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【r·数学八年级上册】
14.2 三角形全等的判定
第1课时
用“sas”判定三角形全等
学习目标
掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，经历探索“SAS”的过程.
能通过说明三角形全等，来说明线段或角相等.
复习导入
1. 什么叫全等三角形？
能够完全重合的两个三角形.
2. 全等三角形有什么性质？
△ABC≌△A'B'C'
AB = A'B'，AC = A'C'，BC = B'C'.
①全等三角形的对应边相等.
②全等三角形的对应角相等.
∠A =∠A'，∠B =∠B'，∠C =∠C'.
A
B
C
A'
B'
C'
提出问题
一定要满足三条边分别相等，三个角也分别相等，才能保证两个三角形全等吗？
若不是，则需要满足几个条件呢？
AB = A'B'，AC = A'C'，BC = B'C'.
∠A =∠A'，∠B =∠B'，∠C =∠C'.
A
B
C
A'
B'
C'
探究新知
我们按照条件由少到多的顺序进行研究：
① 先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使△ABC 与 △A'B'C' 满足一个条件（一边或一角分别相等）. 你画出的△A'B'C' 与△ABC 一定全等吗？
探究1
一条边相等：
一个角相等：
探究新知
② 满足两个条件（两边、一边一角或两角分别相等）时，△A'B'C' 与△ABC 一定全等吗？
探究1
①两个角相等：
②两条边相等：
③一个角和一条边相等：
4
6
4
4
6
只满足一个或两个条件时， 不能保证两个三角形一定全等.
两边一角
两角一边
三边
三角
三个条件　　
当满足三个条件时，△ABC 与△A'B'C' 全等吗？分哪几种情况？
探究新知
①两边及夹角
②两边和其中一边的对角
如图，直观上，如果∠A，AB，AC 的大小确定了，△ABC 的形状、大小也就确定了. 也就是说，在△A'B'C' 与△ABC 中，如果∠A' =∠A，A'B' = AB，A'C' = AC，那么△A'B'C'≌△ABC.
这个判断正确吗？
探究2
知识点 用“SAS”判定三角形全等
C
A
B
C'
A'
B'
如图，由∠A' =∠ A 可知：
知识点 用“SAS”判定三角形全等
① 使点 A 与点 A' 重合并使射线 A'B' 与射线 AB 重合，射线 A'C' 与射线 AC 重合.
② 由 A'B' = AB， A'C' = AC，点 B'，C' 分别与点 B，C 重合.
C
A
B
C'
A'
B'
(A')
(B')
(C')
知识点 用“SAS”判定三角形全等
C
A
B
△A'B'C' 的三个顶点与△ABC 的三个顶点分别重合.
△A'B'C' 与△ABC 能够完全重合.
△A'B'C'≌△ABC
(A')
(B')
(C')
知识点 用“SAS”判定三角形全等
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）
在△ABC 与 △ A′B′C′ 中，
∴△ABC ≌△A′B′C′ （SAS）
AB = A′B′
∠A =∠A′
AC = A′C′
几何语言：
A
B
C
A'
B'
C'
基本事实：
针对训练
分别找出各图中的全等三角形，并说明理由.
解：(1) △ABC≌△EFD (SAS)；
(2) △ABC≌△CDA (SAS) .
例 1 如图，AC = AD，AB 平分∠CAD，求证∠C =∠D.
教材P33 例题
A
B
C
D
①先找隐含条件：
②再找现有条件：
③最后找准备条件：
公共边AB
AC = AD
可以证明 △ABC≌△ABD.
∠CAB =∠DAB
AB 平分∠CAD
证明：∵AB 平分∠CAD，∴∠CAB =∠DAB .
在△ABC 和△ABD中，
教材P33 例题
A
B
C
D
∴△ABC ≌△ABD （SAS）
AC = AD
∠CAB =∠DAB
AB = AB
∴∠CAB =∠DAB.
思 考
如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等吗？
知识点 用“SAS”判定三角形全等
A
B
C
C′
A
B
C
A
B
C′
发现：顶点 C 可能存在两个位置.
【结论】两个三角形不一定全等.
下列命题错误的是（ ）
D
A. 周长相等的两个等边三角形全等
B. 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
C. 有两条边对应相等的两个等腰三角形不一定全等
D. 有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
针对训练
随堂演练
1. 如图，a，b，c 分别表示△ABC 的三边长，则下列三角形中与△ABC 一定全等的是（ ）
A
B
C
a
b
c
72°
50°
C
随堂演练
2. 如图，点 E 在 AC 上，DC = EA，EC = BA，DC⊥AC，BA⊥AC，垂足分别是 C，A，则 BE与DE的位置关系是______.
垂直
A
E
C
D
B
随堂演练
3. 在△ABC 中，AB = AC，AD 是∠BAC 的角平分线. 那么 BD 与 CD 相等吗？为什么？
解：相等. 理由：
∵ AD 是∠BAC 的角平分线，
∴∠BAD = ∠CAD.
∴△ABD ≌△ACD（SAS）.
∴ BD = CD.
A
B
C
D
又 AB = AC，AD = AD，
随堂演练
教材P34练习 第1题
4. 如图，有一池塘，要测池塘两端 A，B 的距离，可先在平地上取一个点 C，从点 C 不经过池塘可以直接到达点 A 和点 B. 连接 AC
并延长到点 D，使 CD = CA，
连接 BC 并延长到点 E，使
CE = CB，连接 DE，那么量出 DE 的长就是 A，B 的距离. 为什么？
随堂演练
教材P34练习 第1题
AC = DC，
∠ACB =∠DCE，
BC = EC ，
证明：在△ABC 和△DEC 中，
∴ △ABC ≌△DEC（SAS）
∴ AB = DE
（全等三角形的对应边相等）
随堂演练
教材P34练习 第2题
5. 如图，点 E，F 在 BC 上，BE = CF，AB = DC，∠B =∠C. 求证∠A =∠D.
证明：∵BE = CF ，
∴BE + EF = CF + EF，即 BF = CE，
在△ABF和△DCE中，
AB = DC，
∠B =∠C，
BF = CE，
∴△ABF≌△DCE（SAS）.
∴∠A =∠D（全等三角形对应角相等）.
随堂演练
6. 两个大小不同的等腰直角三角尺如图①放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E 三点在同一直线上，连接 CD.
(1)求证：△ABE≌△ACD；
(2)试猜想 CD 与 BE 的位置关系，并证明你的结论.
①
②
A
B
E
C
D
随堂演练
AB = AC，
∠BAE =∠CAD，
AE = AD，
(1)证明：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，
∴ △ABE ≌△ACD（SAS）
②
A
B
E
C
D
在△ABE 和△ACD 中，
∴ AB = AC，AD = AE，∠BAC =∠DAE = 90°，
∴∠BAC +∠CAE =∠DAE +∠CAE，
即∠BAE =∠CAD.
随堂演练
(2)解：CD⊥BE . 证明如下：
②
A
B
E
C
D
∵ △ABE ≌△ACD，∴∠B =∠ACD.
∵∠BAC = 90°，∴∠B +∠ACB = 90°，
∴∠ACD +∠ACB = 90°.
即 ∠BCD = 90°，
∴ CD⊥BE .
课堂小结
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）
三角形全等的判定方法“边角边”
①已知两边，找“夹角”；
②已知一角和该角的一边，找这角的另一边.
注意
课后作业
从课后习题中选取；
完成练习册本课时的习题.

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