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专题二十五 尺规作图（综合测试）——中考数学一轮复习备考合集
【满分：120】
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.综合实践课上,嘉嘉画出了,利用尺规作图画出了；使.图图3是其作图过程.
(1)以点A为圆心,以适当长为半径画弧,交于点M,交于点N. (2)以点N为圆心,以长为半径画弧,与 (1)中的弧交于点P,作射线. (3)以点A为圆心,分别以,长为半径画弧,与边交于点D,与射线交于点E,连接.
在嘉嘉的作法中,可直接判定的依据是( )
A. B. C. D.
2.如图，点A，B在直线l同侧，在直线l上取一点P，使得最小，对点P的位置叙述正确的是( )
A.作线段的垂直平分线与直线l的交点，即为点P
B.过点A作直线l的垂线，垂足即为点P
C.作点B关于直线l的对称点，连接，与直线l的交点，即为点P
D.延长与直线l的交点，即为点P
3.如图,在中,按以下步骤作图：①分别以点B,C为圆心,大于的长为半径画弧,两弧相交于E,F两点,和交于点O；②以点A为圆心,长为半径画弧,交于点D；③分别以点D,C为圆心,大于的长为半径画弧,两弧相交于点M,连接,和相交于点N,连接.若,,则的长为( )
A.2.5 B.3 C.3.5 D.4
4.如图,在中,点O是边上的点.按下列要求作图：
①以点B为圆心、适当长为半径画弧,交线段于点D,交线段于点E；
②以点O为圆心、长为半径画弧,交线段于点F；
③以点F为圆心、长为半径画弧,交前一条弧于点G,点G与点C在直线同侧；
④作直线,交线段于点M.
下列结论不一定成立的是( )
A. B.
C. D.
5.如图所示,中,,,要求用圆规和直尺作图,把它分成两个三角形,其中一个三角形是等腰三角形.其作法错误的是( )
A. B.
C. D.
6.如图,在中,,,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交、于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点P,连接并延长交于点D,以下结论错误的是( )
A.是的平分线 B.
C.点D在线段的垂直平分线上 D.
7.如图,为半圆O的直径,点C为半圆O上一点,且,以点A为圆心,以适当的长为半径画弧分别交于点M,交直径于点N,分别以点M、N为圆心,大的长为半径作弧,两弧相交于点P,作射线交半圆O于点D.过点O作交半圆O于点Q,连接,则的长为( )
A. B.4 C.2 D.
8.如图，已知线段，按照如下步骤作图：
第一步：分别以点B，C为圆心、大于长为半径画弧；
第二步：过两弧的交点作直线l交于点D；
第三步：以点D为圆心、长为半径画弧交直线l于点O；
第四步：以点O为圆心、长为半径画圆.
若的半径为3，点A是圆上的动点.当点A在所对的优弧上运动时，记面积的最大值为，当点A在所对的劣弧上运动时，记面积的最大值为，则的值等于( )
A. B. C. D.
9.如图，在中平分，按以下步骤作图：第一步分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接分别交于点E、F；第三步，连接，若，，，则的长是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
10.1.如图，小亮和小明分别用尺规作的平分线，则关于两人的作图方法，下列判断正确的是( )
小亮的作法：以点P为圆心，任意长为半径画弧，弧分别交，于点M，N.分别以点M，N为圆心，大于一半的长为半径画弧，两弧交于点Q.作射线即为所求； 小明的作法：以点P为圆心，任意长为半径画弧，弧分别交，于点E，F.分别作线段，的中垂线，两条中垂线相交于点Q，作射线即为所求.
A.小亮、小明均正确 B.只有小明正确
C.只有小亮正确 D.小亮、小明均不正确
11.如图，在菱形中，按以下步骤作图，下列结论中错误的是( )
(1)分别以C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；
(2)作直线，且直线恰好经过点A，且与边交于点M；
(3)连接.
A. B. C. D.
12.如图,在平面直角坐标系中,点,分别以点O,A为圆心,以的长为半径画弧,两弧交于点B,然后按如图所示的尺规作图得到边上的点M.若以点M为旋转中心,将绕点M逆时针旋转,则点A的对应点的横坐标是( )
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
13.如图,在中,以点B为圆心,适当的长度为半径画弧分别交、边于点P、Q,再分别以点P、Q为圆心,以大于为半径画弧,两弧交于点M,连接交于点E,过点E作交于点D,若,,则的周长为______.
14.如图，已知，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM，AN相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P，作射线AP；分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别与AB，AP相交于点F，Q.若，，则F到AN的距离为___________.
15.如图,菱形的边长为4,,分别以点A和点B为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,直线交于点E,连接,则的长为____________.
16.如图,在中,.以点B为圆心,以的长为半径作弧交边于点E,连接.分别以点A,E为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线交于点O,交边于点F,则的值为____________.
17.在平面直角坐标系中,矩形的边BC在x轴上,O为线段的中点,矩形的顶点,连接,按照下列方法作图：
(1)以点C为圆心,适当的长度为半径画弧分别交,于点E,F；
(2)分别以点E,F为圆心,大于的长为半径画弧交于点G；
(3)作射线交于H,则线段的长为_______.
三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
18.（6分）如图,四边形是矩形,连接,.
(1)实践操作：利用尺规作的平分线,交于点M.(要求：尺规作图并保留作图痕迹,不写作法,标明字母)
(2)猜想证明：在所作的图中,猜想线段与的数量关系,并证明你的猜想.
19.（8分）已知四边形，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图.（保留作图痕迹，不写作法）
(1)如图①，连接，在边上作出一个点M，使得；
(2)如图②，在边上作出一个点，使得.
20.（8分）综合与实践：数学中的折纸与作图
折纸的过程蕴含了大量的对称知识，我们可以获得很多相等的量，而利用尺规作图可以作出几何中的基本图形，构造出相等的量.某数学兴趣小组探究数学中的折纸与作图，认为可以利用尺规作图还原折纸过程，为此开展以下探究活动.
探究主题 平行四边形中的折纸与作图
探究素材 如图1，一张平行四边形纸片
折纸过程 如图2，将平行四边形纸片折叠，使得点B与点D重合，折痕交于点E，交于点F，点C的对应点为.
探究问题 (1)在折纸过程中，图2中折痕与的位置关系是_____； (2)在折纸过程中，图2中与的数量关系是_____； (3)根据折纸过程，请你在图3中用无刻度的直尺和圆规还原整个折叠过程，即在平行四边形中画出折痕，以及四边形折叠后的四边形（保留作图痕迹，不写作法）.
21.（10分）如图,已知在中,,以A为圆心,的长为半径作圆,是的切线与的延长线交于点E.
(1)请用无刻度的直尺和圆规过点A作的垂线交的延长线于点D.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,连接.
①试判断直线与的位置关系,并说明理由；
②若,的半径为3,求的长.
22.（12分）阅读下列材料并完成任务.
三角形的旁心三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点,称为三角形的旁心,每个三角形有三个旁心.如图1,的平分线与另外两个内角,的外角平分线相交于点O,则点O是的一个旁心. 旁心与三角形的半周长(即周长的一半)关系密切,如图2,过的旁心O分别作于点D,交AB的延长线于点E,交AC的延长线于点F,则. 下面是部分证明过程： ∵BO平分,,, ∴.(依据) 同理可得,. …
任务：
(1)上述证明过程中的“依据”是指什么？
(2)请按照上面的证明思路,写出该证明过程的剩余部分；
(3)如图3,在中,,点I是的一个旁心且在BC边的下方.
①利用尺规作出旁心I；(保留作图痕迹,不写作法)
②若,外接圆的半径为2,则______.
23.（13分）阅读与思考请仔细阅读下面的材料,并完成相应的任务.
数学兴趣课上老师提出这样一个问题：我们知道三角形三个内角的平分线交于一点,那么四边形四个内角的平分线能围成什么样的图形？同学们以小组为单位展开讨论. 善思小组经过交流后得出结论：若四边形三个内角的平分线交于一点,则第四个内角的平分线一定经过此点.善思小组给出了如下证明过程： 如图1,四边形中,,,的角平分线交于点O,过点O分别作于点E,于点F,于点G,于点H. 由角平分线的性质可知：,, ∴. ∴点O在的平分线上.(依据) 勤奋小组经过探究得出结论：四边形四个内角的平分线如果不交于一点,那么这四条角平分线围成一个对角互补的四边形.勤奋小组用下面过程说明. 如图2,四边形的四个内角的平分线分别交于点M,Q,P,N. ,别平分和, , ……
任务：
(1)材料中的“依据”指的内容是______；
(2)在我们学习的特殊平行四边形中,四个内角的平分线交于一点的是______；(写出一类即可)
(3)请将勤奋小组的过程补充完整；
(4)已知四边形是平行四边形,,,和的平分线相交于点P,请分别在图3和图4中用不同的方法作出四个内角平分线围成的四边形(要求：尺规作图,保留作图痕迹,标明字母,不写作法)
答案以及解析
1.答案：B
解析：由作图可得,,,
∴
∴在嘉嘉的作法中,可直接判定的依据是.
故选：B.
2.答案：C
解析：正确作法如下：如图，作点B关于直线l的对称点，连接，与直线l的交点，即为点P，
，
理由如下：在l上异于点P的位置任取一点H，连接，，，
，
B、关于直线l对称，
，
，
最短，
故选：C.
3.答案：A
解析：由作图可知垂直平分线段,平分,,
,,
,
,,
,
.
故选：A.
4.答案：D
解析：A.根据作图可知：一定成立,故A不符合题意；
B.∵,
∴,一定成立,故C不符合题意；
∴一定成立,故B不符合题意；
D.∵,不一定相等,
∴,不一定相等,
∴不一定成立,故D符合题意.
故选：D.
5.答案：B
解析：A.由作法可知,以点A为圆心,为半径画弧,交于点D,
,
是等腰三角形,不符合题意；
B.由作法可知,是线段是垂直平分线,
和不一定是等腰三角形,符合题意；
C.由作法可知,分别以点B、点A为圆心,大于为半径画弧,连接弧线,交于点D,交于点E,
是线段是垂直平分线,
是等腰三角形,不符合题意；
D.由作法知,是的角平分线,
,
是等腰三角形,不符合题意；
故选：B.
6.答案：D
解析：根据作图方法可得是的平分线,故A正确,不符合题意；
∵,,
∴,
∵是的平分线,
∴,
∴,故B正确,不符合题意；
∵,
∴,
∴点D在的垂直平分线上,故C正确,不符合题意；
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
则,故D错误,符合题意,
故选：D.
7.答案：B
解析：连接,
∵,,
∴是等边三角形,
∴.
由作图得：平分,
∴.
∵,
∴,
∴.
∵,
∴.
故选：B.
8.答案：B
解析：如图：
由题意可得：，，
以点D为圆心、长为半径画弧交直线l于点O，
，
，
，即，
当点A在所对的优弧上运动到与直线l相较于点时，面积的最大值，
当点A在所对的劣弧上运动到与直线l相较于点时，面积的最大值，
.
故选B.
9.答案：B
解析：由作法得垂直平分，
，，，
平分，
，
，
∴四边形为菱形，
，
，
，
，
，
解得：，
.
故选：B.
10.答案：A
解析：小亮：
连接，，
由作图可知：，
，，，
，
，即平分；
小明：
连接，，
由作图可知：，
，分别为，的中垂线，
，
，，，
，
，即平分；
综上：小亮、小明均正确，
故选：A.
11.答案：B
解析：如图，连接，，
由题意可知，垂直平分，
，，
四边形是菱形，
，
，，选项C正确；
是等边三角形，
，
(等腰三角形的三线合一)，选项A正确；
又四边形是菱形，
，，
的边上的高等于的边上的高，，选项B错误；
，
，选项D正确；
故选：B.
12.答案：A
解析：过作轴于点E,如图,连接,
根据作图可知是等边三角形,过点M的直线垂直平分线段,
即垂直平分线段,
∴,
∴根据旋转可知点A的对应点在所在的直线上,
∵,
∴,
∴在等边中,,,
∴,
∴在中,,
∵垂直平分线段,,
∴在等边中,,
∴,
∴根据旋转可得：,
∴,
∴,
∴点A的对应点的横坐标是,
故选：A.
13.答案：8
解析：由题意得：,
,
,
,
,
,
故答案为：8.
14.答案：
解析：如图，过点F作于点H，由作图可得，，.，，，，，到AN的距离为.
15.答案：
解析：连接,如图：
由题意可知,垂直平分,
∴,
∴,则,
在等腰直角三角形中,,
∴,
∵四边形为菱形,
∴,
∴,
在中,由勾股定理,则
；
故答案为：.
16.答案：
解析：∵在中,,
∴,,
由作图知平分,,
∴是等边三角形,,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
故答案为：.
17.答案：/1.5
解析：如图,过点H作于点M,
由作法可知,为的平分线,
∵四边形为矩形,
∴,,
∴,
∵,
∴,,
由勾股定理得,,
∵,
∴,即,
解得,
故答案为：.
18.答案：(1)见解析
(2),证明见解析
解析：(1)如图,即为所求,
(2)猜想,
证明：∵四边形是矩形,
∴,,,
∵.
∴,,
∵,
∴
∵的平分线,交于点M.
∴,
∴,
∴.
19.答案：(1)见解析；
(2)见解析
解析：(1)如图①，点M即为所求.
作的垂直平分线，以交点为圆心，这一点到A的距离为半径作圆，该圆与交点即为所求点M.
(2)如图②，点N即为所求.
在延长线上截取，在(1)的基础上，可知作外接圆即可，该圆与交点即为所求点N.
20.答案：(1)垂直；
(2)；
(3)见解析
解析：(1)∵折叠，点重合，即成轴对称图形，
∴线段与折痕相互垂直，
故答案为：垂直；
(2)∵折叠，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
(3)根据(1)，(2)可得，，且平分，
∵折叠，
∴，，
∴，且平分，折痕所在直线，
∴如图所示，
连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，
连接交于点，
以点C为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接，
∴四边形即为四边形关于折痕折叠后的图形.
21.答案：(1)见解析
(2)①与相切,理由见解析；②6
解析：(1)如图,为所作垂线；
(2)①与相切,理由如下∶
在中,是的垂线,
,且是的垂直平分线,
,
,
与相切于点C,
,即,
与相切；
②在中,
,,
根据勾股定理,得：,
在中,,
.
22.答案：(1)角平分线上的点到这个角两边的距离相等
(2)证明过程的剩余部分见解析
(3)①见解析；②
解析：(1)上述证明过程中的“依据”是指角平分线定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
(2)∵,
∴,
∴,同理可得,
∴.
(3)①如图：旁心I即为所求；
②如图所示：
∵
∴外接圆的圆心是的中点,
∴外接圆的半径为2,
∴,
∴
∴,,
∵平分,
∴是等腰直角三角形
∴,
∵,
∴,
∵平分,
∴,
设,则,
∴,即
∴,
∴.
故答案为：.
23.答案：(1)在一个角的内部,到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上
(2)菱形或正方形
(3)见解析
(4)见解析
解析：(1)由题意可得：材料中的“依据”指的内容是：在一个角的内部,到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；
(2)由题意可得：在我们学习的特殊平行四边形中,四个内角的平分线交于一点的是菱形或正方形；
(3)如图2,四边形的四个内角的平分线分别交于点M,Q,P,N.
,别平分和,
,
∴,
同理可得：,
∴
；
(4)如图3,以点B为圆心,线段为半径画弧交于F,连接交于N,
以点C为圆心,线段为半径画弧交于E,连接交于Q,交于M,四边形即为所求,
由作图可得：,,
∴,,
∵四边形为平行四边形,
∴
∴,,
∴,,
∴平分,平分,
∵和的平分线相交于点P,
∴四边形即为所求；
如图4,以点A为圆心,线段为半径画弧交于G,分别以G、B为圆心,于为半径画弧交于点H,作射线,交于N,以D为圆心,线段为半径画弧交于I,分别以I、C为圆心,于为半径画弧交于点J,作射线,交于M,交于Q,则四边形即为所求；
,
由作图可得：平分,平分,
∵和的平分线相交于点P,
∴四边形即为所求.

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