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上海市2025年初中学业水平考试数学名师预测卷01
解析卷
第Ⅰ卷
一、选择题:(本大题共6题，每题4分，共24分)
1．如果，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、∵，
∴，故此选项符合题意；
B、∵，
∴，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．对于函数自变量x的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【详解】解：由题意得：且，
解得：且，
故选：C．
3．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】A.方程中，，故方程有两个相等的实数根，不符合题意，
B.方程中，，故方程有两个不相等的实数根，符合题意，
C.方程可变形为，故方程没有实数根，不符合题意，
D.方程中，，故方程没有实数根，不符合题意，
故选：B．
4．甲、乙两名学生进行射击练习，两人在相同条件下各射靶5次．射击成绩统计如下：从射击成绩的平均数评价甲、乙两人的射击水平，则（ ）
命中环数（单位：环） 7 8 9 10
甲命中相应环数的次数 2 2 0 1
乙命中相应环数的次数 1 3 1 0
A．甲比乙高 B．甲、乙一样 C．乙比甲高 D．不能确定
【答案】B
【详解】由题意知，甲的平均数==8环，
乙的平均数==8环，
所以从平均数看两个一样，
故选：B.
5．尺规作图：已知具体步骤如下：①在射线、上分别截取、，使；②分别以点、为圆心，大于的同一长度为半径作弧，两弧交于内的一点，作射线；③以点为圆心，为半径作弧，交射线于点，联结、．那么所作的四边形一定是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形
【答案】A
【详解】解：由作图可知，平分，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
故选：A．
6．在中，，，，以点，点，点为圆心的的半径分别为5、10、8，那么下列结论错误的是（ ）
A．点在上 B．与内切
C．与有两个公共点 D．直线与相切
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
∵，的半径为5，
∴点在上，选项A正确，不符合题意；
∵的半径分别为5、10，且，
∴与内切，选项B正确，不符合题意；
∵，
∴与相交，有两个公共点，选项C正确，不符合题意；
如下图，过点作于点，
∵，
∴，解得，
∵，
∴直线与相交，选项D错误，符合题意．
故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题:(本大题共12题，每题4分，共48分)
【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．计算： .
【答案】
【详解】解：.
8．计算： ．
【答案】
【详解】解：
故答案为：·
9．如果实数满足y= ，那么的值是
【答案】2
【详解】根据二次根式有意义的条件确定x的值，进而求得y的值，然后代入求解．
解：根据题意，得
x-1≥0，1-x≥0，
∴x=1．
把x=1代入已知等式，得y=1．
∴+=1+1=2．
故填2．
10．当我们购买硬盘时，制造商通常采用十进制单位标注产品容量．数据的存储单位一般用来表示，其中，．一个硬盘的容量是，可用科学记数法表示为 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
11．已知直线经过第一、二、四象限，点与点在此直线上，则a b（填>、=或<）．
【答案】
【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限，
∴随着的增加而减小，
∵，
∴，
故答案为：．
12．如图，矩形中，对角线、交于点O，如果，那么的度数为 ．
【答案】
【详解】解：∵是矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
13．某工作室制作工艺品并出售，当该工艺品的数量在60个以内时，该工作室制作的这种工艺品都能全部售完，图中的线段分别表示该工作室每天的成本（元）、收入（元）与销售x（个）之间的函数关系，当成本和收入相差120元时，工艺品生产的个数是 个．
【答案】15或45
【详解】解：根据题意：可设段的解析式为：，
且经过点，，
∴，
解得：，
段的解析式为：；
设段的解析式为：，
且经过点，
，
解得：，
段的解析式为：．
∵该工作室某一天中成本和收入相差120元，
即或，
或，
解得：或．
所以这天的产量是45千克或者15千克．
故答案为：15或45.
14．某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价30元，羽毛球每只定价5元．该店还制定了两种优惠方法：
①买一副球拍赠送一只羽毛球；
②按总价的付款．
某人计划购买4副球拍，只羽毛球（），
此人通过计算发现：用方法①所需费用不超过方法②，那么此人最多买了 只羽毛球．
【答案】16
【详解】解：方法①需要付款：（元）；
方法②需要付款：（元）．
∵方法①所需费用不超过方法②，
∴，
解得，
那么此人最多买了16只羽毛球．
故答案为：16．
15．如图，在中，，，垂足为点．设，，那么 （结果用、的式子表示）．
【答案】
【详解】解：∵在中，，，垂足为点．
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
16．为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如下的频数直方图，图中的，满足关系式．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是 人．（：该年级共1000名学生）
【答案】200
【详解】1000名学生一分钟的跳绳次数是总体，∴样本容量是40；
由题意所给数据可知：50.5～75.5的有4人，75.5～100.5的有16人，
∴a＋b＝40 4 16＝20，
∵2a＝3b，
∴解得a＝12，b＝8，
∴1000×＝200（人），
故估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是200人．
故答案为：200．
17．定义：抛物线上的所有点的横、纵坐标都扩大为原来的倍后得到新的抛物线，叫的“倍衍生抛物线”．例如：求抛物线的“5倍衍生抛物线”．设抛物线上一点，则点在抛物线上的对应点为因为点，因为点在抛物线上，所以，整理得到，即抛物线的表达式为．参考上述方法，抛物线的“倍衍生抛物线”的表达式为 ．
【答案】
【详解】解：由题意，设抛物线上一点，则点在抛物线上的对应点为，
∴，
∴，
故答案为：，
18．在中，，，，重心为点，直线经过边的中点，将沿直线翻折得到（点、、分别与点、、对应），的重心点在的内部．若点到的距离与点到的距离相等，那么到直线的距离为 ．
【答案】或5
【详解】解：∵，，，
∴，
∵点到的距离与点到的距离相等，重心为点，的重心为点，
故分为以下两种情况：
（1）直线垂直平分，此时点与点重合，点与点关于直线对称，
根据折叠可得点到的距离与点到的距离相等，
故点到直线的距离是；
（2）直线过点，此时点与点重合，到直线的距离是的边上的高，
∵，
∴，
根据折叠可得，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：或5．
三、解答题:(本大题共7题，共78分)
19．(本题满分10分)
计算：．
【详解】解：
．
20．(本题满分10分)
解方程组：
【详解】解：由①，得（2x+y）（2x-y）=0，
即2x+y=0或2x-y=0；
由②得出（x+y）2=1，即x+y=1或x+y=-1；
所以，原方程组可化为，，，，
解得：，，，．
21．(本题满分10分，第(1)、(2)小题满分各5分)
某商场购进一批进货价为元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高价格．调查发现，若按每件元的价格销售，每月能卖出件，若按每件元的价格销售，每月能卖件，假定每月销售量（件）是销售价格（元/件）的一次函数．
(1)求与之间的关系式；
(2)销售价定为多少元时，该商场每月获得利润最大？最大利润是多少？
【详解】（1）解：（1）设与之间的关系式为，
根据题意得：，
解得：，
则与之间的函数关系式为；
（2）设利润元，则与的函数关系式是：
，
，
当时，有最大值，最大值为，
销售价定为元时，该商场每月获得利润最大，最大利润是元；
22．(本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分)
为了让游客更好的观赏花圃景观，某植物园打算在不同形状的花圃内都建设一条半圆形的步道，要求一：步道的外围不超过各自花圃的范围；要求二：半圆形步道的圆心在花圃的某一条边上；要求三：半圆形步道的半径尽可能的大（忽略步道的宽度）．
根据以下不同形状的花圃分别按要求画出这个半圆形步道的圆心（不用写作法，保留痕迹），并直接写出不同形状的花圃下半圆形步道的半径．
花圃一：如图1，是一个等腰三角形的花圃，经测量，，半圆形步道的圆心在边上；
花圃二：如图2，四边形是一个梯形的花圃，，经测量，，，，半圆形步道的圆心在边上．（结果保留根号）
【详解】花圃一：根据题意得，当半圆与，相切时，半圆的半径最大，
如图所示，点D即为所求作的圆心；
过点D作于点E，故为半圆的半径
∵，
由作图得，垂直平分
∴
∴
∴
∴
∴
∴半圆形步道的半径为；
花圃二：根据题意得，当半圆与，相切时，半圆的半径最大，
如图所示，点A即为所求作的圆心；
过点A作于点N，过点A作于点M
∴，且，为半圆的半径
∵
∴是等腰直角三角形
∵
∴设，则
∴，
∵
∴
解得
∴
∴半圆的半径为．
23．(本题满分12分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分7分)
已知：如图，在梯形中，，，，的平分线交延长线于点E，交于点F．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接交于点G，如果，求证：．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵的平分线交延长线于点E，交于点F．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，而，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）如图，连接交于点G，交于，
∵在梯形中，，，
∴梯形是等腰梯形，
∴，，
∵菱形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
24．(本题满分12分，第(1)小题满分2分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分)
已知，抛物线经过点和．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)该抛物线与轴交于点A，（点A在点的左侧），与轴交于点，
（ⅰ）如图1，求证：是直角三角形；
（ⅱ）如图2，该抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一动点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和，
，
解得
抛物线的函数表达式为；
（2）解：（ⅰ），
当时，，
点坐标为，
当时，，
解得或，
点A在点的左侧，
点A坐标为，点坐标为，
，，，
，，
，
是直角三角形；
（ⅱ），
抛物线的对称轴是直线，
点坐标为，设点坐标为，
分两种情况：①当时，，
即，
解得，
此时点的坐标为或；
②当时，，即，
解得，
此时点的坐标为或；
综上，点坐标为或或或．
25．(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)题满分5分，第(3)小题满分5分)
已知在中，，点O为边上一点，以点O为圆心，为半径作，交边于点D（点D不与点A、C重合）．
(1)当时，判断点B与的位置关系，并说明理由；
(2)过点C作，交延长线于点E．以点E为圆心，为半径作，延长，交于点．
①如图1，如果与的公共弦恰好经过线段的中点，求的长；
②连接、，如果与的一条边平行，求的半径长．
【详解】（1）解：过点O作，垂足为点H，
∵过圆心，，
∴ ，
∵，
，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点B在内．
（2）解：过点C作，垂足为M，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
，
又∵
，
∵，
∴在中，，，
设，则，
∴，
①两圆的交点记为P、Q，连接，
∵与相交，是公共弦，
∴垂直平分，即，
∵经过的中点，
∴垂直平分，
∴，即，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，解得，
∴；
②由于点A在直线上，
∴不可能与平行，
则当时，过点作，
，
∵，
，
，
∵
，
∵
，
∵
，
在中，，
∴
；
当，延长交延长线于点F，
∵
，
∴
，
∵
，
解得或5（舍去），
∴，
综上：或．中小学教育资源及组卷应用平台
上海市2025年初中学业水平考试数学名师预测卷01
（考试时间：100分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题:(本大题共6题，每题4分，共24分)
1．如果，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．对于函数自变量x的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．且
3．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（　　）
A． B．
C． D．
4．甲、乙两名学生进行射击练习，两人在相同条件下各射靶5次．射击成绩统计如下：从射击成绩的平均数评价甲、乙两人的射击水平，则（ ）
命中环数（单位：环） 7 8 9 10
甲命中相应环数的次数 2 2 0 1
乙命中相应环数的次数 1 3 1 0
A．甲比乙高 B．甲、乙一样 C．乙比甲高 D．不能确定
5．尺规作图：已知具体步骤如下：①在射线、上分别截取、，使；②分别以点、为圆心，大于的同一长度为半径作弧，两弧交于内的一点，作射线；③以点为圆心，为半径作弧，交射线于点，联结、．那么所作的四边形一定是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形
6．在中，，，，以点，点，点为圆心的的半径分别为5、10、8，那么下列结论错误的是（ ）
A．点在上 B．与内切
C．与有两个公共点 D．直线与相切
第Ⅱ卷
二、填空题:(本大题共12题，每题4分，共48分)
【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．计算： .
8．计算： ．
9．如果实数满足y= ，那么的值是
10．当我们购买硬盘时，制造商通常采用十进制单位标注产品容量．数据的存储单位一般用来表示，其中，．一个硬盘的容量是，可用科学记数法表示为 ．
11．已知直线经过第一、二、四象限，点与点在此直线上，则a b（填>、=或<）．
12．如图，矩形中，对角线、交于点O，如果，那么的度数为 ．
13．某工作室制作工艺品并出售，当该工艺品的数量在60个以内时，该工作室制作的这种工艺品都能全部售完，图中的线段分别表示该工作室每天的成本（元）、收入（元）与销售x（个）之间的函数关系，当成本和收入相差120元时，工艺品生产的个数是 个．
14．某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价30元，羽毛球每只定价5元．该店还制定了两种优惠方法：
①买一副球拍赠送一只羽毛球；
②按总价的付款．
某人计划购买4副球拍，只羽毛球（），
此人通过计算发现：用方法①所需费用不超过方法②，那么此人最多买了 只羽毛球．
15．如图，在中，，，垂足为点．设，，那么 （结果用、的式子表示）．
16．为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如下的频数直方图，图中的，满足关系式．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是 人．（：该年级共1000名学生）
17．定义：抛物线上的所有点的横、纵坐标都扩大为原来的倍后得到新的抛物线，叫的“倍衍生抛物线”．例如：求抛物线的“5倍衍生抛物线”．设抛物线上一点，则点在抛物线上的对应点为因为点，因为点在抛物线上，所以，整理得到，即抛物线的表达式为．参考上述方法，抛物线的“倍衍生抛物线”的表达式为 ．
18．在中，，，，重心为点，直线经过边的中点，将沿直线翻折得到（点、、分别与点、、对应），的重心点在的内部．若点到的距离与点到的距离相等，那么到直线的距离为 ．
三、解答题:(本大题共7题，共78分)
19．(本题满分10分)
计算：．
20．(本题满分10分)
解方程组：
21．(本题满分10分，第(1)、(2)小题满分各5分)
某商场购进一批进货价为元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高价格．调查发现，若按每件元的价格销售，每月能卖出件，若按每件元的价格销售，每月能卖件，假定每月销售量（件）是销售价格（元/件）的一次函数．
(1)求与之间的关系式；
(2)销售价定为多少元时，该商场每月获得利润最大？最大利润是多少？
22．(本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分)
为了让游客更好的观赏花圃景观，某植物园打算在不同形状的花圃内都建设一条半圆形的步道，要求一：步道的外围不超过各自花圃的范围；要求二：半圆形步道的圆心在花圃的某一条边上；要求三：半圆形步道的半径尽可能的大（忽略步道的宽度）．
根据以下不同形状的花圃分别按要求画出这个半圆形步道的圆心（不用写作法，保留痕迹），并直接写出不同形状的花圃下半圆形步道的半径．
花圃一：如图1，是一个等腰三角形的花圃，经测量，，半圆形步道的圆心在边上；
花圃二：如图2，四边形是一个梯形的花圃，，经测量，，，，半圆形步道的圆心在边上．（结果保留根号）
23．(本题满分12分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分7分)
已知：如图，在梯形中，，，，的平分线交延长线于点E，交于点F．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接交于点G，如果，求证：．
24．(本题满分12分，第(1)小题满分2分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分)
已知，抛物线经过点和．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)该抛物线与轴交于点A，（点A在点的左侧），与轴交于点，
（ⅰ）如图1，求证：是直角三角形；
（ⅱ）如图2，该抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一动点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
25．(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)题满分5分，第(3)小题满分5分)
已知在中，，点O为边上一点，以点O为圆心，为半径作，交边于点D（点D不与点A、C重合）．
(1)当时，判断点B与的位置关系，并说明理由；
(2)过点C作，交延长线于点E．以点E为圆心，为半径作，延长，交于点．
①如图1，如果与的公共弦恰好经过线段的中点，求的长；
②连接、，如果与的一条边平行，求的半径长．

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