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2025年中考数学模拟检测卷（南通专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
班级： 姓名： 学号：
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题：本大题共8题，每题3分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C D B B C B A
第二部分 非选择题（共120分）
二、填空题：本大题共8小题，11-12题每小题3分，13-18题每小题4分。共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答
题卡相应位置上
11．（3分）4x（2y+1）（2y﹣1）．
12．（3分）6．
13．（4分）．
14．（4分）2．
15．（4分）20°．
16．（4分）x2﹣60x+864＝0．
17．（4分）4．
18．（4分）或4．
三．解答题：本大题共8小题，共90分.把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。
19．（12分）解：（1）（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2
＝x2+4x﹣5+x2﹣4x+4
＝2x2﹣1，
当 时，
原式；
（2），
解不等式①，得：x＜3，
解不等式②，得：x≤7，
∴原不等式组的解集为x＜3．
20．（10分）（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
（2）解：∵AB∥DE，∠B＝60°，
∴∠DEF＝∠B＝60°，
在△DEF中，∠D＝30°，
∴∠F＝180°﹣（∠DEF+∠D）＝180°﹣（60°+30°）＝90°．
21．（10分）解：（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”支付方式的概率为，
故答案为；
（2）树状图如图，由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，故P（两人恰好选择同一种支付方式）为．
22．（10分）解：（1）甲民宿的评分的平均数为4.5（分），即m＝4.5，
将样本中丙民宿评分从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为4.5（分），因此中位数是4.5分，即n＝4.5，
故答案为：4.5，4.5；
（2）∵S甲2[（4﹣4.5）2+（4.1﹣4.5）2+（4.2﹣4.5）2×2+（4.7﹣4.5）2×5]＝0.104，
S乙2[（3.2﹣4.5）2+（4.2﹣4.5）2+（4.3﹣4.5）2+（4.8﹣4.5）2×5+（5﹣4.5）2×3]＝0.266，
S丙2[（2.6﹣4.2）2+（3.1﹣4.2）2+（3.5﹣4.2）2+（4.5﹣4.2）2×3+（4.7﹣4.2）2+（4.8﹣4.2）2×2+（5﹣4.2）2]＝0.614，
∴S甲2＜S乙2＜S丙2；
（3）推荐甲民宿，理由：甲民宿的满意度评分的方差较小，说明甲民宿的评分比较稳定，波动不大，甲民宿满意度评分的平均分是4.5分，比丙民宿的高．
23．（10分）（1）证明：连接OD，交CA于E，
∵∠C＝30°，∠C∠BOD，
∴∠BOD＝60°，
∵OAC＝30°，
∴∠AEO＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠BDO＝90°，
∠AEO＝∠BDO，
∵
∴BD∥AC；
（2）解：在Rt△OBD中，∠BOD＝60°，
∴BD＝OD tan60°＝8，
∴S阴影＝S△BDO﹣S扇形AOD8×832π．
24．（12分）解：（1）y1＝0.8×100x+1500＝80x+1500，
∴y1＝80x+1500．
当0≤x≤100时，y2＝100x；
当x＞100时，y2＝100×100+0.7×100（x﹣100）＝70x+3000，
∴y2．
（2）当x＝180时，y1＝80×180+1500＝15900，y2＝70×180+3000＝15600，
∵y1＞y2，
∴学校选择B公司的服装花费更少．
25．（13分）解：（1）如图，
∵四边形OBCD为矩形，C（4，3），
∴OB∥CD，∠DOE＝90°，OD＝BC＝3，
∵△DEG为等边三角形，
∴∠GDE＝60°，
∴∠DEO＝∠GDE＝60°，
∴，
由题意得OE＝t，
∴；
（2）①由题意得E（t，0），D（0，3），
∵F为DE的中点，
∴，
故答案为：；
②如图，连接FG，作FM⊥x轴于M，GN⊥x轴于N，FH⊥GN于H，
则∠FMN＝∠MNH＝∠FHN＝∠FHG＝90°，
∴四边形FMNH为矩形，FH∥MN，
由①可得，
∴，，
由题意得OE＝t，OD＝3，
∴ME＝OE﹣OM，
∵△DEG为等边三角形，F为DE的中点，
∴DE＝EG，∠GFE＝90°，∠FEG＝60°，
∴，
∴，
∵FH∥MN，
∴∠HFE＝∠FEO，
∵∠HFE+∠GFH＝∠FEO+∠ODE＝90°，
∴∠GFH＝∠ODE，
∵∠DOE＝∠FHG＝90°，
∴△DOE∽△FHG，
∴，
∴，
∴，GN＝GH+HN﹣+3﹣bt+3，
∴；
（3）由题意得点K、H的横坐标为，
由平移的性质和矩形的性质可得KH＝BC＝3，
由（2）可得，
∴点G到KH的距离为，
∴．
26．（13分）解：（1）当m＝1，n＝﹣1时，抛物线C：y＝﹣x2+2x﹣1，
令x＝0，则y＝﹣1，
令x＝1，则y＝0，
令x＝﹣1，则y＝﹣4，
则（0，﹣1），（1，0），（﹣1，﹣4），
∴C1的“2倍抛物线”C2的对应的点为（0，﹣2），（2，0），（﹣2，﹣8），
设C2的解析式为，
把（0，﹣2），（2，0），（﹣2，﹣8）代入得，
解得，
∴C2的解析式为．
（2）存在，理由如下：
∵n＝3m，
∴y＝﹣mx2+2mx+3m，
令y＝0，得﹣mx2+2mx+3m＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
令x＝0，解得y＝3m，
∴A（3，0），B（﹣1，0），（0，3m），
∴C1中，A（3，0），B（﹣1，0），（0，3m）与C3的对应点为A（﹣3，0），B（1，0），（0，﹣3m），
设C3解析式为，
将A（﹣3，0），B（1，0），（0，﹣3m）代入得，
解得，
∴C3的解析式为，
联立得，
∴﹣mx2+2mx+3m＝mx2+2mx+﹣3m，
解得，，
在中，令，
解得，
∴，
令，
解得，
∴，
令y＝0，则mx2+2mx+﹣3m＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴C（﹣3，0），D（1，0），
∵四边形AECF是矩形时，
∴∠AFC＝90°，
∵CF2+AF2＝AC2，
∴（3）2+（2）2+（3）2+（2）2＝36，
解得（负值舍去），
∴m的值为．
（3）当，n＝0时，，
∴，
当x＝0时，y＝0，
当x＝2时，y＝0，
∴A（2，0），
∴过点（0，0），，A（2，0），
∴抛物线C4经过原点O（0，0），，（2k，0）三点，
∵|k|＞1，
∴k＞1或k＜﹣1，
当k＞1时，
∵抛物线C4经过原点O，，（2k，0）三点，
∴抛物线C4的解析式为，
∴，
∴O、M、N都在直线上，
如图，过点P作PD⊥x轴于D，过点A作AE⊥ON于E，
∵S△PMN＝S△AMN，
∴AP∥MN，
∵，，OA＝2，
∴△AOM是边长为2的正三角形，四边形NEAP是矩形，
∴OE＝1，∠OAE＝30°，
∵∠EAP＝90°，
∴∠PAD＝60°，
∴∠APD＝30°，
∵，
∴AP＝NE＝OM﹣OE＝2k﹣1，
∵∠APD＝30°，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验是原方程的解；
当k＜﹣1时，
∵抛物线C4经过原点O，，（2k，0）三点，
∴抛物线C4的解析式为，
∴，
∴O、M、N′都在直线上，
如图，作△AMO 关于y轴对称的△A′M′O，OE'⊥A'M'，
同（1）可得点P坐标，
∴，
解得，
经检验是原方程的解；
综上，．
/2025年中考数学模拟检测卷（南通专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
班级： 姓名： 学号：
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题：本大题共8题，每题3分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.
1．（3分）若a＜0，b＞0，则b、b+a、b﹣a、ab中最大的一个数是（　　）
A．b B．b+a C．b﹣a D．ab
【思路引导】根据有理数的概念与运算法则进行比较、辨别．
【完整解答】解：∵a＜0＜b，
∴b+a＜b，b﹣a＞b＞0，ab＜0，
∴b、b+a、b﹣a、ab中最大的一个数是b﹣a，
故选：C．
【考点点拨】此题考查了运用有理数的概念与运算法则进行大小比较的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
2．（3分）今年某市约有52400名七年级学生参加期末考试，52400用科学记数法表示为（　　）
A．0.52×105 B．5.24×104 C．0.524×105 D．5.2×104
【思路引导】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【完整解答】解：52400＝5.24×104，
故选：B．
【考点点拨】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【思路引导】根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案．
【完整解答】解：从上边看，可得如图：
．
故选：C．
【考点点拨】本题考查了简单几何体的三视图，从上面看到的视图是俯视图．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．a8﹣a2＝a6 C．（a2）3＝a6 D．a6÷a2＝a3
【思路引导】根据同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法逐一计算即可．
【完整解答】解：A、a2 a3＝a5，故该项不正确，不符合题意；
B、a8和a2不是同类项，不能合并，故该项不正确，不符合题意；
C、（a2）3＝a6，故该项正确，符合题意；
D、a6÷a2＝a4，故该项不正确，不符合题意；
故选：C．
【考点点拨】本题考查了同底数幂乘除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．
5．（3分）下列调查中，适合采用全面调查的是（　　）
A．调查某地居民的垃圾分类情况
B．了解绥德县中学生每周“诵读经典”的时间
C．了解某品牌食品的色素添加情况
D．疫情期间对国外入境人员的核酸检测
【思路引导】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，即可得出结论．
【完整解答】解：A．调查某地居民的垃圾分类情况，适合采用抽样调查，故本选项不符合题意；
B．了解绥德县中学生每周“诵读经典”的时间，适合采用抽样调查，故本选项不符合题意；
C．了解某品牌食品的色素添加情况，适合采用抽样调查，故本选项不符合题意；
D．疫情期间对国外入境人员的核酸检测，适合采用全面调查，故本选项符合题意．
故选：D．
【考点点拨】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择全面调查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查．
6．（3分）将一副直角三角板如图放置，已知∠E＝60°，∠C＝45°，EF∥BC，则∠BND的大小为（　　）
A．100° B．105° C．110° D．115°
【思路引导】利用三角形内角和定理可求出∠F＝30°，∠B＝45°，再利用平行线的性质可得∠FAN＝∠B＝45°，再根据三角形内角和定理求出∠ANF＝105°，最后根据对顶角相等即可求解．
【完整解答】解：由题意可知，∠EDF＝∠BAC＝90°，
∵∠E＝60°，
∴∠F＝180°﹣∠E﹣∠EDF＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∵∠C＝45°，
∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝180°﹣45°﹣90°＝45°，
∵EF∥BC，
∴∠FAN＝∠B＝45°，
∴∠ANF＝180°﹣∠F﹣∠FAN＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∴∠BND＝∠ANF＝105°．
故选：B．
【考点点拨】本题主要考查三角形内角和定理、平行线的性质，熟练掌握三角形内角和定理和平行线的性质是解题关键．
7．（3分）如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙脚的距离CE＝5米，窗口高AB＝2米，那么窗口底部离地面的高度BC为（　　）
A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米
【思路引导】根据光沿直线传播的道理可知AD∥BE，则△BCE∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等解答即可．
【完整解答】解：∵AD∥BE，
∴△BCE∽△ACD，
∴，
∵CD＝CE+ED＝4+5＝9米，AC＝BC+AB＝BC+2，
∴，
解得，BC＝2.5米．
故选：B．
【考点点拨】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
8．（3分）△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，1），B（4，3），C（0，2），将△ABC平移到了△A′B′C′，其中A′（﹣1，m+3），则C′点的坐标为（　　）
A．（﹣3，m+5） B．（2，m+5） C．（﹣3，m+4） D．（﹣1，m+4）
【思路引导】根据点A及其对应点A′的坐标，结合平移的性质即可解决问题．
【完整解答】解：因为点A坐标为（2，1），且平移后的对应点A′的坐标为（﹣1，m+3），
所以﹣1﹣2＝﹣3，m+3﹣1＝m+2，
则0+（﹣3）＝﹣3，2+m+2＝m+4，
即点C对应点C′的坐标为（﹣3，m+4）．
故选：C．
【考点点拨】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知图形平移的性质是解题的关键．
9．（3分）在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝6，E是对角线BD上的一个三等分点，点D关于AE的对称点为D′，射线ED′与菱形ABCD的边交于点F，则D′F的长为（　　）
A． B．或
C．或 D．或
【思路引导】根据E是BD上的一个三等分点，可分成两种情况求解，先根据对称性得到边长，然后根据三角形相似以及直角三角形的勾股定理可求得结果．
【完整解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴OD＝OBBD＝3，∠AOD＝∠AOB＝90°，
∴AO4，
分两种情况：①当DEDB＝2时，OE＝OD﹣DE＝1，
如图，连接 AD'，AE，AD'与BD交于点N，
由对称性可知，DE＝DE'＝2，∠AD′E＝∠ADB＝∠ABD，∠END'＝∠ANB，
∴△END'∽△ANB，
∴，
设EN＝2x，则AN＝5x，
∴ON＝NE﹣OE＝2x﹣1，
在△ANO中，AN2＝AO2+ON2，
即（5x）2＝42+（2x﹣1）2，
解得：x1＝﹣1 （舍去），x2，
∴EN，
∵∠ED′A＝∠DBC＝∠ADB，∠NED'＝∠FEN，
∴△END′∽△EFB，
∴，
∴EF，
∴D′F2，
②当DEDB＝4时，连接AD′，AE，
由对称性可知，AD'＝AD＝5，D′E＝DE＝4，∠ADE＝∠AD′E＝∠ABD，∠AED＝∠AEF，
过点A作AN⊥D′E于点N，如图，
∵∠AD′F＝∠EBF，∠AFD'＝∠BFE，
∴△AFD′∽△EFB，
∴，
设EF＝2x，则AF＝5x，
在△AEO和△ANE中，
，
∴△AEO≌△AEN（AAS），
∴OE＝EN＝1，
∴NF＝2x﹣1，AN＝AO＝4，
在△ANF中，AF2＝AN2+NF2，
即（5x）2＝42+（2x﹣1）2，
解得：x1＝﹣1 （舍），x2，
∴EF＝2x，
即D′F＝4，
综上，D'F 的长为或．
故选：B．
【考点点拨】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
10．（3分）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且a+b，a﹣b是一对“互助数”．若a2﹣b2＝p﹣3，则p的值可以为（　　）
A． B．6 C． D．3
【思路引导】根据题意，互助数m，n应满足mn＝m+n，因此（a+b）（a﹣b）＝a+b+a﹣b，化简得：a2﹣b2＝2a＝p﹣3，将每个选项的数字代入，看能否求解出符合要求的实数a、b即可．
【完整解答】解：根据题意，互助数m，n应满足mn＝m+n，
因此（a+b）（a﹣b）＝a+b+a﹣b，
化简得：a2﹣b2＝2a＝p﹣3；
A．若p，则a2﹣b2＝2a，a，b2＝a2﹣2a＞0，故选项A正确；
B．若p＝6，则a2﹣b2＝2a＝3，a，b2＝a2﹣2a＜0，故选项B错误；
C．若p，则a2﹣b2＝2a，a，b2＝a2﹣2a＜0，故选项C错误；
D．若p＝3，则a2﹣b2＝2a＝0，a＝0，明显不符合题意，故选项D错误；
故选：A．
【考点点拨】本题考查的是因式分解的应用，关键在于根据互助数的定义，得到a2﹣b2＝2a＝p﹣3，然后将每个选项的数字代入验证即可．
第二部分 非选择题（共120分）
二、填空题：本大题共8小题，11-12题每小题3分，13-18题每小题4分。共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答
题卡相应位置上
11．（3分）因式分解：16xy2﹣4x＝　4x（2y+1）（2y﹣1）　 ．
【思路引导】提取4x后，再利用平方差公式分解即可．
【完整解答】解：原式＝4x（4y2﹣1）
＝4x（2y+1）（2y﹣1）．
故答案为：4x（2y+1）（2y﹣1）．
【考点点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（3分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线l长为 　6　 cm．
【思路引导】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π×2，然后解关于l的方程即可．
【完整解答】解：根据题意得2π×2，
解得，l＝6，
即该圆锥母线l的长为6cm．
故答案为：6．
【考点点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
13．（4分）计算：tan230°﹣4cos45° sin60°＝　　 ．
【思路引导】根据特殊角的函数值，直接计算即可．
【完整解答】解：原式．
故答案为：．
【考点点拨】本题主要考查特殊角的函数值，解决此类问题的关键是熟记各特殊角的函数值．
14．（4分）设n为正整数，若nn+1，则n的值为 　2　 ．
【思路引导】根据，可得23，即可求出n的值．
【完整解答】解：∵，
∴23，
∵nn+1，
∴n＝2，
故答案为：2．
【考点点拨】本题考查的是无理数的估算，正确掌握的取值范围是解题的关键．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAD＝50°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠B的度数为 　20°　 ．
【思路引导】证明∠B＝∠DAB，设∠B＝∠DAB＝x，利用三角形内角和定理构建方程求解．
【完整解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B，
设∠B＝∠DAB＝x，
在△ACB中，则有50°+x+x＝90°，
∴x＝20°，
∴∠B＝20°，
故答案为：20°．
【考点点拨】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
16．（4分）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长与阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长与宽各多少步？若设长为x步，则可列方程是 　x2﹣60x+864＝0　 （方程化为一般形式）．
【思路引导】根据长与宽之间的关系，可得出宽为（60﹣x）步，结合矩形面积是864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，将其化为一般形式即可得出结论．
【完整解答】解：∵长与宽和为60步，且长为x步，
∴宽为（60﹣x）步．
依题意得：x（60﹣x）＝864，
即x2﹣60x+864＝0．
故答案为：x2﹣60x+864＝0．
【考点点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．（4分）如图，已知点A，B分别在反比例函数y（x＜0）和y（x＞0）的图象上，以OA，OB为邻边作 AOBC，点C恰好落在y轴上，且边BC交函数y（x＞0）图象于点D，当BD＝2CD时，则k＝　4　 ．
【思路引导】作AE⊥y轴于E，BF⊥y轴于F，DG⊥y轴于G，则∠AEO＝∠BFC＝90°，易△AOE≌△BCF（AAS），得到AE＝BF，OE＝CF，通过证得△CDG∽△CBF，得到，设B（m，），则A（﹣m，），D（，），把D的坐标代入y（x＞0）即可得到k（），解得k＝4．
【完整解答】解：作AE⊥y轴于E，BF⊥y轴于F，DG⊥y轴于G，则∠AEO＝∠BFC＝90°，
∵四边形AOBC为平行四边形，
∴OA∥BC，OA＝BC，
∴∠AOE＝∠BCF，
∴△AOE≌△BCF（AAS），
∴AE＝BF，OE＝CF，
设B（m，），则A（﹣m，），
∵DG∥BF，
∴△CDG∽△CBF，
∴，
∵BD＝2CD，
∴，
∴DG，CG，
∴GF，
∴OG，
∴D（，），
∵函数y（x＞0）图象过点D，
∴k（），
∴k＝4，
故答案为：4．
【考点点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，表示出点D的坐标是解题的关键．
18．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，，点D为直线AB上一点，连接CD，若∠BCD＝30°，则线段BD的长为 　或4　 ．
【思路引导】分两种情况，①点D在线段AB上时，②点D在线段AB的延长线上时，由勾股定理和相似三角形的判定与性质进行解答即可．
【完整解答】解：分两种情况：
①点D在线段AB上时，如图1，
过D作DE⊥BC于E，则∠DEC＝∠DEB＝90°，
∵∠BCD＝30°，
∴CEDE，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，，
∴AB4，
设DE＝x，则CEx，BE＝4x，
∵∠B＝∠B，∠DEB＝∠ACB＝90°，
∴△DBE∽△ABC，
∴，
即，
解得：x，BD；
②点D在线段AB的延长线上时，如图2，
过D作DE⊥BC于E，则∠DEB＝90°，
∵∠BCD＝30°，
∴CEDE，
设DE＝y，则CEy，BEy﹣4，
同①得：△DBE∽△ABC，
∴，
即，
解得：y＝8，BD＝4；
综上所述，线段BD的长为或4，
故答案为：或4．
【考点点拨】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及分类讨论等知识，熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．
三．解答题：本大题共8小题，共90分.把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。
19．（12分）（1）先化简，再求值：（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2，其中；
（2）解不等式组：．
【思路引导】（1）利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可；
（2）利用解一元一次不等式组的方法进行求解即可．
【完整解答】解：（1）（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2
＝x2+4x﹣5+x2﹣4x+4
＝2x2﹣1，
当 时，
原式；
（2），
解不等式①，得：x＜3，
解不等式②，得：x≤7，
∴原不等式组的解集为x＜3．
【考点点拨】本题主要考查整式的混合运算，解一元一次不等式组，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20．（10分）如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF．
（2）若∠B＝60°，∠D＝30°，求∠F．
【思路引导】（1）根据BE＝CF得BC＝EF，根据AB∥DE得∠B＝∠DEF，由此可依据“SAS”判定△ABC和△DEF全等；
（2）根据AB∥DE，∠B＝60°得∠DEF＝∠B＝60°，然后根据三角形内角和定理即可求出∠F的度数..
【完整解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
（2）解：∵AB∥DE，∠B＝60°，
∴∠DEF＝∠B＝60°，
在△DEF中，∠D＝30°，
∴∠F＝180°﹣（∠DEF+∠D）＝180°﹣（60°+30°）＝90°．
【考点点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．
21．（10分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式．
（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是 　　 ；
（2）在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）．
【思路引导】（1）根据概率公式即可求解；
（2）根据题意画出树状图，再根据概率公式即可求解．
【完整解答】解：（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”支付方式的概率为，
故答案为；
（2）树状图如图，由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，故P（两人恰好选择同一种支付方式）为．
【考点点拨】此题主要考查概率的求解，解题的关键是根据题意画出树状图，再利用概率公式求解．
22．（10分）某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙、丙三家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传，该平台邀请部分曾在这三家民宿体验过的游客参与调查，得到了这三家民宿的“综合满意度”评分，评分越高表明游客体验越好，现从这三家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息．
甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的折线图：
b．丙家民宿“综合满意度”评分：2.6，4.7，4.5，4.5，5.0，3.1，4.8，3.5，4.8，4.5；
c．甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的平均数、中位数：
甲 乙 丙
平均数 m 4.5 4.2
中位数 4.5 4.7 n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值是 　4.5　 ，n的值是 　4.5　 ；
（2）设甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的方差分别是S甲2，S乙2，S丙2，直接写出S甲2，S乙2，S丙2之间的大小关系；
（3）根据“综合满意度”的评分情况，该平台打算将甲、乙、丙三家民宿中的一家置顶推荐，你认为该平台会将这三家民宿中的哪家置顶推荐？说明理由（至少从两个方面说明）．
【思路引导】（1）根据平均数的计算方法，中位数的定义进行计算即可；
（2）根据方差的计算方法求出三个民宿的方差即可，
（3）从方差，平均数两个方面进行分析得出结论．
【完整解答】解：（1）甲民宿的评分的平均数为4.5（分），即m＝4.5，
将样本中丙民宿评分从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为4.5（分），因此中位数是4.5分，即n＝4.5，
故答案为：4.5，4.5；
（2）∵S甲2[（4﹣4.5）2+（4.1﹣4.5）2+（4.2﹣4.5）2×2+（4.7﹣4.5）2×5]＝0.104，
S乙2[（3.2﹣4.5）2+（4.2﹣4.5）2+（4.3﹣4.5）2+（4.8﹣4.5）2×5+（5﹣4.5）2×3]＝0.266，
S丙2[（2.6﹣4.2）2+（3.1﹣4.2）2+（3.5﹣4.2）2+（4.5﹣4.2）2×3+（4.7﹣4.2）2+（4.8﹣4.2）2×2+（5﹣4.2）2]＝0.614，
∴S甲2＜S乙2＜S丙2；
（3）推荐甲民宿，理由：甲民宿的满意度评分的方差较小，说明甲民宿的评分比较稳定，波动不大，甲民宿满意度评分的平均分是4.5分，比丙民宿的高．
【考点点拨】本题考查中位数、平均数，方差以及折线统计图，掌握平均数、中位数以及方差的计算方法是正确解答的关键．
23．（10分）如图，点A，D，C在半径为8的⊙O上，过点D作⊙O的切线BD，交OA的延长线于点B．连接CD，且∠DCA＝∠OAC＝30°．
（1）求证：BD∥AC；
（2）求图中阴影部分的面积．
【思路引导】（1）连接OD，交CA于E，根据圆周角定理得到∠BOD＝60°，得到∠AEO＝90°，根据切线的性质得到∠AEO＝∠BDO＝90°，根据平行线的性质推出即可；
（2）在Rt△OBD中，解直角三角形求出BD，分别求出△BOD的面积和扇形AOD的面积，即可得出答案．
【完整解答】（1）证明：连接OD，交CA于E，
∵∠C＝30°，∠C∠BOD，
∴∠BOD＝60°，
∵OAC＝30°，
∴∠AEO＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠BDO＝90°，
∠AEO＝∠BDO，
∵
∴BD∥AC；
（2）解：在Rt△OBD中，∠BOD＝60°，
∴BD＝OD tan60°＝8，
∴S阴影＝S△BDO﹣S扇形AOD8×832π．
【考点点拨】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中．
24．（12分）某校迎来了一百二十年校庆，为了准备校庆，校方决定准备一场别开生面的文艺演出，有歌唱，舞蹈，小舞台剧等节目，为此学校需要采购一批演出服装．现有质量较好且价格合理的A，B两家公司供选择，这两家公司给出的价格都是每套服装100元，经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是全部服装单价打8折，但校方需要承担1500元的运费；B公司给出的优惠条件是购买服装不超过100套时不打折，超过100套时，超出部分每套打7折，校方不用承担运费．
（1）分别求出学校购买A，B两公司服装所付的总费用y1（元）和y2（元）与购买服装的数量x（套）之间的函数关系式；
（2）如果该校根据演出人数决定购买180套服装，请通过计算说明学校选择哪家公司的服装花费更少．
【思路引导】（1）分别根据两家公司的优惠条件写出对应函数关系式即可；
（2）将x＝180分别代入y1和y2与x之间的函数关系式，求出y1和y2并比较大小即可得出结论．
【完整解答】解：（1）y1＝0.8×100x+1500＝80x+1500，
∴y1＝80x+1500．
当0≤x≤100时，y2＝100x；
当x＞100时，y2＝100×100+0.7×100（x﹣100）＝70x+3000，
∴y2．
（2）当x＝180时，y1＝80×180+1500＝15900，y2＝70×180+3000＝15600，
∵y1＞y2，
∴学校选择B公司的服装花费更少．
【考点点拨】本题考查一次函数的应用，根据题意写出函数关系式是解题的关键．
25．（13分）如图1，从第一象限内一点C（4，3）向坐标轴作垂线得到矩形OBCD，在矩形OBCD边OB上取一动点E，连接DE，以DE为边作等边△DEG，取DE边中点F，已知点E以每秒1个单位的速度向从点原点向终点B移动，运动时间为t．
（1）求当点G落在CD边上时t的值；
（2）①点F坐标为 　　 ；（用t的代数式表示）
②用t的代数式表示点G的坐标；
（3）如图2，当点E向点B移动的同时，矩形OBCD边BC也以个单位每秒的速度向右平行移动，得到线段KH，连接GK，GH，求△GKH的面积．
【思路引导】（1）由矩形的性质得出OB∥CD，∠DOE＝90°，OD＝BC＝3，结合等边三角形的性质得出∠DEO＝∠GDE＝60°，解直角三角形得出，即可得解；
（2）①由题意得E（t，0），D（0，3），再由中点坐标的求法计算即可得出答案；
②连接FG，作FM⊥x轴于M，GN⊥x轴于N，FH⊥GN于H，证明四边形FMNH为矩形，FH∥MN，得出，，推出，由等边三角形的性质结合解直角三角形得出，证明△DOE∽△FHG，得出，，求出ON、GN的长即可得解；
（3）由题意得点K、H的横坐标为，由平移的性质和矩形的性质可得KH＝BC＝3，求出点G到KH的距离为，再根据三角形面积公式计算即可得出答案．
【完整解答】解：（1）如图，
∵四边形OBCD为矩形，C（4，3），
∴OB∥CD，∠DOE＝90°，OD＝BC＝3，
∵△DEG为等边三角形，
∴∠GDE＝60°，
∴∠DEO＝∠GDE＝60°，
∴，
由题意得OE＝t，
∴；
（2）①由题意得E（t，0），D（0，3），
∵F为DE的中点，
∴，
故答案为：；
②如图，连接FG，作FM⊥x轴于M，GN⊥x轴于N，FH⊥GN于H，
则∠FMN＝∠MNH＝∠FHN＝∠FHG＝90°，
∴四边形FMNH为矩形，FH∥MN，
由①可得，
∴，，
由题意得OE＝t，OD＝3，
∴ME＝OE﹣OM，
∵△DEG为等边三角形，F为DE的中点，
∴DE＝EG，∠GFE＝90°，∠FEG＝60°，
∴，
∴，
∵FH∥MN，
∴∠HFE＝∠FEO，
∵∠HFE+∠GFH＝∠FEO+∠ODE＝90°，
∴∠GFH＝∠ODE，
∵∠DOE＝∠FHG＝90°，
∴△DOE∽△FHG，
∴，
∴，
∴，GN＝GH+HN﹣+3﹣bt+3，
∴；
（3）由题意得点K、H的横坐标为，
由平移的性质和矩形的性质可得KH＝BC＝3，
由（2）可得，
∴点G到KH的距离为，
∴．
【考点点拨】本题考查了四边形的综合应用，主要考查坐标与图形、矩形的判定与性质、等边三角形的性、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、平移的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
26．（13分）定义：把抛物线C1上任意点P（a，b）的横坐标和纵坐标乘以k后变为点P'（ka，kb），若点P′都在抛物线C2上，则称抛物线C2为抛物线C1的“k倍抛物线”．例如：抛物线y＝x2的任意一点P（n，n2），乘以﹣2后变为P'（﹣2n，﹣2n2），点P′都在抛物线上，所以抛物线是抛物线y＝x2的“﹣2倍抛物线”．已知抛物线C1：y＝﹣mx2+2mx+n，根据所给条件完成下列问题：
（1）当m＝1，n＝﹣1时，求C1的“2倍抛物线”C2的解析式；
（2）如图1，当n＝3m，且m＞0时，C1与x轴交于点A、B，C1的“﹣1倍抛物线”C3与x轴交于点C、D，与C1交于点E、F，是否存在合适的m值，使得四边形AECF是矩形，如果存在求出m的值；如果不存在请说明理由．
（3）如图2，当，n＝0时，抛物线C1的顶点记为M，与x轴的正半轴交于点A，抛物线C1的“k倍抛物线”C4顶点为N，点P在抛物线C4上，满足S△PMN＝S△AMN，且∠PNM＝90°，当|k|＞1时，求k的值．
【思路引导】（1）找出三个特殊点对应的k倍点的坐标，设C2的解析式为，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）同（1）法求出C3的解析式，再根据矩形的性质，利用勾股定理进行求解即可；
（3）当k＞1时，与（1）同理可得抛物线C4的解析式为及顶点C的坐标，根据S△PMN＝S△AMN知AP∥MN，继而可得△AMO是边长为2的正三角形，四边形NEAP是矩形，表示出点P的坐标，将其代入到抛物线C4解析式可求得k的值；当k＜﹣1时，作△AMO关于y轴对称的△A′M′O，OE'⊥A'M'，同理可得四边形NEAP是矩形，先求出抛物线C4解析式，表示出点P的坐标，将其代入到抛物线C4解析式可求得k的值，即可．
【完整解答】解：（1）当m＝1，n＝﹣1时，抛物线C：y＝﹣x2+2x﹣1，
令x＝0，则y＝﹣1，
令x＝1，则y＝0，
令x＝﹣1，则y＝﹣4，
则（0，﹣1），（1，0），（﹣1，﹣4），
∴C1的“2倍抛物线”C2的对应的点为（0，﹣2），（2，0），（﹣2，﹣8），
设C2的解析式为，
把（0，﹣2），（2，0），（﹣2，﹣8）代入得，
解得，
∴C2的解析式为．
（2）存在，理由如下：
∵n＝3m，
∴y＝﹣mx2+2mx+3m，
令y＝0，得﹣mx2+2mx+3m＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
令x＝0，解得y＝3m，
∴A（3，0），B（﹣1，0），（0，3m），
∴C1中，A（3，0），B（﹣1，0），（0，3m）与C3的对应点为A（﹣3，0），B（1，0），（0，﹣3m），
设C3解析式为，
将A（﹣3，0），B（1，0），（0，﹣3m）代入得，
解得，
∴C3的解析式为，
联立得，
∴﹣mx2+2mx+3m＝mx2+2mx+﹣3m，
解得，，
在中，令，
解得，
∴，
令，
解得，
∴，
令y＝0，则mx2+2mx+﹣3m＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴C（﹣3，0），D（1，0），
∵四边形AECF是矩形时，
∴∠AFC＝90°，
∵CF2+AF2＝AC2，
∴（3）2+（2）2+（3）2+（2）2＝36，
解得（负值舍去），
∴m的值为．
（3）当，n＝0时，，
∴，
当x＝0时，y＝0，
当x＝2时，y＝0，
∴A（2，0），
∴过点（0，0），，A（2，0），
∴抛物线C4经过原点O（0，0），，（2k，0）三点，
∵|k|＞1，
∴k＞1或k＜﹣1，
当k＞1时，
∵抛物线C4经过原点O，，（2k，0）三点，
∴抛物线C4的解析式为，
∴，
∴O、M、N都在直线上，
如图，过点P作PD⊥x轴于D，过点A作AE⊥ON于E，
∵S△PMN＝S△AMN，
∴AP∥MN，
∵，，OA＝2，
∴△AOM是边长为2的正三角形，四边形NEAP是矩形，
∴OE＝1，∠OAE＝30°，
∵∠EAP＝90°，
∴∠PAD＝60°，
∴∠APD＝30°，
∵，
∴AP＝NE＝OM﹣OE＝2k﹣1，
∵∠APD＝30°，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验是原方程的解；
当k＜﹣1时，
∵抛物线C4经过原点O，，（2k，0）三点，
∴抛物线C4的解析式为，
∴，
∴O、M、N′都在直线上，
如图，作△AMO 关于y轴对称的△A′M′O，OE'⊥A'M'，
同（1）可得点P坐标，
∴，
解得，
经检验是原方程的解；
综上，．
【考点点拨】本题考查二次函数与几个的综合应用，涉及二次函数与坐标轴的交点，利用待定系数法求函数解析式，两点的距离公式，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质以及含30度角的直角三角形的性质等知识，综合性强，难度大，属于中考压轴题，利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键
/2025年中考数学模拟检测卷（南通专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
班级： 姓名： 学号：
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题：本大题共8题，每题3分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.
1．（3分）若a＜0，b＞0，则b、b+a、b﹣a、ab中最大的一个数是（　　）
A．b B．b+a C．b﹣a D．ab
2．（3分）今年某市约有52400名七年级学生参加期末考试，52400用科学记数法表示为（　　）
A．0.52×105 B．5.24×104 C．0.524×105 D．5.2×104
3．（3分）砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．a8﹣a2＝a6 C．（a2）3＝a6 D．a6÷a2＝a3
5．（3分）下列调查中，适合采用全面调查的是（　　）
A．调查某地居民的垃圾分类情况
B．了解绥德县中学生每周“诵读经典”的时间
C．了解某品牌食品的色素添加情况
D．疫情期间对国外入境人员的核酸检测
6．（3分）将一副直角三角板如图放置，已知∠E＝60°，∠C＝45°，EF∥BC，则∠BND的大小为（　　）
A．100° B．105° C．110° D．115°
7．（3分）如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙脚的距离CE＝5米，窗口高AB＝2米，那么窗口底部离地面的高度BC为（　　）
A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米
8．（3分）△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，1），B（4，3），C（0，2），将△ABC平移到了△A′B′C′，其中A′（﹣1，m+3），则C′点的坐标为（　　）
A．（﹣3，m+5） B．（2，m+5） C．（﹣3，m+4） D．（﹣1，m+4）
9．（3分）在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝6，E是对角线BD上的一个三等分点，点D关于AE的对称点为D′，射线ED′与菱形ABCD的边交于点F，则D′F的长为（　　）
A． B．或
C．或 D．或
10．（3分）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且a+b，a﹣b是一对“互助数”．若a2﹣b2＝p﹣3，则p的值可以为（　　）
A． B．6 C． D．3
第二部分 非选择题（共120分）
二、填空题：本大题共8小题，11-12题每小题3分，13-18题每小题4分。共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答
题卡相应位置上
11．（3分）因式分解：16xy2﹣4x＝　 　 ．
12．（3分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线l长为 　 　 cm．
13．（4分）计算：tan230°﹣4cos45° sin60°＝　 　 ．
14．（4分）设n为正整数，若nn+1，则n的值为 　 　 ．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAD＝50°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠B的度数为 　 　 ．
16．（4分）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长与阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长与宽各多少步？若设长为x步，则可列方程是 　 　 （方程化为一般形式）．
17．（4分）如图，已知点A，B分别在反比例函数y（x＜0）和y（x＞0）的图象上，以OA，OB为邻边作 AOBC，点C恰好落在y轴上，且边BC交函数y（x＞0）图象于点D，当BD＝2CD时，则k＝　 　 ．
18．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，，点D为直线AB上一点，连接CD，若∠BCD＝30°，则线段BD的长为 　 　 ．
三．解答题：本大题共8小题，共90分.把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。
19．（12分）（1）先化简，再求值：（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2，其中；
解不等式组：．
20．（10分）如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF．
（2）若∠B＝60°，∠D＝30°，求∠F．
21．（10分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式．
（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是 　 　 ；
（2）在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）．
22．（10分）某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙、丙三家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传，该平台邀请部分曾在这三家民宿体验过的游客参与调查，得到了这三家民宿的“综合满意度”评分，评分越高表明游客体验越好，现从这三家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息．
甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的折线图：
b．丙家民宿“综合满意度”评分：2.6，4.7，4.5，4.5，5.0，3.1，4.8，3.5，4.8，4.5；
c．甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的平均数、中位数：
甲 乙 丙
平均数 m 4.5 4.2
中位数 4.5 4.7 n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值是 　 　 ，n的值是 　 　 ；
（2）设甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的方差分别是S甲2，S乙2，S丙2，直接写出S甲2，S乙2，S丙2之间的大小关系；
（3）根据“综合满意度”的评分情况，该平台打算将甲、乙、丙三家民宿中的一家置顶推荐，你认为该平台会将这三家民宿中的哪家置顶推荐？说明理由（至少从两个方面说明）．
23．（10分）如图，点A，D，C在半径为8的⊙O上，过点D作⊙O的切线BD，交OA的延长线于点B．连接CD，且∠DCA＝∠OAC＝30°．
（1）求证：BD∥AC；
（2）求图中阴影部分的面积．
24．（12分）某校迎来了一百二十年校庆，为了准备校庆，校方决定准备一场别开生面的文艺演出，有歌唱，舞蹈，小舞台剧等节目，为此学校需要采购一批演出服装．现有质量较好且价格合理的A，B两家公司供选择，这两家公司给出的价格都是每套服装100元，经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是全部服装单价打8折，但校方需要承担1500元的运费；B公司给出的优惠条件是购买服装不超过100套时不打折，超过100套时，超出部分每套打7折，校方不用承担运费．
（1）分别求出学校购买A，B两公司服装所付的总费用y1（元）和y2（元）与购买服装的数量x（套）之间的函数关系式；
（2）如果该校根据演出人数决定购买180套服装，请通过计算说明学校选择哪家公司的服装花费更少．
25．（13分）如图1，从第一象限内一点C（4，3）向坐标轴作垂线得到矩形OBCD，在矩形OBCD边OB上取一动点E，连接DE，以DE为边作等边△DEG，取DE边中点F，已知点E以每秒1个单位的速度向从点原点向终点B移动，运动时间为t．
（1）求当点G落在CD边上时t的值；
（2）①点F坐标为 　 　 ；（用t的代数式表示）
②用t的代数式表示点G的坐标；
（3）如图2，当点E向点B移动的同时，矩形OBCD边BC也以个单位每秒的速度向右平行移动，得到线段KH，连接GK，GH，求△GKH的面积．
26．（13分）定义：把抛物线C1上任意点P（a，b）的横坐标和纵坐标乘以k后变为点P'（ka，kb），若点P′都在抛物线C2上，则称抛物线C2为抛物线C1的“k倍抛物线”．例如：抛物线y＝x2的任意一点P（n，n2），乘以﹣2后变为P'（﹣2n，﹣2n2），点P′都在抛物线上，所以抛物线是抛物线y＝x2的“﹣2倍抛物线”．已知抛物线C1：y＝﹣mx2+2mx+n，根据所给条件完成下列问题：
（1）当m＝1，n＝﹣1时，求C1的“2倍抛物线”C2的解析式；
（2）如图1，当n＝3m，且m＞0时，C1与x轴交于点A、B，C1的“﹣1倍抛物线”C3与x轴交于点C、D，与C1交于点E、F，是否存在合适的m值，使得四边形AECF是矩形，如果存在求出m的值；如果不存在请说明理由．
（3）如图2，当，n＝0时，抛物线C1的顶点记为M，与x轴的正半轴交于点A，抛物线C1的“k倍抛物线”C4顶点为N，点P在抛物线C4上，满足S△PMN＝S△AMN，且∠PNM＝90°，当|k|＞1时，求k的值．
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