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广东省 2025 年初中学业水平考试数学名师预测卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第Ⅰ卷 1 1 1 2A． 2 B． C． D．10 5 5
一、选择题（本大题共 10个小题，每小题 3分，共 30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
7．如图，大正方形面积为32，小正方形的面积为8，则阴影部分的面积是（ ）
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列四个数中，是负数的是（ ）
A． 2 B． 2 C． -(-2) D 2 2．
2．随着 Ai技术的普及，出现了很多“现象级”Ai应用，以下是一些常见Ai应用的 logo图案，其中是中心对
称图形的是（ ）
A．6 B．8 C．12 D． 24
A． B． C． D 8 2． ．若点 A 3, y1 ， B 2, y2 ，C 2, y3 在二次函数 y a x 1 （ a 0）的图象上，则 y1， y2， y3的大
小关系是（ ）
3．DeepSeek是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数
A． y1 y2 y3 B． y1 y3 y2 C． y3 y2 y1 D． y3 y1 y2
在上线 21天后达到了3370万．将3370万用科学记数法表示为（ ）
6 6 7 7 9．“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站 12公里的书院参观，学A．33.7 10 B．3.37 10 C．3.37 10 D．0.337 10
a b 生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行的速度的 1.5倍，孔子和学生们同时到达书4．如图，直线 ，矩形 ABCD的顶点A、D分别在直线b、 a上，若 2 41 ，则 1的度数为（ ）
院．设学生们步行的速度为每小时 x公里，则下面所列方程正确的是（ ）
12 12 1 12 12A． B． 1
x 1.5x 1.5x x
12 12 12 12
C． 1 D． 1
x 1.5x 1.5x x
10．如图是关于 x的函数 y kx b k 0 的图象，则不等式 kx b 0的解集在数轴上可表示为（ ）
A． 41 B．51 C． 49 D．59
5．下列运算正确的是（ ）
A． 2m2 m2 3m4 B． 2m2 4m2 8m2 C．m5 m3 m2 2 2D． 3n 3n4
6．作为经济大省、旅游大省，广东正通过不断完善现代旅游业体系，加快粤港澳大湾区世界级旅游目的地
等项目建设，奋力推动旅游业高质量发展．小萌假期里想在省内景点游玩，主要考虑的地方有以下五个景
点：广州长隆欢乐世界、深圳东部华侨城、珠海长隆海洋度假区、深圳世界之窗、广州陈家祠．若她随机 A． B．
选择两个景点，恰好选到深圳世界之窗和广州陈家祠的概率是（ ）
C． D．
第Ⅱ卷 一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点D在书架底部，顶点 F 靠在书架右侧，顶点C靠在档案盒上，若
书架内侧 BG长为60cm， CDE 53 ，档案盒长度 AB 35cm．（参考数据： sin 53 0.80， cos53 0.60，
二、填空题（本大题共 5个小题，每小题 3分，共 15分）
tan 53 1.33）
11．一组数据 3，4，4，5，6，6的中位数是 ．
3x 3
12．化简： 的结果为 ．
1 x 1 x
13．关于 x的一元二次方程 2x2 4x m 0有两个不同的实数根，则m的取值范围是 ．
2 x 1 x 1,
14．若关于 x的不等式组 的解集为 x 1，则 a的取值范围是 ．
3x 2x 2a
15．如图，在菱形 ABCD中， AB 2 3， ABC 120 ，把菱形 ABCD绕着顶点 A逆时针旋转30 得到菱 (1)求 ED的长度；
形 AB C D ，点 C的运动轨迹为弧CC ，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留 π） (2)求每一个档案盒的厚度；
(3)求出该书架中最多能放几个这样的档案盒．
四、解答题（二）：本大题共 3个小题，每小题 9分，共 27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤）
19．某教育平台推出A， B两款人工智能学习辅导软件，相关人员开展了A， B两款人工智能学习辅导软
件使用满意度评分测验，并从中各抽取 20份，对数据进行整理，描述和分析（评分分数用 x表示，分为以
下四个等级：不满意 (60 x 70)，比较满意 (70 x 80)，满意 (80 x 90)3 7 21 ，非常满意
(90 x 100)，下
三、解答题（一）：本大题共 个小题，每小题 分，共 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤） 面给出了部分信息：
抽取的对A款人工智能学习辅导软件的所有评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，
1
16 7 0 2sin45 8 1 ．计算：
3 86，89，90，90，94， 95，98，98，99，100．
抽取的对 B款人工智能学习辅导软件的评分数据中“满意”的数据：86，86，87，88，88，88，89，90．
A， B两款人工智能学习辅导软件的评分统计表
17．如图，在 ABC中， C 90 ． 软件 平均数 中位数 众数 方差
A 86 85.5 a 96.6
B 86 86.5 88 69.8
(1)尺规作图：作线段 AB的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹） B款人工智能学习辅导软件评分的扇形统计图
(2)在（1）条件下，垂直平分线交 AC于点D，连接 BD，若 AC 2BC 8，求 AD的长．
18．如图，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边 7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： a ______，m ______；
(2)根据以上数据，你认为哪款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)本次调查中，若有 800名用户对A款人工智能学习辅导软件进行了评分，有 1000名用户对 B款人工智
能学习辅导软件进行了评分，估计其中对A， B两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户总人数．
(1)如图 1，若圆形车轮直径为6cm，其车轮轴心 O到地面的距离始终为______ cm；
(2)如图 2，正方形车轮在滚动过程中轴心O（对角线交点）到地面的距离不断变化，若正方形的边长为6cm，
20．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面 BC左上方，桌面 BC的长为 2.74m，过点A
车轮轴心O距离地面的最高点与最低点的高度差为_____ cm；
作OA BC ，垂足为O，OB 0.03 m，以点O为原点，以直线 BC为 x轴，OA所在直线为 y轴，建立平
(3)如图 3，等边三角形车轮在滚动过程中轴心O（三边垂直平分线的交点）到地面的距离不断变化，若等
面直角坐标系，如图所示，从出球口A发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分 L，设乒乓球与出球口A的
边三角形边长为6cm，该车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点O经过的路径长．
水平距离为 x m ，到桌面的高度为 y m ，在桌面上的落点为D，经测试，抛物线 L的解析式为
y a x 1 2
五、解答题（三）：本大题共 2个小题，第 22题 13分，第 23题 14分，共 27分．解答应写出文字说明，
0.45，且当 x 2时， y 0.25．
证明过程或演算步骤）
22．【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30 的三角板开展数学探究
活动，两块三角板分别记作 ADB和 A D C， ADB A D C 90 ， B C 30 ， AB 2．
(1)求出 y与 x之间的函数关系式；
(2)桌面正中间位置安装的球网GH的高度为0.15m，问乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端 H的
距离约为多少？
L y 1(3)乒乓球落在点D后随即弹起，沿抛物线 ： 3 x p x 3.5 的路线运动，小明拿球拍 EF与桌 △A D C
2 【操作探究】如图 1，先将 ADB和 的边 AD、A
D 重合，再将△A D C绕着点 A按顺时针方向旋
面夹角为60 接球，球拍击球面的中心线 EF长为0.16m，下沿 E在 x轴上，假设拋物线 L， L 与 EF在同 转，旋转角为 0 180 ，旋转过程中 ADB保持不动，连接 BC（如图 2）．
一平面内，且乒乓球落在 EF上（含端点，点 E在点 C右侧），直接写出： (1)当 60 时，求 BC的长度；
①点为D的坐标为__________； (2)如图 3，当 BC 2 2时，求 的度数；
②球拍到桌边的距离CE的最大值是__________，CE的最小值是__________． (3)取 BC的中点O，点 P是平面内某个定点，连接OP，在运动过程中OP的长是个定值，点 P的位置是______，
这个定值为______，运动开始后 AOD ______．
21．综合与实践
【主题】什么形状的车轮让车辆行驶更平稳 23．在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形 ABCD对角线的两个端点，则定义该函数为矩形 ABCD
【素材】三种形状的车轮，圆形车轮、正方形车轮、等边三角形车轮 1 3
的“友好函数”，例如：如图 1，矩形 ABCD，经过点 A 1,1 和点C 3,3 的一次函数 y x 是矩形 ABCD
2 2
【实践操作】分别将车轮竖直放在水平地面上进行无滑动的滚动，车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，
的“友好函数”．
即车轮的轴心是否在一条水平线上运动．
(1)如图 2，矩形 ABCD的顶点坐标分别为 A 2,1 ，B 6,1 ，C 6,3 ，D 2,3 k，反比例函数 y x 0 经
x
k
过点 B，求反比例函数 y x 0 的函数表达式，并判断该函数是否为矩形 ABCD的“友好函数”；
x
(2)矩形 ABCD在第一象限， AB∥ x轴， AD∥ y轴，且点 A的坐标为 1,2 ，正比例函数 y1 ax经过点 A，
k
且是矩形 ABCD的“友好函数”，反比例函数 y2 x 0 经过点 B，且是矩形 ABCD的“友好函数”．x
①如图 3，当OC OA时，将矩形 ABCD沿 AC折叠，点 B的对应点为 E，若点 E落在 y轴上，求 k的值；
②设矩形 ABCD的周长为 y，求 y关于 k的函数表达式；
③在②的条件下，当矩形 ABCD的周长 y 4时，设矩形 ABCD的面积为 S1；当矩形 ABCD的周长 y 8时，
设矩形 ABCD的面积为 S2，请直．接．写出 S2 S1的值．1
广东省2025年初中学业水平考试数学名师预测卷01
数学·答题卡
姓 名：__________________________
准考证号： 贴条形码区
注意事项
1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准
考生禁填： 缺考标记
条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。
违纪标记
2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂
答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案
选择题填涂样例：
无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
正确填涂
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂 [×] [√] [／]
第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂)
一、选择题（每小题 3分，共 30分）
1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
第Ⅱ卷
二、填空题（每小题 3分，共 15分）
11．_________________ 12．___________________
12．__________________ 14．__________________
15. ___________________
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
三、解答题（一）：本大题共 3小题，每小题 7分，共 21分．
16．（7分）
17．（7分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
18．（7分）
四、解答题（二）：本大题共 3小题，每小题 9分，共 27分．
19．（9分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
20．（9分）
21．（9分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
五、解答题（三）：本大题共 2小题，第 22题 13分，第 23题 14分，共 27分．
22．（13分）
请请在在各各题题目目的的答答题题区区域域内内作作答答，，超超出出黑黑色色矩矩形形边边框框限限定定区区域域的的答答案案无无效效！！
23．（14分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！中小学教育资源及组卷应用平台
广东省2025年初中学业水平考试数学名师预测卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列四个数中，是负数的是（ ）
A． B． C． D．
2．随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了万．将万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，直线，矩形的顶点、分别在直线、上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．作为经济大省、旅游大省，广东正通过不断完善现代旅游业体系，加快粤港澳大湾区世界级旅游目的地等项目建设，奋力推动旅游业高质量发展．小萌假期里想在省内景点游玩，主要考虑的地方有以下五个景点：广州长隆欢乐世界、深圳东部华侨城、珠海长隆海洋度假区、深圳世界之窗、广州陈家祠．若她随机选择两个景点，恰好选到深圳世界之窗和广州陈家祠的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，大正方形面积为，小正方形的面积为，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．若点，，在二次函数（）的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站12公里的书院参观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行的速度的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院．设学生们步行的速度为每小时公里，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图是关于x的函数的图象，则不等式的解集在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．一组数据3，4，4，5，6，6的中位数是 ．
12．化简：的结果为 ．
13．关于的一元二次方程有两个不同的实数根，则的取值范围是 ．
14．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是 ．
15．如图，在菱形中，，，把菱形绕着顶点A逆时针旋转得到菱形，点C的运动轨迹为弧，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
三、解答题（一）：本大题共3个小题，每小题7分，共21分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．计算：
17．如图，在中，．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（）条件下，垂直平分线交于点，连接，若，求的长．
18．如图，一个书架上放着个完全一样的长方体档案盒，其中左边个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点在书架底部，顶点靠在书架右侧，顶点靠在档案盒上，若书架内侧长为，，档案盒长度．（参考数据：，，）
(1)求的长度；
(2)求每一个档案盒的厚度；
(3)求出该书架中最多能放几个这样的档案盒．
四、解答题（二）：本大题共3个小题，每小题9分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．某教育平台推出，两款人工智能学习辅导软件，相关人员开展了，两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分测验，并从中各抽取20份，对数据进行整理，描述和分析（评分分数用表示，分为以下四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意，下面给出了部分信息：
抽取的对款人工智能学习辅导软件的所有评分数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
抽取的对款人工智能学习辅导软件的评分数据中“满意”的数据：，，，，，，89，90．
，两款人工智能学习辅导软件的评分统计表
软件 平均数 中位数 众数 方差
A 86
B 86 88
款人工智能学习辅导软件评分的扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______；
(2)根据以上数据，你认为哪款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)本次调查中，若有800名用户对款人工智能学习辅导软件进行了评分，有1000名用户对款人工智能学习辅导软件进行了评分，估计其中对，两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户总人数．
20．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口位于桌面左上方，桌面的长为，过点作，垂足为，，以点为原点，以直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分，设乒乓球与出球口的水平距离为，到桌面的高度为，在桌面上的落点为，经测试，抛物线的解析式为，且当时，．
(1)求出与之间的函数关系式；
(2)桌面正中间位置安装的球网的高度为，问乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？
(3)乒乓球落在点后随即弹起，沿抛物线的路线运动，小明拿球拍与桌面夹角为接球，球拍击球面的中心线长为，下沿在轴上，假设拋物线，与在同一平面内，且乒乓球落在上（含端点，点E在点C右侧），直接写出：
①点为的坐标为__________；
②球拍到桌边的距离的最大值是__________，的最小值是__________．
21．综合与实践
【主题】什么形状的车轮让车辆行驶更平稳
【素材】三种形状的车轮，圆形车轮、正方形车轮、等边三角形车轮
【实践操作】分别将车轮竖直放在水平地面上进行无滑动的滚动，车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动．
(1)如图1，若圆形车轮直径为，其车轮轴心O到地面的距离始终为______；
(2)如图2，正方形车轮在滚动过程中轴心（对角线交点）到地面的距离不断变化，若正方形的边长为，车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为_____；
(3)如图3，等边三角形车轮在滚动过程中轴心（三边垂直平分线的交点）到地面的距离不断变化，若等边三角形边长为，该车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点经过的路径长．
五、解答题（三）：本大题共2个小题，第22题13分，第23题14分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
22．【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，，，．
【操作探究】如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接（如图2）．
(1)当时，求的长度；
(2)如图3，当时，求的度数；
(3)取的中点O，点P是平面内某个定点，连接，在运动过程中的长是个定值，点P的位置是______，这个定值为______，运动开始后______．
23．在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”．
(1)如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”；
(2)矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”．
①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值；
②设矩形的周长为y，求y关于k的函数表达式；
③在②的条件下，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，请直接写出的值．中小学教育资源及组卷应用平台
广东省2025年初中学业水平考试数学名师预测卷01
解析卷
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列四个数中，是负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了绝对值、相反数、有理数的乘方和负数的定义，正确的计算是解题的关键．根据求绝对值、相反数、有理数的乘方和负数的定义，将各数化简，即可求解．
【详解】解：A、是负数，符合题意；
B、，是正数，不符合题意；
C、，是正数，不符合题意；
D、，是正数，不符合题意；
故选：A．
2．随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意；
B．不是中心对称图形，故B不符合题意；
C．不是中心对称图形，故C不符合题意；
D．是中心对称图形，故D符合题意．
故选：D．
3．是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了万．将万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法的表示，掌握其形式，确定的值的方法是关键．
科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值，当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解．
【详解】解：万，
故选：C ．
4．如图，直线，矩形的顶点、分别在直线、上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质．根据两直线平行，内错角相等求解．
【详解】解： 直线，
．
故选：A．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了合并同类项以、同底数幂的除法、积的乘方及单项式乘单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用合并同类项以、同底数幂的除法、积的乘方及单项式乘单项式运算法则分别计算得出答案．
【详解】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误．
故选：C．
6．作为经济大省、旅游大省，广东正通过不断完善现代旅游业体系，加快粤港澳大湾区世界级旅游目的地等项目建设，奋力推动旅游业高质量发展．小萌假期里想在省内景点游玩，主要考虑的地方有以下五个景点：广州长隆欢乐世界、深圳东部华侨城、珠海长隆海洋度假区、深圳世界之窗、广州陈家祠．若她随机选择两个景点，恰好选到深圳世界之窗和广州陈家祠的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
先列表得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：设广州长隆欢乐世界、深圳东部华侨城、珠海长隆海洋度假区、深圳世界之窗、广州陈家祠分别为，可列表为：
由列表可得总共有种等可能得结果，其中恰好选到深圳世界之窗和广州陈家祠有2种，
∴恰好选到深圳世界之窗和广州陈家祠的概率为：，
故选：B．
7．如图，大正方形面积为，小正方形的面积为，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了算术平方根和三角形的面积和二次根式的混合运算，掌握算术平方根和二次根式的运算是解题的关键．
由题意得出大、小正方形的边长，再求出，利用三角形的面积公式表示出阴影部分面积，再代入数据，利用二次根式混合运算化简，即可得出答案．
【详解】解：∵大正方形面积为，小正方形的面积为，
∴大正方形边长为，小正方形的边长为，
∴，
．
故选：C．
8．若点，，在二次函数（）的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据，，三点到对称轴的距离大小关系求解．解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
【详解】解：（），
抛物线开口向下，对称轴为直线，
，
，
故选：D．
9．“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站12公里的书院参观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行的速度的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院．设学生们步行的速度为每小时公里，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设学生步行的速度为每小时x公里，则牛车的速度是每小时公里，根据学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，孔子和学生们同时到达书院，列出分式方程即可．
【详解】解：设学生步行的速度为每小时x公里，则牛车的速度是每小时1.5x公里，
由题意得：，
故选：A．
10．如图是关于x的函数的图象，则不等式的解集在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系及数形结合的思想方法．从图象可以得到函数的增减性以及与x轴的交点，从而得到的解集．
【详解】解：函数的图象，与x轴的交点是，且函数值y随自变量x的增大而增大，
∴不等式的解集是．
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．一组数据3，4，4，5，6，6的中位数是 ．
【答案】4.5
【分析】本题主要考查了中位数，中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义求解可得．
【详解】解：把这些数从小大排列为3，4，4，5，6，6，最中间两个数是4和5，
则中位数是．
故答案为：．
12．化简：的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是同分母分数的减法，根据分母不变，把分子相减再约分即可．
【详解】解：，
故答案为：
13．关于的一元二次方程有两个不同的实数根，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，当判别式为正时，方程有两个不相等的实数根，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；据此即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不同的实数根，
∴，
解得：；
故答案为：．
14．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集列出关于a的不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于的不等式组的解集为，
∴，
∴，
故答案为：．
15．如图，在菱形中，，，把菱形绕着顶点A逆时针旋转得到菱形，点C的运动轨迹为弧，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
【答案】/
【分析】连接交于点由菱形的性质求出，，以及，由旋转的性质求出，再根据可得结论．
【详解】解：∵四边形是菱形，
，
是菱形的对角线，
连接交于点，则
由勾股定理得，
由旋转得，
∴
故答案为：．
三、解答题（一）：本大题共3个小题，每小题7分，共21分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．计算：
【答案】
【分析】根据零指数幂公式，算术平方根，负整数指数幂公式，特殊角的正弦函数，解答即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了零指数幂公式，算术平方根，负整数指数幂公式，特殊角的正弦函数，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键．
17．如图，在中，．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（）条件下，垂直平分线交于点，连接，若，求的长．
【答案】(1)作图见解析；
(2)的长为．
【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，垂直平分线的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据尺规作图的方法步骤即可求解；
（）由垂直平分线的性质可得，则有，再求出，设，则，然后通过勾股定理得 ，代入求值即可．
【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，
∴点即为所求；
（2）解：由作图可知，线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
∴的长为．
18．如图，一个书架上放着个完全一样的长方体档案盒，其中左边个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点在书架底部，顶点靠在书架右侧，顶点靠在档案盒上，若书架内侧长为，，档案盒长度．（参考数据：，，）
(1)求的长度；
(2)求每一个档案盒的厚度；
(3)求出该书架中最多能放几个这样的档案盒．
【答案】(1)
(2)
(3)该书架中最多能放个这样的档案盒
【分析】本题考查了三角函数的应用，解题的关键是理解题意．
（1）根据，即可求解；
（2），则，推出，设每一个档案盒的厚度为，则，根据“书架内侧长为”，列方程即可求解；
（3）用书架的总长度除以每一个档案盒的厚度即可求解．
【详解】（1）解：在中，，，
，
长度约为；
（2）如图，由题意得：，
，
，
，
设每一个档案盒的厚度为，
在中，，
，
由题意得：，
，
即每一个档案盒的厚度为；
（3）（个），
该书架中最多能放个这样的档案盒．
四、解答题（二）：本大题共3个小题，每小题9分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．某教育平台推出，两款人工智能学习辅导软件，相关人员开展了，两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分测验，并从中各抽取20份，对数据进行整理，描述和分析（评分分数用表示，分为以下四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意，下面给出了部分信息：
抽取的对款人工智能学习辅导软件的所有评分数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
抽取的对款人工智能学习辅导软件的评分数据中“满意”的数据：，，，，，，89，90．
，两款人工智能学习辅导软件的评分统计表
软件 平均数 中位数 众数 方差
A 86
B 86 88
款人工智能学习辅导软件评分的扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______；
(2)根据以上数据，你认为哪款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)本次调查中，若有800名用户对款人工智能学习辅导软件进行了评分，有1000名用户对款人工智能学习辅导软件进行了评分，估计其中对，两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户总人数．
【答案】(1)85，20
(2)款人工智能软件更受用户欢迎，见解析
(3)440名
【分析】本题主要考查了扇形统计图，众数，用样本估计总体，方差等等，正确读懂统计图是解题的关键．
（1）根据众数的定义可求出a的值，用1减去B的评分数据中不满意，满意和比较满意的百分比即可求出m的值；
（2）款的方差小于款的方差，则款人工智能软件比较稳定，据此可得答案；
（3）分别求出，两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户人数，再求和即可得到答案．
【详解】（1）解：∵A的评分数据中，评分为85分的人数最多，
∴A的评分数据的众数为85分，即，
，
∴；
故答案为：85，20；
（2）解；款人工智能软件更受用户欢迎．理由如下：
款和款的平均数相同，款的方差小于款的方差，
款人工智能软件比较稳定，
款人工智能软件更受用户欢迎；
（3）解：（名），（名），
（名）．
答：其中对、两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户总人数为440名．
20．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口位于桌面左上方，桌面的长为，过点作，垂足为，，以点为原点，以直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分，设乒乓球与出球口的水平距离为，到桌面的高度为，在桌面上的落点为，经测试，抛物线的解析式为，且当时，．
(1)求出与之间的函数关系式；
(2)桌面正中间位置安装的球网的高度为，问乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？
(3)乒乓球落在点后随即弹起，沿抛物线的路线运动，小明拿球拍与桌面夹角为接球，球拍击球面的中心线长为，下沿在轴上，假设拋物线，与在同一平面内，且乒乓球落在上（含端点，点E在点C右侧），直接写出：
①点为的坐标为__________；
②球拍到桌边的距离的最大值是__________，的最小值是__________．
【答案】(1)；
(2)乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端的距离为；
(3)①，②，．
【分析】本题主要考查二次函数的图象上点的坐标特征，求二次函数关系式，掌握二次函数的图象上点的坐标特征以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
（1）把，代入，然后即可求解与之间的函数关系式；
（2）先求得，然后当时，，然后即可求解；
（3）①根据与的函数关系式可求出点的坐标；
②根据乒乓球反弹后抛物线的关系式以及解直角三角形可求出的最大值和最小值即可．
【详解】（1）解：把，代入，解得：；
∴；
（2）解：由题意得，，
∴，
当时，．
∴乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端的距离约为．
答：乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端的距离约为．
（3）解：①当时，即，
解得：，，
∴由题意可得；
②由（1）得：，
∵乒乓球反弹后沿抛物线的路线运动，而，
∴，
解得：．
∴乒乓球反弹后沿抛物线的关系式为：，
当乒乓球反弹后沿抛物线过点时（即此时抛物线与轴的右交点为点），
当时，，．
∴，
当乒乓球反弹后沿抛物线过点时，过点作轴于，如图：
在中，，，
∴，，
当时，即，
解得：（在上舍去），，
即，
∴，
∴，
∴球拍到桌边的距离的最大值是，的最小值是．
21．综合与实践
【主题】什么形状的车轮让车辆行驶更平稳
【素材】三种形状的车轮，圆形车轮、正方形车轮、等边三角形车轮
【实践操作】分别将车轮竖直放在水平地面上进行无滑动的滚动，车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动．
(1)如图1，若圆形车轮直径为，其车轮轴心O到地面的距离始终为______；
(2)如图2，正方形车轮在滚动过程中轴心（对角线交点）到地面的距离不断变化，若正方形的边长为，车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为_____；
(3)如图3，等边三角形车轮在滚动过程中轴心（三边垂直平分线的交点）到地面的距离不断变化，若等边三角形边长为，该车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点经过的路径长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用圆的有关性质解答即可得到答案；
（2）利用正方形的性质，轴心的运动轨迹的特征解答即可得到答案；
（3）由题意画出符合题意的图形，类比得到点的轨迹，再利用等边三角形性质、含直角三角形性质，解直角三角形求出相关线段长，再由圆的弧长公式解答即可得到答案．
【详解】（1）解：连接并延长交于点，如图所示：
车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变，
中轴心到地面的距离为．
圆形车轮在滚动过程中，车轮轴心O到地面的距离始终不变等于圆的半径，
车轮轴心O到地面的距离始终为．
故答案为：；
（2）解：过点作于点，以点为圆心，为半径画弧交正方形的边于点，如图所示：
为正方形的中心，，
圆心距离地面的最低距离为，
由题意知，在等腰中，，
点的移动轨迹为以点为圆心，为半径的弧，
点为车轮轴心距离地面的最高点，
，
车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为．
故答案为：；
（3）解：连接、，过点作于点，如图所示：
为等边三角形的中心，
，
为等边三角形的中心，
．
，
，
，
由等边三角形边长为，可知，
，
的长，
车轮在地面上无滑动地滚动一周，点经过的路径长为．
【点睛】本题主要考查综合与实践，涉及圆的有关性质、正方形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形性质、含直角三角形性质、解直角三角形及弧长公式，本题是探究型题目，熟练掌握上述几何图形的性质是解题的关键．
五、解答题（三）：本大题共2个小题，第22题13分，第23题14分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
22．【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，，，．
【操作探究】如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接（如图2）．
(1)当时，求的长度；
(2)如图3，当时，求的度数；
(3)取的中点O，点P是平面内某个定点，连接，在运动过程中的长是个定值，点P的位置是______，这个定值为______，运动开始后______．
【答案】(1)2
(2)；
(3)的中点；1；
【分析】（1）根据题意可得，从而得到当时，点共线，点A，D，C共线，可证得是等边三角形，即可求解；
（2）过点A作于点H，根据等腰三角形的性质可得，，从而得到，进而得到，，即可求解；
（3）根据等腰三角形的性质可得，从而得到点O的运动轨迹为以为直径的圆，进而得到点P的位置是的中点，这个定值为，再由，可得点D在为直径的圆上，然后圆周角定理，即可求解．
【详解】（1）解：如图，
∵，，
∴，
∴当时，点共线，点A，D，C共线，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
故答案为：2;
（2）解：如图，过点A作于点H，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵点O是的中点，，
∴，即，
∴点O的运动轨迹为以为直径的圆，如图，
∵运动过程中的长是个定值，
∴点P的位置是的中点，且这个定值为，
∵，
∴点D在为直径的圆上，
∴，
故答案为：的中点；1，．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，图形的旋转，熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，第（3）问得到点O的运动轨迹为以为直径的圆是解题的关键．
23．在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”．
(1)如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”；
(2)矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”．
①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值；
②设矩形的周长为y，求y关于k的函数表达式；
③在②的条件下，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，请直接写出的值．
【答案】(1)是矩形的“友好函数”
(2)①；②；③
【分析】（1）求出反比例函数解析式，并判断D在反比例函数图像上，根据“友好函数”的概念即可得出结论；
（2）求出正比例函数，设点， 则，则，根据折叠的性质得，，，延长交y轴与F，根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定可得，，，根据勾股定理列方程并求出m，求出B点坐标，即可求出k；
分两种情况讨论，当时，即，当时，即，再根据矩形周长公式求解即可；
分四种情况讨论，当，且时，当，且时，当，且时，当，且时，根据矩形面积公式，求出，即可求出的值．
【详解】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
反比例函数的表达式为：，
当时，，
点D在反比例函数图像上，
该函数为矩形的“友好函数”；
（2）解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得，
正比例函数表达式为，
正比例函数是矩形的“友好函数”，
点C在直线上，
设点， 则，
；
将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上，
，，，
延长交y轴于F，
四边形是矩形，
，，
轴，
，，
，
，
，
，
轴，
，，
，
，
在中，，
，
解得：或，
,
，
，
，
当时，，
把代入反比例函数得，；
②当时，即，
将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，，
，
，
，
当时，，
当时，即时，如图，
设点， 则，
；
将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，
，
当时，，
综上所述，，
③当，且时，解得，则，
，
，
当，且时，解得，则，
，
，
当，且时，解得，不符合题意，
当，且时， 解得，则，
，
，
．

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