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专题十九 矩形（综合测试）——中考数学一轮复习备考合集
【满分：120】
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知四边形是平行四边形,下列条件中,不能判定为矩形的是( )
A. B.
C. D.
2.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使，连接AE，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
3.如图,在矩形中,,垂直平分于点E,则的长为( )
A. B. C.4 D.2
4.如图,在矩形中,点B的坐标是,则的长是( )
A.2 B.4 C. D.
5.如图,在矩形中,对角线,交于点O,过点O作交于点E,交于点F.已知,的面积为5,则的长为( )
A.2 B. C. D.3
6.如图,在矩形中,动点E,F分别从点D,B同时出发,沿,向终点A,C移动.要使四边形为平行四边形,甲、乙分别给出了一个条件,下列判断正确的是( )
甲：点E,F的运动速度相同；
乙：
A.甲、乙都可行 B.甲、乙都不可行
C.甲可行,乙不可行 D.甲不可行,乙可行
7.如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的值大小变化情况是( )
A.一直增大 B.一直减小 C.先减小后增大 D.先增大后减少
8.如图,矩形和矩形,,,,点P在边上,点Q在边上,且,连结和,M,N分别是,的中点,则的长为( )
A.3 B.6 C. D.
9.如图，在矩形中，E为中点，F是的中点，交对角线于点O，连结，取中点M，取中点N，连结，若，，则的长度为( )
A.7 B. C. D.8
10.如图，在矩形ABCD中，，，点P为线段BD上一动点，于点E，于点F，则线段EF的最小值为( )
A. B. C. D.
11.如图，四边形是矩形纸片，.对折矩形纸片，使与重合，折痕为；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在上的点N，折痕与相交于点Q；再次展平，连接，，延长交于点G.有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤点P为线段上一动点，点H是的中点，则的最小值是.其中正确结论有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
12.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,,点E在边AD上,,点F在边BC上,将四边形CDEF沿EF所在的直线翻折,点D恰好落在点O处,点C落在点处.下列结论中,正确的有( )
①；②过点O作于点P,是等腰直角三角形；③AB的长为
A.3个 B.2个 C.0个 D.1个
二、填空题（每小题3分，共15分）
13.如图,在矩形中,按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧相交于点M和N；②作直线交于点E.若,,则矩形的对角线的长为______.
14.如图,在矩形ABCD中,,点P为边AD上的一个动点,线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段,连接,.当点P'落在边BC上时,的度数为________；当线段的长度最小时,的度数为________
15.如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平,再一次折叠,使点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,已知,则线段EG的长度为______.
16.如图,矩形中,,,对角线、相交于点O,点P是线段上任意一点,于点E,于点F,则等于______.
17.如图,已知矩形纸片,,,将B点折到的中点E,则的长度为______,折痕的长度为______.
三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
18.（6分）如图,在中,,点D、E分别是线段BC、AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证：；
(2)求证：四边形ADCF为矩形.
19.（8分）在矩形中，，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中.
(1)若G，H分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形(E、F相遇时除外)？
解：________(直接填空，不用说理)
(2)在(1)条件下，若四边形为矩形，求t的值；
20.（8分）如图，在中，点M为的中点，过点D作，延长到点E使，连接，.
(1)求证:四边形是矩形；
(2)若，，，求的长.
21.（10分）【课本再现】如图,画,并画出斜边上的中线,量一量,看与有什么关系,相信你与你的同伴一定会发现：恰好是的一半、下面让我们用演绎推理证明这一猜想.
已知：如图,在中,,是斜边上的中线.
求证：.
证明：延长至点E,使,连结,.
(1)【定理证明】请根据以上提示,结合图1,写出完整的证明过程.
(2)【结论应用】如图2,在四边形中,,,,E是的中点,连接,.求的度数.
22.（12分）如图所示是小华完成的尺规作图题,已知：矩形.
作法：①分别以点A,B为圆心,以大于长为半径,在两侧作弧,分别交于点E,F；
②作直线；
③以点A为圆心,以长为半径作弧,交直线于点G,连接,.
根据小华的尺规作图步骤,解决下列问题.
(1)填空：______°.
(2)过点D作,交直线于点H.
①求证：四边形是平行四边形；
②请直接写出平行四边形的面积和矩形的面积的数量关系.
23.（13分）如图1和图2,在矩形中,,,点K在边上,点M,N分别在,边上,且,点P从点M出发沿折线匀速运动,点E在上随P移动,且始终保持；点Q从点D出发沿匀速运动,点P,Q同时出发,点Q的速度是点P的一半,点P到达点N停止,点Q随之停止.设点P移动的路程为x.
(1)当点P在上时,求点Q,E的距离(用含x的式子表示)：
(2)当时,求的值：
(3)若,求x的取值范围；
(4)已知点P从点M到点B再到点N共用时20秒,若,请直接写出点K在线段上(包括端点)的总时长.
答案以及解析
1.答案：D
解析：如图,
A、,能判定为矩形,本选项不符合题意；
B、∵,,∴,能判定为矩形,本选项不符合题意；
C、,能判定为矩形,本选项不符合题意；
D、,能判定为菱形,不能判定为矩形,本选项符合题意；
故选：D.
2.答案：D
解析：如图，连接AC交BD于点O.四边形ABCD是矩形，，，，，.，，.，，.
3.答案：B
解析：∵四边形是矩形,
∴,,
∵垂直平分,
∴,
∴,
∴是等边三角形,
∴,
∴,
∴.
故选：B.
4.答案：D
解析：连接,过B作轴于M,
点B的坐标是,
,,由勾股定理得：,
四边形是矩形,
,
,
故选：D.
5.答案：D
解析：连接,如图所示：
由题意可得,为对角线的垂直平分线,
,,
.
,
,
,
,
在中,由勾股定理得,
故选：D.
6.答案：A
解析：若添加甲条件,可证四边形为平行四边形,理由如下：
四边形是矩形
,
又点E,F分别从点D,B同时出发且运动速度相同
即
四边形为平行四边形；
若添加乙条件,可证四边形为平行四边形,理由如下：
四边形是矩形
,,,
在和中
即
四边形为平行四边形.
故选A.
7.答案：C
解析：如图，连接.
，，
四边形是矩形，
，
由垂线段最短可得时，最短，则线段的值最小，
动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的值大小变化情况是先减小后增大.
故选：C.
8.答案：C
解析：连接,交于R,延长交于H,连接,如图所示：
则四边形是矩形,
∴,,
∵四边形是矩形,
∴,,
∴,,,
在中,由勾股定理得：,
在和中,
,
∴,
∴,
∴点R与点M重合,
∵点N是的中点,
∴是的中位线,
∴,
故选C.
9.答案：B
解析：矩形，E为中点，F是的中点，
，，，，，
，
四边形，四边形为矩形，
，
，，
，
，
，，
连接，取的中点H，连接，
M为的中点，H为的中点，N为的中点，
∴，，，
，
，
；
故选B.
10.答案：A
解析：连接CP，如图，
，，
，
四边形ABCD是矩形，
，，，
，
四边形PECF是矩形，，当EF最小时，CP最小，当时，CP最小，
由勾股定理，得，
当时，，
，线段EF的最小值为，故选A.
11.答案：B
解析：连接，
对折矩形纸片，使与重合，折痕为，.
垂直平分，即点E是的中点，
，
过点B折叠矩形纸片，使点A落在上的点N，折痕与相交于点Q，
，，，，
，
为等边三角形，
，
即结论①正确；
，，
，
，
，
解得，
即结论②不正确；
由折叠的性质可知，，
；
即结论③正确；
，，
，
，
为等边三角形，
即结论④正确；
连接，
点E是的中点，点H是的中点，
过点B折叠矩形纸片，使点A落在上的点N，折痕与相交于点Q，
即与关于对称，点E与点H关于对称，
，
点P与点Q重合时，的值最小，即，
，
，
的最小值是.
即结论⑤正确；
综上所述，正确的结论有4个，
故选：B.
12.答案：D
解析：①四边形是矩形,
,,
,
,
,
四边形沿所在的直线翻折,点D恰好落在点O处,
,
,
是的外角,
,
①错误,不符合题意；
②过点O作于点P,如图所示：
,
,
由①得,,
,
是等腰直角三角形.故②正确,符合题意；
③在中,设,则由②得,
是等腰直角三角形,
即,解得,
,
过点O作,如图所示：
,
,
,
,,
,
四边形是矩形,
,
,故③错误,不符合题意；
正确的结论只有②.即一个正确的结论,
故选：D.
13.答案：
解析：连接AE,如图,
由作法得MN垂直平分AC,
∴,
在中,,
在中,.
故答案为.
14.答案：120°/120度；75°/75度
解析：如图,以AB为边向右作等边,连接.
∵是等边三角形,
∴,,,
∴,
在和中,
∴,
∴,
∴点P′在射线EP′上运动,
如图1中,设交BC于点O,
当点落在BC上时,点与O重合,此时,
当CP′⊥EP′时,CP′的长最小,此时∠EBO=∠OCP′=30°,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴.
故答案为：120°,75°.
15.答案：
解析：如答图,由第一次折叠得,,
∴,.
∵四边形ABCD是矩形,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
又由第二次折叠得,
∴,
∴,
∴.
由第二次折叠得,
∴.
∵,,
∴,∴,
∴.
∵,
∴.
∵四边形ABCD是矩形,
∴.
由第二次折叠得.
由第一次折叠得.
在中,由勾股定理得,
故答案为：.
16.答案：/
解析：连接,
∵四边形是矩形,
∴,,,,
,,
,
,
,
,
∵于点E,于点F,,
∴,
,
,
,
故答案为：.
17.答案：4；
解析：过M作于H,延长、交于点P,则,
∵四边形是矩形,,
∴,,,
∴四边形是矩形,,
∴,,
由折叠性质得,,
∴,则,
∵E为的中点,
∴,又,
∴在中,由得,
∴,
∵,,,
∴,
∴,则,
在中,,
∴,
∴,
在中,,
故答案为：4,.
18.答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：(1)证明：∵,
∴,
∵E是线段AD的中点,
∴,
∵,
∴；
(2)证明：∵,
∴,
∵D是线段BC的中点,
∴,
∴,
∵,
∴四边形ADCF是平行四边形,
∵,
∴,
∴,
∴四边形ADCF为矩形.
19.答案：(1)四边形是平行四边形
(2)或
解析：(1)∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵G，H分别是，中点，
∴，，
∴，
∵点E，F的运动速度相同，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∴四边形是平行四边形.
故答案为：四边形平行四边形
(2)如图1，连接，
∵G，H分别是，中点，
∴，，
∴，
∵，
∵在矩形中，，，
∴四边形是矩形，
∴，
(1)如图1，当四边形是矩形时，
，
∵，
∴，
，
，
；
(2)如图2，当四边形是矩形时，
同理，
，
；
综上所述，四边形为矩形时，或.
20.答案：(1)见解析；
(2)
解析：（1）证明:四边形是平行四边形，
，，
，
，
，即，
，
四边形是平行四边形，
又，
，
四边形是矩形.
（2）由（1）可知，，，
，，
，，
四边形是平行四边形，，
，，
，
在中，由勾股定理得:，
，
四边形是矩形，
，，
在中，由勾股定理得:，
，
M是的中点，，
.
21.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)补全后的证明过程如下：
证明：延长至点E,使,连接,,
是斜边上的中线,
,
又,
四边形是平行四边形,
又,
四边形是矩形,
,
.
(2)如图,连接,
,,,
,
,
E是的中点,
,,,
,,,
,
,
.
22.答案：(1)30
(2)①证明见解析
②
解析：(1)根据作图可得,是线段的垂直平分线,,
∴,
∴,即是等边三角形,
∴,
∴,
故答案为：30；
(2)∵四边形是矩形,
∴,,,
∴,
①∵是的垂直平分线,
∴,
∴,即,
∵,
∴四边形是平行四边形；
②如图所示,设与交于点O,
∴,
∴平行四边形的面积为,
矩形的面积为,
∴.
23.答案：(1)
(2)2
(3)或
(4)14
解析：(1)当点P在上时,
∵,四边形是矩形,
∴,
设,则,
∴,,
∴.
(2)当时,点P在上时
∴,.
∴.
∵,,
.
(3)①当点P在上时,四边形是矩形
.
此时.
②当点P在上时
,
而,
又
若,则.
,即.
.
.
综上x的取值范围是：或.
(4)点P的运动速度单位长度/秒.
①若点P在上,点E与点K重合时
.
即.
点P到达点B时
,.
当时点K在线段上.
②若点P在上(不含点B),则.
则,即.
.
当时,.
解得：,.
当点Q与点K重合时,
即,解得：.
当或时点K在线段上.
综上点K在线段上的总时长为秒.

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