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2024-2025学年中考数学二轮复习 二次函数综合题（角度问题）
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，并且，连接．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)点是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点，使得的面积等于面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)过点C作轴交抛物线于点，在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线的顶点为A，且与y轴的交点为B，过点B作轴交抛物线于点，在CB延长线上取点D，使，连接OC，OD，AC和AD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试判断四边形ADOC的形状，并说明理由；
（3）试探究在抛物线上是否存在点P，使得．若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线的顶点，求的面积；
（3）抛物线上是否存在点P，使，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标．
5．抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，作直线．点是线段上的动点（不与点O、B重合），过点N作x轴的垂线分别交和抛物线于点M、P．
(1)则直线的解析式为______；
(2)如图1，设，求h与t的函数关系式，并求出h的最值；
(3)如图2，若中有某个角的度数等于度数的2倍时，请求出满足条件的t的值．
6．如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设四边形的面积为，求的最大值；
(3)如图2，过点作轴于点，连接与轴交于点，当时，求点的坐标．
7．如图，抛物线 与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C，顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F．
（1）求线段DE的长；
（2）设过E的直线与抛物线相交于M(x1，y1)，N(x2，y2)，试判断当|x1﹣x2|的值最小时，直线MN与x轴的位置关系，并说明理由；
（3）设P为x轴上的一点，∠DAO+∠DPO=∠α，当tan∠α=4时，求点P的坐标．
8．如图，抛物线交轴于，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点在抛物线上，过点D作轴于点F，过点A的直线交y轴于点，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点M，于点N，求的最大值，以及此时点P的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线，点R是新抛物线上一个动点，当时，请直接写出所有符合条件的点R的坐标．
9．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交x轴于点A、B，且，交y轴于点C．
(1)求抛物线解析式；
(2)点G为第一象限抛物线上的一点，连接，过点G作轴交于点H，设长为d，点G的横坐标为t，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）．
(3)在（2）的条件下，点F坐标为，当，求点G的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为C(3，6)，与轴交于点B(0，3)，点A是对称轴与轴的交点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①所示，直线AB交抛物线于点E，连接BC、CE，求△BCE的面积；
（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，经过点A（0，-6）的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于B（-2，0），C两点．
（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；
（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y1，若新抛物线y1的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
（3）设点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，直接写出AM的长．
12．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是平行四边形OABC的面积的，求点R的坐标；
（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．

13．如图，为已知抛物线经过两点，与轴的另一个交点为，顶点为，连结．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点为该抛物线上一动点（与点不重合），设点的横坐标为．
①当时，求的值；
②该抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（m＜0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），该抛物线的对称轴与直线相交于点E，与x轴相交于点D，点P在直线上（不与原点重合），连接PD，过点P作PF⊥PD交y轴于点F，连接DF．
（1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为，求抛物线的解析式；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）如图②所示，小红在探究点P的位置发现：当点P与点E重合时，∠PDF的大小为定值，进而猜想：对于直线上任意一点P（不与原点重合），∠PDF的大小为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．
15．如图1，已知二次函数y=mx2+3mx﹣m的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D和点B关于过点A的直线l：y=﹣x﹣对称．
（1）求A、B两点的坐标及二次函数解析式；
（2）如图2，作直线AD，过点B作AD的平行线交直线1于点E，若点P是直线AD上的一动点，点Q是直线AE上的一动点．连接DQ、QP、PE，试求DQ+QP+PE的最小值；若不存在，请说明理由：
（3）将二次函数图象向右平移个单位，再向上平移3个单位，平移后的二次函数图象上存在一点M，其横坐标为3，在y轴上是否存在点F，使得∠MAF=45°？若存在，请求出点F坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由；
（3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，已知直线AB：与抛物线交于A、B两点，
（1）直线AB总经过一个定点C，请直接写出点C坐标；
（2）当时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；
（3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB＝90°，求点D到直线AB的最大距离.
18．如图1，抛物线y=ax2-4ax+b交x轴正半轴于A，B两点，交y轴正半轴于C，且OB=OC=3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线的顶点，点G在直线BC上，若，直接写出点G的坐标；
（3）将抛物线向上平移m个单位，交BC于点M，N（如图2），若∠MON=45°，求m的值．
参考答案
1．（1）解：∵，，点位于轴的正半轴，
∴，
将点代入得：，
解得，
则抛物线对应的函数表达式为．
（2）解：由（1）可知，，
∵，，
∴，
设点的坐标为，
∴的面积为，的面积为，
∵的面积等于面积的，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，
所以存在点，使得的面积等于面积的，此时点的坐标为．
（3）解：①如图，在轴上方作，交直线于点，交轴于点，则，
∵轴，
，
，
∴，
当时，，
解得或，
∴，
设点的坐标为，
∴，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
∴点的坐标为；
②如图，在轴下方作，交轴于点，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∴点与点关于轴对称，
∴点的坐标为，
综上，存在点，使得，此时点的坐标为或．
2．解：（1）轴，点C的坐标为，
点B的坐标为，
把B，C两点的坐标代入，
得，解得．
抛物线的解析式为．
（2）四边形ADOC是平行四边形，理由如下：
点B的坐标是，点C的坐标为，
，，
由（1）得，抛物线的解析式为，
顶点A的坐标为．
如答图，过点A作于点E，
则，，．
，
，
．
轴，
，
，
，，
，
四边形ADOC是平行四边形．
（3）在抛物线上存在点P，使得．
点C的坐标为，轴，
，，
，
点P为抛物线与x轴负半轴或y轴负半轴的交点．
情况1：当点P为抛物线与y轴负半轴的交点时，点P与点B重合，
此时点P的坐标为．
情况2：当点P为抛物线与x轴负半轴的交点时，解方程，
得，．（不合题意，舍去）
此时点P的坐标为，
综上所述，当点P的坐标是或时，．
3．解：（1）∵二次函数的图象经过点A（-1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）在中，令时，得：，
∴C（0，3），
设直线的解析式为，
∵B（3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴D（1，4），
过点D作轴交直线于点E，
∴E（1，2），
∴，
∴；
（3）抛物线上存在点P，使，
①当点P是抛物线上与点C对称的点时，则有，
∵点C（0，3）关于对称轴的对称点坐标为（2，3），
∴，
②当直线时，则有，
∵直线的解析式为，
∴直线的解析式中一次项系数为，
设与平行的直线的解析式为，
将A（-1，0）代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立抛物线解析式得：，
解得：，（舍去），
∴．
综上所述，P1（2，3），P2（4，-5）．
4．（1）解：把、代入得，
，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：当时，，
解得，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
如图，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得(不合，舍去) 或，
∴．
5．（1）解：当时，，
，
当时，，解得，
,
设直线的解析式为，
将，代入可得，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：由题意知点，则，
，
和的函数关系式为，的最大值为；
（3）解：①当时，如图，作，交于点，
可得，
，
，
，
，
点的纵坐标为，
，
解得（舍去），
②当时，
，
，
，
，
故这种情况不成立；
③当时，
，
,
，
，
，
解得,
综上，或．
6．（1）解：将，代入，得：
，
，
；
（2）解：过点P作轴于点N，如图所示，

令，则，
∴，
∴，
∵P为第四象限内抛物线上一点，设点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∵
∴当时，S有最大值，．
（3）解：如图，

∵轴，轴，
∴，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
．
7．由抛物线y=﹣x2+2x+3可知，C（0，3），
令y=0，则﹣x2+2x+3=0，解得：x=﹣1，x=3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
∴顶点x=1，y=4，即D（1，4）；
∴DF=4
设直线BC的解析式为y=kx+b，代入B（3，0），C（0，3）得；
，解得，
∴解析式为；y=﹣x+3，
当x=1时，y=﹣1+3=2，
∴E（1，2），
∴EF=2，
∴DE=DF﹣EF=4﹣2=2．
（2）设直线MN的解析式为y=kx+b，
∵E（1，2），
∴2=k+b，
∴k=2﹣b，
∴直线MN的解析式y=（2﹣b）x+b，
∵点M、N的坐标是的解，
整理得：x2﹣bx+b﹣3=0，
∴x1+x2=b，x1x2=b﹣3；
∵ =， ，
∴当b=2时，|x1﹣x2|最小值=，
∵b=2时，y=（2﹣b）x+b=2，
∴直线MN∥x轴．
（3）如图2，∵D（1，4），
∴tan∠DOF=4，
又∵tan∠α=4，
∴∠DOF=∠α，
∵∠DOF=∠DAO+∠ADO=∠α，
∵∠DAO+∠DPO=∠α，
∴∠DPO=∠ADO，
∴△ADP∽△AOD，
∴AD2=AO AP，
∵AF=2，DF=4，
∴AD2=AF2+DF2=20，
∴OP=19，
同理，当点P在原点左侧时，OP=17.
∴P1（19，0），P2（﹣17，0）．
8．（1）解：∵抛物线交轴于，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图，作轴交于，
则，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，为，此时，即；
（3）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标，
∵将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线，
∴将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新抛物线，
∴新抛物线的解析式为，
令，
解得：，，
∴新抛物线与轴的交点坐标为或，
∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得：或，
∴新抛物线与直线的交点坐标为，，
如图，当点在上方时，过点作直线，连接，，作于，则，，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
当时，，此时；
当点在下方时，作轴于，则，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
当时，，此时，
综上所述，点R的坐标为或．
9．线的解析式为，联立，即可解答．
【详解】（1）解：把代入，
得，
，
抛物线解析式为；
（2）解：令，则，
解得，
，
令，则，
，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
点G的横坐标为t，
，，
，即；
（3）解：如图，过点B作于点K，在x轴上取点P，使得，连接交抛物线与点Q，连接，
，
，，，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
点Q与点G重合，如图，
，
设，
，
，即，
解得：，
，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
联立，即，
整理得：，
解得：，（舍去），
，
．
10．（1）∵抛物线顶点坐标为C（3，6），
∴设抛物线解析式为，
将B（0，3）代入可得，
∴,即．
（2）设直线AB：，
将A(3,0)代入上式并解得，
∴直线AB：．
联立、，得，
解得，
∴E(9,-6)，
∴．
（3）设D点的坐标为，
过D作对称轴的垂线，垂足为G，

则，
∴∠ACD＝30°，∴2DG＝DC，
在Rt△CGD中，CG＝DG，
∴，
∴t＝3+3或t＝3（舍）
∴D（3+3，﹣3），
∴AG＝3，GD＝3，
连接AD，在Rt△ADG中，
∴AD＝＝6，
∴AD＝AC＝6，∠CAD＝120°，
∴在以A为圆心、AC为半径的圆与y轴的交点为Q点，
此时，∠CQD＝∠CAD＝60°，
设Q（0，m），AQ为⊙A的半径，
，
∴，
∴，
∴，
综上所述：Q点坐标为（0，）或（0，）．
11．（1）将A（0，-6）、B（-2，0）代入抛物线y=x2+bx+c中，得：
，
解得．
∴抛物线的解析式：y=x2-2x-6=（x-2）2-8，顶点D（2，-8）；
（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：y=（x-2+1）2-8+m，
即：y=（x-2+1）2-8+m．它的顶点坐标P（1，m-8）．
由（1）的抛物线解析式可得：C（6，0）．
∴直线AB：y=-3x-6；直线AC：y=x-6．
当点P在直线AB上时，-3-6=m-8，解得：m=-1；
当点P在直线AC上时，1-6=m-8，解得：m=3；
又∵m＞0，
∴当点P在△ABC内时，3＜m＜8．
（3）由A（0，-6）、C（6，0）得：OA=OC=6，且△OAC是等腰直角三角形．
如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°．
∴∠ONB=∠NBA+∠OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，
即∠NBA=∠OMB．
如图，在△ABN、△AM1B中，
∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B，
∴△ABN∽△AM1B，得：AB2=AN AM1；
由勾股定理，得AB2=（-2）2+（-6）2=40，
又∵AN=OA-ON=6-2=4，
∴AM1=40÷4=10，OM1=AM1-OA=10-6=4
OM2=OM1=4
AM2=OA-OM2=6-4=2．
综上所述，AM的长为4或2．
12．（1）∵A（-2，0），四边形OABC是平行四边形，
∴BC//OA，BC=OA=2，
∵抛物线与y轴交于点B，
∴抛物线的对称轴为直线x＝=1，则x＝﹣＝1①，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+②，
联立①②得，
解得，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+；
（2）∵A（-2，0），抛物线对称轴为直线x＝1，
∴点D（4，0）；
∵△ADR的面积是 OABC的面积的，
∴×AD×|yR|＝×OA×OB，则×6×|yR|＝×2×，
解得：yR＝±，
当y=时，，
解得：，，
∴R1（，）或R2（，），
当y=-时，，
解得：x3=，x2=，
∴R3（，）或R4（，）
综上所述：点R的坐标为（，）或（，）或（1+，）或（1﹣，）．
（3）作△PEQ的外接圆R，过点R作RH⊥ME于点H，
∵∠PQE＝45°，
∴∠PRE＝90°，
∵RP=RE，
∴△PRE为等腰直角三角形，
∵直线MD上存在唯一的点Q，
∴⊙R与直线MD相切，
∴RQ⊥MD，
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴当x=1时y==3，
∴点M坐标为（1，3），
∵D（4，0），
∴ME＝3，ED＝4﹣1＝3，
∴MD＝=，
设点P（1，2m），则PH＝HE＝HR＝m，则圆R的半径为m，则点R（1+m，m），
∵S△MED＝S△MRD+S△MRE+S△DRE，即×ME ED＝×MD×RQ+×ED yR+×ME RH，
∴×3×3＝××m+×4×m+×3×m，
解得m＝，
∴点P坐标为（1，），

∵ME=MD=3，
∴∠MDE=45°，
∴点P与点M重合时，符合题意，即P（1，3），
过点D作DF⊥MD，交对称轴于F，则∠FDE=45°，符合题意，
∴EF=DE=3，
∴点F坐标为（1，-3），
∴点P坐标为（1，-3），

综上所述：点P的坐标为（1，）或（1，3）或（1，-3）．
13．（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：
，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）①令，则，
解得或，即点，
如图1，过点作轴的平行线交于点，
设直线的表达式为：，
将点的坐标代入一次函数表达式得，
解得，
并解得：直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
∴或，
解得或或或；
②设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
∵∠PBC=∠BCD，
∴点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为，
过该点与BC垂直的直线的k值为-1，
设BC中垂线的表达式为：，
将点代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为：，
同理直线的表达式为：，
解方程组，得：，即点，
同理可得直线的表达式为：，
解方程组，
得：或（舍去），
则，
故点P (，)；
当点P（P′）在直线BC上方时，
∵∠PBC=∠BCD，
∴BP′∥CD，
则直线BP′的表达式为：，
将点B坐标代入上式并解得：，
即直线BP′的表达式为：，
解方程组，
得：x=0或-4（舍去-4），
则，
故点P（0，5）；
故点P的坐标为(，)或（0，5）．
14．解：（1）∵，
∴=m（x+5）（x﹣1）．
令y=0得：m（x+5）（x﹣1）=0，
∵m≠0，∴x=﹣5或x=1，
∴A（﹣5，0）、B（1，0），
∴抛物线的对称轴为x=﹣2．
∵抛物线的顶点坐标为为，
∴﹣9m=，∴m=，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）可知：A（﹣5，0）、B（1，0）；
（3）∠PDF=60°．理由如下：
如图所示，∵OP的解析式为，
∴∠AOP=30°，
∴∠PBF=60°
∵PD⊥PF，FO⊥OD，
∴∠DPF=∠FOD=90°，
∴∠DPF+∠FOD=180°，
∴点O、D、P、F共圆，
∴∠PDF=∠PBF，∴∠PDF=60°．
15．（1）∵令y=0，
∴0=m x2+3mx﹣m，
∴x1=，x2=﹣，
∴A（﹣，0），B（，0），
∴顶点D的横坐标为﹣，
∵直线y=﹣x﹣ 与x轴所成锐角为30°，且D，B关于y=﹣x﹣对称，
∴∠DAB=60°，且D点横坐标为﹣，
∴D（﹣，﹣3），
∴﹣3=m﹣m﹣m，
∴m=，
∴抛物线解析式y=x2+x﹣；
（2）∵A（﹣，0），D（﹣，﹣3），
∴直线AD解析式y=﹣x﹣，
∵直线BE∥AD，
∴直线BE解析式y=﹣x+，
∴﹣x﹣=﹣x+，
∴x=，
∴E（，﹣3），
如图2，作点P关于AE 的对称点P'，作点E关于x轴的对称点E'，
根据对称性可得PQ=P'Q，PE=EP'=P'E'，
∴DQ+PQ+PE=DQ+P'Q+P'E'，
∴当D，Q，E'三点共线时，DQ+PQ+PE值最小，
即DQ+PQ+PE最小值为DE'，
∵D（﹣，﹣3），E'（，3），
∴DE'=12，
∴DQ+PQ+PE最小值为12；
（3）∵抛物线y=（x+）2﹣3图象向右平移个单位，再向上平移3个单位，
∴平移后解析式y=x2，
当x=3时，y=3，
∴M （3，3），
如图3
若以AM为直角边，点M是直角顶点，在AM上方作等腰直角△AME，则∠EAM=45°，
直线AE交y轴于F点，作MG⊥x轴，EH⊥MG，则△EHM≌△AMG，
∵A（﹣，0），M（3，3），
∴E（3﹣3，3+），
∴直线AE解析式：y=x+，
∴F（0，），
若以AM为直角边，点M是直角顶点，在AM上方作等腰直角△AME，
同理可得：F（0，﹣）.
16．解：（1）∵直线经过点
∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0,5）
当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5,0）
∴解得
∴该抛物线的解析式为
（2）的为直角三角形，理由如下：
∵解方程=0，则x1=1，x2=5
∴A（1,0），B（5,0）
∵抛物线的对称轴l为x=3
∴△APB为等腰三角形
∵C的坐标为（5,0）, B的坐标为（5,0）
∴OB=CO=5,即∠ABP=45°
∴∠ABP=45°，
∴∠APB=180°-45°-45°=90°
∴∠APC=180°-90°=90°
∴的为直角三角形；
（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，
∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1
∴∠AM1B=2∠ACB
∵△ANB为等腰直角三角形.
∴AH=BH=NH=2
∴N（3，2）
设AC的函数解析式为y=kx+b
∵C(0，5),A(1，0)
∴ 解得b=5，k=-5
∴AC的函数解析式为y=-5x+5
设EM1的函数解析式为y=x+n
∵点E的坐标为（）
∴=× +n，解得：n=
∴EM1的函数解析式为y=x+
∵ 解得
∴M1的坐标为（）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2
设M2（a，-a+5）
则有：3=，解得a=
∴-a+5=
∴M2的坐标为（，）．
综上，存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．
17．（1）∵当x=-2时，,
∴直线AB：y=kx+2k+4必经过定点（-2，4）．
∴点C的坐标为（-2，4）．
（2）∵，
∴直线AB的解析式为．
联立 ，解得： 或．
∴点A的坐标为（-3，），点B的坐标为（2，2）．
如图1，过点P作PQ∥y轴，交AB于点Q，过点A作AM⊥PQ，垂足为M，过点B作BN⊥PQ，垂足为N．
设点P的横坐标为a，则点Q的横坐标为a．
∴．
∵点P在直线AB下方，∴.
∵，
∴，
整理得：，解得：．
当时，．此时点P的坐标为（-2，2）．
当a=1时，．此时点P的坐标为（1， ）．
∴符合要求的点P的坐标为（-2，2）或（1， ）．
（3）如图2，过点D作x轴的平行线EF，作AE⊥EF，垂足为E，作BF⊥EF，垂足为F．
∵AE⊥EF，BF⊥EF，∴∠AED=∠BFD=90°．
∵∠ADB=90°，∴∠ADE=90°-∠BDF=∠DBF．
∵∠AED=∠BFD，∠ADE=∠DBF，∴△AED∽△DFB．∴．
设点A、B、D的横坐标分别为m、n、t，
则点A、B、D的纵坐标分别为，
∴．
∴，化简得：．
∵点A、B是直线AB：与抛物线交点，
∴m、n是方程即两根．∴．
∴，即，即.
∴（舍）．
∴定点D的坐标为（2，2）．
如答图3，过点D作x轴的平行线DG，
过点C作CG⊥DG，垂足为G，
∵点C（-2，4），点D（2，2），∴CG=4-2=2，DG=2-（-2）=4．
∵CG⊥DG，∴．
过点D作DH⊥AB，垂足为H，如答图3所示，
∴DH≤DC．∴DH≤．
∴当DH与DC重合即DC⊥AB时，
点D到直线AB的距离最大，最大值为 ．
∴点D到直线AB的最大距离为．
18．(1)∵OB=OC=3，
代入
得 解得
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3．
（2）直线BC:设点
顶点的坐标为：
，
，
（3）如图2中，将△OCM绕点O顺时针旋转90°得到△OBG．
∵∠MON=45°，
∴∠MOC+∠NOB=∠NOB+∠BOG=45°，
∴∠MON=∠GON=45°，∵ON=ON，OM=OG，
∴△ONM≌△ONG，
∴MN=NG，
∵∠NBG=∠NBO+∠OBG=45°+45°=90°，
∴NG2=BN2+BG2，
∴MN2=CM2+BN2，
设平移后的抛物线的解析式为y=x2-4x+3+m， M（x1，y1），N（x2，y2）,
则
设平移后的抛物线的解析式为
由 消去得到
，推出
关于直线对称，所以 设 则∴
(负根已经舍弃)，

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