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2024-2025学年中考数学复习专题——垂径定理及应用
一、选择题
1.(2025·四川省德阳市·期中)如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为，且，的直径为，则的长等于( )
A. B. C. D.
2.(2025·浙江省温州市·期末考试)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图，点表示筒车的一个盛水桶．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
3.(2025·河北省秦皇岛市·期末考试)一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，请你帮忙计算纸杯的直径为( )
A. B. C. D.
4.(2025·广东省惠州市·期末考试)如图，在中，弦的长为，圆心到的距离，则的半径长为 ( )
A. B. C. D.
5.(2025·山东省德州市·模拟题)如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
6.(2025·湖北省·模拟题)如图，在中，以为直径的经过点以点为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，画射线分别交弦、劣弧于点、，连接下列结论正确的是( )
A. B.
C. 点为弦的中点 D. 点为劣弧的中点
7.(2025·湖北省襄阳市·模拟题)如图，为的直径，，为的弦，，，，则的长是( )
A. B. C. D.
8.(2025·河北省秦皇岛市·模拟题)已知线段，如图，甲和乙两位同学用自己的方法确定了以为半径，为圆心的圆对于这两种作图方法，下列说法正确的是( )
A. 甲和乙的方法均正确 B. 甲和乙的方法均不正确
C. 甲的方法正确，乙的方法不正确 D. 甲的方法不正确，乙的方法正确
二、填空题
9.(2025·江苏省盐城市·期中)如图，是的直径，点在上，于点已知，，则的半径为 ．
10.(2025·广东省清远市·期中考试)如图，在中，，，，垂足为点，，垂足为点，，则四边形的面积是______．
11.(2025·江苏省扬州市·模拟题)如图，为直角三角形，且，以为圆心，为半径作圆与交于点，过点作于点交圆于点，延长交圆于点，连结交于点，若圆的半径为，，则的长为______．
12.(2025·澳门特别行政区澳门·期中考试)如图，内接于，，交于点，连接，则的度数为________
13.(2025·江苏省泰州市·期末考试)如图，是的直径，为上一点，连接、，过点作于点，交于点，连接若，，则的长是 ．
14.(2025·北京市市辖区·月考试卷)如图，以为圆心，半径为的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点，点为圆上一动点，于，当点在圆的运动过程中，线段的长度的最小值为______．
三、解答题：
15.(2025·广东省·同步练习)
如图，在中，为的弦，、是直线上两点，且求证：为等腰三角形．
16.(2025·江苏省无锡市·期中)
如图，已知点、、在上，点在外，，交于点．
求证：是的切线；
若的半径为，，求线段的长．
17.(2025·河北省秦皇岛市·模拟题)
如图，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图所示，相关信息如下：
信息二：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米．
信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆请根据以上信息解答下列问题：
求喷泉的半径；
要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？取，结果保留整数
18.(2025·河北省保定市·模拟题)
如图是放于水平桌面上的带底座的鱼缸，其主体部分的纵截面是弓形，开口部分与桌面平行，将一玻璃棒斜放进鱼缸鱼缸内无水，使玻璃棒底端恰在弧的中点处，发现，将玻璃棒竖立起来时，测得．
求的度数，并求的长
求弧的长
若向鱼缸内加水，使水面的宽度为，求鱼缸内水的深度．
19.(2024·浙江省温州市·期中考试)
如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米．
求圆弧所在的圆的半径的长；
当洪水泛滥到跨度只有米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有米，即米时，是否要采取紧急措施？
20.(2025·河南省郑州市·模拟题)
如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为，直径是河底线，弦是水位线，，米，．
求的长．
一艘船要经过该桥洞，矩形是该船水面以上部分的截面简化示意图，宽为米，高为米受天气影响，若该船随水面上升米，请判断该船能否通过该桥洞，并说明理由．
参考答案
1.
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13.
14.
15.证明：过点点作，垂足为．
，
．
，
．
又，
．
为等腰三角形．

16.证明：连接并延长交于点，连接，
，
，
，
为直径，
，
，
，
即，
是的直径，
是的切线；
解：连接，交于点，
，
，
，
，
同对，
，
在中，，
，
．
17.喷泉的半径为米；
大约需要安装盏景观灯．
18.解：如图，设圆心为，连接，．
点是的中点，
，
，
，
，
是等边三角形，
，平分，
，
，
，
，
，
；
，
的长；
由题意，，
，
，
当在点的下方时，．
综上所述，水面的宽度为，鱼缸内水的深度为或．
19.解：连结，
由题意得：米，米，
在中，由勾股定理得：，
解得，，
故圆弧所在的圆的半径的长为米；
连结，
米，
在中，由勾股定理得：，
即：，解得：米．
米．
米米，
不需要采取紧急措施．
20.解：如图，过点作于点，则，．
连接，则米，依据：圆周角定理，
，
，
米．
该船能通过该桥洞．理由：如图，延长交于点，交半圆于点，则米，米．由得米，
米．
若该船随水面上升米，
则点到线段的距离为米．
若该船刚好能通过该桥洞，情形如图，过点作于点，延长交于点，连接，
则米，米．
在中，由勾股定理得米．
米．
，
该船能通过该桥洞．

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