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湖南省邵阳市第二中学等联考2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题
1．（2025高一下·邵阳月考）已知集合，若，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．2或
2．（2025高一下·邵阳月考）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高一下·邵阳月考）不等式的解集是（　　）
A． B．或
C． D．或
4．（2025高一下·邵阳月考）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面的基底的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025高一下·邵阳月考）已知函数的零点分别为，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高一下·邵阳月考）已知分别是的边上的点，且满足与相交于点，连接并延长交于点，若，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高一下·邵阳月考）如图，一艘缉毒船在某海域巡逻，经过点时，发现北偏东方向，距离为的点处有毒贩正驾驶小船以的速度往北偏东的方向逃窜，缉毒船立即以的速度前往缉捕，则缉毒船经过（　　）恰好能抓获毒贩.
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2025高一下·邵阳月考）设函数的定义域为是偶函数，是奇函数，且当时，，若，则（　　）
A． B． C． D．3
9．（2025高一下·邵阳月考）下列说法正确的是（　　）
A．函数且的图象恒过点
B．函数与表示同一个函数
C．函数的最小值为3
D．若关于的不等式的解集为或，则
10．（2025高一下·邵阳月考）已知点为所在平面内一点，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则在上的投影向量为
B．若两两的夹角相等，且，则
C．若，且，则为等边三角形
D．若，且，则的面积是面积的
11．（2025高一下·邵阳月考）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．若在上单调递增，则实数的取值范围是
B．若有3个不同的零点，则实数的取值范围是
C．若有3个不同的零点，则的取值范围是
D．存在实数，使得有最小值
12．（2025高一下·邵阳月考）已知向量，若，则实数　 　．
13．（2025高一下·邵阳月考）已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，若是偶函数，且在区间上单调递减，则　 　.
14．（2025高一下·邵阳月考）在锐角三角形中，角的对边分别为的面积为，已知，且，则的周长的取值范围是　 　.
15．（2025高一下·邵阳月考）已知是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
16．（2025高一下·邵阳月考）在中，分别为内角所对的边，已知.
（1）求；
（2）若的面积为，求.
17．（2025高一下·邵阳月考）设且，已知函数.
（1）判断的奇偶性，并说明理由；
（2）令函数，解关于的不等式.
18．（2025高一下·邵阳月考）已知函数在区间上的最大值为3.
（1）求；
（2）求在区间上的单调递增区间；
（3）将的图象上所有的点向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的图象，若且，求的值.
19．（2025高一下·邵阳月考）设平面内两个非零向量的夹角为，定义.
（1）已知向量满足，求的值；
（2）在平面直角坐标系中，已知点，求的值；
（3）已知向量，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】集合间关系的判断
【解析】【解答】解：.
当时，或；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；
当时，，则，即，符合题意.
故选：A.
【分析】由集合包含关系可知，分，两类情况讨论即可即可求得a的值.
2．【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可知，，
所以.
故选：B.
【分析】结合三角函数定义及二倍角的正弦公式即可求得的值.
3．【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为，所以，
即，解得：.
故选：C.
【分析】将分式不等式等价转化成一元二次不等式求解即可.
4．【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：A、因为，所以两向量共线，不能作为平面的基底，故选项A错误；
B、因为，所以两向量共线，不能作为平面的基底，故选项B错误；
C、因为，所以两向量共线，不能作为平面的基底，故选项C错误；
D、若存在实数，使得，即，无解，
即这两个向量不共线，能作为平面的一基底，故选项D正确；
故选：D.
【分析】由平面向量基本定理逐一判断即可.
5．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由复合函数的单调性易知三个函数均连续且在定义域内单调递增.
∵，∴.
.
令，解得x=，即.
故选：B.
【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在定理判断函数的零点范围比较即可.
6．【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：如图所示，
三点共线，
三点共线，
解得，
即
三点共线，，解得.
故选：A.
【分析】结合图形，分别由三点共线可知和三点共线可知，利用平面向量基本定理列方程组解出，进而可知再利用三点共线求解即可求得实数的值 .
7．【答案】C
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设缉毒船经过恰好能抓获毒贩，
由题意可知，，
由余弦定理可得，
所以，
所以，解得（负值舍去）.
故选：C.
【分析】设缉毒船经过恰好能抓获毒贩，结合题意，由余弦定理可得，即，解方程计算可得t的值.
8．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：是偶函数，
是奇函数，∴，且.
∴.
由，解得，
∴ 当时，，
.
故选：B.
【分析】由函数的奇偶性可得，进而结合题意列方程组可求出，再利用函数的周期性可得，计算即可求解.
9．【答案】A,D
【知识点】同一函数的判定；指数型复合函数的性质及应用；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；基本不等式
【解析】【解答】解：A、，令，得的图象恒过点，故选项A正确；
B、的定义域为的定义域为，定义域不同，与不表示同一个函数，故选项B错误；
C、令，则在上单调递增，当时，，故选项C错误；
D、的解集为或，且和1为方程的两个根，得且，故选项D正确.
故选：AD.
【分析】根据指数函数的性质恒过点(0，1)求得定点即可判断选项A；根据同一函数的概念即可判断选项B；根据基本不等式的应用条件或对勾函数的性质即可判断选项C；根据二次不等式的解集及韦达定理求解的取值即可判断选项D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、
在上的投影向量为，故选项A错误；
B、记向量分别为，
因为它们之间的夹角不可能都为0，所以两两的夹角为，
所以，故选项B正确；
C、因为，
所以，又，所以，
又，为等边三角形，故选项C正确；
D、令，三点共线，
又是线段上靠近点的三等分点，
即点到边的距离是点到边的距离的且两三角形的底相同，高之比等于，
，故选项D正确.
故选：BCD.
【分析】由在上的投影向量为计算即可判断选项A；先求得两两的夹角，进而由数量积的运算律和定义即可判断选项B；由向量夹角的计算结合垂直的向量表示即可判断选项C；先由向量共线的性质确定的位置，再由三角形的面积公式即可判断选项D.
11．【答案】A,B,C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、若在上单调递增，则解得，故选项A正确；
B、若在上有3个不同的零点，则在内有2个零点，
解得
而在内有1个零点，则，∴的取值范围是，故选项B正确；
C、由题意可知，为方程的两根，，
而是的根，
在上单调递减，，
的取值范围为，故选项C正确；
D、当时，的图象是开口向下的抛物线，∴在上没有最小值，
当时，单调递增，的最小值为，
而不可能是在上的最小值，故不可能有最小值，故选项D错误.
故选：ABC.
【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可判定选项A；在上有3个不同的零点，则在内有2个零点，在内有1个零点，令，结合对数函数与二次函数的性质，即可判断选项B；根据已知条件可知为方程的两根，是的根，可得到，令，求得函数的单调性和最值， 即可判断选项C；当时，根据二次函数的性质， 即可判断选项D.
12．【答案】
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可得，，解得.
故答案为：.
【分析】根据向量垂直的坐标表示列式求得m的值即可.
13．【答案】9
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由题意可知，
是偶函数，且在区间上单调递减，
是的最大值，，∴，
∵，∴，令，得.
故答案为：9.
【分析】根据图象变换可得函数，进而 根据单调性和奇偶性可得函数在时，取得最大值，即可得，进而可知，结合函数周期的关系即可求得的值.
14．【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：
，即，
又∴ ，.
∴，∴，
由正弦定理可得
，
且
是锐角三角形，，
即，
又，∴，
即的周长的取值范围是.
故答案为：.
【分析】由余弦定理，二倍角的正余弦公式可知 ，进而利用正切公式，同角的三角函数关系得到，再由正弦定理边化角和辅助角公式得到，然后结合锐角三角函数的角度范围和三角函数的有界性即可求得的周长的取值范围 .
15．【答案】（1）解：，，
，
，
，
或.
（2）解：，，
与的夹角为锐角，
且与不共线，
即且，
且，即的取值范围是.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量平行关系可设，进而利用模长公式列方程，求得的值，即可求得的坐标；
（2）先求得与 的坐标表示，进而根据夹角为锐角，即且与不共线，列不等式，解不等式求得m的值即可.
（1），，
，
，
，
或.
（2），，
与的夹角为锐角，
且与不共线，
即且，
且，即的取值范围是.
16．【答案】（1）解：由正弦定理可得.
，
，
又，
∴，
，
∴.
（2）解：∵的面积，∴，
由余弦定理可得，
，解得(负值已舍去).
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理可得.，进而根据结合两角和的正弦公式以及辅助角公式可知，即可求得A的值；
（2）由三角形的面积公式可求得bc的值，进而利用余弦定理，代入数值解方程即可求得a的值.
（1）由及正弦定理可得
.
，
，又，
即，
，即.
（2）由（1）及余弦定理可得.
由的面积，得，
又，
，故.
17．【答案】（1）解：是偶函数.
证明：，
且，即定义域为，定义域关于原点对称.
，
是偶函数.
（2）解：为偶函数，
令.
当时，在上单调递增，在区间上单调递减，
由，得且解得.
当时，在上单调递减，在区间上单调递增，
由，得且解得.
综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
【知识点】函数的奇偶性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）先写出 的解析式，进而求得函数的定义域，再利用奇偶函数的定义证明即可；
（2）利用对数运算可得换元令，再分和结合对数函数的单调性以及偶函数的性质解不等式即可.
（1）是偶函数.
证明：，
且，即定义域为，定义域关于原点对称.
，
是偶函数.
（2）为偶函数，
令.
当时，在上单调递增，在区间上单调递减，
由，得且解得.
当时，在上单调递减，在区间上单调递增，
由，得且解得.
综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
18．【答案】（1）解：.
当时，，
且当时，取得最大值，即解得.
（2）解：由（1）知.
令，得，
当时，；当时，；当时，.
又在区间上的单调递增区间为，.
（3）解：由题意可知，.
令，得，
的图象在内的对称轴为直线.
因且则，
.
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）由降幂公式结合辅助角公式对函数化简可得，再结合已知条件和正弦函数的性质可得m的值；
（2）先求出函数的解析式，进而由正弦函数的单调性可得，求得x的取值范围，再结合 给赋值可得单调递增区间；
（3）先由图象平移的性质得到，再由正弦函数的对称性可得.
（1）.
当时，，
且当时，取得最大值，即解得.
（2）由（1）知.
令，得，
当时，；当时，；当时，.
又在区间上的单调递增区间为与.
（3）将的图象上所有的点向下平移1个单位长度得到的图象，
再向右平移2个单位长度得到的图象，
即.
令，得，
的图象在内的对称轴为直线.
因且则，
.
19．【答案】（1）解：，
，又.
.
（2）解：.
，
设与的夹角为，则，
∵，
.
（3）解：任取向量，设与的夹角为，则，则.
对于向量，
，
当且仅当，即时等号成立，
的取值范围是.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）根据向量的数量积公式求得 夹角的余弦值，进而根据同角三角函数的关系式求得夹角的正弦值，再由新定义计算即可求得的值；
（2）先求得的坐标表示，进而根据向量的数量积公式求得夹角的余弦值 ， 进而根据同角三角函数的关系式求得夹角的正弦值，再由新定义计算即可求得 的值；
（3）任取向量，可知，进而可知，利用同角的三角函数关系和基本不等式即可求得的取值范围 .
（1），
，又.
.
（2）.
，设与的夹角为，则，
，
.
（3）任取向量，设与的夹角为，则，则.
对于向量，
，
当且仅当，即时等号成立，
的取值范围是.
1 / 1湖南省邵阳市第二中学等联考2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题
1．（2025高一下·邵阳月考）已知集合，若，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．2或
【答案】A
【知识点】集合间关系的判断
【解析】【解答】解：.
当时，或；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；
当时，，则，即，符合题意.
故选：A.
【分析】由集合包含关系可知，分，两类情况讨论即可即可求得a的值.
2．（2025高一下·邵阳月考）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可知，，
所以.
故选：B.
【分析】结合三角函数定义及二倍角的正弦公式即可求得的值.
3．（2025高一下·邵阳月考）不等式的解集是（　　）
A． B．或
C． D．或
【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为，所以，
即，解得：.
故选：C.
【分析】将分式不等式等价转化成一元二次不等式求解即可.
4．（2025高一下·邵阳月考）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面的基底的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：A、因为，所以两向量共线，不能作为平面的基底，故选项A错误；
B、因为，所以两向量共线，不能作为平面的基底，故选项B错误；
C、因为，所以两向量共线，不能作为平面的基底，故选项C错误；
D、若存在实数，使得，即，无解，
即这两个向量不共线，能作为平面的一基底，故选项D正确；
故选：D.
【分析】由平面向量基本定理逐一判断即可.
5．（2025高一下·邵阳月考）已知函数的零点分别为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由复合函数的单调性易知三个函数均连续且在定义域内单调递增.
∵，∴.
.
令，解得x=，即.
故选：B.
【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在定理判断函数的零点范围比较即可.
6．（2025高一下·邵阳月考）已知分别是的边上的点，且满足与相交于点，连接并延长交于点，若，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：如图所示，
三点共线，
三点共线，
解得，
即
三点共线，，解得.
故选：A.
【分析】结合图形，分别由三点共线可知和三点共线可知，利用平面向量基本定理列方程组解出，进而可知再利用三点共线求解即可求得实数的值 .
7．（2025高一下·邵阳月考）如图，一艘缉毒船在某海域巡逻，经过点时，发现北偏东方向，距离为的点处有毒贩正驾驶小船以的速度往北偏东的方向逃窜，缉毒船立即以的速度前往缉捕，则缉毒船经过（　　）恰好能抓获毒贩.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设缉毒船经过恰好能抓获毒贩，
由题意可知，，
由余弦定理可得，
所以，
所以，解得（负值舍去）.
故选：C.
【分析】设缉毒船经过恰好能抓获毒贩，结合题意，由余弦定理可得，即，解方程计算可得t的值.
8．（2025高一下·邵阳月考）设函数的定义域为是偶函数，是奇函数，且当时，，若，则（　　）
A． B． C． D．3
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：是偶函数，
是奇函数，∴，且.
∴.
由，解得，
∴ 当时，，
.
故选：B.
【分析】由函数的奇偶性可得，进而结合题意列方程组可求出，再利用函数的周期性可得，计算即可求解.
9．（2025高一下·邵阳月考）下列说法正确的是（　　）
A．函数且的图象恒过点
B．函数与表示同一个函数
C．函数的最小值为3
D．若关于的不等式的解集为或，则
【答案】A,D
【知识点】同一函数的判定；指数型复合函数的性质及应用；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；基本不等式
【解析】【解答】解：A、，令，得的图象恒过点，故选项A正确；
B、的定义域为的定义域为，定义域不同，与不表示同一个函数，故选项B错误；
C、令，则在上单调递增，当时，，故选项C错误；
D、的解集为或，且和1为方程的两个根，得且，故选项D正确.
故选：AD.
【分析】根据指数函数的性质恒过点(0，1)求得定点即可判断选项A；根据同一函数的概念即可判断选项B；根据基本不等式的应用条件或对勾函数的性质即可判断选项C；根据二次不等式的解集及韦达定理求解的取值即可判断选项D.
10．（2025高一下·邵阳月考）已知点为所在平面内一点，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则在上的投影向量为
B．若两两的夹角相等，且，则
C．若，且，则为等边三角形
D．若，且，则的面积是面积的
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、
在上的投影向量为，故选项A错误；
B、记向量分别为，
因为它们之间的夹角不可能都为0，所以两两的夹角为，
所以，故选项B正确；
C、因为，
所以，又，所以，
又，为等边三角形，故选项C正确；
D、令，三点共线，
又是线段上靠近点的三等分点，
即点到边的距离是点到边的距离的且两三角形的底相同，高之比等于，
，故选项D正确.
故选：BCD.
【分析】由在上的投影向量为计算即可判断选项A；先求得两两的夹角，进而由数量积的运算律和定义即可判断选项B；由向量夹角的计算结合垂直的向量表示即可判断选项C；先由向量共线的性质确定的位置，再由三角形的面积公式即可判断选项D.
11．（2025高一下·邵阳月考）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．若在上单调递增，则实数的取值范围是
B．若有3个不同的零点，则实数的取值范围是
C．若有3个不同的零点，则的取值范围是
D．存在实数，使得有最小值
【答案】A,B,C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、若在上单调递增，则解得，故选项A正确；
B、若在上有3个不同的零点，则在内有2个零点，
解得
而在内有1个零点，则，∴的取值范围是，故选项B正确；
C、由题意可知，为方程的两根，，
而是的根，
在上单调递减，，
的取值范围为，故选项C正确；
D、当时，的图象是开口向下的抛物线，∴在上没有最小值，
当时，单调递增，的最小值为，
而不可能是在上的最小值，故不可能有最小值，故选项D错误.
故选：ABC.
【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可判定选项A；在上有3个不同的零点，则在内有2个零点，在内有1个零点，令，结合对数函数与二次函数的性质，即可判断选项B；根据已知条件可知为方程的两根，是的根，可得到，令，求得函数的单调性和最值， 即可判断选项C；当时，根据二次函数的性质， 即可判断选项D.
12．（2025高一下·邵阳月考）已知向量，若，则实数　 　．
【答案】
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可得，，解得.
故答案为：.
【分析】根据向量垂直的坐标表示列式求得m的值即可.
13．（2025高一下·邵阳月考）已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，若是偶函数，且在区间上单调递减，则　 　.
【答案】9
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由题意可知，
是偶函数，且在区间上单调递减，
是的最大值，，∴，
∵，∴，令，得.
故答案为：9.
【分析】根据图象变换可得函数，进而 根据单调性和奇偶性可得函数在时，取得最大值，即可得，进而可知，结合函数周期的关系即可求得的值.
14．（2025高一下·邵阳月考）在锐角三角形中，角的对边分别为的面积为，已知，且，则的周长的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：
，即，
又∴ ，.
∴，∴，
由正弦定理可得
，
且
是锐角三角形，，
即，
又，∴，
即的周长的取值范围是.
故答案为：.
【分析】由余弦定理，二倍角的正余弦公式可知 ，进而利用正切公式，同角的三角函数关系得到，再由正弦定理边化角和辅助角公式得到，然后结合锐角三角函数的角度范围和三角函数的有界性即可求得的周长的取值范围 .
15．（2025高一下·邵阳月考）已知是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：，，
，
，
，
或.
（2）解：，，
与的夹角为锐角，
且与不共线，
即且，
且，即的取值范围是.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量平行关系可设，进而利用模长公式列方程，求得的值，即可求得的坐标；
（2）先求得与 的坐标表示，进而根据夹角为锐角，即且与不共线，列不等式，解不等式求得m的值即可.
（1），，
，
，
，
或.
（2），，
与的夹角为锐角，
且与不共线，
即且，
且，即的取值范围是.
16．（2025高一下·邵阳月考）在中，分别为内角所对的边，已知.
（1）求；
（2）若的面积为，求.
【答案】（1）解：由正弦定理可得.
，
，
又，
∴，
，
∴.
（2）解：∵的面积，∴，
由余弦定理可得，
，解得(负值已舍去).
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理可得.，进而根据结合两角和的正弦公式以及辅助角公式可知，即可求得A的值；
（2）由三角形的面积公式可求得bc的值，进而利用余弦定理，代入数值解方程即可求得a的值.
（1）由及正弦定理可得
.
，
，又，
即，
，即.
（2）由（1）及余弦定理可得.
由的面积，得，
又，
，故.
17．（2025高一下·邵阳月考）设且，已知函数.
（1）判断的奇偶性，并说明理由；
（2）令函数，解关于的不等式.
【答案】（1）解：是偶函数.
证明：，
且，即定义域为，定义域关于原点对称.
，
是偶函数.
（2）解：为偶函数，
令.
当时，在上单调递增，在区间上单调递减，
由，得且解得.
当时，在上单调递减，在区间上单调递增，
由，得且解得.
综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
【知识点】函数的奇偶性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）先写出 的解析式，进而求得函数的定义域，再利用奇偶函数的定义证明即可；
（2）利用对数运算可得换元令，再分和结合对数函数的单调性以及偶函数的性质解不等式即可.
（1）是偶函数.
证明：，
且，即定义域为，定义域关于原点对称.
，
是偶函数.
（2）为偶函数，
令.
当时，在上单调递增，在区间上单调递减，
由，得且解得.
当时，在上单调递减，在区间上单调递增，
由，得且解得.
综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
18．（2025高一下·邵阳月考）已知函数在区间上的最大值为3.
（1）求；
（2）求在区间上的单调递增区间；
（3）将的图象上所有的点向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的图象，若且，求的值.
【答案】（1）解：.
当时，，
且当时，取得最大值，即解得.
（2）解：由（1）知.
令，得，
当时，；当时，；当时，.
又在区间上的单调递增区间为，.
（3）解：由题意可知，.
令，得，
的图象在内的对称轴为直线.
因且则，
.
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）由降幂公式结合辅助角公式对函数化简可得，再结合已知条件和正弦函数的性质可得m的值；
（2）先求出函数的解析式，进而由正弦函数的单调性可得，求得x的取值范围，再结合 给赋值可得单调递增区间；
（3）先由图象平移的性质得到，再由正弦函数的对称性可得.
（1）.
当时，，
且当时，取得最大值，即解得.
（2）由（1）知.
令，得，
当时，；当时，；当时，.
又在区间上的单调递增区间为与.
（3）将的图象上所有的点向下平移1个单位长度得到的图象，
再向右平移2个单位长度得到的图象，
即.
令，得，
的图象在内的对称轴为直线.
因且则，
.
19．（2025高一下·邵阳月考）设平面内两个非零向量的夹角为，定义.
（1）已知向量满足，求的值；
（2）在平面直角坐标系中，已知点，求的值；
（3）已知向量，求的取值范围.
【答案】（1）解：，
，又.
.
（2）解：.
，
设与的夹角为，则，
∵，
.
（3）解：任取向量，设与的夹角为，则，则.
对于向量，
，
当且仅当，即时等号成立，
的取值范围是.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）根据向量的数量积公式求得 夹角的余弦值，进而根据同角三角函数的关系式求得夹角的正弦值，再由新定义计算即可求得的值；
（2）先求得的坐标表示，进而根据向量的数量积公式求得夹角的余弦值 ， 进而根据同角三角函数的关系式求得夹角的正弦值，再由新定义计算即可求得 的值；
（3）任取向量，可知，进而可知，利用同角的三角函数关系和基本不等式即可求得的取值范围 .
（1），
，又.
.
（2）.
，设与的夹角为，则，
，
.
（3）任取向量，设与的夹角为，则，则.
对于向量，
，
当且仅当，即时等号成立，
的取值范围是.
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