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浙江省绍兴市上虞区2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题
1．（2024八下·上虞期末）关于数“ ”，下列说法正确的是（　　）
A．它是一个无理数 B．它是一个有理数
C．它是一个整数 D．它是一个分数
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：数“ ” 是一个无理数，
故答案为：A
【分析】根据实数的分类，及有理数、无理数的定义即可作出判断.
2．（2024八下·上虞期末）若一元二次方程有一个根为1，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
3．（2024八下·上虞期末）当时，反比例函数 的函数值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把代入得，
故答案为：B．
【分析】将代入反比例函数解析式，计算即可得到答案．
4．（2024八下·上虞期末）在四边形中，与互补，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵与互补，
∴
又∵，∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2)×180°=360°，
∴，
故答案为：C．
【分析】本题考查了多边形的内角和定理，根据多边形内角和公式求解即可．
5．（2024八下·上虞期末）甲、乙两名射击运动员在相同的条件下，各射击10次． 经计算：甲射击成绩的平均数是8环，且；乙射击成绩的平均数是8环，且．则下列说法中， 不一定正确的是（　　）
A．甲、乙射击的总环数相同 B．甲的成绩比乙的成绩稳定
C．乙的成绩比甲的成绩波动大 D．甲、乙两成绩的众数相同
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差；众数
【解析】【解答】解：由题意：甲和射击成绩的平均数都是8环，
∴甲的总环数=乙的总环数=8×10=80（环）
∴甲、乙的总环数相同，故选项A正确，不符合题意；
∵，，
．
∴甲的成绩比乙的成绩稳定，而乙的成绩比甲的成绩波动大，故选项B和选项C都正确，不符合题意；
∵不知道甲和乙两人10次射击的具体值，
∴不能得到甲、乙成绩的众数相同，故选项D不一定正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据平均数可计算总总环数，可判断选项A；方差用来衡量一组数据的波动大小，方差越大，波动越大，数据越不稳定；反之方差越小，波动越小，数据越稳定，据此可判断选项B，C；根据10次成绩的具体值的知否情况，可判断选项D.
6．（2024八下·上虞期末）如图，正方形的边长为8，为边上一点．若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，边长为8，
∴AB=AD=CD=8，∠A=∠D=90°.
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】由正方形的性质可得AB=AD=CD=8，∠A=∠D=90°.在△ABE中利用勾股定理可求得AE长，继而的ED长，再在△DEC中利用勾股定理，即可求得EC的长.
7．（2024八下·上虞期末）如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了，木板顶端向下滑动了，则小猫在木板上爬动的距离为（　　）m ．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：作图如下：
由题意可得：，∠C=90°，ED=AB，
∴CE=AE+AC=2m，
设CD=x m，则，
∴在中，，在中，，
∴，
解得：x=1.5
∴(m).
故答案为：B．
【分析】根据题意作图，根据木板长相等，利用勾股定理建立方程，求解即可.
8．（2024八下·上虞期末）已知点E，F分别在边长为3的正方形的边，上，且点F 为的三等分点，若平分，则的长为（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
，，
∵平分，
∴∠AEF=∠GEF.
延长EA到点G，使EG=EF，如图所示：
又∵∠AEF=∠GEF，BE=BE，
∴△GBE≌△FBE（SAS），
∴BG=BF.
又∵∠GAB=∠EAB=∠C=90°，
AB=CB，
∴△GAB≌△FCB（HL），
∴AG=CF.
设，则，
∵F为线段CD的三等分点，
①当时，，AG=CF=1.
∴，
在中，由得，
，
解得，
；
②当时，，AG=CF=2.
∴，
由得，
，
解得
．
综上，的长为或．
故答案为：A．
【分析】延长EA到点G，使EG=EF，结合正方形的性质可角平分线的定义，可利用SAS证明△GBE≌△FBE，进而再利用证明△GAB≌△FCB，可得AG=CF.设，则，EF=EG=AG+x．然后分两种情况讨论：①当时，②当时两种情况，在中利用勾股定理列方程求出x的值即可．
9．（2024八下·上虞期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，点H为的中点．连结并延长，分别交正方形各边于点M，N，P，Q，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接CF并延长，交AB于点T，过点B作BS⊥CT于点S，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，，
∴AB//CD，∠HGF=90°，，
∴∠CGF=∠HGF=90°.
∵点H为的中点，
∵四个直角三角形全等，
∴BG=DE=4，BF=CG=2，
∴，
∵GC=GF=2，
∴△FGC为等腰直角三角形，
∴∠HGE=∠GCF=∠GFC=45°，.
∴PQ//EC，
∴四边形PQTC为平行四边形，
∴TC=PQ.
∵BS⊥TC，∠BFS=∠GFC=45°，
∴，
∴.
∵
∴，
设，则.
∵，
∴，
解得：(舍负)，
∴.
故答案为：C．
【分析】连接CF并延长，交AB于点T，过点B作BS⊥CT于点S，根据正方形的性质AB//CD，∠HGF=90°，，于是可得∠CGF=90°，根据中点定义得DE=4，根据全等三角形的性质可求得AB的长，证明△FGC为等腰直角三角形可得FC的长，同时证明四边形PQTC为平行四边形，可得TC=PQ.利用等腰三角形的性质求得BS和CS的长，由等面积法得，设，可表示出TC的长，再利用勾股定理可得关于a的方程，求解即可得到答案。
10．（2024八下·上虞期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设原方程为，两个根为和；则新的方程为，两个根为2和．
∴，，
得，
∵两个方程不同，
∴a≠c，
∴，
∴，
∴．
①当时，代入新方程可得：，
解得：，
则，，
则．
②当时，代入新方程可得：，
解得：，
则，，
则．
综上，原方程两根的平方和是．
故答案为：D．
【分析】设原方程为，两个根为和．则新的方程为，两个根为2和．把根代入方程可得，，将①②联立可解得．分别把β=1和β=﹣1代入新方程，得到a、b、c之间的关系，再由根与系数的关系可求出与的值，进而可求出的值．
11．（2024八下·上虞期末）二次根式 中字母x的取值范围是　 　．
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解．主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．（2024八下·上虞期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴
解得，
故答案为：.
【分析】一元二次方程有两个相等的实数根，则，据此解答即可.
13．（2024八下·上虞期末）已知一组数据，，，的平均数是5，则另一组数据，，，的平均数是　 　．
【答案】20
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵数据，，，的平均数是5，
∴，
∴数据，，，的平均数为：
．
故答案为：20．
【分析】根据算术平均数的定义，先求得，然后再利用平均数公式计算，，，的平均数，将整体代入进去即可求解．
14．（2024八下·上虞期末）将两张同样宽度的纸片按如图方式叠放在一起，记重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为　 　．
【答案】12
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：作于E，于F，如图所示：
由题意知：，AE=AF.
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴
∴平行四边形是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=3 cm.
∴四边形的周长为，
故答案为：12．
【分析】作于E，于F，先证出四边形是平行四边形，再由AE=AF得到，得平行四边形是菱形，最后再利用菱形的周长公式计算周长即可.
15．（2024八下·上虞期末）如图，某小区规划在一个长为、宽为的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，若设通道的宽为．请补全关于 的方程：_________．
【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：把草坪部分全部转移到一起，图形可变形为：
∴四边形AEGF为矩形，
设通道的宽度为，
则BE=x m，FD=2x m，
∴AF=40－2x，AE=26－x，
根据题意，可得方程：
，
故答案为：．
【分析】把草坪部分全部转移到一起，得到平移后的图形，如果设通道的宽度为，可得新的矩形的长和宽，那么根据每一块草坪的面积都为，即可得出方程.
16．（2024八下·上虞期末）如图，在平行四边形纸片中，， 将纸片沿对角线对折，交边于点E，则折叠后图中重合部分的面积是　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AB=4cm，
∴∠ACB=90°－60°=30°，
∴BC=2AB=8cm，cm.
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=60°，
∴AD//BC，
∴∠FAE=∠ABC=60°.
∵折叠至处，，
∴，AF=AB=4cm，∠FAC=∠BAC=90°，
∴△AFE为等边三角形，△AFC为直角三角形.
∴AF=AE=EF=4cm.
过点E作EG⊥AF于点G，如图所示：
∴AG=GF=2cm，
∴cm，
∴.
故答案为：
【分析】先证明△AFE为等边三角形，△AFC为直角三角形，可得AF=AE=EF=4cm.过点E作EG⊥AF于点G，利用即可求出△ACE的面积.
17．（2024八下·上虞期末）如图，O是等边内任意一点，，点D，E，F分别在上．若，则等边的面积为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解，延长FO，交BC于点G，过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
∵是等边三角形，
∴
∵OF//AB，OE//AC，
∴OD//BG，OG//DE，∠FGC=∠B=60°=∠C=∠OEG，
∴四边形BGOD是平行四边形，△FGC和△OGE都是等边三角形，
∴BG=OD=3，GE=OE=OG=2，
∴GC=GF=GO+OF=2+1=3，
∴BC=BG+GC=6.
∴
∴，
∴，
故答案为：
【分析】延长FO，交BC于点G，过点A作AH⊥BC于点H，证明四边形BGOD是平行四边形，△FGC和△OGE都是等边三角形，利用等边三角形和平行四边形的性质可得BC的长为6，再由勾股定理得，即可利用三角形面积公式求△ABC的面积．
18．（2024八下·上虞期末）如图，矩形的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线的延长线交y轴于点E，连接，若的面积是2，则k的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：设，则，
∵矩形的顶点在反比例函数的图象上，
∴，
∵的面积是2，
∴，即，
∵，
，
∴，
即，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【分析】先设，得出，根据反比例函数的几何意义求出k=ab，根据的面积是2，得出，最后根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似以及相似三角形的对应边之比相等得出，即，求得的值即可．
19．（2024八下·上虞期末）解答下列各题：
（1）计算： ．
（2）设实数的整数部分为，小数部分为，求的值．
【答案】（1）解∶原式．
（2）解∶，
∴的整数部分为2，小数部分为，
∴，．
∴
．
【知识点】无理数的估值；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先算二次根式的平方，化简二次根式，再进行加减计算即可；
（2）根据，可得，．再根据平方差公式化简得，最后代入计算可得结论．
（1）解∶原式．
（2）解∶，
∴的整数部分为2，小数部分为，
∴，．
∴
．
20．（2024八下·上虞期末）解答下列各题：
（1）用配方法解方程：
（2）如图是 6×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，P各点都在格点上 ．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图．
①找出格点D，连结，使四边形是平行四边形．
②过点P作一条直线，使直线平分平行四边形的周长和面积．
【答案】（1）解：，，
，
，
∴；
（2）解：①取格点D，使得平行且等于即可得到平行四边形；
②连接交于点O，过点P、O作直线l交于点E，直线I平分平行四边形的周长和面积．
【知识点】配方法解一元二次方程；平行四边形的性质
21．（2024八下·上虞期末）电学知识告诉我们：用电器的功率P（单位：W）、两端的电压U（单位：V）及用电器的电阻R（单位∶Ω）有如下关系： ．现有一个电阻可调节的用电器，其范围为．已知电压为，这个用电器的电路图如图所示．
（1）写出功率P关于电阻R的函数关系式．
（2）这个用电器功率的范围是多少？
【答案】（1）解∶∵，
∴当时，．
（2）解：∵
把代入可得， ．
把代入可得：．
所以用电器功率的范围是．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）将代入中，即可得P与 R的函数关系式为；
（2）根据R的范围，将R的最小值和最大值分别代入中，即可求出P的最大值和最小值，由此可得P的范围．
（1）解∶根据电学知识，当时，由得．
（2）解：将电阻的最小值代入， 得 ．
将电阻的最大值代入， 得．
所以用电器功率的范围是．
22．（2024八下·上虞期末）保护水资源从我做起． 学校开展“节水护水”知识竞赛，从全校1800名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计分析，并将成绩（满分：100分）制成如下不完整的扇形统计图和条形统计图．请根据图中相关信息回答下列问题：
（1）抽样统计的学生竞赛成绩的中位数是__________；众数是__________．
（2）补全不完整的条形统计图．
（3）根据竞赛规则，98分及以上（含98分）的学生有资格进入第二轮复赛环节，请你估计全校1800名学生进入第二轮复赛环节的人数是多少？
【答案】（1）96，98
（2）解：其中得94分的学生有12人，故补全不完整的条形统计图：
（3）解：（人）
故全校1800名学生进入第二轮复赛环节的人数大概有810人．
【知识点】条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）解：该校抽取的学生一共有（人），
∴94分的学生人数为：60－6－15－18－9=12（人），
∴在这次抽取的学生中，成绩的中位数是（分）；
∵98出现的次数最多，
∴众数是98，
故答案为：96，98；
【分析】（1）由92分人数及其所占的百分比可得被调查的总人数，依据中位数和众数的定义求解即可；
（2）求出94分的人数，即可补全条形统计图；
（3）总人数乘以样本中98分及以上人数所占比例即可得到对应的大概人数．
（1）解：该校抽取的学生一共有（人），
在这次抽取的学生中，成绩的中位数是（分）；
98出现的次数最多，
∴众数是98，
故答案为：96，98；
（2）解：其中得94分的学生有（人）；
补全不完整的条形统计图：
（3）解：（人）
所以估计全校1800名学生进入第二轮复赛环节的人数是810人．
23．（2024八下·上虞期末）如图，已知直线和反比例函数 的图象交于第一象限的，两点．
（1）填空∶当时，n=__________；直线的函数表达式为__________．
（2）若把点先向左平移3个单位，再向下平移6个单位后得到的点D也在反比例函数的图象上，试求m和n的值．
（3）直接写出满足 的的取值范围．
【答案】（1），
（2）解：先向左平移3个单位，再向下平移6个单位后得到点D，
∴
由题意，点和点都在在该反比例函数图象上，
∴，
∴．
∴，
∴ ．
（3）解：由可得：
，
设，
则直线与关于原点对称，
∵ 直线和反比例函数 的图象交于第一象限的，两点，
∴直线和反比例函数 的图象交于第三象限的和两点，
∴不等式的的取值范围是或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：（1）若，则，
把代入得
．
∵也在该反比例函数图象上，
∴，
解得．
再把，代入，
得∶ ，
解得∶ ．
∴．
故答案为：，
【分析】（1）根据题意得，代入得；由也在该反比例函数图象上，得，再把分别代入，利用待定系数法可得结论；
（2）根据题意可得点平移后的点也在该反比例函数图象上，所以，解得.将代入解析式可得n的值；
（3）由题意得，由直线与关于原点对称，可得直线和反比例函数的图象交于第三象限的两点，结合图象可知满足不等式的x的取值范围
（1）解：若，则，
根据题意，把代入得．
∵也在该反比例函数图象上，
∴，
解得．
再把，分别代入，
得∶ ，
解得∶ ．
∴．
（2）解：如图，根据题意可得点平移后的点也在该反比例函数图象上，
∴，
解得．
∴，解得 ．
（3）解：∵，
移项可得，
如图，直线与关于原点对称，
∴直线和反比例函数的图象交于第三象限的两点，
结合图象可知满足不等式的的取值范围是或．
24．（2024八下·上虞期末）含有公共顶点A的正方形和正方形按图1所示放置，连结．
（1）求证：．
（2）如图2，把图1中的正方形绕点A旋转，边刚好经过点B，此时对角线与正方形的对角线交于点O，与边交于点H．
①求证：．
②若，，请直接写出和的长．
【答案】（1）证明：∵四边形和四边形都是正方形．
∴，
∴．
在△AEB和△AGD中，
∴．
（2）①证明：由（1）可知，∴，
∵∠AGD+∠AGF=180°，
∴点F，G，D共线．
过点D作交延长线于点K，如图所示：
∵EG是正方形AGGE的对角线，
∴∠AGF=∠AEF=90°，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
②，．
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【解答】（2）②解：∵，为等腰直角三角形，
∴．
∵，在中，由勾股定理可得．
∴，
∴．
∴．
由①知，
∴．
如图，设交于点P，作于点Q，设，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
【分析】
（1）根据正方形的性质可得，于是得∠EAB=∠GAD，再根据SAS即可证明全等；
（2）①由（1）可知，证出点F，G，D共线．如图，过点D作交延长线于点K，得出是等腰直角三角形，可证明，即可证明．
（2）②根据，为等腰直角三角形，得出．由勾股定理得，，于是可得．再由全等三角形的性质即可得OE的长．设交于点P，作于点Q，设，则，，得出，，即可求解．
（1）证明：∵四边形和四边形都是正方形．
∴，
∴，
即．
∴．
（2）①证明：由（1）可知，
∴，
∴点F，G，D共线．
如图，过点D作交延长线于点K，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，．
又∵，
∴，
∴．
②解：∵，为等腰直角三角形，
∴．
∵，在中，由勾股定理可得．
∴，
∴．
∴．
由①知，
∴．
如图，设交于点P，作于点Q，设，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
1 / 1浙江省绍兴市上虞区2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题
1．（2024八下·上虞期末）关于数“ ”，下列说法正确的是（　　）
A．它是一个无理数 B．它是一个有理数
C．它是一个整数 D．它是一个分数
2．（2024八下·上虞期末）若一元二次方程有一个根为1，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·上虞期末）当时，反比例函数 的函数值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·上虞期末）在四边形中，与互补，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·上虞期末）甲、乙两名射击运动员在相同的条件下，各射击10次． 经计算：甲射击成绩的平均数是8环，且；乙射击成绩的平均数是8环，且．则下列说法中， 不一定正确的是（　　）
A．甲、乙射击的总环数相同 B．甲的成绩比乙的成绩稳定
C．乙的成绩比甲的成绩波动大 D．甲、乙两成绩的众数相同
6．（2024八下·上虞期末）如图，正方形的边长为8，为边上一点．若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·上虞期末）如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了，木板顶端向下滑动了，则小猫在木板上爬动的距离为（　　）m ．
A． B． C． D．
8．（2024八下·上虞期末）已知点E，F分别在边长为3的正方形的边，上，且点F 为的三等分点，若平分，则的长为（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
9．（2024八下·上虞期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，点H为的中点．连结并延长，分别交正方形各边于点M，N，P，Q，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·上虞期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（　　）
A． B． C． D．
11．（2024八下·上虞期末）二次根式 中字母x的取值范围是　 　．
12．（2024八下·上虞期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则　 　.
13．（2024八下·上虞期末）已知一组数据，，，的平均数是5，则另一组数据，，，的平均数是　 　．
14．（2024八下·上虞期末）将两张同样宽度的纸片按如图方式叠放在一起，记重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为　 　．
15．（2024八下·上虞期末）如图，某小区规划在一个长为、宽为的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，若设通道的宽为．请补全关于 的方程：_________．
16．（2024八下·上虞期末）如图，在平行四边形纸片中，， 将纸片沿对角线对折，交边于点E，则折叠后图中重合部分的面积是　 　．
17．（2024八下·上虞期末）如图，O是等边内任意一点，，点D，E，F分别在上．若，则等边的面积为　 　．
18．（2024八下·上虞期末）如图，矩形的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线的延长线交y轴于点E，连接，若的面积是2，则k的值为　 　．
19．（2024八下·上虞期末）解答下列各题：
（1）计算： ．
（2）设实数的整数部分为，小数部分为，求的值．
20．（2024八下·上虞期末）解答下列各题：
（1）用配方法解方程：
（2）如图是 6×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，P各点都在格点上 ．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图．
①找出格点D，连结，使四边形是平行四边形．
②过点P作一条直线，使直线平分平行四边形的周长和面积．
21．（2024八下·上虞期末）电学知识告诉我们：用电器的功率P（单位：W）、两端的电压U（单位：V）及用电器的电阻R（单位∶Ω）有如下关系： ．现有一个电阻可调节的用电器，其范围为．已知电压为，这个用电器的电路图如图所示．
（1）写出功率P关于电阻R的函数关系式．
（2）这个用电器功率的范围是多少？
22．（2024八下·上虞期末）保护水资源从我做起． 学校开展“节水护水”知识竞赛，从全校1800名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计分析，并将成绩（满分：100分）制成如下不完整的扇形统计图和条形统计图．请根据图中相关信息回答下列问题：
（1）抽样统计的学生竞赛成绩的中位数是__________；众数是__________．
（2）补全不完整的条形统计图．
（3）根据竞赛规则，98分及以上（含98分）的学生有资格进入第二轮复赛环节，请你估计全校1800名学生进入第二轮复赛环节的人数是多少？
23．（2024八下·上虞期末）如图，已知直线和反比例函数 的图象交于第一象限的，两点．
（1）填空∶当时，n=__________；直线的函数表达式为__________．
（2）若把点先向左平移3个单位，再向下平移6个单位后得到的点D也在反比例函数的图象上，试求m和n的值．
（3）直接写出满足 的的取值范围．
24．（2024八下·上虞期末）含有公共顶点A的正方形和正方形按图1所示放置，连结．
（1）求证：．
（2）如图2，把图1中的正方形绕点A旋转，边刚好经过点B，此时对角线与正方形的对角线交于点O，与边交于点H．
①求证：．
②若，，请直接写出和的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：数“ ” 是一个无理数，
故答案为：A
【分析】根据实数的分类，及有理数、无理数的定义即可作出判断.
2．【答案】D
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
3．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把代入得，
故答案为：B．
【分析】将代入反比例函数解析式，计算即可得到答案．
4．【答案】C
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵与互补，
∴
又∵，∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2)×180°=360°，
∴，
故答案为：C．
【分析】本题考查了多边形的内角和定理，根据多边形内角和公式求解即可．
5．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差；众数
【解析】【解答】解：由题意：甲和射击成绩的平均数都是8环，
∴甲的总环数=乙的总环数=8×10=80（环）
∴甲、乙的总环数相同，故选项A正确，不符合题意；
∵，，
．
∴甲的成绩比乙的成绩稳定，而乙的成绩比甲的成绩波动大，故选项B和选项C都正确，不符合题意；
∵不知道甲和乙两人10次射击的具体值，
∴不能得到甲、乙成绩的众数相同，故选项D不一定正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据平均数可计算总总环数，可判断选项A；方差用来衡量一组数据的波动大小，方差越大，波动越大，数据越不稳定；反之方差越小，波动越小，数据越稳定，据此可判断选项B，C；根据10次成绩的具体值的知否情况，可判断选项D.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，边长为8，
∴AB=AD=CD=8，∠A=∠D=90°.
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】由正方形的性质可得AB=AD=CD=8，∠A=∠D=90°.在△ABE中利用勾股定理可求得AE长，继而的ED长，再在△DEC中利用勾股定理，即可求得EC的长.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：作图如下：
由题意可得：，∠C=90°，ED=AB，
∴CE=AE+AC=2m，
设CD=x m，则，
∴在中，，在中，，
∴，
解得：x=1.5
∴(m).
故答案为：B．
【分析】根据题意作图，根据木板长相等，利用勾股定理建立方程，求解即可.
8．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
，，
∵平分，
∴∠AEF=∠GEF.
延长EA到点G，使EG=EF，如图所示：
又∵∠AEF=∠GEF，BE=BE，
∴△GBE≌△FBE（SAS），
∴BG=BF.
又∵∠GAB=∠EAB=∠C=90°，
AB=CB，
∴△GAB≌△FCB（HL），
∴AG=CF.
设，则，
∵F为线段CD的三等分点，
①当时，，AG=CF=1.
∴，
在中，由得，
，
解得，
；
②当时，，AG=CF=2.
∴，
由得，
，
解得
．
综上，的长为或．
故答案为：A．
【分析】延长EA到点G，使EG=EF，结合正方形的性质可角平分线的定义，可利用SAS证明△GBE≌△FBE，进而再利用证明△GAB≌△FCB，可得AG=CF.设，则，EF=EG=AG+x．然后分两种情况讨论：①当时，②当时两种情况，在中利用勾股定理列方程求出x的值即可．
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接CF并延长，交AB于点T，过点B作BS⊥CT于点S，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，，
∴AB//CD，∠HGF=90°，，
∴∠CGF=∠HGF=90°.
∵点H为的中点，
∵四个直角三角形全等，
∴BG=DE=4，BF=CG=2，
∴，
∵GC=GF=2，
∴△FGC为等腰直角三角形，
∴∠HGE=∠GCF=∠GFC=45°，.
∴PQ//EC，
∴四边形PQTC为平行四边形，
∴TC=PQ.
∵BS⊥TC，∠BFS=∠GFC=45°，
∴，
∴.
∵
∴，
设，则.
∵，
∴，
解得：(舍负)，
∴.
故答案为：C．
【分析】连接CF并延长，交AB于点T，过点B作BS⊥CT于点S，根据正方形的性质AB//CD，∠HGF=90°，，于是可得∠CGF=90°，根据中点定义得DE=4，根据全等三角形的性质可求得AB的长，证明△FGC为等腰直角三角形可得FC的长，同时证明四边形PQTC为平行四边形，可得TC=PQ.利用等腰三角形的性质求得BS和CS的长，由等面积法得，设，可表示出TC的长，再利用勾股定理可得关于a的方程，求解即可得到答案。
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设原方程为，两个根为和；则新的方程为，两个根为2和．
∴，，
得，
∵两个方程不同，
∴a≠c，
∴，
∴，
∴．
①当时，代入新方程可得：，
解得：，
则，，
则．
②当时，代入新方程可得：，
解得：，
则，，
则．
综上，原方程两根的平方和是．
故答案为：D．
【分析】设原方程为，两个根为和．则新的方程为，两个根为2和．把根代入方程可得，，将①②联立可解得．分别把β=1和β=﹣1代入新方程，得到a、b、c之间的关系，再由根与系数的关系可求出与的值，进而可求出的值．
11．【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解．主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴
解得，
故答案为：.
【分析】一元二次方程有两个相等的实数根，则，据此解答即可.
13．【答案】20
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵数据，，，的平均数是5，
∴，
∴数据，，，的平均数为：
．
故答案为：20．
【分析】根据算术平均数的定义，先求得，然后再利用平均数公式计算，，，的平均数，将整体代入进去即可求解．
14．【答案】12
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：作于E，于F，如图所示：
由题意知：，AE=AF.
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴
∴平行四边形是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=3 cm.
∴四边形的周长为，
故答案为：12．
【分析】作于E，于F，先证出四边形是平行四边形，再由AE=AF得到，得平行四边形是菱形，最后再利用菱形的周长公式计算周长即可.
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：把草坪部分全部转移到一起，图形可变形为：
∴四边形AEGF为矩形，
设通道的宽度为，
则BE=x m，FD=2x m，
∴AF=40－2x，AE=26－x，
根据题意，可得方程：
，
故答案为：．
【分析】把草坪部分全部转移到一起，得到平移后的图形，如果设通道的宽度为，可得新的矩形的长和宽，那么根据每一块草坪的面积都为，即可得出方程.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AB=4cm，
∴∠ACB=90°－60°=30°，
∴BC=2AB=8cm，cm.
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=60°，
∴AD//BC，
∴∠FAE=∠ABC=60°.
∵折叠至处，，
∴，AF=AB=4cm，∠FAC=∠BAC=90°，
∴△AFE为等边三角形，△AFC为直角三角形.
∴AF=AE=EF=4cm.
过点E作EG⊥AF于点G，如图所示：
∴AG=GF=2cm，
∴cm，
∴.
故答案为：
【分析】先证明△AFE为等边三角形，△AFC为直角三角形，可得AF=AE=EF=4cm.过点E作EG⊥AF于点G，利用即可求出△ACE的面积.
17．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解，延长FO，交BC于点G，过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
∵是等边三角形，
∴
∵OF//AB，OE//AC，
∴OD//BG，OG//DE，∠FGC=∠B=60°=∠C=∠OEG，
∴四边形BGOD是平行四边形，△FGC和△OGE都是等边三角形，
∴BG=OD=3，GE=OE=OG=2，
∴GC=GF=GO+OF=2+1=3，
∴BC=BG+GC=6.
∴
∴，
∴，
故答案为：
【分析】延长FO，交BC于点G，过点A作AH⊥BC于点H，证明四边形BGOD是平行四边形，△FGC和△OGE都是等边三角形，利用等边三角形和平行四边形的性质可得BC的长为6，再由勾股定理得，即可利用三角形面积公式求△ABC的面积．
18．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：设，则，
∵矩形的顶点在反比例函数的图象上，
∴，
∵的面积是2，
∴，即，
∵，
，
∴，
即，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【分析】先设，得出，根据反比例函数的几何意义求出k=ab，根据的面积是2，得出，最后根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似以及相似三角形的对应边之比相等得出，即，求得的值即可．
19．【答案】（1）解∶原式．
（2）解∶，
∴的整数部分为2，小数部分为，
∴，．
∴
．
【知识点】无理数的估值；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先算二次根式的平方，化简二次根式，再进行加减计算即可；
（2）根据，可得，．再根据平方差公式化简得，最后代入计算可得结论．
（1）解∶原式．
（2）解∶，
∴的整数部分为2，小数部分为，
∴，．
∴
．
20．【答案】（1）解：，，
，
，
∴；
（2）解：①取格点D，使得平行且等于即可得到平行四边形；
②连接交于点O，过点P、O作直线l交于点E，直线I平分平行四边形的周长和面积．
【知识点】配方法解一元二次方程；平行四边形的性质
21．【答案】（1）解∶∵，
∴当时，．
（2）解：∵
把代入可得， ．
把代入可得：．
所以用电器功率的范围是．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）将代入中，即可得P与 R的函数关系式为；
（2）根据R的范围，将R的最小值和最大值分别代入中，即可求出P的最大值和最小值，由此可得P的范围．
（1）解∶根据电学知识，当时，由得．
（2）解：将电阻的最小值代入， 得 ．
将电阻的最大值代入， 得．
所以用电器功率的范围是．
22．【答案】（1）96，98
（2）解：其中得94分的学生有12人，故补全不完整的条形统计图：
（3）解：（人）
故全校1800名学生进入第二轮复赛环节的人数大概有810人．
【知识点】条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）解：该校抽取的学生一共有（人），
∴94分的学生人数为：60－6－15－18－9=12（人），
∴在这次抽取的学生中，成绩的中位数是（分）；
∵98出现的次数最多，
∴众数是98，
故答案为：96，98；
【分析】（1）由92分人数及其所占的百分比可得被调查的总人数，依据中位数和众数的定义求解即可；
（2）求出94分的人数，即可补全条形统计图；
（3）总人数乘以样本中98分及以上人数所占比例即可得到对应的大概人数．
（1）解：该校抽取的学生一共有（人），
在这次抽取的学生中，成绩的中位数是（分）；
98出现的次数最多，
∴众数是98，
故答案为：96，98；
（2）解：其中得94分的学生有（人）；
补全不完整的条形统计图：
（3）解：（人）
所以估计全校1800名学生进入第二轮复赛环节的人数是810人．
23．【答案】（1），
（2）解：先向左平移3个单位，再向下平移6个单位后得到点D，
∴
由题意，点和点都在在该反比例函数图象上，
∴，
∴．
∴，
∴ ．
（3）解：由可得：
，
设，
则直线与关于原点对称，
∵ 直线和反比例函数 的图象交于第一象限的，两点，
∴直线和反比例函数 的图象交于第三象限的和两点，
∴不等式的的取值范围是或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：（1）若，则，
把代入得
．
∵也在该反比例函数图象上，
∴，
解得．
再把，代入，
得∶ ，
解得∶ ．
∴．
故答案为：，
【分析】（1）根据题意得，代入得；由也在该反比例函数图象上，得，再把分别代入，利用待定系数法可得结论；
（2）根据题意可得点平移后的点也在该反比例函数图象上，所以，解得.将代入解析式可得n的值；
（3）由题意得，由直线与关于原点对称，可得直线和反比例函数的图象交于第三象限的两点，结合图象可知满足不等式的x的取值范围
（1）解：若，则，
根据题意，把代入得．
∵也在该反比例函数图象上，
∴，
解得．
再把，分别代入，
得∶ ，
解得∶ ．
∴．
（2）解：如图，根据题意可得点平移后的点也在该反比例函数图象上，
∴，
解得．
∴，解得 ．
（3）解：∵，
移项可得，
如图，直线与关于原点对称，
∴直线和反比例函数的图象交于第三象限的两点，
结合图象可知满足不等式的的取值范围是或．
24．【答案】（1）证明：∵四边形和四边形都是正方形．
∴，
∴．
在△AEB和△AGD中，
∴．
（2）①证明：由（1）可知，∴，
∵∠AGD+∠AGF=180°，
∴点F，G，D共线．
过点D作交延长线于点K，如图所示：
∵EG是正方形AGGE的对角线，
∴∠AGF=∠AEF=90°，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
②，．
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【解答】（2）②解：∵，为等腰直角三角形，
∴．
∵，在中，由勾股定理可得．
∴，
∴．
∴．
由①知，
∴．
如图，设交于点P，作于点Q，设，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
【分析】
（1）根据正方形的性质可得，于是得∠EAB=∠GAD，再根据SAS即可证明全等；
（2）①由（1）可知，证出点F，G，D共线．如图，过点D作交延长线于点K，得出是等腰直角三角形，可证明，即可证明．
（2）②根据，为等腰直角三角形，得出．由勾股定理得，，于是可得．再由全等三角形的性质即可得OE的长．设交于点P，作于点Q，设，则，，得出，，即可求解．
（1）证明：∵四边形和四边形都是正方形．
∴，
∴，
即．
∴．
（2）①证明：由（1）可知，
∴，
∴点F，G，D共线．
如图，过点D作交延长线于点K，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，．
又∵，
∴，
∴．
②解：∵，为等腰直角三角形，
∴．
∵，在中，由勾股定理可得．
∴，
∴．
∴．
由①知，
∴．
如图，设交于点P，作于点Q，设，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
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