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2024-2025学年中考数学高频考点训练——反比例函数与一次函数综合
1．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（a≠0）的图象在第一象限交于A、B两点，A点的坐标为（m，4），B点的坐标为（3，2），连接OA、OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C．若OC＝CA，
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在直线BD上是否存在一点E，使得△AOE是以AO为直角边的直角三角形，直接写出所有可能的E点坐标．

2．如图，已知一次函数 与反比例函数 在第二象限的图象交于、两点．

(1)求、的值；
(2)根据图象回答：在第二象限内，当取何值时，一次函数大于反比例函数的值？
(3)的面积是多少？
3．已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图像交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)结合图像直接写出不等式kx+b的解集．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，点P是反比例函数的图象上一动点，过点P作直线轴交直线于点Q，设点P的横坐标为t，且，连接
(1)求k，b的值.
(2)当的面积为3时，求点P的坐标.
(3)设的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标.
5．如图，在平面直角坐标系中直线与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)将直线向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点，且的面积为18，求点的坐标以及平移后直线的解析式．
6．如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于，两点.
(1)求反比例函数与一次函数解析式.
(2)连接，求的面积.
(3)根据图象直接回答：当为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
7．如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点．
(1)求和的值．
(2)若点与点关于直线对称，连接．
①求点的坐标；
②若点在反比例函数的图象上，点在轴上，以点为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．
8．如图,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴上,点B的坐标为(2,3),反比例函数y= (k>0)的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE.
(1)求反比例函数的表达式及点E的坐标；
(2)点F是OC边上一点,若△FBC∽△DEB，求点F的坐标．
9．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数解析式；
(2)连接，求的面积；
(3)如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．

(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标；
(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
11．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（2，6），将点A向右平移2个单位，再向下平移a个单位得到点B，点B恰好落在反比例函数y（x＞0）的图象上，过A，B两点的直线与y轴交于点C．
（1）求k的值及点C的坐标；
（2）在y轴上有一点D（0，5），连接AD，BD，求△ABD的面积．
12．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点A，过点作轴，垂足为，连接，已知四边形是平行四边形，且其面积是．

(1)求点A的坐标及和的值；
(2)求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标；
(3)若直线与四边形和反比例函数图象均无公共点，直接写出的取值范围．
13．如图1，已知反比例函数的图像与一次函数的图像相交于，两点．
(1)求反比例函数的表达式及，两点的坐标；
(2)是轴上一点，是轴上一点，若以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求点的坐标；
(3)如图2，反比例函数的图像上有，两点，点的横坐标为，点的横坐标与点P的横坐标互为相反数，连接，，，．是否存在这样的使得的面积与的面积相等，若存在，求出的值：若不存在，请说明理由．
14．如图，一次函数与反比例函数 为常数，的图象在第一象限内交于点，且与轴、轴分别交于，两点．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点在轴上，且的面积等于，求点的坐标．
15．已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，设直线的解析式为，连接．
(1)求反比例函数的表达式和点E的坐标；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)点M为y轴正半轴上一点，若的面积等于的面积，求点M的坐标；
16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点在轴上，且是直角三角形，求点的坐标．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数（x＞0）交于点C，且BC＝2AB，BD∥x轴交反比例函数（x＞0）于点D，连接AD．
（1）求b，k的值；
（2）求△ABD的面积；
（3）若E为线段BC上一点，过点E作EF∥BD，交反比例函数（x＞0）于点F，且EF＝BD，求点F的坐标．
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y（x＞0）的图象于点C，点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
(1)求一次函数的表达式和C点坐标；
(2)求△DPQ面积的最大值．
19．如图，直线与轴、轴分别交于两点，与双曲线交于两点，且．
（1）求反比例函数解析式；
（2）求的面积．
20．如图1，点在直线上，反比例函数＞0）的图象经过点B．
(1)求反比例函数解析式；
(2)将线段AB向右平移个单位长度（＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．
①如图2，当＝3时，过D作DF⊥轴于点F，交反比例函数图象于点E，求E点坐标；
②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求所有满足条件的的值．
参考答案
1．解：（1）∵点B（3，2）在反比例函数y=的图象上，
∴a=3×2=6，
∴反比例函数的表达式为y=，
∵点A的纵坐标为4，
∵点A在反比例函数y=图象上，
∴A（，4），
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为y=-x+6；
（2）如图1，过点A作AF⊥x轴于F交OB于G，

∵B（3，2），
∴直线OB的解析式为y=x，
∴G（，1），A（ ，4），
∴AG=4-1=3，
∴S△AOB=S△AOG+S△ABG=×3×3=．
（3）①当∠AOE=90°时，
∵直线AC的解析式为y=x，
∴直线OE的解析式为y=x，
当y=2时，x=-，
∴E（-，2）；
②当∠OAE=90°时，可得直线AE的解析式为y=-x+，
当y=2时，x=，
∴E（，2）．
综上所述，满足条件的E的坐标为（-，2）或（，2）．
2．（1）解∶∵反比例函数 的图象经过点，
∴，
∴反比例函数 ，
又∵反比例函数 的图象经过点，
∴，
解得；
（2）解：∵，，
∴，
∵一次函数 与反比例函数 在第二象限的图象交于、两点，
∴当时，一次函数大于反比例函数的值；
（3）解：过、分别作轴于，轴于，

3．（1）解：∵反比例函数y的图象经过点A（﹣3，2），
∴m＝﹣3×2＝﹣6，
∵点B（1，n）在反比例函数图象上，
∴n＝﹣6．
∴B（1，﹣6），
把A，B的坐标代入y＝kx+b，则，
解得k＝﹣2，b＝﹣4，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y；
（2）解：如图，设直线AB交y轴于C，
则C（0，﹣4），
∴S△AOB＝S△OCA+S△OCB4×34×1＝8；
（3）解：观察函数图象知，
不等式kx+b的解集为x＜﹣3或0＜x＜1．
4．（1）∵直线过点，
∴，
∴，
∵直线过点，
∴，
∴，
∵过点，
∴；
（2）∵点P的横坐标为t，
∴，
∴
∴，
∵，
又，
∴，
∴，
∴；
（3）如图1，
∵，，
∴
当是边，点D在x轴正半轴上，
作于F，作于G，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（舍去），
∴
如图2，
当点D在x轴的负半轴上时，
由上知：，
∴，
∴，
当是对角线时，
当是对角线时，点D在x轴负半轴上时，
可得：，
∴，
∴，
∴，
如图4，
，
∴，
∴，（舍去），
当时，，
∴，
综上所述： 或，.
5．（1）解：将坐标代入直线中得：，解得：，
，
，，
设反比例解析式为，将代入反比例解析式得：，
反比例解析式为；
（2）解：设平移后直线解析式为，，
对于直线，令求出，得到，
过作轴，过作轴，如图所示：
将坐标代入反比例解析式得：，
，
，解得：，
，解得，则；
，
平移后直线解析式为．
6．（1）解：把A（2，-4）的坐标代入得：m=-8，
∴反比例函数的解析式是；
把B（a，-1）的坐标代入得：-1=，
解得：a=8，
∴B点坐标为（8，-1），
把A（2，-4）、B（8，-1）的坐标代入y=kx+b，得：，
解得： ，
∴一次函数解析式为；
（2）解：设直线AB交x轴于C．
∵，
∴当y=0时，x=10，
∴OC=10，
∴△AOB的面积=△AOC的面积-三角形BOC的面积
=；
（3）解：由图象知，当0＜x＜2或x＞8时，一次函数的值大于反比例函数的值．
7．（1）将点代入得：，
，
直线的表达式为，
把点代入，得：，
，
将代入得：，
；
（2）①连接，过作轴于，如图：
，
，
是等腰直角三角形，
，
由点与点关于直线对称，知≌，
，即，
，
点的坐标为；
以点为顶点的四边形能为平行四边形，理由如下：
设，又，
Ⅰ若是对角线，则的中点重合，
，
解得，
；
Ⅱ若为对角线，则的中点重合；
，
解得，
；
Ⅲ若为对角线，则的中点重合，
，
解得，
，
综上所述，的坐标为或或．
8．（1）∵BC∥x轴，点B的坐标为（2，3），
∴BC=2，
∵点D为BC的中点，
∴CD=1，
∴点D的坐标为（1，3），
将点D的坐标代入y=中得：k=1×3=3；
∴反比例函数的表达式y=，
∵BA∥y轴，
∴点E的横坐标与点B的横坐标相等为2，
∵点E在双曲线上，
∴y=，
∴点E的坐标为（2，）；
（2）∵点E的坐标为（2，），B的坐标为（2，3），点D的坐标为（1，3），
∴BD=1，BE=，BC=2，
∵△FBC∽△DEB，
∴，
∴FC=，
∴OF=3－
∴点F的坐标为（0，）．
9．（1）解：将代入反比例函数，
解得，
∴，
将代入，
得，
将，点代入，
，解得，
∴；
（2）解：设一次函数与x轴交于点D，
令，则，令，则，
∴的面积
；
；
（3）解：设点，又，
由旋转知：为等腰直角三角形，
∴，
解得，
∴.
10．（1）解：令，则
∴点A的坐标为，
将点代入得：
解得：
∴
将点代入得：
解得：
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：设直线l于y轴交于点M，直线与x轴得交点为N，

令解得：
∴，
∴，
又∵，
∴
∵，
∴
又∵直线l是的垂线即，，
∴，
∴
设直线l的解析式是：，
将点，点代入得：
解得：
∴直线l的解析式是：，
设点C的坐标是
∵，(分别代表点B与点C的横坐标)
解得： 或6，
当时，；
当时，，
∴点C的坐标为或
（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，
∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，
∴点E是直线l与双曲线的另一个交点，
将直线l与双曲线的解析式联立得：
解得：或
∴
画出图形如下：

又∵
∴
∴
∴直线与直线的解析式中的一次项系数相等，
设直线的解析式是：
将点代入得：
解得：
∴直线的解析式是：
∵点D也在双曲线上，
∴点D是直线与双曲线的另一个交点，
将直线与双曲线的解析式联立得：
解得：或
∴
设直线的解析式是：
将点，代入得：
解得：
∴直线的解析式是：，
又将直线的解析式与直线l的解析式联立得：
解得：
∴点P的坐标为
∴
∴
11．解：（1）把点代入，，
反比例函数的解析式为，
将点向右平移2个单位，
，
当时，，
，
设直线的解析式为，
由题意可得，
解得，
，
当时，，
；
（2）由（1）知，
．
12．（1）令，则，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
轴，
设，
平行四边形的面积是，
，
，
，，
，
点在直线上，
，
即，，；
（2）由知，，
直线的解析式为，
由知，，
反比例函数的解析式为，
联立解得，（点的坐标）或，
一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标为；
（3）当直线过点时，，
，
当直线与第四象限的双曲线相切时，
，
，
，
（舍），或，
直线与四边形和反比例函数图象均无公共点时，．
13．（1）解：反比例函数的图像与一次函数的图像相交于，两点，
将，代入，得：，
∴，
∴，
∴，
将代入得，
解得，
∴；
（2）解：设，，
∵，，
∴点是由点先向左平移个单位，再向下平移个单位得到的；
∵以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形，
①将点先向左平移3个单位，再向下平移3个单位，得到，
则：，即：，，
∴；
②将点先向左平移3个单位，再向下平移3个单位，得到，
则：，，即：，
∴；
综上：当点坐标为或时，以A，B，M，N为顶点的四边形是以为边的平行四边形；
（3）如图，过点作轴交于点，过点作轴交于点，
由题意，可知：，
设直线的解析式为，
将，代入，则：
解得：
则直线的解析式为
当时，，则；
∵
∴，
∴
；
设直线的解析式为
将， 代入得：
解得：
则直线的解析式为
当时，则：，
∵，
∴，
；
∵，
∴，
解得：，
经检验原方程无解．
故不存在．
14．（1）解：把代入得，解得，
一次函数解析式为；
把代入 得，
反比例函数解析式为 ；
（2）设，
当时，，则，
当时，，解得，则，
的面积等于，
，解得或，
点的坐标为或．
15．（1）∵四边形为矩形，点，
∴，
∵的中点D，
∴，
∵反比例函数的图象经过的中点D，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
当时，，
∴点E的坐标；
（2）∵与交于点D、E两点，
∴和时，反比例函数的图象在上方，
即解集为和；
（3）∵，，
∴的面积为，
设，
则的面积，
∴，
∴或（舍去）．
16．（1）解：∵点和点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：，
∴，
∴；
（2）由（1）知：，
∵，
∴当时，，
∴，
∴，
设，则：，，
当是直角三角形时，分两种情况：
①当为直角顶点时，则：，
∴，
解得：，
∴；
②当为直角顶点时，则：，
∴，
解得：或（舍去）；
∴；
综上：或．
17．解：（1）∵直线y＝2x+b经过点A（﹣1，0），
∴﹣2+b＝0，
∴b＝2，
∴直线AB的解析式为y＝2x+2，
∴B（0，2），
如图，过点C作CG∥x轴交y轴于G，
∴△AOB∽△CGB，
∴，
∴CG＝2OA＝2，BG＝2OB＝4，
∴OG＝OB+BG＝6，
∴C（2，6），
∵点C在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝2×6＝12；
（2）∵BD∥x轴，且B（0，2），
∴D（6，2），
∴BD＝6，
∴S△ABC＝BD OB＝6；
（3）由（2）知，BD＝6，
∵EF＝BD，
∴EF＝3，
设E（m，2m+2）（0＜m＜2），
∴F（ ，2m+2），
∴EF＝﹣m＝3，
∴m＝﹣2﹣（舍）或m＝﹣2+，
∴F（）．
18．（1）解：把A（0，-4），B（2，0）代入一次函数y=kx+b得：
，解得：，
∴一次函数的关系式为y=2x-4，
∴，
解得：，（舍），
∴点C（3，2），
所以，一次函数的关系式为y=2x-4，点C（3，2）；
（2）∵点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，0＜n＜3，
∴点，点Q（n,2n-4），
∴，
∴，
∵-1＜0，
∴当n=1时，S最大=4，
所以，面积的最大值是4．
19．解：（1）作轴于，
∵直线与轴、轴分别交于两点，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵双曲线经过点，
∴，
∴反比例解析式为；
（2）∵与双曲线交于两点，
∴，
∴或，
∴，
∴．
20（1）∵点A（0，8）在直线上
∴
∴直线AB的解析式为
将点代入直线AB的解析式中
得
∴B（2，4）
将B（2，4）代入反比例函数解析式＞0）中
得
所以，反比例函数解析式为；
（2）①反比例函数解析式为
当＝3时，
将线段AB向右平移3个单位长度得到对应线段CD
∴D（5，4）
∵DF⊥轴于点F，交反比例函数的图象于点E
∴；
②如图
∵将线段AB向右平移个单位长度（＞0），得到对应线段CD
∴CD＝AB，AC＝BD＝
∵A（0，8），B（2，4）
∴C（，8），D（，4）
∵△BCD是以BC为腰的等腰三角形
Ⅰ、当BC＝CD时，
∴BC＝AB
∴点B在线段AC的垂直平分线上
∴＝4
Ⅱ、当BC＝BD时，
∵B（2，4），C（，8）
∴
∴＝5
综上，△BCD是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的m的值为4或5．

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