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专题二十四 与圆有关的计算（综合测试）——中考数学一轮复习备考合集
【满分：120】
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.时钟分针长6厘米,从早上9点整到9点分,分针针尖所走过的路程是( )
A.厘米 B.厘米 C.厘米 D.厘米
2.如图,正六边形的边长为6,以顶点A为圆心,的长为半径画圆,则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
3.古希腊数学家曾给出一个估算地球周长(或子午圈长)的简单方法.如图,点A和点B分别表示埃及的西恩纳和亚历山大两地,B地在A地的北方,两地的经度大致相同,且实际距离(的长)为.当太阳光线在A地直射时,同一时刻在B地测量太阳光线偏离直射方向的角为,实际测得是.由此估算地球周长用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.为半圆O的直径，现将一块含30°的直角三角板如图放置，30°角的顶点P在半圆上，斜边经过点B，一条直角边交半圆O于点Q.若，则的长为( )
A. B. C. D.
5.如图,在半径为6的中,点A,B,C都在上,四边形OABC是平行四边形,则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
6.如图,在中,,,以为直径作半圆,交于点D,交于点E,则的长为( )
A. B. C. D.
7.某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，M是“不倒翁”与水平面的接触点，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B.将“不倒翁”向右作无滑动滚动，使点B与水平面接触，如图3.若，水平面上点M与点B之间的距离为，则所在圆的半径是( )
A.3 B.6 C.9 D.12
8.如图,菱形的边长为8,,点E是边的中点,以点D为圆心,的长为半径作弧,交边于点F,则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
9.如图,是的内接三角形,为的直径,过点O作于点D,若,,则劣弧的长为( )
A. B. C. D.
10.在边长为1的正方形铁皮上剪下一个扇形(率径为R)和一个圆形(率径为r),使之恰好围成一个圆锥.嘉嘉说图1剪下的圆和扇形一定不可以围成一个圆锥,淇淇说图中剪下的圆和扇形有可能围成一个圆锥,还需要满足条件,则( )
A.只有嘉嘉的说法正确 B.只有淇淇的说法正确
C.两个人的说法均正确 D.两人的说法均不正确
11.如图①是一款带毛刷的圆形扫地机器人,它的俯视示意图如图②所示,的直径为40cm,毛刷的一端固定在点M处,另一端为动点P,,毛刷绕着点M旋转形成的圆弧交于点A,B,且A,M,B三点在同一条直线上,则该毛刷能扫到区域的面积(阴影部分)是( )
A. B.
C. D.
12.如图,以AB为直径的与弦CD相交于点E,且,,,则弧BD的长是( )
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
13.如图,是一个圆锥形状的生日帽,若该圆锥形状帽子的母线长为,底面半径为,将该帽子沿母线剪开,则其侧面展开扇形的圆心角为_________.
14.如图，的半径为4，四边形内接于，连接，.若，，则劣弧的长为__________.
15.如图,AB是的直径,弦于点E,,,则阴影部分的面积为______.
16.如图,与正八边形相切于点A、E,若的半径为7,则的长为______(结果保留).
17.如图,在中,,,以为直径作,交边于点D,交边于点E,则图中阴影部分的面积是______.
三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
18.（6分）如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥(如图2),制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料,其中,将扇形EAF围成圆锥时,AE、恰好重合,已知这种加工材料的顶角.
(1)求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值；
(2)若圆锥底面圆的直径ED为5cm,求加工材料剩余部分(图3中阴影部分)的面积.(结果保留)
19.（8分）如图，点B在数轴上对应的数是，以原点O为圆心，的长为半径作优弧，使点A在原点的左上方，且，点C为的中点，点D在数轴上对应的数为4.
（1）求扇形的面积；
（2）点P是优弧上任意一点，则求的最大值；
20.（8分）如图1、自左向右C、D分别是线段上两点、且,以C为圆心,AC为半径在线段的上方作半圆C、P是半圆C上任意一点.
(1)如图2、若,连接交半圆C于点Q、求的长；
(2)若线段与半圆C有两个公共点,求长l的取值范围.
21.（10分）如图，是的直径，弦交于点，点是劣弧的中点，连接.
(1)求证：；
(2)过点作，判断劣弧与劣弧的大小关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，，求阴影部分的面积.
22.（12分）日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上.如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线l上，为等边三角形，，与分别交于P，Q两点.点C，D是上两点，，过O作于点E，交于点F，交于点M.已知，，.
(1)求的半径；
(2)求图中阴影部分的面积.
23.（13分）【综合与实践】
【问题情境】在学习了数学活动《车轮做成圆形的数学道理》后,数学学习小组的同学们利用计算机软件继续模拟并探讨各种不同类型的图形的滚动问题.
【实践探究】同学们首先选择了以下四种正多边形沿水平地面的滚动,研究了以一个顶点为支点完成一次完整旋转的过程.例如,在图一中,等边三角形围绕顶点C,中心从O顺时针旋转到再到的过程.我们定义这个旋转过程为正多边形绕一个顶点的一次旋转.
(1)我们学习了图二中正方形绕一个顶点的一次旋转角度为,即是正方形的中心角度数,也是外角度数.那么等边三角形绕一个顶点的一次旋转角度为______°；正五边形绕一个顶点的一次旋转角度为______°；正n边形绕一个顶点的一次旋转角度为______°；
【深入探究】同学们继续模拟并探究,如果不是沿着水平地面滚动又会是怎样的情况？
(2)如图五,半径为2的正五边形在另一个相同半径的正五边形的边上顺时针滚动,初始时正五边形绕顶点E的一次旋转中,中心O旋转到,则这一次旋转的旋转角度是多大？沿正五边形滚动一周后回到原来的位置,中心O的运动路径长为多少？
【问题解决】如果将正多边形变化为其他图形又会是怎样的情况呢？
(3)如图六,点A,B,C为上的点,,,由弦,及弧组成的类似扇形的图形沿着水平地面顺时针滚动一周,直接写出圆心O的运动路径的长.
答案以及解析
1.答案：C
解析：从早上9点整到9点分,分针转过的圆心角,
从早上9点整到9点分,分针尖所走过的路程(厘米)
故选:C.
2.答案：D
解析：∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴,,
∴扇形ABF的面积,
故选择D.
3.答案：A
解析：设地球的半径是r,
∵太阳的光线是平行的,
∴,
∴的长,
∴,
∴,
∴地球周长约是,
用科学记数法表示为：
故选：A.
4.答案：C
解析：连接，如图所示，
，
，
，
，
故选：C.
5.答案：A
解析：连接OB,
∵四边形OABC是平行四边形,
∴,
∴,
∴是等边三角形,
∴,
∵,
∴,
∴图中阴影部分的面积
故选A.
6.答案：D
解析：连接、,如图所示：
为半圆的直径,
,
,
是的角平分线,即,
,
,,
,
,
,则,
的长为,则的长为,
故选：D.
7.答案：B
解析：如图：过A、B作PA，PB的垂线交于点O，
设圆的半径为r
PA，PB分别与所在圆相切于点A，B，
O为圆心，
，
，
，
水平面上点M与点B之间的距离为，
，
解得：.
故选B.
8.答案：D
解析：连接,,如下图
∵四边形是菱形,边长为8,,
,,
∴是等边三角形,
∵点E是的中点,
∴,,
∴.
同理可得,,
∴,
∴.
由勾股定理得,
∴
.
故选：D.
9.答案：B
解析：连接,
为的直径,
,
,
,
,
,
设,则半径
在中,
,
∴,
解之得
半径.
劣弧.
故选：B.
10.答案：C
解析：由题图(1),知正方形的边长为R,
正方形的对角线,
.
,,
要使剪下的圆和扇形可以围成一个圆锥,则扇形的弧长等于底面圆(小圆)的周长
,,
将代人,得
题图(1)剪下的圆利扇形一定不可以围成一个圆锥,瞢諪说的对.
题图(2)中当时,
,淇淇说的对.
故选C.
11.答案：C
解析：如图,连接,,,由题意可知点M是点A,P,B所在圆的圆心.
∵A,M,B三点在同一条直线上,
∴是的直径,
∴.
∵的直径为40cm,
∴,
∵,
∴,
∴是等边三角形,
∴.
∴,
∴,
∴.
故选：C.
12.答案：B
解析：连接OC.
∵中,,,,∴,∴是直角三角形,即AE⊥CD.
∵,∴,∴,∴,即,解得：.
∵,∴,∴.
故选B.
13.答案：/度
解析：设侧面展开扇形的圆心角为,则
∴,
故答案为：.
14.答案：
解析：如图，连接，，
∵和为所对的圆周角，
，
，
，
，
∵的半径为4，
劣弧的长为.
故答案为：.
15.答案：
解析：如图,连接,
∵AB是的直径,弦,
∴由垂径定理可知,,
∴E为等腰三角形底边的中点,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴.
故答案为：.
16.答案：
解析：连接、,
∵与正八边形相切于点A,E,
∴,
∵六边形的内角和为,正八边形内角,
∴,
∵,
∴的长为,
故答案为：.
17.答案：
解析：如图,连接,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
过点B作于点F,
,
,
故答案为：.
18.答案：(1)1：2
(2)
解析：(1)由圆锥的底面圆周长相当于侧面展开后扇形的弧长得：
.
∴.
∴,ED与母线AD长之比为
(2)∵
∴
答：加工材料剩余部分的面积为
19.答案：（1）
（2）
解析：（1）点B在数轴上对应的数是，原点O为圆心，
，
，
，
优弧所对的圆心角为：，
.
（2）如图，当与优弧相切时，最大，
，
.
20.答案：(1)
(2)
解析：(1)连接,
∵,
∴
∵,,
∴
过点C作于E点,
∴
∵,
∴,
∴,
∴,
∴
(2)当点P与半圆C相切时,连接,
∵,,
∴,
∴,
∴.
当点P与点A重合时,
,
∴若线段与半圆C有两个公共点,.
21.答案：(1)证明过程见详解
(2)，理由见详解
(3)
解析：（1）如图所示，连接，
∵点是劣弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2），理由如下，
如图所示，连接，设交于点，
∵，
∴，
由（1）可知，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
由（2）可得，，
∴，
如图所示，过点作于点，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积.
22.答案：(1)
(2)
解析：（1），，
，
，
，
，
如图，连接，
设的半径，
，
，
在中，，
，
解得，
即的半径为；
（2）为等边三角形，
，
，
，，
，
，
在中，，
，
解得（负值舍去），
，
，
.
23.答案：(1)；,
(2)；
(3)
解析：(1)依题意,一次旋转角度为正多边形的中心角度数,也是外角度数.
,
∴等边三角形绕一个顶点的一次旋转角度为；正五边形绕一个顶点的一次旋转角度为；正n边形绕一个顶点的一次旋转角度为
故答案为：；,;
(2)连接,,,,,
∵,,
∴,
∵
∴,同理可得
∴这一次旋转的旋转角度是；
∴沿正五边形滚动一周后回到原来的位置,中心O的运动路径长；
(3)如图所示,
连接,,
∵,,
∴是的直径,半径为,
第一部分的路径：当旋转到与底面垂直时,为以点A为圆心,2为半径,顺时针旋转了,则路径长为；
第二部分的路径为：以2为半径的半圆向右滚动了半圈,则路径长为；
第三部分的路径为：以B为圆心,2为半径,顺时针旋转了,则路径长为；
第四部分的路径为：以C为圆心,2为半径,顺时针旋转了,则路径长为；
∴圆心O的运动路径的长为.

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