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2025年春九年级数学中考二轮复习《与旋转相关的几何动态问题探究》
解答题专题训练（附答案）
1．如图1，与均为等边三角形，将绕点逆时针旋转，旋转角为（其中），连接，，是的中点，．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，当的延长线经过点时，请判断四边形的形状，并说明理由；
(3)如图3，连接，若，在绕点旋转的过程中，求的最大值．
2．如图1，点是正方形两对角线的交点，分别延长到点，到点，使，，然后以、为邻边作正方形，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，正方形固定，将正方形绕点逆时针旋转角（），得到正方形；
①在旋转过程中，当是直角时，求的度数；
②若正方形的边长为2，在旋转过程中，长的最大值为______．
3．如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点．
(1)线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____；
(2)如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明；
(3)将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______．
4．如图，四边形和均为正方形，将绕点旋转；
(1)如图①，连接，判断直线的位置关系并说明理由；
(2)如图②，连接，若，探索并证明线段的数量关系；
(3)如图③，若正方形、边长分别为，绕点旋转一周，直线与相交于点，直接写线段的最小值及点运动轨迹的长度．
5．已知正方形，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与重合，将此三角板绕点旋转时，两边分别交直线于．
(1)当分别在边上时（如图1），将绕点顺时针旋转至，求证：；
(2)当分别在边所在的直线上时（如图2），线段之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论：
(3)在图3中，作直线交直线于两点，在（2）的条件下，若，，求的长．
6．已知正方形边长为1，对角线相交于点O，过点O作射线，分别交于点E，F，且．
(1)如图1，当时，求证：四边形是正方形；
(2)如图2，将射线绕着点O进行旋转．
①在旋转过程中，判断线段与的数量关系，并给出证明；
②四边形的面积为 ；
(3)如图3，在四边形中，，连接．若，请直接写出四边形的面积．
7．如图，中，，，为点在射线上，点在射线上，，将线段绕点逆时针旋转，点落在点处，连接．
(1)求证四边形是平行四边形；
(2)设，四边形的面积是，关于的函数图像如图所示，点是函数图像上一点
① ；
②过点在上方作线段，使得，且（尺规作图）；
③连接，说明点是定点；
④点在点左侧的函数图像上，点在点右侧的函数图像上，且直线与轴构成的锐角的正切值是，求的值．
8．综合与实践
将正方形的边绕点逆时针旋转至，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，，
(1)如图1，当时，的形状为_______，连接，可求出的值为______；
(2)当且时．
①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值，若，请直接写出此时点到的距离．
9．[问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，．
[问题解决]

(1)如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长；
(2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由；
(3)在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值．
10．问题情境：
“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图①中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，将和按图②所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当时，延长交于点G，则四边形的形状为　　．

深入探究：
老师将图②中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，并让同学们提出新的问题．
（1）“巧思小组”提出问题：如图③，当时，过点A作交的延长线于点与交于点N．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．
（2）“聪慧小组”提出问题：如图④，当时，过点A作于点H，若，则　　．
11．（1）观察猜想：如图1，已知三点在一条直线上（），正方形和正方形在线段同侧，H是中点，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
（2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形绕点D旋转度（），试判断（1）中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：如图3，矩形和矩形中，，将矩形绕点旋转任意角度，连接是中点，若，求点运动的路径长．
12．问题情境：
如图1，在矩形中，，，为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点落在边的点处．
猜想验证：
（1）填空：的长为__________．
（2）如图2，将沿线段向右平移，使点与点重合，得到，与交于点，与交于点．
①连接，，图中除矩形外，还有几个平行四边形？请一一列举出来．
②求的长．
拓展研究：
（3）如图3，将沿点按逆时针方向旋转一定角度，分别交和于点和点．当时，分别求出的值和线段的长．
13．在中，，连接，已知，点E在线段上，将线段绕点D顺时针旋转 为线段．
(1)如图1，线段与线段的交点和点E重合，连接，求线段的长度；
(2)如图2，点G为延长线上一点，使得，连接交于点H，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，平面内一点P，当最小时，求的面积．
14．旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：和均为等腰直角三角形，，点为中点，将绕点旋转，连接、．
观察猜想：（1）如图1，在旋转过程中，与的位置关系为______；
探究发现：（2）如图2，当点、在内且、、三点共线时，试探究线段、与之间的数量关系，并说明理由．
解决问题：（3）若中，，在旋转过程中，当且、、三点共线时，直接写出的长．
15．在中，于点D，点P为射线上任一点（点B除外），连接，将线段绕点P顺时针方向旋转α，，得到，连接．
(1)【观察发现】如图1，当，且时，与的数量关系是 ，与的位置关系是 ．
(2)【猜想证明】如图2，当，且时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）
(3)【拓展探究】在（2）的条件下，若，，请直接写出的长．
16．小红在学习了三角形的相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，如图，在中，，，点D，E分别在边上（不同时在点A），连接．
(1)问题解决：如图1，当点D，E分别与点B，C重合时，将线段绕点E顺时针旋转90°，得到线段，连接与的位置关系是_________，数量关系是________．
(2)问题探究：如图2，当点D，E不与点B，C重合时，将线段绕点E顺时针旋转90°，得到线段，连接与的位置关系是怎样的？请说明理由．
(3)拓展延伸：如图3，当点E不与点C重合，且D为的中点时，将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，点G是点C关于直线的对称点，若点G，D，F在一条直线上，求的值．
17．综合与实践
问题情境：如图1，在矩形中，，．将矩形绕边的中点E逆时针旋转角度得到矩形（点A，B，C，D的对应点分别是点，，，）．
操作发现：
（1）连接，，，，则四边形的形状是______；
问题探究：
（2）如图2，连接，，试判断与的数量关系，并说明理由；
拓展延伸：
（3）如图3，与BC交于点F，连接BD，当点落在线段BD上时．
①求的长度；
②直接写出的长度．
18．如图，操作：把正方形的对角线放在正方形的边的延长线上（），取线段的中点．
探究：线段、的关系，并加以证明．

(1)说明：如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；
(2)在你经历说明（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．
注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分．
①的延长线交于点，且；②将正方形绕点逆时针旋转（如图），其他条件不变；③在②的条件下，且．
附加题：将正方形绕点旋转任意角度后（如图），其他条件不变．探究：线段、的关系，并加以证明．
19．在中，，点M，N分别为边的中点，连接．
初步尝试：
（1）如图1，与的数量关系是 　，与的位置关系是　　　．
特例研讨：
（2）如图2，若， ，先将绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到，当点A，E，F在同一直线上时，与相交于点D，连接．
①求的度数；
②求的长．
深入探究：
（3）若，将绕点B顺时针旋转α，得到，连接．当旋转角α满足，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究与的数量关系，并说明理由．
20．某研究性学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形中，,，我们把这种四边形称为“等补四边形”．如何求“等补四边形”的面积呢？
探究一：
(1)如图2，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点A顺时针旋转，可以形成一个直角梯形（如图3）．若，,则“等补四边形”的面积为
探究二：
(2)如图4，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点A顺时针旋转，再将得到的四边形按上述方式旋转120°，可以形成一个等边三角形（如图5）．若，,则“等补四边形”的面积为 ．
由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道，的长度，就可以求它的面积．那么，如何求一般的“等补四边形”的面积呢？
探究三：
(3)如图6，已知“等补四边形”，连接，将以点A为旋转中心顺时针旋转一定角度，使与重合，得到，点C的对应点为点．
①由旋转得： ，因为，所以， 即点，B，C在同一直线上，所以我们拼成的图形是一个三角形，即．
②如图7，在中，作于点H，若，，试求出“等补四边形”的面积（用含m，n的代数式表示），并说明理由．
参考答案
1．（1）解： 与为等边三角形，
，
绕点逆时针旋转，
，
在和中
，
；
（2）四边形为菱形，理由如下：
过点作，垂足为，
为等边三角形，
，，
，
，
的延长线经过点，，
由勾股定理得，，
，
，
由（1）得，，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为菱形；
（3）取中点，连接，
为等边三角形，为中点，
，
，
，
为中点，为中点，
为的中位线，
，
在中，
最大为．
2．解：（1）如图，延长交于，
点是正方形两对角线的交点，
，，
四边形是正方形
在和中，
，
，
，
，
，
，
即；
（2）①在旋转过程中，成为直角有两种情况：
如图2，由增大到过程中，
当时，
，
在中，
，
，，
，
，即；
由增大到过程中，当时，如图
同理可求，
，
综上所述，当时，或；
②如图，连接，
四边形是正方形，
，，
正方形的边长为2，
，
，
则，
当时，
、、在一条直线上，此时的长最大，
最大值为，
故答案为：．
3．解：（1）∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
故答案为：＝，⊥；
（2）线段与线段的关系不发生变化．理由如下：
如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，

∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理可证，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
同理可证，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，；
（3）如图2，连接．

∵，
∴如图3时取得最大值时，点E落在上时，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴的最大值；
如图4中，当点E落在的延长线上时，的值最小，

∵，，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴的最小值，
综上所述，．
4．（1）解：，理由如下，延长交的延长线于点，延长交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即；
（2）解：，理由如下，
四边形是正方形，
，，
如图，将绕点顺时针旋转至，连接，
，
，
，
，
，，，，
如图，将绕点逆时针旋转至，连接，
同理可证，
，，，，
，
，
三点共线，
，
，，
，
，
在中，，
即，
；
（3）解：正方形绕点旋转一周，，
在以为圆心，2为半径圆上，如图所示：
作于，中，，
在正方形绕点旋转过程中，，
当时，最大，
此时最大，，
，
，
由（1）可知，，
，
连接，取中点，连接，
在以为直径的上，
，，
，
，
，
此时、重合，最小，如图所示：
作，交的延长线于，
，，
，
由（1）知，，
，，
，
，
，
当点在左侧时，如图所示：
同理可得，，
点从左侧运动到右侧，点在上转过的角度为，
点从右侧运动到左侧，点在上转过的角度为，
正方形的边长为4，
，
点的运动轨迹为．
5．（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
根据直角三角板的性质可得，，
∴，
∵将绕点顺时针旋转至，
∴，，，，
在，中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：或，理由如下，
第一种情况，当点在点左边，点在点下方，如图所示，
∵四边形是正方形，
∴，
∴将绕点逆时针旋转得，连接，，交于点，
∴，
∴，，，，
根据等腰直角三角板可得，，
∴，
∴，
∴平分，且，
∴，且平分，即，，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
第二种情况，当点在点右边，点在点上方，如图所示，
将绕点顺时针旋转得，
同理，，
∴，
根据等腰直角三角版可得，，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，则，
在中，，
∴，
由（2）中可得，，且，
∴，即，
解得，，
∴在中，，且，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，则，
∴，
∴，
∴．
6．（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形；
（2）解：①，
证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积的面积，
∴四边形的面积的面积正方形的面积；
（3）解：如图，延长至点G，使，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴四边形的面积等腰直角三角形的面积．
7．（1）解：∵，
∴，
∵将线段绕点逆时针旋转，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（）可知四边形是平行四边形，过点作于点，
∴，，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形的面积是，
∴，
∵是函函数图象上一点，
∴，
∴，
故答案为；
②如图所示，线段即为所求，
③连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∵
∴，
又∵
∴
∴，，
∴，
∴可以看作绕点B逆时针旋转得到的，
∴点是定点；
④过点作轴的垂线，过点作于点，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴，
∵点在点左侧的函数图像上，点在点右侧的函数图像上，
∴，，
∴，
∵直线与轴构成的锐角的正切值是，
∴，
由①可知，
∴，
∴，，
∴，
解得：
8．（1）解：如图，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵绕点逆时针旋转至，旋转角为，
∴，，
∴，为等边三角形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：等腰直角三角形；；
（2）①两个结论仍然成立，
证明：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∵绕点逆时针旋转至，旋转角为，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴（1）中的两个结论不变，依然成立；
②若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论：
第一种：以CD为边时，则，
此时点在线段的延长线上，如图所示，
此时点与点重合，
∴，，
∴，
∵，
∴，
此时点到的距离为；
第二种：当以为对角线时，如图所示，
∵四边形是平行四边形，
∴，，点为中点，，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的值为或，此时点到的距离为或．
9．（1）解：（1），，，
，
四边形是正方形，
，，
，
由旋转的性质得：，
；
（2）解：四边形是正方形，理由如下：
由旋转的性质得：，，
，，
四边形是矩形，
又，
矩形是正方形；
（3）解：是固定值，点是定点，点是动点，
点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，如图：

当点、、依次共线时，最大，
此时，，
即长度的最大值为．
10．解：问题情境：结论：四边形为正方形．理由如下：
，
，
，
，
，
，
∴四边形为矩形．
∵，
，
∴矩形为正方形．
故答案为：正方形：
深入探究：（1）结论：．
理由：∵，
，
，
，
，即，
，
，
，由（1）得，
；
（2）解：如图：设的交点为，过作于，

∵，
，
，
，
，
，
，
∴点是的中点，
由勾股定理得，
，
，
，即，
，
，
，
，
．
11．解：（1），且．理由如下：
∵正方形和正方形，
∴
∴；
设正方形的边长为a，正方形的边长为b，
根据题意，得；
∵H是中点，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）结论仍然成立．理由如下，
延长到点P，使得，连接，延长二线交于点Q，
∵H是中点，
∴，，
∴，
∵正方形和正方形，
∴，，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，，
∴，，
故．
（3）如图，延长到点Q，使得，连接，
根据三角形中位线定理，得到，
∵矩形和矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
取的中点O，
连接，
∵是中点，
∴，
根据圆的定义，判定点H在以点O为圆心，以为半径的圆上，
∴其周长为．
12．解：（1）四边形为矩形，，，
，，，
由折叠的性质可知：，
，
故答案为：．
（2）①由（1）得，
，
由折叠的性质可知：，
四边形为矩形，
，
设，则，
由勾股定理可得：，
即，
解得，
，，
由平移的性质可得，，，，，
四边形、、为平行四边形，
，
，
，即，解得，
，，
作于点，
，，
，
，即，解得，
，
，
由折叠的性质可知，
，即为等腰三角形，
，
，
四边形、不为平行四边形，
综上所述，图中除矩形外，还有3个平行四边形，分别是四边形、、为平行四边形；
②解：由①知，，
；
（3） ，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
由平移的性质和旋转的性质可得，
，，，
，
即，解得，
，
，解得．
13．（1）解：过点作，交延长线于点，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
由旋转的性质可得：，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：，
（2）解：连接，，
∵，，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
（3）解：将绕点顺时针旋转，得到，连接，
由旋转的性质可得，，，，
∴，
∴，当在线段上时取得最小值，
延长与延长线交于点，过点作于点，连接，
由旋转的性质可得，，，
∵，
∴，，
∴，
在中，，，，
∵，即：，解得：，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
14．解：．
理由：如图所示，连接，设交于点，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∵点为中点，
∴，平分，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在四边形中，
，
∴，
故答案为：；
（2）．
理由：如图所示，连接，
由（1）可知：，
∵、、三点共线
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴；
（3），，、、三点共线，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
①如图所示，连接，
由（2）可知：，
由（1）可知：，，
∴，，
在中，，
∴，
∴；
②如图所示，连接，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
由（1）可知：，，
∴，，
在中，，
∴，
∴（此时，不符合题意，舍去）；
③如图所示，连接，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
由（1）可知：，，
∴，，
在中，，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
15．解：（1）如图，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）不成立，结论是；理由如下：
连接，
∵，，，
由旋转的性质得，，，
∴、都是等腰直角三角形，
∴，，
，
∴，
，，
，
，
∴
，
∴不成立，结论是，
（3）当点P在线段上时，如图2中，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图3所示，当P在延长线上时，连接，
，，，，
， ，即∠BAP=∠CAE，
同（2）可得，
，
∴，
，
同理可求得：，，
，
∴．
综上所述：或
16．（1）解：由旋转的性质得：，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
故答案为：平行；相等；
（2），理由如下：
证明：如图2，过作交的延长线于点，
则，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
由旋转的性质得：，，
，
，
即，
，
，
，
；
（3）解：如图3，连接、，过作于点，延长交于点，
则，
由（2）可知，
，，
为的中点，
，
，
，
点是点关于直线的对称点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
平行四边形是正方形，
，，，
，
，
，，
，
由旋转的性质得：，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
．
17．（1）解：∵矩形绕边的中点E逆时针旋转得到矩形，
∴，点E平分和，
∴四边形是矩形，
故答案为：矩形；
（2）解：，理由如下：
连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点E是中点，，
∴，
在中，勾股定理可得：，
∵矩形绕边的中点E逆时针旋转得到矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）①连接，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
由（1）可得，四边形是矩形，
∴，则，
∵，
∴，
∴，即，
解得：；
②解：过点作的平行线，交于点M和点N，
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵点E为中点，
∴，
∴，
根据勾股定理可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：．
18．（1）解：线段、的关系是：，．
证明：如图，延长交于点，连接、，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵是正方形的对角线，
∴，，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴为的中点，
∴，
∴，；

（2）选取条件①，
证明：如图，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是正方形的对角线，
∴，，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴为的中点，
∴，
∴，；

选取条件②，
证明：如图，延长交于点，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴点是线段的中点，
∴，
∴，；

选取条件③，
证明：如图，延长交于点，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴点是线段的中点，
∴，
∴，；

附加题：线段、的关系：，．
证明：如图，过点作的平行线分别交、的延长线于、，连接、，
∴，，
∵点是线段的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴为的中点，
∴，
∴，．

19．解：（1）∵，点M，N分别为边的中点，
∴是的中位线，
∴，；
故答案为：，；
（2）特例研讨：①如图所示，连接，

∵是的中位线，
∴，
∴，
∵将绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到，
∴；，
∵点A，E，F在同一直线上，
∴，
在中，M是斜边的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，即旋转角，
∴，，
∴是等边三角形，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
；
②如图所示，

∵ ，，
∴，
在中，，
，
由①知在中，，
∴，
∴；
（3）如图所示，当点C，E，F在同一直线上时，且点E在上时，

∵，
∴，设，则，
∵是的中位线，
∴，
∴，
∵将绕点B顺时针旋转α，得到，
∴，
∴，
∴，
∵点C，E，F在同一直线上，
∴，
∴，
∴A，B，E，C在同一个圆上，

∴，
∴，
∵，
∴，
如图所示，当F在上时，

∵，
∴A，B，E，C在同一个圆上，设，则，
将绕点B顺时针旋转α，得到，
∴，
∴.
设，则，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述，或．
20．（1）解：由题意“等补四边形”的面积．
故答案为：9．
（2）解：过点作交于点，如图：

根据题意可得，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
则，
故“等补四边形”的面积．
故答案为：．
（3）解：①由旋转的性质可知，，
故答案为：．
②：由旋转的性质可知，，
∵，
∴，
∴，
∴“等补四边形”的面积的面积．

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