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浙江省台州市仙居县仙居外语学校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题
1．（2025高二下·仙居月考）若函数在处的导数等于，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高二下·仙居月考）曲线在点处的切线方程为 （　　）
A． B． C． D．
3．（2025高二下·仙居月考）已知，且，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高二下·仙居月考）函数 的单调递增区间是（　　）
A． B． C．(1，4) D．(0，3)
5．（2025高二下·仙居月考）的展开式中的常数项是（　　）
A．-120 B．-60 C．60 D．120
6．（2025高二下·仙居月考）设函数，则 （　　）
A．为极大值点 B．为极大值点
C．为极小值点 D．无极值点
7．（2025高二下·仙居月考）若，则的解集为（　　）
A．(0，) B．(-1，0)(2，)
C．(2，) D．(-1，0)
8．（2025高二下·仙居月考）有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（　　）
A．34种 B．48种 C．96种 D．144种
9．（2025高二下·仙居月考）在的展开式中，下列说法正确的是（　　）
A．不存在常数项 B．二项式系数和为1
C．第4项和第5项二项式系数最大 D．所有项的系数和为128
10．（2025高二下·仙居月考）现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到四家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（　　）
A．所有可能的安排方法有64种
B．若三名专家选择两所医院，每所医院至少去一人，则不同的安排方法有6种
C．若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，则不同的安排方法有24种
D．若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，但是甲不去A医院，则不同的安排方法有18种
11．（2025高二下·仙居月考）已知，则（　　）
A． B．
C． D．
12．（2025高二下·仙居月考）已知曲线在点处的切线斜率为16，则点坐标为　 　．
13．（2025高二下·仙居月考）2023年杭州亚运会召开后，4位同学到三个体育场馆做志愿者服务活动，每个体育场馆至少一人，每人只能去一个体育场馆，则不同的分配方法总数是　 　．
14．（2025高二下·仙居月考）已知不等式在上恒成立，则的取值范围是　 　.
15．（2025高二下·仙居月考） 已知的展开式中，所有项的系数之和是512．
（1）求展开式中含项的系数；
（2）求的展开式中的常数项.
16．（2025高二下·仙居月考）已知 在 时有极值0．
（1）求常数 ， 的值；
（2）求 在区间 上的最值．
17．（2025高二下·仙居月考）从6名运动员中选4人参加米接力赛，在下列条件下，各共有多少种不同的排法？（写出计算过程，并用数字作答）
（1）甲 乙两人必须跑中间两棒；
（2）若甲 乙两人都被选且必须跑相邻两棒．
18．（2025高二下·仙居月考）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在上的最大值与最小值．
19．（2025高二下·仙居月考）已知函数，.
（1）求的单调区间；
（2）若，且的极小值小于，求a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】极限及其运算；导数的概念
【解析】【解答】.
答案为：B.
【分析】
根据给定条件，利用导数的定义直接计算可求解.
2．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以曲线在点处的切线的斜率为，而，
所以切线方程为，即，
故选：C.
【分析】先进行求导，进而利用导数的几何意义可知切线斜率，利用点斜式即可求得切线方程.
3．【答案】A
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：由题意可知，，，解得故选：A.
【分析】先对函数f(x)求导，进而列式即可求得a的值.
4．【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】 ， ，解不等式 ，解得 ，
因此，函数 的单调递增区间是 ，
故答案为：B.
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数 的单调递增区间 。
5．【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：展开式的通项为：，
令，解得，所以的展开式中的常数项为：.
故选：.
【分析】先求得展开式的通项，进而令x的指数为0，进而求得对应的常数项.
6．【答案】B
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：函数定义域为，
因为，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，即为极大值点.
故选：B.
【分析】先求得函数的定义域，进而对函数求导，利用导数求出函数的单调区间，即可得到极值点.
7．【答案】C
【知识点】导数的四则运算；不等式的解集
【解析】【解答】解：函数 的定义域为(0，+∞)，
而
∵ ，∴，
又
【分析】先求得函数的定义域，进而对函数进行求导可得，将 转化为解不等式求解集即可.
8．【答案】C
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解： 甲只能在排头或排尾，所以甲的位置有2种可能；乙、丙两人必须相邻，可以看作一个整体，乙、丙两人相对位置有种排列方式，那么剩下的4个位置（包括乙丙看作一个整体的位置）有种排列方式，所以总的排法有种，
故选：C.
【分析】 首先，我们要确定甲的位置，由于甲只能在排头或排尾，所以甲的位置有2种可能；接下来，我们考虑乙、丙两人，他们必须相邻，可以看作一个整体进而排列。然后，我们计算剩下的4个位置（包括乙丙看作一个整体的位置）的排列方式，将这些排列方式相乘，就可以得到总的排法.
9．【答案】A,C
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】因为展开式的通项公式为，
对A，由，得(舍去)，所以展开式不存在常数项，A符合题意；
对B，二项式系数和为，B不符合题意；
对C，展开式共有项，所以第4项和第5项二项式系数最大，C符合题意；
对D，令，得所有项的系数和为，D不符合题意；
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合通项公式得出展开式不存在常数项，再结合二项式的系数的性质和赋值法以及求和法得出说法正确的选项。
10．【答案】A,C,D
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A、甲、乙、丙三人均有4种选择，故所有可能的安排方法有种，故选项A正确；
B、先从4所医院选择2所，有种选择；再将三名专家分到两所医院，有种选择；
则不同的安排方法有种，故选项B错误；
C、先从4所医院选择3所，有种选择， 再将三名专家分到三所医院 ，有种选择，
则不同的安排方法有种，故选项C正确；
D、由C选项可知，三名专家选择三所医院，每所医院去一人，共24种选择，
若甲去A医院，从所医院中选两所，和剩余两名专家进行全排列，共有种选择，
故不同的安排方法有种，故选项D正确.
故选：ACD.
【分析】甲、乙、丙三人均有4种选择，根据分步计数原理计算即可判断选项A；先从4所医院选择2所，再将三名专家分到两所医院，利用分步计数原理计算即可判断选项B；先从4所医院选择3所， 再将三名专家分到三所医院计算即可判断选项C；再C选项的基础上，计算出每所医院去一人，甲去A医院的安排方法，从而计算即可判断选项D.
11．【答案】A,C
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：A、令，则，故选项A正确；
B、的展开式的通项为，
令6-k=2，解得k=4，所以，故选项B错误；
C、当时，即，而，
所以令，则，
而，故选项C正确；
D、令6-k=6，解得，可得，，
又因为令，则，
所以，故选项D错误.
故选：AC.
【分析】求出的展开式的通项结合赋值法对选项一一判断即可得出答案.
12．【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：设点，
因为，所以，所以，
令，解得，所以，
即点的坐标为.
【分析】设点，对函数进而求导求得，得到，根据导数的几何意义可知，解得，进而求得点P的坐标即可.
13．【答案】36
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，先将4名同学进而分组，分为共3组，再将这三组分到三个体育馆，则不同的分配方法共有种，
故答案为：36.
【分析】先分组，分为2，1，1，再进而分配到3个体育馆中，根据分步计算原理计算即可求得 不同的分配方法总数.
14．【答案】a≤e
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：整理得，即，
设，则恒成立，所以在上单调递增，
则由不等式即为恒成立，所以在上恒成立，
故，设，则，
当时，恒成立，在上单调递增，则，符合题意；
当时，时，，单调递减，时，，单调递增，
则，解得；
综上，的取值范围是.
故答案为：.
【分析】将不等式转化为，构造函数，求导确定其单调性，从而将不等式再转化为，设，求导讨论单调性得最值，即可打求得取值范围.
15．【答案】（1）解：因为的展开式中，所有项的系数之和是512．
所以令，得，所以，
所以的展开式通项公式为，
令，解得，所以展开式中含项为，
所以展开式中含项的系数为27.
（2）解：由（1）知，，从而，
因为的展开式的通项为，
所以的常数项为，
又的常数项为，
所以的展开式中的常数项为.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【分析】（1）根据所有项的系数之和是512，采用特殊值法，令求出n的值，进而求出通项，利用通项求出结果即可；
（2）先将式子进行化简，并求出的通项并化简，利用分类讨论的思路让x的幂为0，即可求出结果.
16．【答案】（1）解： ，
由题知：
联立（1）、（2）有 （舍）或 ．
当 时 在定义域上单调递增，故舍去；
所以 ， ，经检验，符合题意
（2）解：当 ， 时，
故方程 有根 或
由 ，
得 或
由 得 ，
函数 的单调增区间为： ， ，减区间为： ．
函数在 取得极大值，在 取得极小值；
经计算 ， ， ， ，
所以函数的最小值为0，最大值为4．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用求导的方法判断函数的单调性，再利用函数的单调性求出函数的极值，再利用函数 在 时有极值0，从而求出a，b的值。
（2）利用（1）求出的a，b的值，进而求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数在给定区间的最值。
17．【答案】（1）解：甲 乙两人跑中间两棒，甲乙两人的排列有种，剩余两棒从余下的4个人中选2人的排列有种，故共有种不同的排法.
（2）解：若甲 乙两人都被选且必须跑相邻两棒，甲乙两人相邻两人的排列有种，其余4人选两人和甲乙组合成三个元素的排列有种，
故共有种不同的排法．
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）由甲 乙两人必须跑中间两棒，甲乙之间会有一个排列，余下的两个位置需要在剩余4人中选出2人共有种排法，根据分步计数原理即可求得不同的排法总数；
（2）由题意可将甲乙两人捆绑，并且有种结果，其余4人选出两人和甲乙组合成三个元素的排列共有种结果，再根据分步计数原理即可求得不同的排法总数.
（1）甲 乙两人跑中间两棒，甲乙两人的排列有种，剩余两棒从余下的4个人中选两人的排列有种，
故有种；
（2）若甲 乙两人都被选且必须跑相邻两棒，甲乙两人相邻两人的排列有种，其余4人选两人和甲乙组合成三个元素的排列有种，
故有种．
18．【答案】（1）解：由题意可知，，
所以，
则曲线在点处的切线方程为y-1=-(x-0)，即．
（2）解：令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以当，取得极小值，同时取得最小值，
又，，，
所以在上的最小值为，最大值为．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先对函数进而求导数，进而利用导数的几何意义求得切线的斜率，利用点斜式即可求得切线方程；
（2）利用导数求得函数在上的单调性，即可求得极值，进而再求得最值即可.
（1）函数的导数为，
可得曲线在点处的切线的斜率为，
则曲线在点处的切线方程为．
（2）令，得，
则当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
因此为的极小值点，也是最小值点，
又，，，
所以在上的最小值为，最大值为．
19．【答案】解：（1） 函数 的定义域为(0，+∞)，
所以（），
①当时，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
②当时，
当或时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
③当时，恒成立，所以在上单调递增；
④当时，
当或时，；当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（2）已知，由（1）知的极小值为，
令，，则，
所以在上单调递减，且，
由的极小值小于，可得
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域，进而对函数求导，分，，和四种情况利用导数求出函数的单调区间即可；
（2）由（1）知的极小值为，构造函数，由导数判断函数在上单调递减，且，从而可求出a的取值范围.
1 / 1浙江省台州市仙居县仙居外语学校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题
1．（2025高二下·仙居月考）若函数在处的导数等于，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】极限及其运算；导数的概念
【解析】【解答】.
答案为：B.
【分析】
根据给定条件，利用导数的定义直接计算可求解.
2．（2025高二下·仙居月考）曲线在点处的切线方程为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以曲线在点处的切线的斜率为，而，
所以切线方程为，即，
故选：C.
【分析】先进行求导，进而利用导数的几何意义可知切线斜率，利用点斜式即可求得切线方程.
3．（2025高二下·仙居月考）已知，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：由题意可知，，，解得故选：A.
【分析】先对函数f(x)求导，进而列式即可求得a的值.
4．（2025高二下·仙居月考）函数 的单调递增区间是（　　）
A． B． C．(1，4) D．(0，3)
【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】 ， ，解不等式 ，解得 ，
因此，函数 的单调递增区间是 ，
故答案为：B.
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数 的单调递增区间 。
5．（2025高二下·仙居月考）的展开式中的常数项是（　　）
A．-120 B．-60 C．60 D．120
【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：展开式的通项为：，
令，解得，所以的展开式中的常数项为：.
故选：.
【分析】先求得展开式的通项，进而令x的指数为0，进而求得对应的常数项.
6．（2025高二下·仙居月考）设函数，则 （　　）
A．为极大值点 B．为极大值点
C．为极小值点 D．无极值点
【答案】B
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：函数定义域为，
因为，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，即为极大值点.
故选：B.
【分析】先求得函数的定义域，进而对函数求导，利用导数求出函数的单调区间，即可得到极值点.
7．（2025高二下·仙居月考）若，则的解集为（　　）
A．(0，) B．(-1，0)(2，)
C．(2，) D．(-1，0)
【答案】C
【知识点】导数的四则运算；不等式的解集
【解析】【解答】解：函数 的定义域为(0，+∞)，
而
∵ ，∴，
又
【分析】先求得函数的定义域，进而对函数进行求导可得，将 转化为解不等式求解集即可.
8．（2025高二下·仙居月考）有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（　　）
A．34种 B．48种 C．96种 D．144种
【答案】C
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解： 甲只能在排头或排尾，所以甲的位置有2种可能；乙、丙两人必须相邻，可以看作一个整体，乙、丙两人相对位置有种排列方式，那么剩下的4个位置（包括乙丙看作一个整体的位置）有种排列方式，所以总的排法有种，
故选：C.
【分析】 首先，我们要确定甲的位置，由于甲只能在排头或排尾，所以甲的位置有2种可能；接下来，我们考虑乙、丙两人，他们必须相邻，可以看作一个整体进而排列。然后，我们计算剩下的4个位置（包括乙丙看作一个整体的位置）的排列方式，将这些排列方式相乘，就可以得到总的排法.
9．（2025高二下·仙居月考）在的展开式中，下列说法正确的是（　　）
A．不存在常数项 B．二项式系数和为1
C．第4项和第5项二项式系数最大 D．所有项的系数和为128
【答案】A,C
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】因为展开式的通项公式为，
对A，由，得(舍去)，所以展开式不存在常数项，A符合题意；
对B，二项式系数和为，B不符合题意；
对C，展开式共有项，所以第4项和第5项二项式系数最大，C符合题意；
对D，令，得所有项的系数和为，D不符合题意；
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合通项公式得出展开式不存在常数项，再结合二项式的系数的性质和赋值法以及求和法得出说法正确的选项。
10．（2025高二下·仙居月考）现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到四家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（　　）
A．所有可能的安排方法有64种
B．若三名专家选择两所医院，每所医院至少去一人，则不同的安排方法有6种
C．若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，则不同的安排方法有24种
D．若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，但是甲不去A医院，则不同的安排方法有18种
【答案】A,C,D
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A、甲、乙、丙三人均有4种选择，故所有可能的安排方法有种，故选项A正确；
B、先从4所医院选择2所，有种选择；再将三名专家分到两所医院，有种选择；
则不同的安排方法有种，故选项B错误；
C、先从4所医院选择3所，有种选择， 再将三名专家分到三所医院 ，有种选择，
则不同的安排方法有种，故选项C正确；
D、由C选项可知，三名专家选择三所医院，每所医院去一人，共24种选择，
若甲去A医院，从所医院中选两所，和剩余两名专家进行全排列，共有种选择，
故不同的安排方法有种，故选项D正确.
故选：ACD.
【分析】甲、乙、丙三人均有4种选择，根据分步计数原理计算即可判断选项A；先从4所医院选择2所，再将三名专家分到两所医院，利用分步计数原理计算即可判断选项B；先从4所医院选择3所， 再将三名专家分到三所医院计算即可判断选项C；再C选项的基础上，计算出每所医院去一人，甲去A医院的安排方法，从而计算即可判断选项D.
11．（2025高二下·仙居月考）已知，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：A、令，则，故选项A正确；
B、的展开式的通项为，
令6-k=2，解得k=4，所以，故选项B错误；
C、当时，即，而，
所以令，则，
而，故选项C正确；
D、令6-k=6，解得，可得，，
又因为令，则，
所以，故选项D错误.
故选：AC.
【分析】求出的展开式的通项结合赋值法对选项一一判断即可得出答案.
12．（2025高二下·仙居月考）已知曲线在点处的切线斜率为16，则点坐标为　 　．
【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：设点，
因为，所以，所以，
令，解得，所以，
即点的坐标为.
【分析】设点，对函数进而求导求得，得到，根据导数的几何意义可知，解得，进而求得点P的坐标即可.
13．（2025高二下·仙居月考）2023年杭州亚运会召开后，4位同学到三个体育场馆做志愿者服务活动，每个体育场馆至少一人，每人只能去一个体育场馆，则不同的分配方法总数是　 　．
【答案】36
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，先将4名同学进而分组，分为共3组，再将这三组分到三个体育馆，则不同的分配方法共有种，
故答案为：36.
【分析】先分组，分为2，1，1，再进而分配到3个体育馆中，根据分步计算原理计算即可求得 不同的分配方法总数.
14．（2025高二下·仙居月考）已知不等式在上恒成立，则的取值范围是　 　.
【答案】a≤e
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：整理得，即，
设，则恒成立，所以在上单调递增，
则由不等式即为恒成立，所以在上恒成立，
故，设，则，
当时，恒成立，在上单调递增，则，符合题意；
当时，时，，单调递减，时，，单调递增，
则，解得；
综上，的取值范围是.
故答案为：.
【分析】将不等式转化为，构造函数，求导确定其单调性，从而将不等式再转化为，设，求导讨论单调性得最值，即可打求得取值范围.
15．（2025高二下·仙居月考） 已知的展开式中，所有项的系数之和是512．
（1）求展开式中含项的系数；
（2）求的展开式中的常数项.
【答案】（1）解：因为的展开式中，所有项的系数之和是512．
所以令，得，所以，
所以的展开式通项公式为，
令，解得，所以展开式中含项为，
所以展开式中含项的系数为27.
（2）解：由（1）知，，从而，
因为的展开式的通项为，
所以的常数项为，
又的常数项为，
所以的展开式中的常数项为.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【分析】（1）根据所有项的系数之和是512，采用特殊值法，令求出n的值，进而求出通项，利用通项求出结果即可；
（2）先将式子进行化简，并求出的通项并化简，利用分类讨论的思路让x的幂为0，即可求出结果.
16．（2025高二下·仙居月考）已知 在 时有极值0．
（1）求常数 ， 的值；
（2）求 在区间 上的最值．
【答案】（1）解： ，
由题知：
联立（1）、（2）有 （舍）或 ．
当 时 在定义域上单调递增，故舍去；
所以 ， ，经检验，符合题意
（2）解：当 ， 时，
故方程 有根 或
由 ，
得 或
由 得 ，
函数 的单调增区间为： ， ，减区间为： ．
函数在 取得极大值，在 取得极小值；
经计算 ， ， ， ，
所以函数的最小值为0，最大值为4．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用求导的方法判断函数的单调性，再利用函数的单调性求出函数的极值，再利用函数 在 时有极值0，从而求出a，b的值。
（2）利用（1）求出的a，b的值，进而求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数在给定区间的最值。
17．（2025高二下·仙居月考）从6名运动员中选4人参加米接力赛，在下列条件下，各共有多少种不同的排法？（写出计算过程，并用数字作答）
（1）甲 乙两人必须跑中间两棒；
（2）若甲 乙两人都被选且必须跑相邻两棒．
【答案】（1）解：甲 乙两人跑中间两棒，甲乙两人的排列有种，剩余两棒从余下的4个人中选2人的排列有种，故共有种不同的排法.
（2）解：若甲 乙两人都被选且必须跑相邻两棒，甲乙两人相邻两人的排列有种，其余4人选两人和甲乙组合成三个元素的排列有种，
故共有种不同的排法．
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）由甲 乙两人必须跑中间两棒，甲乙之间会有一个排列，余下的两个位置需要在剩余4人中选出2人共有种排法，根据分步计数原理即可求得不同的排法总数；
（2）由题意可将甲乙两人捆绑，并且有种结果，其余4人选出两人和甲乙组合成三个元素的排列共有种结果，再根据分步计数原理即可求得不同的排法总数.
（1）甲 乙两人跑中间两棒，甲乙两人的排列有种，剩余两棒从余下的4个人中选两人的排列有种，
故有种；
（2）若甲 乙两人都被选且必须跑相邻两棒，甲乙两人相邻两人的排列有种，其余4人选两人和甲乙组合成三个元素的排列有种，
故有种．
18．（2025高二下·仙居月考）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在上的最大值与最小值．
【答案】（1）解：由题意可知，，
所以，
则曲线在点处的切线方程为y-1=-(x-0)，即．
（2）解：令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以当，取得极小值，同时取得最小值，
又，，，
所以在上的最小值为，最大值为．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先对函数进而求导数，进而利用导数的几何意义求得切线的斜率，利用点斜式即可求得切线方程；
（2）利用导数求得函数在上的单调性，即可求得极值，进而再求得最值即可.
（1）函数的导数为，
可得曲线在点处的切线的斜率为，
则曲线在点处的切线方程为．
（2）令，得，
则当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
因此为的极小值点，也是最小值点，
又，，，
所以在上的最小值为，最大值为．
19．（2025高二下·仙居月考）已知函数，.
（1）求的单调区间；
（2）若，且的极小值小于，求a的取值范围.
【答案】解：（1） 函数 的定义域为(0，+∞)，
所以（），
①当时，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
②当时，
当或时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
③当时，恒成立，所以在上单调递增；
④当时，
当或时，；当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（2）已知，由（1）知的极小值为，
令，，则，
所以在上单调递减，且，
由的极小值小于，可得
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域，进而对函数求导，分，，和四种情况利用导数求出函数的单调区间即可；
（2）由（1）知的极小值为，构造函数，由导数判断函数在上单调递减，且，从而可求出a的取值范围.
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