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专题二十一 正方形（拔高训练）——中考数学一轮复习备考合集
1.如图，把一张长方形的纸对折两次，然后剪下一个角，若剪口与折痕成角，则剪下的角展开后的图形是( )
A.等腰直角三角形 B.菱形
C.正方形 D.直角三角形
2.如图,在正方形中,点E,F分别是边,上一点,且,点P为中点且平分,若,则可以表示为( )
A. B. C. D.
3.如图,在正方形中,点G在边上,连接,于点E,于点F,若,,则的长为( )
A.5 B.8 C.12 D.2
4.如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是( )
A. B.
C. D.
5.如图,四边形ABCD是正方形,直线、、分别通过A,B,C三点,且,若与的距离为5,与的距离为7,则正方形ABCD的面积等于( )
A.70 B.74 C.144 D.148
6.如图，正方形中，点E、H、G、F分别为、、、边上的点，点K、M、N为对角线上的点，四边形和四边形均为正方形，它们的面积分别表示为和，
给出下面三个结论：
①；②；③.
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A.② B.①③ C.②③ D.①②③
7.如图边长为4的正方形中,E为边上一点,且,F为边上一动点,将线段绕点F顺时针旋转得到线段,连接,则的最小值为( )
A. B.4 C. D.
8.如图，在正方形中，对角线与相交于点O，点M为边的中点，于点E，，交的延长线于点F，则的值为( )
A.2 B. C. D.
9.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边，则______.
10.如图,设四边形是边长为1的正方形,以正方形的对角线为边作第二个正方形,再以第二个正方形的对角线为边作第三个正方形,如此下去…,记正方形的边长,依上述方法所作的正方形的边长依次为,,,,根据上述规律,则第11个正方形的边长a的表达式为______.
11.毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究，如图，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形，连接BF，CD，过点C作于点M，若，，则的面积为________.
12.如图：正方形中,,为对角线,P为内一点,连接、、,若,,则的长度为______.
13.如图,四边形是菱形,对角线、交于点O,点D、B是对角线所在直线上两点,且,连接、、、,.
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若正方形的面积为72,,求菱形的面积.
14.定义：对于一个凸四边形,我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”,如果原四边形的中点四边形是个正方形,我们把这个原四边形叫做“中正四边形”.
(1)概念理解析：下列四边形中一定是“中正四边形”的是______；
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
(2)性质探究：如图1,四边形是“中正四边形”,观察图形,直接写出关于四边形对角线的两条结论；
(3)问题解决：如图2,为锐角三角形,以的两边,为边长,分别向外侧作正方形和正方形,连接,,,求证：四边形是“中正四边形”.
答案以及解析
1.答案：C
解析：根据题意，剪下后的角的展开后是正方形，如图所示，
故选：C.
2.答案：D
解析：如图,过P作于点G,
平分,
,
,
是中点
四边形是正方形
,,
,
,
故选：D.
3.答案：A
解析：四边形是正方形,
,,
∵,,
∴,
∴,
,
在和中,
,
,
,,
.
故选：A.
4.答案：D
解析：当时，正方形ABCD的边长为2，点O为正方形的中心，
直线EO垂直BC，
点P到直线BC的距离为，，
；
当时，正方形ABCD 的边长为2，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，
直线，
点P到直线BC的距离为1，，
；
故选D.
5.答案：B
解析：分别过点B和点D作的垂线交于点E、H,交于点F、G
∵
∴,
∴四边形EFGH是矩形
又∵四边形ABCD是正方形
∴,
∵,
∴
∵
∴
∴
同理可证：,得到,
∴,即
∴四边形EFGH是正方形
∵与的距离为5,与的距离为7
∴,
∴
故选：B
6.答案：C
解析：①四边形是正方形，
，
四边形和四边形均为正方形，
，，
和都是等腰直角三角形，
，，
同理可得，
，
，，
，故①错误；
②和都是等腰直角三角形，
，，
四边形为正方形，
，
，故②正确；
③由①知：，，
，故③正确；
故选：C.
7.答案：A
解析：如图,过G点作交于点H,过G点作交于点I,
∵线段绕点F顺时针旋转得到线段,
∴,
∴,
又∵
∴
∵,四边形是正方形,
∴,
∴
∴,,
∵,
∴四边形是矩形,
∴,,
设,则,,,
在中,,
即当时,有最小值,
∴当时,最小值是,
故选：A.
8.答案：A
解析：如图所示：过点E作于点H，
设，
M为边的中点，
，
四边形是正方形，
，
在中，由勾股定理得：
，
∵，
的面积，
，
，
，
的面积，
，
，
，
，
在中，，
，
，即，
，
，
故选：A.
9.答案：30°
解析：因为四边形ABCD是正方形，
所以，，.
因为是等边三角形，
所以，，
所以，，
所以，
所以.
故答案为：30°.
10.答案：32
解析：∵,且在直角中,,
∴,
同理,
；

故找到规律,
当时,,
故答案为：32.
11.答案：
解析：四边形和四边形是正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
的面积.
故答案为：.
12.答案：
解析：设,
∵正方形中,,为对角线,
,,,,
,,
,
,
,
,
,
,
在和中,
,
,
,
,,
在中,,即,
解得或(不符合题意,舍去),
即的长度为,
故答案为：.
13.答案：(1)证明见解析
(2)24
解析：(1)证明：菱形的对角线和交于点O,
,,,
∵,
∴,
即,
又,
四边形是菱形,
,
,
,
,
菱形是正方形；
(2)正方形的面积为72,
,
,
,
,
,
,
四边形是菱形,
,,
菱形的面积.
14.答案：(1)D
(2)①,②
(3)见解析
解析：(1)平行四边形的“中点四边形”仍然是平行四边形,矩形的“中点四边形”是菱形,菱形的“中点四边形”是矩形,正方形的“中点四边形”是正方形,
根据中正四边形的概念知,正方形的“中点四边形”一定是“中正四边形”,
故答案为：D；
(2)性质探究：四边形是“中正四边形”,
四边形是正方形,
,且,
且,且,
,；
(3)问题解决：如图2,取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形,连接交于P,连接交于K,
四边形各边中点分别为M、N、R、L,
、、、分别是、、、的中位线,
,,,,,,,,
,,,,
四边形是平行四边形,
四边形和四边形都是正方形,
,,,
又,
,
即,
在和中,
,
,
,,
又,,
,
是菱形,
,
,
又,,
,
,
又,,
,
菱形是正方形,
即原四边形是“中正四边形”.

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