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第8章　8.2立体图形的直观图
一、选择题
1．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′＝( )
A．45° B．135°
C．90° D．45°或135°
2．AB＝2CD，AB∥x轴，CD∥y轴，已知在直观图中，AB的直观图是A′B′，CD的直观图是C′D′，则( )
A．A′B′＝2C′D′　　　　　 B．A′B′＝C′D′
C．A′B′＝4C′D′ D．A′B′＝C′D′
3．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，则以下说法正确的是( )
A．△ABC是钝角三角形
B．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是等边三角形
4．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，△A′B′C′为等腰直角三角形，其中O′与A′重合，A′B′＝4，则△ABC的面积是( )
A．8 B．8
C．2 D．2
5．(多选题)如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，则关于平面四边形OABC有( )
A．图形为矩形 B．周长为8 cm
C．边OC的长度为2 cm D．面积为2 cm2
6．下图甲所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的( )
7．如图，一个水平放置的平面图形的直观图A′B′C′D′是边长为2的菱形，且O′D′＝2，则原平面图形的周长为( )
A．4＋4 B．4＋4
C．8 D．8
8．(多选题)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下述结论正确的是( )
A．梯形的直观图仍旧是梯形
B．若△ABC的直观图是边长为2的等边三角形，那么△ABC的面积为
C．△ABC的直观图如图所示，A′B′在x′轴上且A′B′＝2，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝，则△ABC的面积为4
D．菱形的直观图可以是正方形
二、填空题
9.如右图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是___.
10．如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为　 .
11．如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为___.
12.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是___.
13．如图所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，则△ABC的边AB上的高为 　 .
三、解答题
14.如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积．
15．用斜二测画法画出底面边长为1.4 cm高为0.9 cm的正四棱锥的直观图．
16．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为4 cm，圆锥的高为3 cm，画出此几何体的直观图．
第8章　8.2立体图形的直观图
一、选择题
1．D
　在直观图中，由斜二测画法知∠x′O′y′＝45°或∠x′O′y′＝135°，即∠A′＝45°或∠A′＝135°，故选D.
2．C
∵AB∥x轴，CD∥y轴，
∴AB＝A′B′，CD＝2C′D′，
∴A′B′＝AB＝2CD＝2(2C′D′)＝4C′D′.
3. C
将其还原成原图，设A′C′＝2，则可得OB＝2O′B′＝1，
AC＝A′C′＝2，从而AB＝BC＝，所以AB2＋BC2＝AC2，
即AB⊥BC，故△ABC是等腰直角三角形．
故选C.
4．B
∵A′B′＝4，O′C′⊥B′C′，O′C′＝B′C′，
∴O′C′＝2，则△ABC如图所示，
其中AB⊥AC，AB＝4，AC＝4，
∴S△ABC＝AB·AC＝8.
5．BD
把直观图O′A′B′C′还原为原图形OABC，如图所示，所以原图形OABC为平行四边形，故A错误；根据题意，OA＝O′A′＝1 cm，OB＝2O′B′＝2 cm，AB＝OC＝＝3 cm，平面四边形OABC的周长为3＋3＋1＋1＝8 cm，故B正确，C错误；所以平行四边形OABC的面积S＝2×1＝2 cm2，故D正确．
6．C
　按斜二测画法规则，平行于x轴或x轴上的线段的长度在新坐标系中不变，平行于y轴或在y轴上的线段在新坐标系中变为原来的，并注意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′＝45°，将图形还原成原图形知选C.
7．B
　由题可知O′D′＝A′D′＝2，∠A′O′D′＝45°，
∴O′A′＝2，还原直观图可得原平面图形，如图，
则OD＝2O′D′＝4，OA＝O′A′＝2，AB＝DC＝2，
∴AD＝＝＝2，
∴原平面图形的周长为4＋4.
故选B.
8．AC
　由于斜二测画法平行关系不变，故梯形的直观图仍旧是梯形，故A正确；直观图面积为×4＝，根据直观图与原图面积关系可得＝S，解得S＝2，故B错误；直观图中S△A′B′C′＝×2×＝，则△ABC的面积S＝＝4，故C正确．由于平行于y轴的线段长度减半，故菱形的直观图一定是邻边不等的平行四边形，故D错误．故选AC.
二、填空题
9. _10__.
　由斜二测画法，可知△ABC是直角三角形，且∠BCA＝90°，AC＝6，BC＝4×2＝8，则AB＝＝10.
10． 　.
如图，B′C′＝1，B′到x′轴的距离为1×sin 45°＝.
故答案为.
11． _10__.
　由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.
12. _AC__.
　画出原图形如图所示，△ABC为直角三角形，显然，AC边最长．
13． 6　.
　作线段C′D∥y′，交x′轴于点D，
则C′D＝＝＝3，
所以边AB上的高为2C′D＝6.故答案为6.
三、解答题
14.
　在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，在直观图中，O′D′＝OD，梯形的高D′E′＝，于是梯形A′B′C′D的面积为×(1＋2)×＝.
15．
　(1)画轴，如图1画x′轴，y′轴，z′轴使得∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°.
(2)画底面以点O′为中心，在x′轴上画MN＝1.4 cm，在y′轴上画PQ＝0.7 cm，分别过点M，N作y′轴的平行线，过点P，Q作x′轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，则四边形ABCD就是该棱锥的底面．
(3)画高确定顶点，在z′轴上截取O′S＝0.9 cm.
(4)连线成图，连接SA，SB，SC，SD(注意区别实线和虚线)，去掉辅助线，就得到了正四棱锥的直观图，如图2所示．
16．
(1)画轴．如图1所示，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画圆柱的两底面，在x轴上取A、B两点，使AB的长度等于3 cm，且OA＝OB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱的下底面．在Oz上截取点O′，使OO′＝4 cm，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面．
(3)画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于圆锥的高3 cm.
(4)成图．连接A′A、B′B、PA′、PB′，整理得到此几何体的直观图．如图2所示．

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