资源简介

2024-2025学年中考数学二轮复习 二次函数综合题（相似三角形问题）
1．如图，已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线AC交二次函数图象的对称轴于点D，若点C为AD的中点．
（1）求m的值；
（2）若二次函数图象上有一点Q，使得tan∠ABQ＝3，求点Q的坐标；
（3）对于（2）中的Q点，在二次函数图象上是否存在点P，使得△QBP∽△COA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2．在平面直角坐标系中，已知抛物线L：经过点A（-3，0）和点B（0，-6），L关于原点O对称的抛物线为.
（1）求抛物线L的表达式；
（2）点P在抛物线上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D．若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标.
3．已知抛物线：交x轴于点A、B，顶点为M，A、B、M关于原点的对称点分别是E、F、N．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求出经过E、且以N为顶点的抛物线的表达式；
（3）抛物线与y轴交点为D，点P是抛物线在第四象限部分上一动点，点Q是y轴上一动点，求出一组P、Q的值，使得以点D、P、Q为顶点的三角形与相似．
4．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点为抛物线的顶点，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设，，求的值；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C三点为顶点的三角形与相似，若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
5．如图，抛物线与坐标轴交点分别是、、，作直线．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点为抛物线上第一象限内一动点，过点作轴于点，设点的横坐标为，求的面积与的函数关系式及的取值范围；
（3）条件同（2）若与相似，求点的坐标．
6．抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）在直线上方的抛物线上找一点P，使，求点P的坐标；
（3）在坐标轴上找一点M，使以点B，C，M为顶点的三角形与相似，直接写出点M的坐标．
7．如图，在同一直角坐标系中，抛物线：与轴交于和点C，且经过点，若抛物线与抛物线关于轴对称，点A的对应点为，点B的对应点为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）现将抛物线向下平移后得到抛物线，抛物线的顶点为M，抛物线的对称轴与轴交于点N，试问：在轴的下方是否存在一点M，使与相似？若存在，请求出抛物线的表达式；若不存在，说明理由．
8．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)过点P作轴于点M，当和相似时，求点Q的坐标．
9．如图，直线与轴、轴相交于、两点，抛物线过点、，且与轴另一个交点为，以、为边作矩形，交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式以及点的坐标；
（2）已知直线交于点，交于点，交于点，交抛物线（上方部分）于点，请用含的代数式表示的长；
（3）在（2）的条件下，连接，若和相似，求的值．
10．如图，抛物线（a0）与反比例函数的图像相交于点A，B．已知点A的坐标为（1，4），点B（t，q）在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）
（1）求反比例函数的解析式
（2）用含t的代数式表示直线AB的解析式；
（3）求抛物线的解析式；
（4）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，把△AOB绕点O逆时针旋转90 ，请在图②中画出旋转后的三角形，并直接写出所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.
11．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．
12．如图已知点A （﹣2，4）和点B （1，0）都在抛物线y=mx2+2mx+n上．
（1）求m、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为点C，试在x轴上找点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．
13．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；
（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；
（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，3）．且点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上第一象限内的一个点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连PO、PB，如果把△POB沿OB翻转，所得四边形POP′B恰为菱形，那么在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QAB与△POB相似？若存在求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
(3)若（2）中点Q存在，指出△QAB与△POB是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标．
17．如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，抛物线与轴交于，两点，点，分别位于原点的左、右两侧，，过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为，，．
（1）求，的值；
（2）求直线的函数解析式；
（3）点在抛物线的对称轴上且在轴下方，点在射线上，当与相似时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
参考答案
1．（1）设对称轴交x轴于点E，直线AC交抛物线对称轴于点D，

函数的对称轴为：x＝1，点C为AD的中点，则点A（﹣1，0），
将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：m＝﹣3，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；
（2）tan∠ABQ＝3，点B（3，0），
则AQ所在的直线为：y＝±3（x﹣3）…②，
联立①②并解得：x＝﹣4或3（舍去）或2，
故点Q（﹣4，21）或（2，﹣3）；
（3）不存在，理由：
△QBP∽△COA，则∠QBP＝90°
①当点Q（2，﹣3）时，
则BP的表达式为：y＝﹣（x﹣3）…③，
联立①③并解得：x＝3（舍去）或﹣，故点P（﹣），
此时BP：PQ≠OA：AC，故点P不存在；
②当点Q（﹣4，21）时，
同理可得：点P（﹣），
此时BP：PQ≠OA：OB，故点P不存在；
综上，点P不存在．
2．(1)由题意，得，
解得：，
∴L：y=－x2－5x－6；
(2)∵抛物线L关于原点O对称的抛物线为，
∴点A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的对应点分别为A′(3，0)、B′(0，6)，
∴设抛物线L′的表达式y＝x2＋bx＋6，
将A′(3，0)代入y＝x2＋bx＋6，得b＝－5，
∴抛物线L′的表达式为y＝x2－5x＋6，
∵A(－3，0)，B(0，－6)，
∴AO＝3，OB＝6，
设P(m，m2－5m＋6)(m＞0)，
∵PD⊥y轴，
∴点D的坐标为(0，m2－5m＋6)，
∵PD＝m，OD＝m2－5m＋6，
∵Rt△PDO与Rt△AOB相似，
∴有Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB两种情况，
①当Rt△PDO∽Rt△AOB时，则，即，
解得m1＝1，m2＝6，
∴P1(1，2)，P2(6，12)；
②当Rt△ODP∽Rt△AOB时，则，即，
解得m3＝，m4＝4，
∴P3(，)，P4(4，2)，
∵P1、P2、P3、P4均在第一象限，
∴符合条件的点P的坐标为(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2).
3．解：（1）当时，由，得，
∴、．
（2）由，得抛物线的顶点，
∵点E、F、N分别与点A、B、M关于原点对称，
∴、、；
设经过点E且顶点为N的抛物线的解析式为，
则，解得，
∴抛物线的解析式为．
（3）如图，作交抛物线于点P，作轴于点R，在点R上方的y轴上取一点Q，使，则；
由，得．
∴，
又∵，
∴．
作交y轴于点H，则；
∵，
∴，
∴．
设直线的解析式为，则，解得，
∴，
∴直线的解析式为；
由，得，（不符合题意，舍去）．
∴；
∵，
∴点Q的纵坐标为，
∴．
综上所述，．
4．解：（1）将，代入可得，
解得：
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵，，
∴，
令，
解得：，，
∴，
∵，，
∴，，，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵OA=OD=1，OC=OB=3，∠AOC＝∠DOB，
∴△AOC≌△DOB，
∴∠ACO＝∠DBO，∠OAC＝∠ODB，
∵，
∴∠DBO＝∠EBC，∠ODB＝∠CEB，
∴∠ACO＝∠EBC，∠OAC＝∠CEB，
∵为直角三角形，则以P、A、C三点为顶点与相似的三角形必为直角三角形，
∴分三种情况讨论：
①以A为直角顶点时，
在中，，即：，
∴，
∴；
②以C为直角顶点时，在中，，即：，
∴，
∴；
③以Р为直角顶点时，则P与O重合，
即；
综上所述：满足条件的Р点有，，．
5．解：（1）把点、、代入抛物线得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）由（1）可设，那么，AB=4，
∴；
（3）当与相似，则有，
有两种情况：
①，即，
解得，则
所以；
②，即，
解得，则，
所以．
综上所述若与相似，点或．
6．解：（1）将代入抛物线解析式中得：，
解得：，
∴抛物线解析式为
；
当时，，
∴顶点；
（2）当时，
∴点C的坐标为，
∴，
∴，
∴为直角三角形，．
设直线的解析式为，
根据题意得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，，
∴线段的中点N的坐标为，
过点N作，交抛物线于点P，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
由联立得：，
解得：，
∴或；
（3）分三种情况：
①，
此时M恰好为原点，；
②，
设
或（舍去）
此时；
③，
设
或（舍去）
此时M在y轴负半轴上， ；
综上所述，点M的坐标为或或．
7．解：（1）将，分别代入中得，
，
解得，
抛物线的解析式为，
则：顶点为，
抛物线与抛物线关于轴对称，顶点也关于轴对称，开口方向及大小均相同，即二次项系数相同，
抛物线的顶点为，
抛物线的解析式为．
故抛物线的解析式为．
（2）如图，存在点M，使与相似．
由题意得：，，，，
，，，
，
与相似，可以分两种情况：
①当时，则，
，
即点，
此时，抛物线的表达式为．
②当时，
同理可得：点；
此时，抛物线的表达式为，
故：函数的解析式为：或．
8．（1）解：在中，令得，即，
令，得，解得或，即，；
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
设，则，，，
∵，，
∴，，，，
∵，
∴和相似只需或，
①当时，，
解得或，
∴或；
②当时，，
解得或（舍去），
∴，
综上所述，点的坐标是或或．
9．（1）对于直线
当时，，解得，则点的坐标为
当时，，则点的坐标为
将点B、C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得
则抛物线的解析式为
令得，解得或
∴点的坐标为；
（2）设直线的解析式为
把，代入得，解得
∴直线的解析式为
∵点的横坐标为，点在上
∴点的坐标为
∵点的横坐标为，点在抛物线上
∴点的坐标为
∴
即；
（3）由题意得，，，
根据相似三角形的性质，分以下两种情况：
①若，则
即
∵且
∴；
②若，则
即
∵且
∴
综上，的值为或1．
10．（1）因为点A（1，4）在反比例函数上，
所以k=4. 故反比例函数表达式为
（2）设点B（t，），，AB所在直线的函数表达式为，则有
解得，.
直线AB的解析式为y= x+
（3）直线AB与y轴的交点坐标为，
故，整理得，
解得，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（，）．
因为点A，B都在抛物线（a0）上，所以解得
所以抛物线的解析式为y=x2+3x
（4）画出图形
点的坐标是（8，），或（2，）
11．解：(1)函数的表达式为：，将点D坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：…①；
(2)设直线PD与y轴交于点G，设点，
将点P、D的坐标代入一次函数表达式：并解得，直线PD的表达式为：，则，
，
∵，故有最大值，当时，其最大值为；
(3)∵，∴，
∵，故与相似时，分为两种情况：
①当时，，，，
过点A作AH⊥BC与点H，
，解得：，
∴CH＝
则，
则直线OQ的表达式为：…②，
联立①②并解得：，
故点或；
②时，
，
则直线OQ的表达式为：…③，
联立①③并解得：，
故点或；
综上，点或或或．
12．解：（1）由于抛物线经过A （﹣2，4）和点B （1，0），则有：
，解得；
故m=﹣，n=4．
（2）由（1）得：y=﹣x2﹣x+4=﹣（x+1）2+；
由A （﹣2，4）、B （1，0），可得AB==5；
若四边形A A′B′B为菱形，则AB=BB′=5，即B′（6，0）；
故抛物线需向右平移5个单位，即：
y=﹣（x+1﹣5）2+=﹣（x﹣4）2+．
（3）由（2）得：平移后抛物线的对称轴为：x=4；
∵A（﹣2，4），B′（6，0），
∴直线AB′：y=﹣x+3；
当x=4时，y=1，故C（4，1）；
所以：AC=3，B′C=，BC=；
由（2）知：AB=BB′=5，即∠BAC=∠BB′C；
若以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，则：
①∠B′CD=∠ABC，则△B′CD∽△ABC，可得：
=，即=，B′D=3，
此时D（3，0）；
②∠B′DC=∠ABC，则△B′DC∽△ABC，可得：
=，即=，B′D=，
此时D（，0）；
综上所述，存在符合条件的D点，且坐标为：D（3，0）或（，0）．
13．解：（1）将A（0，3），C（﹣3，0）代入函数解析式，得
，解得，
抛物线的解析式是y=x2+x+3；
（2）由抛物线的对称性可知，点D与点C关于对称轴对称，
∴对l上任意一点有MD=MC，
联立方程组 ，
解得（不符合题意，舍），，
∴B（﹣4，1），
当点B，C，M共线时，|MB﹣MD|取最大值，即为BC的长，
过点B作BE⊥x轴于点E，
在Rt△BEC中，由勾股定理，得
BC=，
|MB﹣MD|取最大值为；
（3）存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，
在Rt△BEC中，∵BE=CE=1，
∴∠BCE=45°，
在Rt△ACO中，
∵AO=CO=3，
∴∠ACO=45°，
∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，
过点P作PG⊥y轴于G点，∠PGA=90°，
设P点坐标为（x，x2+x+3）（x＞0）
①当∠PAQ=∠BAC时，△PAQ∽△CAB，
∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，
∴△PGA∽△BCA，
∴，即，
∴，
解得x1=1，x2=0（舍去），
∴P点的纵坐标为×12+×1+3=6，
∴P（1，6），
②当∠PAQ=∠ABC时，△PAQ∽△CBA，
∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠ABC，
∴△PGA∽△ACB，
∴，
即=3，
∴，
解得x1=﹣（舍去），x2=0（舍去）
∴此时无符合条件的点P，
综上所述，存在点P（1，6）．
14．（1）∵B（2，t）在直线y=x上，
∴t=2，
∴B（2，2），
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得：，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）如图1，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，∵点C是抛物线上第四象限的点，
∴可设C（t，2t2﹣3t），则E（t，0），D（t，t），
∴OE=t，BF=2﹣t，CD=t﹣（2t2﹣3t）=﹣2t2+4t，
∴S△OBC=S△CDO+S△CDB=CD OE+CD BF=（﹣2t2+4t）（t+2﹣t）=﹣2t2+4t，
∵△OBC的面积为2，
∴﹣2t2+4t=2，解得t1=t2=1，
∴C（1，﹣1）；
（3）存在．设MB交y轴于点N，
如图2，
∵B（2，2），
∴∠AOB=∠NOB=45°，
在△AOB和△NOB中，
∵∠AOB=∠NOB，OB=OB，∠ABO=∠NBO，
∴△AOB≌△NOB（ASA），
∴ON=OA=，
∴N（0，），
∴可设直线BN解析式为y=kx+，把B点坐标代入可得2=2k+，解得k=，
∴直线BN的解析式为，联立直线BN和抛物线解析式可得：，解得：或，
∴M（，），
∵C（1，﹣1），
∴∠COA=∠AOB=45°，且B（2，2），
∴OB=，OC=，
∵△POC∽△MOB，
∴，∠POC=∠BOM，
当点P在第一象限时
，如图3，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥x轴于点H，如图3
∵∠COA=∠BOG=45°，
∴∠MOG=∠POH，且∠PHO=∠MGO，
∴△MOG∽△POH，
∴
∵M（，），
∴MG=，OG=，
∴PH=MG=，OH=OG=，
∴P（，）；
当点P在第三象限时，如图4，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥y轴于点H，
同理可求得PH=MG=，OH=OG=，
∴P（﹣，）；
综上可知：存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（﹣，）．
15解：(1)将A(0，1)，B(-9，10)代入函数解析式得：
×81-9b＋c＝10，c＝1，解得b＝2，c＝1，
所以抛物线的解析式y＝x2+2x＋1；
(2)∵AC∥x轴，A(0，1)，
∴x2+2x＋1＝1，解得x1＝-6，x2＝0(舍)，即C点坐标为(-6，1)，
∵点A(0，1)，点B(-9，10)，
∴直线AB的解析式为y＝-x＋1，设P(m，m2+2m＋1)，∴E(m，-m＋1)，
∴PE＝-m＋1 (m2+2m＋1)＝ m2-3m.
∵AC⊥PE，AC＝6，
∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC EF＋AC PF
＝AC (EF＋PF)＝AC EP
＝×6( m2-3m)＝ m2-9m.
∵-6∴当m＝时，四边形AECP的面积最大值是，此时P()；
(3)∵y＝x2+2x＋1＝(x+3)2 2，
P(-3， 2)，PF＝yF yp＝3，CF＝xF xC＝3，
∴PF＝CF，∴∠PCF＝45 ，
同理可得∠EAF＝45 ，∴∠PCF＝∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件的点Q，
设Q(t，1)且AB＝，AC＝6，CP＝，
∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，
CQ:AC＝CP:AB，(t+6):6＝，解得t＝-4，所以Q(-4，1)；
②当△CQP∽△ABC时，
CQ:AB＝CP:AC，(t+6)6，解得t＝3，所以Q(3，1).
综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q点的坐标为(-4，1)或(3，1).
16（1）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）在抛物线y＝ax2+bx+c上，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）根据题意为对称轴上的点，为的垂直平分线上的点，
B（3，0）
则
当时，y＝﹣2+3+3=；
设直线PB的解析式为y＝mx+n，
则有，
解得．
∴直线PB的解析式为y＝x+．
∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，
∴xQ＝1，yQ＝×1+＝5，
∴点Q的坐标为（1，5）
根据对称性点Q坐标还可以为（1，﹣5）．
（3）①如图，由（2）可得△QAB△POB，△QAB与△POB位似，则，
又交于点,则位似中心为点B，点B的坐标为（3，0）．
②如图，若当Q点坐标（1，﹣5）时,设与轴的交点为，则位似中心为，
由（2）可得△QAB△POB，则，
又
， ，
解得
则当Q点坐标（1，﹣5）时，位似中心坐标为（，0）；
综上所述，位似中心坐标为（3，0）或（，0）
17．（1）把x=0代入y=﹣x+3，得：y=3，
∴C（0，3）．
把y=0代入y=﹣x+3得：x=3，
∴B（3，0），A（﹣1，0）.
将C（0，3）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c得： ，解得b=2，c=3．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）如图所示：作点O关于BC的对称点O′，则O′（3，3）．
∵O′与O关于BC对称，
∴PO=PO′．
∴OP+AP=O′P+AP≤AO′．
∴OP+AP的最小值=O′A==5．
O′A的方程为y=
P点满足解得：
所以P ( ,)
（3）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）．
又∵C（0，3，B（3，0），
∴CD=，BC=3，DB=2．
∴CD2+CB2=BD2，
∴∠DCB=90°．
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴OA=1，CO=3．
∴．
又∵∠AOC=DCB=90°，
∴△AOC∽△DCB．
∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB．
如图所示：连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q．
∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，
∴△ACQ∽△AOC．
又∵△AOC∽△DCB，
∴△ACQ∽△DCB．
∴，即，解得：AQ=10．
∴Q（9，0）．
综上所述，当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．
18．解：（1）∵，
∴，，
∴将A，B代入得，
解得，
∴，；
（2）∵二次函数是，，，
∴的横坐标为，
代入抛物线解析式得
∴，
设得解析式为：
将B，D代入得，
解得，
∴直线的解析式为；
（3）由题意得tan∠ABD=，tan∠ADB=1，
由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与x轴交点为M，P（1，n）且n<0，Q（x，0）且x<3，
①当△PBQ∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ABD即=，
解得n=，
tan∠PQB=tan∠ADB即，
解得x=1-，
此时Q的坐标为（1-，0）；
②当△PQB∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ADB即=1，
解得n=-2，
tan∠QPB=tan∠ABD即=，
解得x=1-，
此时Q的坐标为（1-，0）；
③当△PQB∽△DAB时，tan∠PBQ=tan∠ABD即=，
解得n=，
tan∠PQB=tan∠DAB即，
解得x=-1，
此时Q的坐标为（-1，0）；
④当△PQB∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ABD即=1，
解得n=-2，
tan∠PQB=tan∠DAB即，
解得x=5-，
Q的坐标为（5-，0）；
综上：Q的坐标可能为，，，．

展开更多......

收起↑