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浙江省杭州市保俶塔教育集团2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
1．（2024七下·杭州期中）计算的结果是（　　）
A．1 B．0 C． D．
2．（2024七下·杭州期中）石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.00000000034m，这个数用科学记数法表示正确的是（　　）
A．3.4×10-9m B．0.34×10-9m C．3.4×10-10m D．3.4×10-11m
3．（2024七下·杭州期中）已知 是方程 的一个解，那么 的值是（　　）
A．1 B．3 C．-3 D．-1
4．（2024七下·杭州期中）如图所示，在下列四组条件中，不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024七下·杭州期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024七下·杭州期中）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马 若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024七下·杭州期中）如图，将四边形沿折叠一下，如果，，那么是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024七下·杭州期中）如图，将沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为（　　）
A．54 B．42 C．36 D．24
9．（2024七下·杭州期中）有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙阴影部分的面积分别为1和10，则正方形的面积之和为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
10．（2024七下·杭州期中）已知关于，的方程组，给出下列结论：
①当时，方程组的解也是的解；
②无论取何值，，的值不可能是互为相反数；
③，都为自然数的解有4对；
④若，则. 其中正确的有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
11．（2024七下·杭州期中）计算：（a+2b）（a﹣2b）=　 　
12．（2024七下·杭州期中）已知二元一次方程，用含的代数式表示，则　 　．
13．（2024七下·杭州期中）如图，，平分，且，则的度数是　 　．
14．（2024七下·杭州期中）如图，现有，类两类正方形卡片和类长方形卡片各若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要类卡片张数为　 　．
15．（2024七下·杭州期中）关于，的方程组的解为，则方程组的解是　 　．
16．（2024七下·杭州期中）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则　 　．
17．（2024七下·杭州期中）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024七下·杭州期中）下面是圆圆同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组： 解：由，得③ ……第一步 ，得. ……第二步 将代入①，解得. ……第三步 所以，原方程组的解为 ……第四步
（1）第 步开始出现错误，这一步正确的写法是 ．
（2）求出该方程组正确的解．
19．（2024七下·杭州期中）（1）先化简，再求值：，其中，．
（2）已知的展开项不含和项，求分别求出，的值．
20．（2024七下·杭州期中）定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“加乘数”．
（1）若，，求，的“加乘数”；
（2）若，，求，的“加乘数”．
21．（2024七下·杭州期中）如图，已知，，且．
（1）求证：；
（2）求的度数．
22．（2024七下·杭州期中）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（为正整数），面积分别为、．
（1）请比较与的大小： _______；
（2）若一个正方形与甲的周长相等．
①求该正方形的边长（用含的代数式表示）；
②芳该正方形的面积为，试探究：与的差（即）是否为常数？若为常数，求出这个常数；如果不是，请说明理由；
23．（2024七下·杭州期中）踏春时节，某班学生集体组织亲子游，沿着瓯江口樱花步道骑自行车，该班学生花了950元租了若干辆自行车，已知自行车的类型和租车价格如下表：
自行车类型 型车 型车 型车
座位数（个） 2 3 4
租车价格（元/辆） 30 45 55
（1）若同时租用、两种类型的车，且共有65个座位，则应租、类型车各多少辆？
（2）若型车租4辆，余下的租用型和型，要求每种车至少租用1辆，请你帮他们设计型车和型车的租车方案．
（3）若同时租用这三类车，且每种车至少租用1辆，则最多能租到______个座位．（直接写出答案）
24．（2024七下·杭州期中）如图，已知点，分别是直线，上的点，，且．
（1）的度数为 ．
（2）如图，射线以每秒的速度绕点从开始顺时针旋转，射线以每秒的速度绕点从开始顺时针旋转，当射线旋转到与重合时，两条射线同时停止旋转．
①当，是否存在，使得？请说明理由．
②如图，当时，射线和射线交于点，用含的代数式表示的度数．
③在②的条件上，过点作交于点，在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：，
故选：A．
【分析】根据零指数幂运算法则直接计算即可．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 小数点向右移动10位得a=3.4，则n=-10，即3.4×10-10m，
故选：C．
【分析】用科学记数法表示数：把一个数字记为a×10n的形式(1≤|a|<10，n为整数)．小数点向右移动几位，n就是负几.
3．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】将 代入方程 得 ，解得 ．
故答案为：1.
【分析】本题考查二元一次方程解的逆向应用，已知方程的解求解原方程的未知数，将解代入即可.
4．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、当∠1=∠2时，ADBC，此选项不符合题意；
B、当∠3=∠4时，ADBC，此选项不符合题意；
C、当∠BAD+∠ABC=180°时，ADBC，此选项不符合题意；
D、当∠BAC=∠ACD时，ABCD，此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】A、根据∠1和∠2是由直线AD、BC被第三条直线AC所截而成，由“内错角相等，两直线平行”可判断AD∥BC；
B、根据∠3和∠4是由直线AD、BC被第三条直线AC所截而成，由“内错角相等，两直线平行”可判断AD∥BC；
C、根据∠BAD和∠ABC是由直线AD、BC被第三条直线AB所截而成，由“同旁内角互补，两直线平行”可判断AD∥BC；
D、根据∠BAC和∠ACD是由直线AB、CD被第三条直线AC所截而成，由“内错角相等，两直线平行”可判断AB∥CD．
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. 与a3不能合并，故A项不符合题意；
B. ，故A项不符合题意；
C. ，故C项符合题意；
D. ，故D项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方和积的乘方计算即可求得.
6．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解 ：设大马有x匹，小马有y匹，据题意得
故应选 ：D。
【分析】设大马有x匹，小马有y匹，根据大马与小马的总匹数是100，1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦共拉100匹瓦，列出方程组。
7．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，同旁内角互补
8．【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵沿着点到的方向平移到的位置，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据平移的性质得出，推出，再根据和梯形的面积公式，即可求得．
9．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图甲得，，即，
由图乙得，，整理得，
∴，
即正方形A、B的面积之和为11.
故答案为：C.
【分析】根据图形中的数量关系和完全平方公式可得和，进而求得a2+b2的值，即为所求.
10．【答案】C
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：解原方程组，得①当时，原方程组的解为
将它代入
左边=，右边为，
∴①正确；
②当，的值互为相反数时，即
解得
∴当时，，的值互为相反数，
∴②不正确；
③∵原方程组的解为 且，都为自然数，
其解集为
将它们分别代入
得
∴③正确；
④若则，解得
∴④正确.
综上， ①③④正确.
故答案为： C.
【分析】先解出一元二次方程组的解为①将a=3代入可求得方程的解，再计算x+y=2a+1即可求得；②令x+y=0，求得a=-4；③求不等式可得a=-1，0，1，2，即可判断；④将原方程的解代入2x+y=9，可得a的值即可判断.
11．【答案】a2﹣4b2　
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（a+2b）（a﹣2b）
=a2﹣4b2．
故答案为：a2﹣4b2．
【分析】找出相同项和相反项，再用平方差公式计算即可．
12．【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
移项得，，
故答案为：．
【分析】将x看作已知数求出y即可．
13．【答案】
【知识点】角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∴．
设，则．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
解得：．
∴．
故答案为：．
【分析】由同旁内角互补，两直线平行可得，根据已知及角平分线的定义可设根据角平分线的定义可设∠D=5x，则∠DAB=4x，由二直线平行，同旁内角互补得∠D+∠DAB=180°，据此建立方程求出x的值，即可求出∠D的度数.
14．【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
∴需要A类卡片张数是2，需要B 类卡片张数是2，需要 类卡片张数是．
故答案为：．
【分析】先根据多项式乘多项式运算法则计算即可确定类卡片张数．
15．【答案】
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：可化为
∵方程组的解为
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】将方程组变形得到，与方程组对比系数得到，即可求得．
16．【答案】
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过作，
∵，
∴，
∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，
∴设，，
，，
∴四边形中，，即，①
又∵，
∴，②
将②代入①可得，
解得，.
故答案为：．
【分析】过作，根据平行公理的推论可得，根据平行线的性质和角平分线的定义，可得，，进而推出，，利用四边形内角和为度，可得，再结合，即可求得.
17．【答案】（1）解：原式=2x·x2-2x·2x=2x3-4x2；
（2）解：原式=-a4+4a4=．
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）根据单项式乘多项式的法则计算即可；
（2）先计算同底数幂的乘法、积的乘方，再合并同类项即可．
18．【答案】（1）一；；
（2）解：，
，得③，
，得，
解得
将代入①，得，
解得：，
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据加减消元法，①中的每一项均需乘3，即可求得；
（2）根据加减消元法，解二元一次方程组即可．
19．【答案】解：（1），
，
，
当，时，原式；
（2）原式，
∵ 不含和项 ，
∴，，
解得，，．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】（1）根据单项式乘多项式法则及完全平方公式进行化简，再代入数值计算即可；
（2）根据多项式乘多项式法则，把多项式展开，再根据展开后不含和项，可得含和项的系数为0，即可求出、的值.
20．【答案】（1）解：当，时，；
（2）解：当，时，
∵，
∴，
∴，即或．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）根据新定义，将，代入中求值即可；
（2）利用完全平方公式求出（推出，进而得到c的值.
21．【答案】（1）证明：∵，∠EDF+∠1=180°，
∴ ∠2=∠EDF，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等量代换可得∠2=∠EDF，根据同旁内角互补，两直线平行即可证明；
（）根据平行线的性质可得∠3=∠AEF推出∠AEF=∠B，根据同位角相等，两直线平行可得，根据平行线的性质可得.
22．【答案】解：（1）＜；
（2）①2(m+5+m+4)÷4=m+4.5；
②是常数，
S3-S1=(m+4.5)2-(m2+9m+20)=0.25，
故S3与S1的差（即S3-S1）是常数．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）图甲中长方形的面积S1=(m+5)(m+4)=m2+9m+20，
图乙中长方形的面积S2=(m+7)(m+3)=m2+10m+21，
∵S1-S2=-m-1，且m为正整数，
∴-m-1＜0，
∴S1＜S2；
故答案为：（1）＜；
【分析】（1）根据长方形的面积公式，再作差法比较大小即可；
（2）①根据长方形和正方形的周长公式即可求得；
②根据长方形和正方形的面积公式计算S3-S1，即可求得．
23．【答案】解：（1）设租类型车x辆，类型车y辆，
依题意得，
解得，
答：租类型车15辆，类型车5辆；
（2）设租A类型车a辆，类型车b辆，
依题意得，4×45+30a+55b=950，
即6a+11b=154，
∵ a和b为大于1的正整数，
∴或，
故有两种方案：租A类型车11辆，类型车8辆或租A类型车22辆，类型车2辆；
（3）68.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解：（3）由表格可得A、B类车每个座位平均花费：30÷2=15元，
而C类车每个座位平均花费：55÷4=13.75元，故尽可能多租用C型车，
∵ 每种车至少租用1辆 ，
又950=14×55+3×30+2×45，
∴ 租用A型车3辆，B型车2辆，C型车14辆，
座位数为：3×2+2×3+14×4=68个座位.
故答案为：（3）68．
【分析】（1）设租类型车x辆，类型车y辆，根据题意列出二元一次方程组即可求得；
（2）设租A类型车a辆，类型车b辆，根据题意列出二元一次方程，求出正整数解即可；
（3）由表格可得A、B类车每个座位平均15元，C类车每个座位平均13.75元，可知尽可能多租用C型车，再根据总花费950元即可求得．
24．【答案】（1）
（2）解：（2）①不存在，使得，理由如下：
∵，，，
∴，
∵，
∴，
若，则，即，
解得t=0，
∵ 0＜t＜45，
∴ 不存在，使得；
②过点作，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴；
③保持不变，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；邻补角；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）∵，且，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据平行线的性质求解即可；
（）①，，根据可得，即，解得，即可判断；
②过点作，根据平行公理的推论可得，推出，即可求得；
③根据垂直的定义可得推出，而，即可求得．
1 / 1浙江省杭州市保俶塔教育集团2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
1．（2024七下·杭州期中）计算的结果是（　　）
A．1 B．0 C． D．
【答案】A
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：，
故选：A．
【分析】根据零指数幂运算法则直接计算即可．
2．（2024七下·杭州期中）石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.00000000034m，这个数用科学记数法表示正确的是（　　）
A．3.4×10-9m B．0.34×10-9m C．3.4×10-10m D．3.4×10-11m
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 小数点向右移动10位得a=3.4，则n=-10，即3.4×10-10m，
故选：C．
【分析】用科学记数法表示数：把一个数字记为a×10n的形式(1≤|a|<10，n为整数)．小数点向右移动几位，n就是负几.
3．（2024七下·杭州期中）已知 是方程 的一个解，那么 的值是（　　）
A．1 B．3 C．-3 D．-1
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】将 代入方程 得 ，解得 ．
故答案为：1.
【分析】本题考查二元一次方程解的逆向应用，已知方程的解求解原方程的未知数，将解代入即可.
4．（2024七下·杭州期中）如图所示，在下列四组条件中，不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、当∠1=∠2时，ADBC，此选项不符合题意；
B、当∠3=∠4时，ADBC，此选项不符合题意；
C、当∠BAD+∠ABC=180°时，ADBC，此选项不符合题意；
D、当∠BAC=∠ACD时，ABCD，此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】A、根据∠1和∠2是由直线AD、BC被第三条直线AC所截而成，由“内错角相等，两直线平行”可判断AD∥BC；
B、根据∠3和∠4是由直线AD、BC被第三条直线AC所截而成，由“内错角相等，两直线平行”可判断AD∥BC；
C、根据∠BAD和∠ABC是由直线AD、BC被第三条直线AB所截而成，由“同旁内角互补，两直线平行”可判断AD∥BC；
D、根据∠BAC和∠ACD是由直线AB、CD被第三条直线AC所截而成，由“内错角相等，两直线平行”可判断AB∥CD．
5．（2024七下·杭州期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. 与a3不能合并，故A项不符合题意；
B. ，故A项不符合题意；
C. ，故C项符合题意；
D. ，故D项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方和积的乘方计算即可求得.
6．（2024七下·杭州期中）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马 若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解 ：设大马有x匹，小马有y匹，据题意得
故应选 ：D。
【分析】设大马有x匹，小马有y匹，根据大马与小马的总匹数是100，1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦共拉100匹瓦，列出方程组。
7．（2024七下·杭州期中）如图，将四边形沿折叠一下，如果，，那么是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，同旁内角互补
8．（2024七下·杭州期中）如图，将沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为（　　）
A．54 B．42 C．36 D．24
【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵沿着点到的方向平移到的位置，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据平移的性质得出，推出，再根据和梯形的面积公式，即可求得．
9．（2024七下·杭州期中）有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙阴影部分的面积分别为1和10，则正方形的面积之和为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图甲得，，即，
由图乙得，，整理得，
∴，
即正方形A、B的面积之和为11.
故答案为：C.
【分析】根据图形中的数量关系和完全平方公式可得和，进而求得a2+b2的值，即为所求.
10．（2024七下·杭州期中）已知关于，的方程组，给出下列结论：
①当时，方程组的解也是的解；
②无论取何值，，的值不可能是互为相反数；
③，都为自然数的解有4对；
④若，则. 其中正确的有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】C
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：解原方程组，得①当时，原方程组的解为
将它代入
左边=，右边为，
∴①正确；
②当，的值互为相反数时，即
解得
∴当时，，的值互为相反数，
∴②不正确；
③∵原方程组的解为 且，都为自然数，
其解集为
将它们分别代入
得
∴③正确；
④若则，解得
∴④正确.
综上， ①③④正确.
故答案为： C.
【分析】先解出一元二次方程组的解为①将a=3代入可求得方程的解，再计算x+y=2a+1即可求得；②令x+y=0，求得a=-4；③求不等式可得a=-1，0，1，2，即可判断；④将原方程的解代入2x+y=9，可得a的值即可判断.
11．（2024七下·杭州期中）计算：（a+2b）（a﹣2b）=　 　
【答案】a2﹣4b2　
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（a+2b）（a﹣2b）
=a2﹣4b2．
故答案为：a2﹣4b2．
【分析】找出相同项和相反项，再用平方差公式计算即可．
12．（2024七下·杭州期中）已知二元一次方程，用含的代数式表示，则　 　．
【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
移项得，，
故答案为：．
【分析】将x看作已知数求出y即可．
13．（2024七下·杭州期中）如图，，平分，且，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∴．
设，则．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
解得：．
∴．
故答案为：．
【分析】由同旁内角互补，两直线平行可得，根据已知及角平分线的定义可设根据角平分线的定义可设∠D=5x，则∠DAB=4x，由二直线平行，同旁内角互补得∠D+∠DAB=180°，据此建立方程求出x的值，即可求出∠D的度数.
14．（2024七下·杭州期中）如图，现有，类两类正方形卡片和类长方形卡片各若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要类卡片张数为　 　．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
∴需要A类卡片张数是2，需要B 类卡片张数是2，需要 类卡片张数是．
故答案为：．
【分析】先根据多项式乘多项式运算法则计算即可确定类卡片张数．
15．（2024七下·杭州期中）关于，的方程组的解为，则方程组的解是　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：可化为
∵方程组的解为
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】将方程组变形得到，与方程组对比系数得到，即可求得．
16．（2024七下·杭州期中）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过作，
∵，
∴，
∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，
∴设，，
，，
∴四边形中，，即，①
又∵，
∴，②
将②代入①可得，
解得，.
故答案为：．
【分析】过作，根据平行公理的推论可得，根据平行线的性质和角平分线的定义，可得，，进而推出，，利用四边形内角和为度，可得，再结合，即可求得.
17．（2024七下·杭州期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式=2x·x2-2x·2x=2x3-4x2；
（2）解：原式=-a4+4a4=．
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）根据单项式乘多项式的法则计算即可；
（2）先计算同底数幂的乘法、积的乘方，再合并同类项即可．
18．（2024七下·杭州期中）下面是圆圆同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组： 解：由，得③ ……第一步 ，得. ……第二步 将代入①，解得. ……第三步 所以，原方程组的解为 ……第四步
（1）第 步开始出现错误，这一步正确的写法是 ．
（2）求出该方程组正确的解．
【答案】（1）一；；
（2）解：，
，得③，
，得，
解得
将代入①，得，
解得：，
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据加减消元法，①中的每一项均需乘3，即可求得；
（2）根据加减消元法，解二元一次方程组即可．
19．（2024七下·杭州期中）（1）先化简，再求值：，其中，．
（2）已知的展开项不含和项，求分别求出，的值．
【答案】解：（1），
，
，
当，时，原式；
（2）原式，
∵ 不含和项 ，
∴，，
解得，，．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】（1）根据单项式乘多项式法则及完全平方公式进行化简，再代入数值计算即可；
（2）根据多项式乘多项式法则，把多项式展开，再根据展开后不含和项，可得含和项的系数为0，即可求出、的值.
20．（2024七下·杭州期中）定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“加乘数”．
（1）若，，求，的“加乘数”；
（2）若，，求，的“加乘数”．
【答案】（1）解：当，时，；
（2）解：当，时，
∵，
∴，
∴，即或．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）根据新定义，将，代入中求值即可；
（2）利用完全平方公式求出（推出，进而得到c的值.
21．（2024七下·杭州期中）如图，已知，，且．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）证明：∵，∠EDF+∠1=180°，
∴ ∠2=∠EDF，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等量代换可得∠2=∠EDF，根据同旁内角互补，两直线平行即可证明；
（）根据平行线的性质可得∠3=∠AEF推出∠AEF=∠B，根据同位角相等，两直线平行可得，根据平行线的性质可得.
22．（2024七下·杭州期中）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（为正整数），面积分别为、．
（1）请比较与的大小： _______；
（2）若一个正方形与甲的周长相等．
①求该正方形的边长（用含的代数式表示）；
②芳该正方形的面积为，试探究：与的差（即）是否为常数？若为常数，求出这个常数；如果不是，请说明理由；
【答案】解：（1）＜；
（2）①2(m+5+m+4)÷4=m+4.5；
②是常数，
S3-S1=(m+4.5)2-(m2+9m+20)=0.25，
故S3与S1的差（即S3-S1）是常数．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）图甲中长方形的面积S1=(m+5)(m+4)=m2+9m+20，
图乙中长方形的面积S2=(m+7)(m+3)=m2+10m+21，
∵S1-S2=-m-1，且m为正整数，
∴-m-1＜0，
∴S1＜S2；
故答案为：（1）＜；
【分析】（1）根据长方形的面积公式，再作差法比较大小即可；
（2）①根据长方形和正方形的周长公式即可求得；
②根据长方形和正方形的面积公式计算S3-S1，即可求得．
23．（2024七下·杭州期中）踏春时节，某班学生集体组织亲子游，沿着瓯江口樱花步道骑自行车，该班学生花了950元租了若干辆自行车，已知自行车的类型和租车价格如下表：
自行车类型 型车 型车 型车
座位数（个） 2 3 4
租车价格（元/辆） 30 45 55
（1）若同时租用、两种类型的车，且共有65个座位，则应租、类型车各多少辆？
（2）若型车租4辆，余下的租用型和型，要求每种车至少租用1辆，请你帮他们设计型车和型车的租车方案．
（3）若同时租用这三类车，且每种车至少租用1辆，则最多能租到______个座位．（直接写出答案）
【答案】解：（1）设租类型车x辆，类型车y辆，
依题意得，
解得，
答：租类型车15辆，类型车5辆；
（2）设租A类型车a辆，类型车b辆，
依题意得，4×45+30a+55b=950，
即6a+11b=154，
∵ a和b为大于1的正整数，
∴或，
故有两种方案：租A类型车11辆，类型车8辆或租A类型车22辆，类型车2辆；
（3）68.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解：（3）由表格可得A、B类车每个座位平均花费：30÷2=15元，
而C类车每个座位平均花费：55÷4=13.75元，故尽可能多租用C型车，
∵ 每种车至少租用1辆 ，
又950=14×55+3×30+2×45，
∴ 租用A型车3辆，B型车2辆，C型车14辆，
座位数为：3×2+2×3+14×4=68个座位.
故答案为：（3）68．
【分析】（1）设租类型车x辆，类型车y辆，根据题意列出二元一次方程组即可求得；
（2）设租A类型车a辆，类型车b辆，根据题意列出二元一次方程，求出正整数解即可；
（3）由表格可得A、B类车每个座位平均15元，C类车每个座位平均13.75元，可知尽可能多租用C型车，再根据总花费950元即可求得．
24．（2024七下·杭州期中）如图，已知点，分别是直线，上的点，，且．
（1）的度数为 ．
（2）如图，射线以每秒的速度绕点从开始顺时针旋转，射线以每秒的速度绕点从开始顺时针旋转，当射线旋转到与重合时，两条射线同时停止旋转．
①当，是否存在，使得？请说明理由．
②如图，当时，射线和射线交于点，用含的代数式表示的度数．
③在②的条件上，过点作交于点，在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：（2）①不存在，使得，理由如下：
∵，，，
∴，
∵，
∴，
若，则，即，
解得t=0，
∵ 0＜t＜45，
∴ 不存在，使得；
②过点作，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴；
③保持不变，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；邻补角；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）∵，且，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据平行线的性质求解即可；
（）①，，根据可得，即，解得，即可判断；
②过点作，根据平行公理的推论可得，推出，即可求得；
③根据垂直的定义可得推出，而，即可求得．
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