）
a2b2a2
4×14
＝﹣1+6
＝5．
故答案为：5．
【考点点拨】本题考查整式的混合运算，正确运用法则是解题的关键．
12．（2分）要判定命题“如果x2＝y2，那么x＝y”是假命题，请你举出一个反例：　x＝﹣2，y＝2（答案不唯一）　 ．
【思路引导】根据实数的平方、实数的大小比较法则解答即可．
【完整解答】解：当x＝﹣2，y＝2时，（﹣2）2＝22，而﹣2≠2，
可以说明命题“如果x2＝y2，那么x＝y”是假命题，
故答案为：x＝﹣2，y＝2（答案不唯一）．
【考点点拨】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
13．（2分）如图，AD，CE是△ABC的两条中线，连接ED，若S△ABC＝10，则S阴影＝　2.5　 ．
【思路引导】解法一：依据DE是△ABC的中位线，即可得到DE∥AC，DEAC，再根据△EBD∽△ABC，即可得到阴影部分的面积；
解法二：依据中线的性质，即可得到△ABD的面积，进而得出△BDE的面积．
【完整解答】解：方法一：∵AD，CE是△ABC的两条中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DEAC，
∴△EBD∽△ABC，
∴，即，
解得S△EBD＝2.5；
方法二：∵AD，CE是△ABC的两条中线，
∴S△ABDS△ABC10＝5，
S△BDES△ABD5＝2.5，
故答案为：2.5．
【考点点拨】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
14．（2分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝45°，若对角线BD的长度是3，则对角线AC的长度是 　　 ．
【思路引导】先取BD的中点O，连接AO，CO，然后即可得到AO和CO的长，再根据角的关系，可以得到∠AOC的度数，然后根据勾股定理即可得到AC的长．
【完整解答】解：取BD的中点O，连接AO，CO，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，BD的长度是3，
∴AO＝COBD，AO＝DO＝CO，
∴∠ODA＝∠OAD，∠ODC＝∠OCD，
∵∠ADC＝45°，
∴∠ODA+∠ODC＝45°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠COB＝∠ODA+∠OAD+∠ODC+∠OCD＝90°，
∴AC，
故答案为：．
【考点点拨】本题考查勾股定理，解答本题的关键是求出△AOC是直角三角形．
15．（2分）如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，EF⊥AM．若∠ACB＝23°，∠CBE＝21°，则∠BEF＝　46°　 ．
【思路引导】过E作EH⊥AC于H，连接CE，由角平分线的性质推出EH＝EF，由线段垂直平分线的性质推出CE＝EB，判定Rt△BEF≌Rt△CEH（HL），推出∠BEF＝∠CEH，由CE＝BE，得到∠BCE＝∠CBE＝21°，求出∠ECH＝21°+23°＝44°，得到∠CEH＝90°﹣44°＝46°，因此∠BEF＝46°．
【完整解答】解：过E作EH⊥AC于H，连接CE，
∵AE是∠CAM的角平分线，EF⊥AM，
∴EH＝EF，
∵DE是线段BC的中垂线，
∴CE＝EB，
∴Rt△BEF≌Rt△CEH（HL），
∴∠BEF＝∠CEH，
∵CE＝BE，
∴∠BCE＝∠CBE＝21°，
∵∠ACB＝23°，
∴∠ECH＝21°+23°＝44°，
∴∠CEH＝90°﹣44°＝46°，
∴∠BEF＝46°．
故答案为：46°．
【考点点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是由判定Rt△BEF≌Rt△CEH（HL），推出∠BEF＝∠CEH．
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，如果AB＝2，，那么BD＝　1　 ．
【思路引导】根据勾股定理求出，根据等积法求出AD的值，最后根据勾股定理求出结果即可．
【完整解答】解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得
，
∵，
∴，
∵AD是斜边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∴．
故答案为：1．
【考点点拨】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
三．解答题：本大题共11小题，共88分.把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。
17．（8分）计算：
（1）
（2）．
【思路引导】（1）先将每项计算整理，再从左到右依次计算即可；
（2）先计算括号内的，再计算乘法即可．
【完整解答】解：（1），
，
，
；
（2），
，
，
＝x+2．
【考点点拨】本题考查的是分式的混合运算及实数的运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
18．（7分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【思路引导】根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集，并按要求写出不等式组的整数解即可．
【完整解答】解：解不等式①得，x≤1；
解不等式②得，x＞﹣5，
所以不等式组的解集为：﹣5＜x≤1，
所以不等式组的整数解为﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1．
【考点点拨】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
19．（7分）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题：
①；
②；
③；
（1）按以上规律，第④个等式为：　　 ；第n个等式为：　　 （用含n的式子表示，n为正整数）；
（2）按此规律，计算的值．
【思路引导】（1）观察可知，两个连续的正偶数的乘积的倒数等于较小的数的倒数减去较大数的倒数的一半，据此规律求解即可；
（2）根据（1）的规律把所求式子裂项并计算求解即可．
【完整解答】解：（1）①；
②；
③；
……，
以此类推，可知第n个等式为，
∴第④个等式为：，
故答案为：，；
（2）
，
，
．
【考点点拨】本题主要考查了数字类的规律探索，发现规律是关键．
20．（7分）已知：在 ABCD中，分别过点B、D作BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F，如图．请从以下四个关系式中：①DE＝BF；②∠FBE＝∠EDF；③CE＝CF；④BE＝DF．选择一个合适的作为已知条件，使 ABCD是菱形．
（1）你选择的条件是 　③　 ．
（2）添加了条件后，请证明 ABCD为菱形．
【思路引导】（1）选择一个条件；
（2）证一组邻边相等，可证 ABCD是菱形．
【完整解答】解：（1）选择的条件是③，
故答案为：③；
（2）证明：∵BE⊥CD，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠CEB＝90°
∵CE＝CF，∠ECA＝∠FCD，
∴△BCE≌△DCF（ASA），
∴BC＝DC，
∴ ABCD为菱形．
【考点点拨】本题考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定条件．
21．（8分）某球队从队员中选拔选手参加3分球大赛，对报名的两名选手进行3分球投篮测试，测试共五组，每组投10次，进球的个数统计结果如表：
队员 进球数（个/组）
一 二 三 四 五
甲 10 6 10 6 8
乙 7 9 7 8 9
经过计算，甲进球的平均数为8，方差为S甲2＝3.2．
（1）求乙进球的平均数乙和方差S乙2；
（2）现从甲、乙两名队员中选出一人去参加3分球投篮大赛，你认为应该选哪名队员去？为什么？
【思路引导】（1）根据平均数、方差的计算公式计算即可；
（2）根据方差越大，波动越大，成绩越不稳定；方差越小，波动越小，成绩越稳定进行解答．
【完整解答】解：（1）（7+9+7+8+9）÷5＝8（个），
S乙2[（7﹣8）2+（9﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.8；
（2）∵S甲2＝3.2，S乙2＝0.8，
∴S甲2＞S乙2，
∴乙的波动小，投篮更稳定
∴应选乙去参加3分球投篮大赛．
【考点点拨】本题考查了方差、平均数，掌握它们的计算方法以及它们的性质是解题的关键．
22．（7分）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券（转盘等分成20份）．甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元的购物券的概率分别是多少？
【思路引导】找到红色、黄色或绿色区域的份数之和占总份数的多少即为获得购物券的概率．
【完整解答】解：依题意，转到红色、黄色、绿色三色区域都可以获得购物券，则甲购物120元，获得购物券的概率是，
当他得到100元购物券的概率是，
当他得到50元购物券的概率是，
当他得到20元购物券的概率是，
答：甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是，
他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是、、．
【考点点拨】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）．
23．（8分）2022年北京冬季奥运会将于明年2月4日至2月20日举办．如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为40°．斜坡CD的坡度为i＝1：2.4，底端点C与顶端点D的距离为26米．参赛运动员们将从点A出发乘车沿水平方向行驶100米到达点C处，再沿斜坡CD行驶至点D处，最后乘垂直于水平方向的电梯到达点B处，求电梯BD的高度．（结果保留一位小数，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
【思路引导】延长BD交AC于点E．利用勾股定理、斜坡CD的坡度，求出DE、CE的长，再由锐角三角函数定义求出BE的长，即可解决问题．
【完整解答】解：如图，延长BD交AC于点E．
由题意得：BE⊥AC．
∵斜坡CD的坡度为i＝1：2.4＝DE：CE，
∴CE＝2.4DE．
∵DE2+CE2＝CD2，
∴DE2+（2.4DE）2＝262．
解得：DE＝10（米），
∴CE＝24米．
∴AE＝AC﹣CE＝76（米）．
在Rt△ABE中，∠A＝40°，
∵tanAtan40°≈0.84，
∴BE≈0.84AE＝0.84×76＝63.84（米）．
∴BD＝BE﹣DE＝63.84﹣10＝53.84≈53.8（米），
答：电梯BD的高度约为53.8米．
【考点点拨】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
24．（8分）如图，已知点M是△ABC的外心，在△ABC的外部找一点D，使得点D到射线AB和射线AC距离相等，且∠BDC+∠BAC＝180°．
（1）请用尺规作图的方法确定点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AB＝6，AC＝4，∠BAC＝60°，求线段AD的长．
【思路引导】（1）连接MA，以点M为圆心，MA为半径画圆，作∠BAC的角平分线，交⊙M于点D，点D即为所求；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，证明Rt△DEA≌Rt△DFA（HL），Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），推出AB+AC＝AE+BE+AF﹣CF＝2AF＝10，进而得到AF的长，利用，即可得解．
【完整解答】解：（1）如图所示：点D即为所求；
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴点D到射线AB和射线AC距离相等，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠BDC+∠BAC＝180°，
故点D即为所求；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，
∴∠AED＝∠AFD＝∠BED＝∠CFD＝90°，DE＝DF，
∵AD＝AD，
∴Rt△DEA≌Rt△DFA（HL），
∴AE＝AF；
∵D在∠BAC的平分线上，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴，
∴CD＝BD，
∵DE＝DF，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴BE＝CF，
∵AB+AC＝AE+BE+AF﹣CF＝2AF＝10，
∴AF＝5，
∴．
【考点点拨】本题考查作图—复杂作图，掌握尺规画圆，尺规作角平分线，圆内接四边形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形是解题的关键．
25．（9分）如图1，⊙O经过平行四边形ABCD的A，C两点，且分别交AB，BC于E，F两点，其中EF＝5，AC＝12．
（1）求的值；
（2）如图2，若tan∠BAC tan∠ACB＝1．
①求证：平行四边形ABCD为矩形；
②求⊙O的半径．
【思路引导】（1）证明△BEF∽△BCA，求出，由图可得S四边形AEFC＝S△BCA﹣S△BEF，，求出，即可解答；
（2）①过点B作BM⊥AC于点M，证明△BMA∽△CMB，利用矩形的判定定理即可得证；
②连接CO并延长交⊙O于点P，连接AP，AF，证明△CAP∽△ABF，连接EO，FO和AO，求出AP、CP的值，即可解答．
【完整解答】（1）解：∵四边形AEFC内接于⊙O，
∴∠EFC+∠EAC＝180°，
∵∠EFC+∠EFB＝180°，
∴∠EFB＝∠EAC，
∵∠B＝∠B，
∴△BEF∽△BCA，
∴，
∵AC＝12，EF＝5，
∴，
∵S四边形AEFC＝S△BCA﹣S△BEF，
∴，
∵，
∴．
（2）①证明：如图，过点B作BM⊥AC于点M，
则，，
∵tan∠BAC tan∠ACB＝1，
∴，
∴，
∵∠BMA＝∠CMB＝90°，
∴△BMA∽△CMB，
∴∠ABM＝∠BCM，
∵∠BCM+∠CBM＝90°，
∴∠CBM+∠ABM＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为矩形．
②解：如图，连接CO并延长交⊙O于点P，连接AP，AF，
∵四边形AFCP内接于⊙O，
∴∠AFC+∠APC＝180°，
∵∠AFC+∠AFB＝180°，
∴∠APC＝∠AFB，
∵CP为⊙O直径，∠B＝90°，
∴∠CAP＝∠ABF＝90°，
∴△CAP∽△ABF，
∴∠EAF＝∠ACP，
连接EO，FO和AO，
∵，，
∴∠EOF＝2∠EAF，∠AOP＝2∠ACP，
∴∠EOF＝∠AOP，
∴AP＝EF＝5，
∵∠CAP＝90°，
∴，
∴，
∴⊙O的半径为．
【考点点拨】本题考查圆的综合应用，主要考查圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定，添加辅助线是解题的关键．
26．（9分）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上任意两点．
（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
（2）若x2＝x1+n（n＞0），点M、N中至少有一个点位于x轴的上方，直接写出n的范围；
（3）若对于﹣1＜x1＜2，x2＝m+2时，都有y1＜y2，求m的取值范围．
【思路引导】（1）利用对称轴公式求解即可；
（2）求得抛物线与x轴的交点，求得交点间的距离为2，根据题意x2﹣x1＞2，据此即可求得n＞2；
（3）根据题意得到关于m的不等式组，解不等式组即可．
【完整解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线xm；
（2）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（m，﹣1），
令y＝0，则x2﹣2mx+m2﹣1＝0，
解得x＝m﹣1或x＝m+1，
∴抛物线与x轴的两个交点为A（m﹣1，0）B（m+1，0），
∴AB＝2
∵点M、N中至少有一个点位于x轴的上方
∴x2﹣x1＞2，
∵x2＝x1+n（n＞0），
∴n＞2；
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝m，
∴（m+2，y2）点一定位于对称轴的右侧，它的对称点为（m﹣2，y2），
∵对于﹣1＜x1＜2，x2＝m+2时，都有y1＜y2，
∴，
解得0≤m≤1．
【考点点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，能够理解题意是解题的关键．
27．（10分）综合实践，
问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，分别取AB，AC的中点D，E，作△ADE．如图2所示，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD，CE．
（1）探究发现
旋转过程中，线段BD和CE的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
（2）性质应用
如图3，当DE所在直线首次经过点B时，求CE的长．
（3）延伸思考
如图4，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，分别取AB，BC的中点D，E．作△BDE，将△BDE绕点B逆时针旋转，连接AD，CE．当边AB平分线段DE时，求tan∠ECB的值．
【思路引导】（1）根据中点的定义得出ADAB，AEAC，进而得出，易得cos∠BAC，通过证明△ABD∽△ACE，即可得出结论；
（2）根据题意推出当DE所在直线经过点B时，AD⊥BE，根据勾股定理可得BD，根据（1）可得，即可求解；
（3）令AB，DE相交于点Q，过点E作EG⊥BC于点G，根据直角三角形斜边中线的性质得出BQ＝DQDE，则∠QBD＝∠QDB，根据相似三角形的性质得出∠QDB＝∠CAB，进而推出∠CAB＝∠EBG，则sin∠CAB＝sin∠EBG，cos∠CAB＝cos∠EBG，求出EG＝BE sin∠EBG，BG＝BE cos∠EBG，则CG＝BC﹣BG，即可解答．
【完整解答】解：（1）∵点D和点E为分别为AB，AC中点，
∴由图1可知，，
∴，则，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝4，
∴∠BAC＝45°，
∴，
根据旋转的性质可得：∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴；
（2）由图1可知，点D和点E为分别为AB，AC中点，
∴DE∥BC，，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠ADE＝∠ABC＝90°，
∴当DE所在直线经过点B时，AD⊥BE，
根据勾股定理可得：，
由（1）可得：，
∴，
解得：；
（3）令AB，DE相交于点Q，过点E作EG⊥BC于点G，如图4，
根据题意可得：，
∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴，
∴sin∠CAB，cos∠CAB，
∵边AB平分线段DE，∠DBE＝∠ABC＝90°，
∴，
∴∠QBD＝∠QDB，
∵△DBE∽△ABC，
∴∠QDB＝∠CAB，
∴∠QBD＝∠CAB，
根据旋转的性质可得：∠QBD＝∠EBG，
∴∠CAB＝∠EBG，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【考点点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及解直角三角形的方法和步骤
/2025年中考数学模拟检测卷（南京专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
班级： 姓名： 学号：
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共12分）
一、选择题：本大题共6题，每题2分，共12分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.
1．（2分）方程x2+x﹣2＝0的两个根为（　　）
A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2
C．x1＝﹣2，x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝2
2．（2分）下列运算中正确的是（　　）
A．a a＝2a B．a6÷a2＝a3 C．（a2）3＝a6 D．（3a）2＝6a2
3．（2分）如图，实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）
A．a+b＞0 B．a＞﹣b C．|a|＞3 D．﹣2＜﹣b＜﹣1
4．（2分）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点（3，y1）和点（﹣3，y2），则y1+y2的值是（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．3
5．（2分）若实数m，n（m＜n）是关于x的一元二次方程（x﹣a）（x﹣b）+1＝0（a＜b）的两个根，则下列大小关系正确的是（　　）
A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．m＜a＜n＜b D．a＜m＜b＜n
6．（2分）如图，已知⊙O的直径AB＝4，弦AC与弦BD交于点E，且OD⊥AC，垂足为点F．若AC＝BD．则EC的长为（　　）
A． B．1 C． D．
第二部分 非选择题（共108分）
二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答
题卡相应位置上
7．（2分）用科学记数法表示870000＝m×10n，则m，n的值分别是 　 　 ．
8．（2分）计算的结果是 　 　 ．
9．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是x＝2，则a的值为 　 　 ．
10．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OE，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝25°，则∠CEO度数为 　 　 °．
11．（2分）已知a是﹣2的相反数，且|b+1|＝0，则[﹣3a2 （ab2+2a）+4a（﹣ab）2]÷（﹣4a）的值为 　 　 ．
12．（2分）要判定命题“如果x2＝y2，那么x＝y”是假命题，请你举出一个反例：　 　 ．
13．（2分）如图，AD，CE是△ABC的两条中线，连接ED，若S△ABC＝10，则S阴影＝　 　 ．
14．（2分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝45°，若对角线BD的长度是3，则对角线AC的长度是 　 　 ．
15．（2分）如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，EF⊥AM．若∠ACB＝23°，∠CBE＝21°，则∠BEF＝　 　 ．
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，如果AB＝2，，那么BD＝　 　 ．
三．解答题：本大题共11小题，共88分.把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。
17．（8分）计算：
（1） （2）．
（7分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
19．（7分）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题：
①；
②；
③；
（1）按以上规律，第④个等式为：　 　 ；第n个等式为：　 　 （用含n的式子表示，n为正整数）；
（2）按此规律，计算的值．
20．（7分）已知：在 ABCD中，分别过点B、D作BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F，如图．请从以下四个关系式中：①DE＝BF；②∠FBE＝∠EDF；③CE＝CF；④BE＝DF．选择一个合适的作为已知条件，使 ABCD是菱形．
（1）你选择的条件是 　 　 ．
（2）添加了条件后，请证明 ABCD为菱形．
21．（8分）某球队从队员中选拔选手参加3分球大赛，对报名的两名选手进行3分球投篮测试，测试共五组，每组投10次，进球的个数统计结果如表：
队员 进球数（个/组）
一 二 三 四 五
甲 10 6 10 6 8
乙 7 9 7 8 9
经过计算，甲进球的平均数为8，方差为S甲2＝3.2．
（1）求乙进球的平均数乙和方差S乙2；
（2）现从甲、乙两名队员中选出一人去参加3分球投篮大赛，你认为应该选哪名队员去？为什么？
22．（7分）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券（转盘等分成20份）．甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元的购物券的概率分别是多少？
23．（8分）2022年北京冬季奥运会将于明年2月4日至2月20日举办．如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为40°．斜坡CD的坡度为i＝1：2.4，底端点C与顶端点D的距离为26米．参赛运动员们将从点A出发乘车沿水平方向行驶100米到达点C处，再沿斜坡CD行驶至点D处，最后乘垂直于水平方向的电梯到达点B处，求电梯BD的高度．（结果保留一位小数，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
24．（8分）如图，已知点M是△ABC的外心，在△ABC的外部找一点D，使得点D到射线AB和射线AC距离相等，且∠BDC+∠BAC＝180°．
（1）请用尺规作图的方法确定点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AB＝6，AC＝4，∠BAC＝60°，求线段AD的长．
25．（9分）如图1，⊙O经过平行四边形ABCD的A，C两点，且分别交AB，BC于E，F两点，其中EF＝5，AC＝12．
（1）求的值；
（2）如图2，若tan∠BAC tan∠ACB＝1．
①求证：平行四边形ABCD为矩形；
②求⊙O的半径．
26．（9分）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上任意两点．
（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
（2）若x2＝x1+n（n＞0），点M、N中至少有一个点位于x轴的上方，直接写出n的范围；
（3）若对于﹣1＜x1＜2，x2＝m+2时，都有y1＜y2，求m的取值范围．
27．（10分）综合实践，
问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，分别取AB，AC的中点D，E，作△ADE．如图2所示，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD，CE．
（1）探究发现
旋转过程中，线段BD和CE的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
（2）性质应用
如图3，当DE所在直线首次经过点B时，求CE的长．
（3）延伸思考
如图4，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，分别取AB，BC的中点D，E．作△BDE，将△BDE绕点B逆时针旋转，连接AD，CE．当边AB平分线段DE时，求tan∠ECB的值．
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