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浙江省杭州市钱塘区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·钱塘期末）下列图形中，与的位置关系属于同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·钱塘期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·钱塘期末）氢原子中，电子和原子核之间的距离约为，这个距离用科学记数法可表示为（　　）.
A． B．
C． D．
4．（2024七下·钱塘期末）下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024七下·钱塘期末）已知对任意实数x，分式都有意义，则实数k的值可以是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．（2024七下·钱塘期末）对某校705班和706班的学生“最喜爱的球类体育项目”进行统计，如图分别绘制了扇形统计图，下列说法正确的是（　　）
A．706班中最喜欢篮球的人数和最喜欢足球的人数一样多
B．705班中最喜欢足球的人数比最喜欢篮球的人数多
C．705班中最喜欢乒乓球的人数比706班中最喜欢乒乓球的人数多
D．705班中最喜欢篮球的人数和706班中最喜欢篮球的人数一样多
7．（2024七下·钱塘期末）如图，已知长方形纸片，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024七下·钱塘期末）已知，则的值是（　　）
A．或1 B．或 C．或 D．或2
9．（2024七下·钱塘期末）甲、乙两人前后两次同时在同一家超市购买大米，前后两次购买大米的价格每千克分别为m元和n元（m，n为不相等的正数）．若甲每次购买p千克大米，乙每次花p元钱购买大米（p为正数）．则甲、乙两种购买方式平均价格低的是（　　）
A．甲 B．乙 C．甲、乙一样 D．不确定
10．（2024七下·钱塘期末）如图，在长方形中放置两个边长都为3的正方形与正方形，设长方形的面积为，阴影部分的面积之和为．若，则长方形的周长是（　　）
A．16 B．18 C．20 D．22
11．（2024七下·钱塘期末）因式分解：x2﹣6x＝　 　．
12．（2024七下·钱塘期末）如图，长方形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且ab，∠1＝50°，则∠2的度数为 　 　．
13．（2024七下·钱塘期末）有40个数据，共分成6组，第1~4组的频数分别为8，5，10，6，第5组的频率是0.1，则第6组的频数是　 　．
14．（2024七下·钱塘期末）已知是方程组的解，那么的值为　 　．
15．（2024七下·钱塘期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是　 　．
16．（2024七下·钱塘期末）一筐苹果，若分给全班同学每人5个，则还剩下15个；若全班同学一起吃，其中7个同学每人每天吃1个，其他同学每人每天吃2个，恰好用若干天吃完，则筐里最多共有　 　个苹果．
17．（2024七下·钱塘期末）如图，已知在边长为1的方格纸中，点A，B，C，都在格点上．
（1）将三角形经过平移后得到三角形，若点是点A的对应点，请在图中画出三角形．
（2）将三角形先向上平移__________个单位，再向__________平移__________个单位得到三角形．
18．（2024七下·钱塘期末）计算：
（1）．
（2）．
19．（2024七下·钱塘期末）解下列方程（组）：
（1）．
（2）．
20．（2024七下·钱塘期末）为丰富七年级学生的课间体育活动，某学校准备安排四种球类项目：A．篮球，B．足球，C．排球，D．乒乓球供七年级学生选择（要求每位学生必须选择其中一种球类项目）．为了解学生对球类项目的选择情况，该校对七年级的部分学生进行了抽样调查，并根据调查结果制作不完整的统计表图如下：
“学生球类项目选择”情况统计表
球类项目 频数 频率
A．篮球 m 0.40
B．足球 70 0.35
C．排球 40 n
D．乒乓球 10 0.05
“学生球类项目选择”情况条形统计图
（1）求m，n的值，并根据以上信息补全条形统计图．
（2）请根据抽样调查的结果，估计七年级500名同学中选择“足球”项目的人数．
21．（2024七下·钱塘期末）先化简，再求值：
（1），其中．
（2），从1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．
22．（2024七下·钱塘期末）如图，已知，，点E，G分别在，上，连结，，延长和交于点F．
（1）判断与是否平行，并说明理由．
（2）若，，求的度数．
23．（2024七下·钱塘期末）对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下：．
例如：．
（1）若，求的值．
（2）若，求的值．
（3）若，，求的值．
24．（2024七下·钱塘期末）已知书店的两类书籍的进货价和销售价如下表所示．
种类 文学类 科技类
进货价（元/本） 16 24
销售价（元/本） 20 30
（1）若书店销售两类书籍共90本，销售额为2100元，求这两种书籍各销售多少本？
（2）若书店销售两类书籍若干本，销售额为2400元，求此次书店的总利润为多少元？
（3）为回馈客户，书店采用促销方案销售两种书籍：买3本文学类书籍送1盒水彩笔，买3本科技类书籍送2盒水彩笔（水彩笔进货价为每盒6元）．若书店按该方案销售，购进的两类书籍和水彩笔数量恰好满足上述促销搭配方案且进货总价为2100元，求此次书店购进两种书籍各多少本？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A.与在两条被截直线的上方，在截线的左侧，位置关系属于同位角，故A项符合题意；
B.与不在两条被截直线的同侧，在截线的左侧，位置关系不属于同位角，故B项不符合题意；
C.与不在两条被截直线的同侧，在截线的左侧，位置关系不属于同位角，故C项不符合题意；
D.与不在两条被截直线的同侧，不在截线的同旁，位置关系不属于同位角，故D项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据同位角的定义逐一判断即可．
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. ，故A项错误；
B. ，故B项错误；
C. ，故C项错误；
D. ，故D项正确；
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的乘法，单项式除以单项式，积的乘方和幂的乘方法则逐项计算判断即可．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】0.00000000529=5.29×10 9，
故答案为：B.
【分析】将绝对值小于1的正数用科学记数法表示为a×10-n，其中1≤a＜10，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A. ，故A项错误；
B. ，故B项错误；
C. ，故C项正确；
D.不能进行因式分解，故D项错误；
故答案为：C．
【分析】A项根据提公因式法进行因式分解；B项根据平方差公式进行因式分解；C项根据十字相乘法进行因式分解；D项不能进行因式分解.
5．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：，
∵ 对任意实数x，分式都有意义，
∴，
∴，
∴ 实数k的值可以是10，
故答案为：D．
【分析】根据分式有意义的条件可知分母不为0，再根据完全平方式对分式进行变形后可得x2-6x+k≥k-9，可得到k-9＞0，即可求得.
6．【答案】A
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：A、∵ 706班中最喜欢足球和篮球的人数均占比为，总人数一样，且占比相同，
∴ 706班中最喜欢篮球的人数和最喜欢足球的人数一样多，
∴ A选项说法正确；
B、705班中最喜欢足球的人数占比为，最喜欢篮球的人数占比为，
∴ 705班中最喜欢足球的人数比最喜欢篮球的人数少，
∴ B选项说法错误；
C、705班中最喜欢足球的人数占比为，706班中最喜欢乒乓球的人数占比为，
∵ 无法确定705班中最喜欢足球的人数和706班中最喜欢乒乓球的人数各是多少，
∴ C选项说法错误；
D、∵ 无法确定705班和706班的学生总人数，
∴ 705班中最喜欢篮球的人数和706班中最喜欢篮球的人数不一定一样多，
∴ D选项说法错误；
故答案为：A．
【分析】根据扇形统计图里的数据所占比例逐一判断即可．
7．【答案】B
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
8．【答案】C
【知识点】分式的加减法；分母有理化
【解析】【解答】解：设，则，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，，
经检验，，是分式方程的解，
∴
当时，
∴；
当时，
∴；
综上，的值是或，
故答案为：C．
【分析】设，则，根据题意得出关于m的分式方程，解方程求出m，然后化简，将x的值求值即可．
9．【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：甲两次购买大米的平均价格为，
乙两次购买大米的平均价格为，
，
又，
，
即，
∴ 乙两次购买大米的平均价格更低.
故答案为：．
【分析】先分别算出甲乙两次购买大米的平均价格，再作差，利用完全平方公式进行判断即可.
10．【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：设，，则，，
∴，
，
∴，
，
∴
，
∴，
∴长方形的周长为：.
故答案为：C．
【分析】设，，根据线段的和差及长方形的对边相等，可得，，，，然后根据长方形面积计算方法及S2=S四边形AGKH+S四边形KILF+S四边形LECJ，根据整式混合运算计算顺序分别用含a、b的式子表示出S2与S1，结合已知列等式，求出，进而根据矩形周长计算公式，列式整理后整体代入计算即可．
11．【答案】x（x﹣6）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】原式＝x（x﹣6），
故答案为：x（x﹣6）．
【分析】原式提取公因式x即可得到结果．
12．【答案】50°
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：作BF∥a，
∴∠3＝∠1＝50°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠4＝40°，
∵BF∥a，a∥b，
∴BF∥b，
∴∠5＝∠4＝40°，
∴∠2＝180°﹣∠5﹣90°＝50°，
故答案为：50°．
【分析】作BF∥a，由二直线平行，内错角相等，得到∠3＝∠1，利用长方形四个角都是直角得∠ABC＝∠BCD＝90°，由角的构成得到∠4＝40°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得BF∥b，由二直线平行，内错角相等，得到∠5＝∠4，最后根据平角定义即可求解．
13．【答案】7
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】∵ 第5组的频率是，
∴ 第5组的频数为：，
∵第1～4组的频数分别为8，5，10，6，
∴第6组的频数是；
故答案为：7．
【分析】根据频率=频数÷总数，先求出第5组的频数，再用总数减去前五组的频数，即可求得.
14．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将代入方程组得，，
由得，，即，
由得：，
，
故答案为：．
【分析】先将代入方程组得，①+②可得a+b的值，①-②可得a-b的值，代入求值即可.
15．【答案】2
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：∵有增根，
∴，即增根为，
方程的两边同乘以得，
，
把代入得，，
故答案为：2．
【分析】根据分式方程的增根可得增根为x=1，再将分式方程转化为整式方程，将x=1代入整式方程即可求得m的值.
16．【答案】195
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设全班共个同学，则筐里共有个苹果，
个同学每人每天吃1个，其他同学每人每天吃2个，
全班同学每天吃个，
设全班同学恰好天吃完，
，
，
为正整数，
为奇数，
要使最大，则，
，
筐里最多共有个苹果.
故答案为：195．
【分析】设全班共个同学，全班同学恰好天吃完，可得，设若干天为k天，可求得，根据k为正整数推出的最大值为36，即可求得.
17．【答案】（1）解：如图所示：
（2）3，右，4
【知识点】作图﹣平移
【解析】【解答】解：（2）由图可得：将三角形先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形，
故答案为：3，右，4．
【分析】（1）根据平移的性质确定，的位置，然后顺次连接即可求得；
（2）根据（1）中所作图形即可确定平移方式．
（1）解：如图所示：
（2）由图可得：将三角形先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形，
故答案为：3，右，4．
18．【答案】（1）解：原式=1+（-2）=-1
（2）解：原式=y-2x
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）根据零指数幂和负整数指数幂计算后，再求和即可；
（2）先计算积的平方，再根据多项式除以单项式计算即可.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
19．【答案】（1）解：，
得，，
解得，，
把代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为
（2）解：方程两边同乘以得，
解得，，
检验：当时，，
∴是分式方程的解
【知识点】解分式方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）方程两边先乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程，再求整式方程的解，再检验该解即可.
（1）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为；
（2）解：方程两边同乘以得，
解得：，
检验：当时，，
所以是分式方程的解．
20．【答案】（1）解：此次调查的总人数为（人，
项目的人数（人，
补全条形统计图如下：
（2）（名，
答：估计七年级500名同学中选择“足球”项目的人数为175名
【知识点】频数（率）分布直方图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）用的频数除以频率求出总人数，再用总人数减去B、C和D的人数求出的人数，即可补全条形统计图；
（2）用总人数乘以样本中的人数所占比例即可求得．
（1）解：此次调查的总人数为（人，
项目的人数（人，
补全条形统计图如下：
（2）（名，
答：估计七年级500名同学中选择“足球”项目的人数为175名．
21．【答案】（1）解：原式，
，
将代入，原式
（2）解：原式，
，
，
∵ x≠1，x≠2，
∴ 当x=3时，原式=
【知识点】利用整式的混合运算化简求值；分式的化简求值-择值代入
22．【答案】（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
（2）解：，，
，，
，
，
，

【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠A=∠FDC，推出∠FDC=∠C，根据平行线的判定即可求得；
（2）根据平行线的性质可推出∠FDC+∠ADE=110°，再根据平角定义即可求得．
（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
；
（2），，
，，
，
，
，
．
23．【答案】（1）解：，
，
，
．
当时，原式
（2）解：，
，
，
．
，
，即，
原式
（3）解：，
，
，
，
，，
∴ (a+b)2=(a+b)2-4ab=9-8=1，
或，
当，时，原式，
当，时，原式，
∴的值为3或-3
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）先根据新定义运算，再整体代入a+b的值，即可求得；
（2）先根据新定义运算，再将整体代入求值即可；
（3）先根据新定义运算，再利用完全平方公式求出的值，最后代入求值即可．
（1）解：
．
当时，
原式；
（2）
．
，
即．
原式
；
（3）
．
，，
，即．
．
．
．
或．
当，时，
原式；
当，时，
原式．
24．【答案】（1）解：设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，
由题意得：，
解得：，
答：文学类书籍销售60本，科技类书籍销售30本；
（2）解：文学类书籍的利润率为，科技类书籍的利润率为，
（元），
答：此次书店的总利润为480元；
（3）解：设此次书店购进文学类书籍本，科技类书籍本，则需购进水彩笔盒，
由题意得：，
解得：，
∵a，b均为正整数，
∴或，
∴或，
答：此次书店购进文学类书籍42本，科技类书籍48本或文学类书籍84本，科技类书籍21本．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，根据“ 销售两类书籍共90本 ”列方程x+y=90，根据售价乘以销售数量等于销售总价及“ 销售总额为2100元 ”列出方程20x+30y=2100，联立两方程得到方程组，求解即可；
（2）根据利率等于利润除以进价分别求出两类书籍的利率都为25％，然后根据进价乘以（1+利率）等于售价可得进价等于售价除以（1+利率）求出总进价，最后用总销售额减去总进价即可得到总利润；
（3）设此次书店购进文学类书籍3a本，科技类书籍3b本，则需购进水彩笔(a+2b)盒，根据进货总价为2100元列出二元一次方程，求出方程的正整数解，进而可得答案．
（1）解：设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，
由题意得：，
解得：，
答：文学类书籍销售60本，科技类书籍销售30本；
（2）文学类书籍的利润率为，科技类书籍的利润率为，
（元），
答：此次书店的总利润为480元；
（3）设此次书店购进文学类书籍本，科技类书籍本，则需购进水彩笔盒，
由题意得：，
解得：，
∵a，b均为正整数，
∴或，
∴或，
答：此次书店购进文学类书籍42本，科技类书籍48本或文学类书籍84本，科技类书籍21本．
1 / 1浙江省杭州市钱塘区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·钱塘期末）下列图形中，与的位置关系属于同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A.与在两条被截直线的上方，在截线的左侧，位置关系属于同位角，故A项符合题意；
B.与不在两条被截直线的同侧，在截线的左侧，位置关系不属于同位角，故B项不符合题意；
C.与不在两条被截直线的同侧，在截线的左侧，位置关系不属于同位角，故C项不符合题意；
D.与不在两条被截直线的同侧，不在截线的同旁，位置关系不属于同位角，故D项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据同位角的定义逐一判断即可．
2．（2024七下·钱塘期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. ，故A项错误；
B. ，故B项错误；
C. ，故C项错误；
D. ，故D项正确；
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的乘法，单项式除以单项式，积的乘方和幂的乘方法则逐项计算判断即可．
3．（2024七下·钱塘期末）氢原子中，电子和原子核之间的距离约为，这个距离用科学记数法可表示为（　　）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】0.00000000529=5.29×10 9，
故答案为：B.
【分析】将绝对值小于1的正数用科学记数法表示为a×10-n，其中1≤a＜10，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（2024七下·钱塘期末）下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A. ，故A项错误；
B. ，故B项错误；
C. ，故C项正确；
D.不能进行因式分解，故D项错误；
故答案为：C．
【分析】A项根据提公因式法进行因式分解；B项根据平方差公式进行因式分解；C项根据十字相乘法进行因式分解；D项不能进行因式分解.
5．（2024七下·钱塘期末）已知对任意实数x，分式都有意义，则实数k的值可以是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：，
∵ 对任意实数x，分式都有意义，
∴，
∴，
∴ 实数k的值可以是10，
故答案为：D．
【分析】根据分式有意义的条件可知分母不为0，再根据完全平方式对分式进行变形后可得x2-6x+k≥k-9，可得到k-9＞0，即可求得.
6．（2024七下·钱塘期末）对某校705班和706班的学生“最喜爱的球类体育项目”进行统计，如图分别绘制了扇形统计图，下列说法正确的是（　　）
A．706班中最喜欢篮球的人数和最喜欢足球的人数一样多
B．705班中最喜欢足球的人数比最喜欢篮球的人数多
C．705班中最喜欢乒乓球的人数比706班中最喜欢乒乓球的人数多
D．705班中最喜欢篮球的人数和706班中最喜欢篮球的人数一样多
【答案】A
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：A、∵ 706班中最喜欢足球和篮球的人数均占比为，总人数一样，且占比相同，
∴ 706班中最喜欢篮球的人数和最喜欢足球的人数一样多，
∴ A选项说法正确；
B、705班中最喜欢足球的人数占比为，最喜欢篮球的人数占比为，
∴ 705班中最喜欢足球的人数比最喜欢篮球的人数少，
∴ B选项说法错误；
C、705班中最喜欢足球的人数占比为，706班中最喜欢乒乓球的人数占比为，
∵ 无法确定705班中最喜欢足球的人数和706班中最喜欢乒乓球的人数各是多少，
∴ C选项说法错误；
D、∵ 无法确定705班和706班的学生总人数，
∴ 705班中最喜欢篮球的人数和706班中最喜欢篮球的人数不一定一样多，
∴ D选项说法错误；
故答案为：A．
【分析】根据扇形统计图里的数据所占比例逐一判断即可．
7．（2024七下·钱塘期末）如图，已知长方形纸片，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
8．（2024七下·钱塘期末）已知，则的值是（　　）
A．或1 B．或 C．或 D．或2
【答案】C
【知识点】分式的加减法；分母有理化
【解析】【解答】解：设，则，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，，
经检验，，是分式方程的解，
∴
当时，
∴；
当时，
∴；
综上，的值是或，
故答案为：C．
【分析】设，则，根据题意得出关于m的分式方程，解方程求出m，然后化简，将x的值求值即可．
9．（2024七下·钱塘期末）甲、乙两人前后两次同时在同一家超市购买大米，前后两次购买大米的价格每千克分别为m元和n元（m，n为不相等的正数）．若甲每次购买p千克大米，乙每次花p元钱购买大米（p为正数）．则甲、乙两种购买方式平均价格低的是（　　）
A．甲 B．乙 C．甲、乙一样 D．不确定
【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：甲两次购买大米的平均价格为，
乙两次购买大米的平均价格为，
，
又，
，
即，
∴ 乙两次购买大米的平均价格更低.
故答案为：．
【分析】先分别算出甲乙两次购买大米的平均价格，再作差，利用完全平方公式进行判断即可.
10．（2024七下·钱塘期末）如图，在长方形中放置两个边长都为3的正方形与正方形，设长方形的面积为，阴影部分的面积之和为．若，则长方形的周长是（　　）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：设，，则，，
∴，
，
∴，
，
∴
，
∴，
∴长方形的周长为：.
故答案为：C．
【分析】设，，根据线段的和差及长方形的对边相等，可得，，，，然后根据长方形面积计算方法及S2=S四边形AGKH+S四边形KILF+S四边形LECJ，根据整式混合运算计算顺序分别用含a、b的式子表示出S2与S1，结合已知列等式，求出，进而根据矩形周长计算公式，列式整理后整体代入计算即可．
11．（2024七下·钱塘期末）因式分解：x2﹣6x＝　 　．
【答案】x（x﹣6）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】原式＝x（x﹣6），
故答案为：x（x﹣6）．
【分析】原式提取公因式x即可得到结果．
12．（2024七下·钱塘期末）如图，长方形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且ab，∠1＝50°，则∠2的度数为 　 　．
【答案】50°
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：作BF∥a，
∴∠3＝∠1＝50°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠4＝40°，
∵BF∥a，a∥b，
∴BF∥b，
∴∠5＝∠4＝40°，
∴∠2＝180°﹣∠5﹣90°＝50°，
故答案为：50°．
【分析】作BF∥a，由二直线平行，内错角相等，得到∠3＝∠1，利用长方形四个角都是直角得∠ABC＝∠BCD＝90°，由角的构成得到∠4＝40°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得BF∥b，由二直线平行，内错角相等，得到∠5＝∠4，最后根据平角定义即可求解．
13．（2024七下·钱塘期末）有40个数据，共分成6组，第1~4组的频数分别为8，5，10，6，第5组的频率是0.1，则第6组的频数是　 　．
【答案】7
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】∵ 第5组的频率是，
∴ 第5组的频数为：，
∵第1～4组的频数分别为8，5，10，6，
∴第6组的频数是；
故答案为：7．
【分析】根据频率=频数÷总数，先求出第5组的频数，再用总数减去前五组的频数，即可求得.
14．（2024七下·钱塘期末）已知是方程组的解，那么的值为　 　．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将代入方程组得，，
由得，，即，
由得：，
，
故答案为：．
【分析】先将代入方程组得，①+②可得a+b的值，①-②可得a-b的值，代入求值即可.
15．（2024七下·钱塘期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是　 　．
【答案】2
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：∵有增根，
∴，即增根为，
方程的两边同乘以得，
，
把代入得，，
故答案为：2．
【分析】根据分式方程的增根可得增根为x=1，再将分式方程转化为整式方程，将x=1代入整式方程即可求得m的值.
16．（2024七下·钱塘期末）一筐苹果，若分给全班同学每人5个，则还剩下15个；若全班同学一起吃，其中7个同学每人每天吃1个，其他同学每人每天吃2个，恰好用若干天吃完，则筐里最多共有　 　个苹果．
【答案】195
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设全班共个同学，则筐里共有个苹果，
个同学每人每天吃1个，其他同学每人每天吃2个，
全班同学每天吃个，
设全班同学恰好天吃完，
，
，
为正整数，
为奇数，
要使最大，则，
，
筐里最多共有个苹果.
故答案为：195．
【分析】设全班共个同学，全班同学恰好天吃完，可得，设若干天为k天，可求得，根据k为正整数推出的最大值为36，即可求得.
17．（2024七下·钱塘期末）如图，已知在边长为1的方格纸中，点A，B，C，都在格点上．
（1）将三角形经过平移后得到三角形，若点是点A的对应点，请在图中画出三角形．
（2）将三角形先向上平移__________个单位，再向__________平移__________个单位得到三角形．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）3，右，4
【知识点】作图﹣平移
【解析】【解答】解：（2）由图可得：将三角形先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形，
故答案为：3，右，4．
【分析】（1）根据平移的性质确定，的位置，然后顺次连接即可求得；
（2）根据（1）中所作图形即可确定平移方式．
（1）解：如图所示：
（2）由图可得：将三角形先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形，
故答案为：3，右，4．
18．（2024七下·钱塘期末）计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：原式=1+（-2）=-1
（2）解：原式=y-2x
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）根据零指数幂和负整数指数幂计算后，再求和即可；
（2）先计算积的平方，再根据多项式除以单项式计算即可.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
19．（2024七下·钱塘期末）解下列方程（组）：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：，
得，，
解得，，
把代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为
（2）解：方程两边同乘以得，
解得，，
检验：当时，，
∴是分式方程的解
【知识点】解分式方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）方程两边先乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程，再求整式方程的解，再检验该解即可.
（1）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为；
（2）解：方程两边同乘以得，
解得：，
检验：当时，，
所以是分式方程的解．
20．（2024七下·钱塘期末）为丰富七年级学生的课间体育活动，某学校准备安排四种球类项目：A．篮球，B．足球，C．排球，D．乒乓球供七年级学生选择（要求每位学生必须选择其中一种球类项目）．为了解学生对球类项目的选择情况，该校对七年级的部分学生进行了抽样调查，并根据调查结果制作不完整的统计表图如下：
“学生球类项目选择”情况统计表
球类项目 频数 频率
A．篮球 m 0.40
B．足球 70 0.35
C．排球 40 n
D．乒乓球 10 0.05
“学生球类项目选择”情况条形统计图
（1）求m，n的值，并根据以上信息补全条形统计图．
（2）请根据抽样调查的结果，估计七年级500名同学中选择“足球”项目的人数．
【答案】（1）解：此次调查的总人数为（人，
项目的人数（人，
补全条形统计图如下：
（2）（名，
答：估计七年级500名同学中选择“足球”项目的人数为175名
【知识点】频数（率）分布直方图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）用的频数除以频率求出总人数，再用总人数减去B、C和D的人数求出的人数，即可补全条形统计图；
（2）用总人数乘以样本中的人数所占比例即可求得．
（1）解：此次调查的总人数为（人，
项目的人数（人，
补全条形统计图如下：
（2）（名，
答：估计七年级500名同学中选择“足球”项目的人数为175名．
21．（2024七下·钱塘期末）先化简，再求值：
（1），其中．
（2），从1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．
【答案】（1）解：原式，
，
将代入，原式
（2）解：原式，
，
，
∵ x≠1，x≠2，
∴ 当x=3时，原式=
【知识点】利用整式的混合运算化简求值；分式的化简求值-择值代入
22．（2024七下·钱塘期末）如图，已知，，点E，G分别在，上，连结，，延长和交于点F．
（1）判断与是否平行，并说明理由．
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
（2）解：，，
，，
，
，
，

【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠A=∠FDC，推出∠FDC=∠C，根据平行线的判定即可求得；
（2）根据平行线的性质可推出∠FDC+∠ADE=110°，再根据平角定义即可求得．
（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
；
（2），，
，，
，
，
，
．
23．（2024七下·钱塘期末）对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下：．
例如：．
（1）若，求的值．
（2）若，求的值．
（3）若，，求的值．
【答案】（1）解：，
，
，
．
当时，原式
（2）解：，
，
，
．
，
，即，
原式
（3）解：，
，
，
，
，，
∴ (a+b)2=(a+b)2-4ab=9-8=1，
或，
当，时，原式，
当，时，原式，
∴的值为3或-3
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）先根据新定义运算，再整体代入a+b的值，即可求得；
（2）先根据新定义运算，再将整体代入求值即可；
（3）先根据新定义运算，再利用完全平方公式求出的值，最后代入求值即可．
（1）解：
．
当时，
原式；
（2）
．
，
即．
原式
；
（3）
．
，，
，即．
．
．
．
或．
当，时，
原式；
当，时，
原式．
24．（2024七下·钱塘期末）已知书店的两类书籍的进货价和销售价如下表所示．
种类 文学类 科技类
进货价（元/本） 16 24
销售价（元/本） 20 30
（1）若书店销售两类书籍共90本，销售额为2100元，求这两种书籍各销售多少本？
（2）若书店销售两类书籍若干本，销售额为2400元，求此次书店的总利润为多少元？
（3）为回馈客户，书店采用促销方案销售两种书籍：买3本文学类书籍送1盒水彩笔，买3本科技类书籍送2盒水彩笔（水彩笔进货价为每盒6元）．若书店按该方案销售，购进的两类书籍和水彩笔数量恰好满足上述促销搭配方案且进货总价为2100元，求此次书店购进两种书籍各多少本？
【答案】（1）解：设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，
由题意得：，
解得：，
答：文学类书籍销售60本，科技类书籍销售30本；
（2）解：文学类书籍的利润率为，科技类书籍的利润率为，
（元），
答：此次书店的总利润为480元；
（3）解：设此次书店购进文学类书籍本，科技类书籍本，则需购进水彩笔盒，
由题意得：，
解得：，
∵a，b均为正整数，
∴或，
∴或，
答：此次书店购进文学类书籍42本，科技类书籍48本或文学类书籍84本，科技类书籍21本．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，根据“ 销售两类书籍共90本 ”列方程x+y=90，根据售价乘以销售数量等于销售总价及“ 销售总额为2100元 ”列出方程20x+30y=2100，联立两方程得到方程组，求解即可；
（2）根据利率等于利润除以进价分别求出两类书籍的利率都为25％，然后根据进价乘以（1+利率）等于售价可得进价等于售价除以（1+利率）求出总进价，最后用总销售额减去总进价即可得到总利润；
（3）设此次书店购进文学类书籍3a本，科技类书籍3b本，则需购进水彩笔(a+2b)盒，根据进货总价为2100元列出二元一次方程，求出方程的正整数解，进而可得答案．
（1）解：设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，
由题意得：，
解得：，
答：文学类书籍销售60本，科技类书籍销售30本；
（2）文学类书籍的利润率为，科技类书籍的利润率为，
（元），
答：此次书店的总利润为480元；
（3）设此次书店购进文学类书籍本，科技类书籍本，则需购进水彩笔盒，
由题意得：，
解得：，
∵a，b均为正整数，
∴或，
∴或，
答：此次书店购进文学类书籍42本，科技类书籍48本或文学类书籍84本，科技类书籍21本．
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