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专题十九 矩形（拔高训练）——中考数学一轮复习备考合集
1.如图,在长方形中,连接,以点A为圆心,适当长为半径作弧,分别交,于点E,F,分别以点E和点F为圆心,大于的长为半径作弧,两弧在内部交于点G,作射线交于点H.若,则的度数为( )
A. B. C. D.
2.如图,O是矩形的对角线的中点,M是边的中点,若,,则线段的长为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
3.如图,E,F,G,H分别为四边形边,,,的中点,要使四边形为矩形,应添加的条件是( )
A. B. C. D.
4.如图1，在矩形中，，连接，过点A作，垂足为点E.现做如下操作：剪下图1中的和，按如图2方式拼接，其中拼接到处，其中，点F在线段上；拼接到处，其中，点K在线段上.若点K恰好也在线段上，则在图2中下列结论正确的是( )
A. B.和面积相等
C. D.
5.如图，四边形ABCD是矩形，直线EF分别交AD，BC，BD于点E，F，O，下列条件中，不能证明的是( )
A.O为矩形ABCD两条对角线的交点 B.
C. D.
6.如图,在矩形中,,,点P在线段上运动(含B、C两点),连接,以点A为中心,将线段逆时针旋转60°到,连接,则线段的最小值为( )
A. B.5 C.3 D.1
7.如图,四边形为平行四边形,,,对角线,P为上一动点,Q为上一定点,则的最小值为( )
A.12 B.15 C.16 D.18
8.如图,平行四边形ABCD中,G、H分别是AD,BC的中点,,,四边形GEHF是矩形,若,,则BD的长为( )
A. B. C.8 D.
9.如图,把长方形纸片放入平面直角坐标系中,使,分别落在x轴、y轴上,连接,将纸片沿折叠,使点B落在点D的位置,与y轴交于点E,若,则的长为______.
10.如图，四边形的对角线，相交于点O，，过点O作交于点E，若，，则的长为_______.
11.如图,矩形的对角线与交于点O,于点E,延长与交于点F,若,,则点F到的距离为______
12.如图，在矩形中，，，点E是边上的一个动点，将沿折叠，得到连接，，若为等腰三角形，则的长为________.
13.在中，过点D作于点E，点F在上，，连接、.
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，，.求的长.
14.如图,在平行四边形中,,于点E,点F在的延长线上,且,点P是线段上的动点(点P与点D,点F不重合),连接.
(1)若,求的度数；
(2)若,,求的面积；
(3)在(2)的条件下,在同一平面内是否存在点Q使以点C,P,D,Q为顶点的四边形是矩形？若存在,求出的长度,若不存在,请说明理由.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由作法得平分,
,
四边形为长方形,
,,
,
,
.
故选：D.
2.答案：A
解析：∵四边形是矩形,
,,,
∵O是矩形的对角线的中点,M是边的中点,
∴是的中位线,,
,
,
,
,
,
故选：A.
3.答案：D
解析：如图所示,连接,,
∵E,F,G,H分别为四边形边,,,的中点,
∴,,,分别是,,,的中位线,
∴,,,,
∴四边形是平行四边形,
∴要使四边形是矩形,那么,则,
故选：D.
4.答案：D
解析：四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
设，则，
在中，，解得，
.
故选：D.
5.答案：D
解析：四边形ABCD是矩形，，，，.对于选项A，为矩形ABCD两条对角线的交点，，，故A选项不符合题意.对于选项B，，则，故B选项不符合题意.对于选项C，，，即，，故C选项不符合题意.对于选项D，，，不能判定，故D选项符合题意.
6.答案：A
解析：如图,以为边向右作等边,作射线交于点E,过点D作于H.
∵四边形是矩形,
∴,
∵,都是等边三角形,
∴,,,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,,
∴点Q在射线上运动,
∵,
∴,
∵,,
∴.
根据垂线段最短可知,当点Q与H重合时,的值最小,最小值为.
故选A.
7.答案：B
解析：过P作,交延长线于E,过Q作,交延长线于F,连接,则,
∵,,,
∴,
∴,
∵四边形为平行四边形,
∴,,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴四边形是矩形,
∴,
∴当P是与交点时,最小,
故选：B.
8.答案：A
解析：如图,连接GH,
在矩形GEHF中,,,
∵,
∴,
∵点H是BC的中点,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴,,,,
∴,
∵点G、H分别为AD、BC的中点,
∴,
∴四边形ABHG是平行四边形,
∴,
∴,解得：,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,
∴.
故选：A.
9.答案：/
解析：如图：
四边形是矩形,
,
,
根据题意得：,,
,
,
,
,
设,则,
在中,,
即：,
解得：,
,
故答案为：.
10.答案：
解析：如图，连接，
，
，
四边形是矩形，
在矩形中，，，
垂直平分，
，
，，
在中，根据勾股定理，得，
即，
解得：.
故答案为：.
11.答案：
解析：如图,过点F作,垂足为H,
四边形为矩形,
,,,,
,
,
,即,
解得：,
,即,
解得：,
,
,
,即,
解得：,
故答案为：.
12.答案：或或
解析：如图，过点作于M，交于N，
四边形是矩形，
，，，
又，
四边形是矩形，四边形是矩形，
，，，
若，
将沿折叠，得到连接，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
；
的最小值，
，
当时，点在线段的垂直平分线上，
，
，
，
，
；
如图当点在直线的上方，时，
同法可知，，
在中，则有，解得，
综上所述，满足条件的的值为或或.
故答案为：或或.
13.答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形.
（2），
，
平分，
，
，
在中，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
；
故答案为：.
14.答案：(1)
(2)20
(3)存在,理由见解析；当,即时,；当,即时,
解析：(1)在中,,,
,
四边形是平行四边形,
,
,
,
；
(2)四边形是平行四边形,
,
,
在中,,,则由勾股定理可得,
,
设,则,
在中,由勾股定理可得,即,解得,即,
在平行四边形中,,
,
,
；
(3)理由如下：
以C,P,D为顶点构造平行四边形,如图所示：
当四边形为矩形时,则,即,如图所示：
,
由(2)知,,显然,矛盾,此种情况不存在；
当四边形为矩形时,则,即,
四边形为矩形,
,
在中,,则,由(2)可知,
；
当四边形为矩形时,则,即,
过C作于H,如图所示：
在中,,,则由勾股定理可得,
由(2)可知,则,
在中,,,则由勾股定理可得,
由(2)可知,
在中,,
在和中,
,
,
设,,
在中,①；在中,②；
由①②得,则,
四边形为矩形,
；
综上所述,在同一平面内是否存在点Q使以点C,P,D,Q为顶点的四边形是矩形,当,即时,；当,即时,.

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